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認(rèn)識(shí)平面向量基本定理【注意事項(xiàng)】對(duì)平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn):①e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量;②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1,e2線性表示,且這種表示是唯一的;③基底不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基底.用基底表示向量的方法將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過(guò)列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.應(yīng)用平面向量基本定理的規(guī)律若直接利用基底表示向量比較困難,可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式,然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論,從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(
一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式),再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù),建立方程或方程組,解方程或方程組即得.平面向量正交分解的定義與坐標(biāo)表示1.平面向量正交分解的定義把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.2.平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底.(2)坐標(biāo):對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj,則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo).(3)坐標(biāo)表示:a=(x,y).(4)特殊向量的坐標(biāo):i=(1,0),j=(0,1),0(0,0).對(duì)平面向量的正交分解的理解(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式,只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直.(2)由向量坐標(biāo)的定義,知道兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等,即a=b?x1=x2且y1=y(tǒng)2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).認(rèn)識(shí)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則有下表:求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo).(2)在求一個(gè)向量時(shí),可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.向量中含參數(shù)問(wèn)題的求解(1)向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量:橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),如果橫或縱坐標(biāo)是一個(gè)變量,則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會(huì)隨之改變.(2)解答這類(lèi)由參數(shù)決定點(diǎn)的位置的題目,關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組),解這個(gè)方程(組),就能達(dá)到解題的目的.平面向量共線的坐標(biāo)表示向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2-x2y1=0直接求解.有關(guān)三點(diǎn)共線問(wèn)題的解題策略應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問(wèn)題的步驟兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算,前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì).解題時(shí)通常有兩條途徑:一是先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi),再依據(jù)已知計(jì)算.求平面向量數(shù)量積常用的三個(gè)方法(1)定義法:利用定義式a·b=|a||b|cosθ求解;(2)坐標(biāo)法:利用坐標(biāo)
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