導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

第十二講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根2、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立及參數(shù)求解問題3、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.一、知識(shí)回顧課前熱身知識(shí)點(diǎn)1、不等式恒成立問題的求解方法由不等式恒成立求解參數(shù)取值范圍問題常采用的方法是分離參數(shù)求最值，即要使QNg3)恒成立，只需oNg3)max，要使oWg(x)恒成立，只需oWg(x)min.另外，當(dāng)參數(shù)不宜進(jìn)行分離時(shí)，還可直接求最值建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解，例如，要使不等式f(x)^0恒成立，可求得fx)的最小值h(a)，令h(a)^0即可求出a的取值范圍.參數(shù)范圍必須依靠不等式才能求出，求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵就是找到這樣的不等式.知識(shí)點(diǎn)2、利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=fx)，根據(jù)實(shí)際意義確定定義域；求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)=0得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn)；比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到原實(shí)際問題中作答.二、例題辨析推陳出新'“f冬例1、(2012-福建高考)已知函數(shù)fx)=ex+ax2—ex，aER.⑴若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求函數(shù)fx)的單調(diào)區(qū)間；(2)試確定a的取值范圍，使得曲線y=fx)上存在唯一的點(diǎn)尸，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P.［解答］(1)由于f(x)=ex+2ax-e,曲線y=fx)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率k=2a=0,所以a=0,即fx)二ex-ex.此時(shí)f(x)=ex-e,由f(x)=0得x=1.當(dāng)xE(-00,1)時(shí)，有f(x)<0；當(dāng)xE(1，+8)時(shí)，有f(x)>0.所以fx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,fx0))，曲線y二fx)在點(diǎn)P處的切線方程為y=f(x0)(x-x0)+fx0)，令g(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-fx0)，故曲線y=fx)在點(diǎn)P處的切線與曲線y=fx)只有一個(gè)公共點(diǎn)P等價(jià)于函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn).因?yàn)間(x0)=0,且g‘(x)=f(x)-f(x0)=ex-ex0+2a(x-x0).①若。巳0，當(dāng)x>x0時(shí),g'(x)>0,則x>x0時(shí)，g(x)>g(x0)=0；當(dāng)x<x0時(shí),g'(x)<0,則x<x0時(shí)，g(x)*礙攵藪育BOWENJUAOYU>g3°)=0.故g(x)只有唯一零點(diǎn)后柘由P的任意性知，。巳0不合題意.②若a<0,令h(x)=ex-ex0+2a(x-x0)，則h(x0)=0,h'(x)=ex+2a.令h'(x)=0,得x=ln(-2a),記x*=ln(-2d)，則當(dāng)xE(-8,x*)時(shí)，h'(x)<0，從而h(x)在(-8,x*)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)xE(x*，+時(shí),h'(x)>0,從而h(x)在(x*，+8)內(nèi)單調(diào)遞增.a.若x0=x*，由x^(-8,x*)時(shí)，g'(x)=h(x)>h(x*)=0；由xE(x*，+8)時(shí)，g'(x)=h(x)>h(x*)=0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增.所以函數(shù)g(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=x*.b.若x0>x*，由于"⑴在⑦*，+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且h(x0)=0，則當(dāng)xG(x*/x0)時(shí)，有g(shù)'(x)=h(x)<h(x0)=0，g(x)>g(x0)=0；任取x1e(x*，x0)有g(shù)(x1)>0.又當(dāng)xe(-8,x1)時(shí)，易知g(x)=ex+ax2-(e+f'(x0))x-fx0)+xf'(x0)<ex1+ax2-(e+f'(x0))x-fx0)+xf'(x0)=ax2+bx+c，其中b=-(e+f'(x0)),c=ex1頊x0)+xf'(x0).由于a<0,則必存在x2<x1,使得ax^+bx2+c<0.所以g(x2)<0，故g(x)在(x2,x1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即g(x)在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn).c.若x0<x*，仿b并利用。、京，可證函數(shù)g(x)在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，曲線"fx)上存在唯一點(diǎn)P(ln(-2a)，如n(-2a)))，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P.變式練習(xí)1.設(shè)函數(shù)fx)=lnx—1ax2—bx.(1)當(dāng)a=b=當(dāng)時(shí)，求fx)的最大值；,.1.a1,一(2)令F(x)=fx)+2ax2+bx+](0<xW3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x0,y0)處切線的斜率kW^恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a=0,b=—1時(shí)，方程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值.解：(1)依題意，知fx)的定義域?yàn)?0,+8),當(dāng)a=b=1l時(shí)’fx)=lnx-4x2-2x,f'(x)：%-*242x22-(x+2)(x-1)，令f(x)=0,解得x=1(x=-2舍去).當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0，此時(shí)fx)單調(diào)遞增；當(dāng)x>12x時(shí),f(x)<0，此時(shí)fx)單調(diào)遞減.所以fx)的極大值為f(1)=-|.又因?yàn)閒(x)=0在(0,+8)上有唯一解，所以fx)的最大值為-3.0礙攵藪青山'，?衡陽個(gè)性化教育倡導(dǎo)者X--a1、(2)由題意得F(x)=lnx+xXE(°,3］,則k=F(X0)二七廠弓在件(0,3］上恒成立，所以a乂一廬+xjmax,xoe(0,3］.