考研數(shù)學(xué)一(線性代數(shù))-試卷34

考研數(shù)學(xué)一（線性代數(shù)）-試卷34(總分：58.00，做題時間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：8，分數(shù)：16.00)1.選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.設(shè)A為二階矩陣，且A的每行元素之和為4，且|E+A|=0，則|2E+A2|為()．（分數(shù)：2.00）A.0B.54√C.一2D.一24解析：解析：因為A的每行元素之和為4，所以A有特征值4，又|E+A|=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值為18，3，于是|2E+A2|=54，選(B)．3.設(shè)A為m×n階矩陣，B為n×m階矩陣，且m＞n，令r(AB)=r，則()．（分數(shù)：2.00）A.r＞mB.r=mC.r＜m√D.r≥m解析：解析：顯然AB為m階矩陣，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以選(C)．4.設(shè)A為四階非零矩陣，且r(A*)=1，則()．（分數(shù)：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3√D.r(A)=4解析：解析：因為r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，選(C)．5.設(shè)A，B都是n階矩陣，其中B是非零矩陣，且AB=O，則()．（分數(shù)：2.00）A.r(B)=nB.r(B)＜nC.A2一B2=(A+B)(A—B)D.|A|=0√解析：解析：因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因為B是非零矩陣，所以r(B)≥1，從而r(A)＜n，于是|A|=0，選(D)．6.設(shè)A，B分別為m階和n階可逆矩陣，則（分數(shù)：2.00）的逆矩陣為()．A.B.C.D.√解析：解析：7.設(shè)A=，則A，B的關(guān)系為()．（分數(shù)：2.00）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1√解析：解析：P1=E12，P2=E23(2)，顯然A首先將第2列的兩倍加到第3列，再將第1及第2列對調(diào)，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，選(D)．8.設(shè)A=，則()．（分數(shù)：2.00）A.B=P1AP2B.B=P2AP1C.B=P2AP1D.B=P1AP2√解析：解析：顯然B==P1AP2—1，因為P1—1=P1，所以應(yīng)選(D)．二、填空題(總題數(shù)：11，分數(shù)：22.00)9.設(shè)三階方陣A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)為三維列向量，且A的行列式|A|=一2，則行列式｜—A1—2A2，2A2+3A3，一3A3+2A1｜=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：12）解析：解析：10.設(shè)三階矩陣A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三維列向量，且|A|=3，|B|—4，則|5A一2B|=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：63）解析：解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得|5A—2B|=|5α一2β，3γ1，3γ2|=9|5α一2β，γ1，γ2|=9(5|α，γ1，γ2|一2|β，γ1，γ2|)=6311.設(shè)A=，則(A*)—1=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：|A|=10，因為A*=|A|A—1，所以A*=10A—1，故(A*)—1=．12.設(shè)A=，則(A—2E)—1=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：13.設(shè)A為n階可逆矩陣(n≥2)，則[(A*)*]—1=1(用A*表示)．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：由A*=|A|A—1得(A*)*=|A*|．(A*)—1=|A|n—1．(|A|A—1)—1=|A|n—2A，故E(A*)*]—1=14.設(shè)A==1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：令A(yù)=(α1，α2，α3)，因為|A|=2，所以A*A=|A|E=2E，15.設(shè)n維列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E一ααT，B=E+ααT，且B為A的逆矩一1—2a=0，解得a=—陣，則a=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：—0）解析：解析：由AB=(E一ααT1．)ααT一ααT一2aααT=E且ααT≠O，得16.設(shè)三階矩陣A，B滿足關(guān)系A(chǔ)—1BA=6A+BA，且A=（分數(shù)：2.00），則B=1．填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：由A—1BA=6A+BA，得A—1B=6E+B，于是(A—1—E)B=6E，B=6(A—1一E)—1=．17.設(shè)A是4×3階矩陣且r(A)=2，B=（分數(shù)：2.00），則r(AB)=1．填空項1:__________________（正確答案：正確答案：2）解析：解析：因為|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．18.設(shè)A=，B為三階非零矩陣，且AB=O，則r(A)=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：2）解析：解析：因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因為B≠O，所以r(B)≥1，從而有r(A)≤2，顯然A有兩行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．19.P1=，則P12009P2—1=1．（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：P1==E23，因為Eij—1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2—1=P1P2—1=三、解答題(總題數(shù)：10，分數(shù)：20.00)20.解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：21.證明：D=（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：)解析：22.設(shè)D=．(1)計算D；(2)求M31+M33+M34．（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：)解析：23.設(shè)n階矩陣A滿足A2+2A一3E=0．求：(1)(A+2E)—1；(2)(A+4E)—1（分數(shù)：2.00）．__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：(1)由A2+2A一3E=O得A(A+2E)=3E，A．CA+2E)=E，根據(jù)逆矩陣的定義，有(A+2E)—1=A．(2)由A2+2A—3E=O得(A+4E)(A一2E)+5E=O，則(A+4E)—1=(A一2E)．)解析：24.設(shè)A為n階矩陣，且Ak=O，求(E—A)—1．（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：Ek一Ak=(E—A)(E+A+A2+…+Ak—1)，又Ek一Ak=E，所以(E一A)—1=E+A+A2+…+Ak—1．)解析：25.設(shè)A，B為n階矩陣，P=（分數(shù)：2.00）．(1)求P．Q；(2)證明：當(dāng)P可逆時，Q也可逆．__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：(1)PQ==|A||B|E(2)因為|P|=|A||B|，所以當(dāng)P可逆時，|A||B≠0，而PQ=|A||B|E，即．)解析：26.設(shè)A為n階可逆矩陣，A2=|A|E．證明：A=A*．（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：因為AA*|A|E，又已知A2=|A|E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．)解析：27.設(shè)A為n階矩陣，且A2一2A一8E=0．證明：r(4E—A)+r(2E+A)=n．（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：由A2—2A一8E=O得(4E—A)(2E+A)=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(4E—A)+r(2E+A)≤n．又r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E—A)+r(2E+A)=n．)解析：28.證明：若矩陣A可逆，則其逆矩陣必然唯一．（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：設(shè)存在可逆陣B，C，使得AB=AC=E，于是A(B—C)=O，故r(A)+r