專題36 導(dǎo)數(shù)放縮證明不等式必刷100題(原卷版)

專題36導(dǎo)數(shù)放縮證明不等式必刷100題1．已知函數(shù).（1）求的最大值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：.2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）（i）當(dāng)時，恒成立，求正整數(shù)的最大值；（ii）證明：．3．已知函數(shù)．（1）求的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；（2）若函數(shù)，當(dāng)時，證明：．4．已知函數(shù)．（1）求的最大值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，證明：；（2）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間．（2），證明：．7．設(shè)函數(shù)，.（1）若，求a的值（2）證明：.8．已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性；（2）證明：.9．已知函數(shù).（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上不存在極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）證明：，.10．設(shè)函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．11．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：．12．已知函數(shù)，，．（1）求的最大值；（2）若對，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明不等式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．13．已知函數(shù)，.（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時，.14．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）證明：當(dāng)時，.15．已知函數(shù).（1）若，求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且，求證：.16．已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)，.17．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)a≥1時，ax2+3x-lnx>0.18．已知函數(shù)，（1）試討論的單調(diào)性；（2）求證：.19．已知函數(shù).（1）若，求a的值；（2）證明：.20．已知函數(shù)，，.（1）求的最大值；（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式.21．已知．（1）求證：當(dāng)時，；（2）求證：，，．22．已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：且．23．已知函數(shù)，其中，．（1）討論函數(shù)在區(qū)間，上的單調(diào)性；（2）求證：．24．已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）若，求實(shí)數(shù)取值的集合；（3）當(dāng)時，對任意，令，證明：.25．已知函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：（，）.26．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）①若，證明：在上恒成立；②證明：對任意正整數(shù)，都有成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.27．已知函數(shù)和.（1）當(dāng)時，求方程的實(shí)根；（2）若對任意的，函數(shù)的圖象總在函數(shù)的圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：，.28．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；（2）證明：，．29．已知函數(shù)（1）若對于恒成立，求的值；（2）求證：.30．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象在處的切線方程．（2）證明：．31．已知函數(shù)（，且）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，.32．已知函數(shù)（）（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明對于任意的恒成立.33．設(shè)，已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)時，．34．（1）已知函數(shù)（）．①試討論函數(shù)的單調(diào)性；②若，為函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：．（2）證明：（e為自然對數(shù)的底數(shù)，，）35．已知函數(shù)，．（1）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)；（2），當(dāng)時，存在，有成立，證明：．36．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，求證：當(dāng)時，.37．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若對任意恒有不等式成立，證明：.38．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時，求證：．39．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程．（2）證明：當(dāng)時，對一切，都有成立．40．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，證明：．41．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)，恒成立.42．已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時，證明：；（2）若有且僅有兩個零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.43．已知函數(shù)（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值；（3）證明：．44．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明：.45．已知，其中，且.（1）求與的關(guān)系；（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（3）證明：①；②.46．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：（，且）.47．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明：.48．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍：（3）證明：當(dāng)時，恒成立.49．已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：當(dāng)時，成立．50．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）設(shè)，時，，求整數(shù)k的最大值；（3）求證：時，．51．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：.52．已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).（1）當(dāng)時，求證：函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線斜率均大于；（2）若對于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.53．已知函數(shù)，且函數(shù)與有相同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：.54．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求的取值范圍．（2）當(dāng)時，證明：．55．已知函數(shù).（1）若，且，求的值；（2）證明：.56．設(shè)．（1）當(dāng)時，求證：；（2）證明：對一切正整數(shù)n，都有．57．已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：.58．已知（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求證：59．已知，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，其中，.60．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；（2）證明：.61．已知函數(shù)，.（1）已知恒成立，求a的值；（2）若，求證：.62．已知是函數(shù)的極值點(diǎn).（1）求的值，并證明恒成立；（2）證明：對于任意正整數(shù)，63．已知（1）證明：；（2）證明：.64．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）證明：對任意，．65．已知，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值；（3）求證：.66．已知函數(shù)，，且曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線．（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明：當(dāng)時，；（2）令，且，證明：．67．已知．（1）當(dāng)時求的極值點(diǎn)個數(shù)；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍；（3）求證：，其中．68．已知定義在上的函數(shù)．（其中常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，）（1）當(dāng)時，求的極值；（2）（i）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）當(dāng)時，證明：．69．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意，都有．70．已知函數(shù).（1）若在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù).①若在上恰有1個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：當(dāng)時，.71．已知函數(shù).（1）求的極值；（2）當(dāng)時，若，且，求證：.72．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為．（1）求，的值，并證明：；（2）若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．73．已知．（1）求證：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；（2）對于任意，證明：．74．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（2）證明：對大于1的任意自然數(shù)n，都有．75．已知函數(shù)（1）若是的極值點(diǎn)，求的值，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：76．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．77．已知函數(shù)（1）若時，恒成立，求的取值范圍；（2）求證且；（3）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求證78．已知函數(shù).（1）若時，恒成立，求的取值范圍；（2）求證：（且）；79．（1）若，判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）證明：對任意，，.80．已知函數(shù).（1）當(dāng)曲線在處的切線與直線垂直時，求實(shí)數(shù)a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）求證：.81．已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.82．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù).（1）求的最大值；（2）求證：；（3）求證：.83．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（2）證明：對大于1的任意自然數(shù)n，都有.84．已知函數(shù)；（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：．85．已知函數(shù)（1）證明：在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；（2）證明：.86．如果是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，且同時滿足：①；②與的單調(diào)性相同，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”.已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)與在上是否是“鏈?zhǔn)胶瘮?shù)”，并說明理由；（2）求證：當(dāng)時，.87．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）證明：．88．已知函數(shù)，求證：（1）函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；（2）.89．已知函數(shù)，(1)若直線與曲線相切，求的值.(2)當(dāng)時，求證：當(dāng)時，恒成立.(參考數(shù)據(jù)：，，)90．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．91．已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）證明：，.92．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程（2）若，求證：當(dāng)時，.93．已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若有兩個零點(diǎn)，，且，證明：．94．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極小值；（2）證明：對于任意正整數(shù)，(為自然對數(shù)的底數(shù)).95．已知：對任意，恒成立（1）求的范圍；（2）證明：．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）96．已知函數(shù)，對于，恒成立.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，.97．設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若的最小值為，證明：.98．已知函數(shù).（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程，并證明的圖象上除點(diǎn)以外的所有點(diǎn)都在這條切線的上方；（2）若函數(shù)，，證明：.99．（1）證明：；（2）證明：；（3）比較與的大小，無需說明理由．100．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的