當(dāng)x0=i時(shí)，-2xo+x0取得最大值1，所以a弓(3)因?yàn)榉匠?mf(x)=X2有唯一實(shí)數(shù)解，所以X2-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解?設(shè)g(x)=X2-2mlnx-2mx,2X2-2mx-2m、m-\:m2+4m貝Ug'(x)=：.令g，(x)=0，即x2-mx-m-0.因?yàn)閙>0,x>0，所以x1二七<0(舍去),x2二當(dāng).當(dāng)xe(0,x2)時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減；當(dāng)xe(x2，+8)時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(x2，+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)x=x2時(shí)，g'(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).因?yàn)?mfx)=x2有唯一實(shí)數(shù)解，|g(x2)-0,Ix2-2mlnx2-2mx2-0,則，即，所以2mlnx2+mx2-m=0.又因?yàn)閙>0,所以2lnx2+x2-1、g'(x2)=0,[xg-mx2-m=0,-0.(*)設(shè)函數(shù)h(x)-2lnx+x-1,當(dāng)x>0時(shí)，h(x)是增函數(shù)，所以h(x)-0至多有一解.因?yàn)閔(1)=0,所以方程(*)的解為x2=i,即"、*+偵=i,解得m=|.例2、已知函數(shù)fx)=ex—ax，其中a>0.(1)若對(duì)一切xER,fx)N1恒成立，求a的取值集合；(2)在函數(shù)fx)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明：存在x0E(x1,x2),使f(x0)=k成立.［解答］(1f'(x)=ex-a,令f'(x)=0得x=lna.當(dāng)x<lna時(shí),f(x)<0,fx)單調(diào)遞減；當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0,fx)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=lna時(shí)，fx)取最小值f(lna)=a-alna.于是對(duì)一切xER,fx)N1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)a-alnaN1.①令g(t)=t-tlnt,則g'(t)=-lnt.當(dāng)0<t<1時(shí),g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t>1時(shí),g'(t)<0，g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t=1時(shí)，g(t)取最大值g(1)=1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，①式成立.綜上所述，a的取值集合為{1}.TOC\o"1-5"\h\z(2)由題意知，k=fx2)fx1)=以2以1-a，令^(x)=f(x)-k=公-以2以1，則9(x1)=--^[ex2-x1&-叫呵-%x2-x1x2-x1(x2-x.)-1],9(x2)-以2[ex1-x2-(x1-x2)-1].令F(t)=et-t-1,則F'(t)=etT.當(dāng)t<0時(shí)，F(xiàn)'(t)<0,x2-x1F(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t>0時(shí)，F(xiàn)'(t)>0,F(t)單調(diào)遞增.故當(dāng)tN0時(shí)，F(xiàn)(t)>F(0)=0,即et-t-1>0.從而ex2-x1exex(x2-X1)-1>0,叫-x2-(x1-x2)-1>0,又>0,>0,所以^(xl)<0,(p(x2)>0.因?yàn)楹瘮?shù)j二(p(XX2-X1X2-X1在區(qū)間［X1，X2］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0E(x1,X2)，使p{x^=0，即f(XQ)=k成立.若將函數(shù)“f(X)=eX—aX,a>0”改為“f(X)=eaX—X,a/0”，試解決問題(1).解：若a<0，則對(duì)一切X>0,f(X)二eaX-X<1，這與題設(shè)矛盾?又a》0,故。>0.而f'(x)=aeaX-1，令f'(x)=0得X=%n1當(dāng)xAn1時(shí)，f(X)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x〉1、1時(shí),f(x)>0,fx)單調(diào)遞增.故當(dāng)xaaaaaa=1ln1時(shí)，fx)取最小值ff1ln1)=1-1lnX.于是對(duì)一切xER,fx)N1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)-虹L1.aaVaaJaaaaa令g(t)。-tlnt,則g‘(t)=-Int.當(dāng)0<t<1時(shí)，g‘(t)>0,g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t>1時(shí)，g‘(t)<0,g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t=1時(shí)，g(t)取最大值g(1)=1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)1=1,即a=1時(shí)，①式成立.a綜上所述，a的取值集合為{1}.變式練習(xí)2.已知f(x)=(x2—a)ex,aER.⑴若a=3，求fx)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)已知X],x2是fx)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且IX]+x2lNlx1x2l,求實(shí)數(shù)a的取值集合M；3⑶在(2)的條件下，若不等式3f(a)<a3+2a2—3a+b對(duì)于aEM都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：(1)La=3,.Lfx)=(x2-3)ex.令f(x)=(x2+2x-3)e、=0x=-3或x=1.當(dāng)xE(-^,-3)U(1,+8)時(shí)，f(x)>0；xE(-3,1)時(shí)，f(x)<0,.fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-3),(1,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,1).頊了)的極大值為f(-3)=6e-3；極小值為f(1)=-2e.(2)令f(x)=(x2+2x-a)ex=0,即x2+2x-a=0,由題意其兩根為X],x2,.?.X]+x2=-2,X&二-a,故-2WaW2.又A=4+4a>0,.，.-1vaW2..，.M二{al-1vaW2}.(3)原不等式等價(jià)于b>3f(a)-a3-2a2+3a對(duì)aEM都成立，記g(a)=3f(a)-a3-*+3a(-1vaW2)，則g'(a)=3(a2+a-1)(ea-1),令g'(a)=0，則a=^—或a=0故當(dāng)a變化時(shí)，g‘(a),g(a)的變化情況如下表:a(-1,0)0仍—12陌，2)2g'(a)+0—0+g(a)極大值極小值6e2—8又3(0)=0,g(2)=6e2-8,.?.g(a)max=6e2-8,.">6e2-8.古攵實(shí)數(shù)b的取值范圍為(6e2-8,+-).例3、隨著生活水平的不斷提高，人們?cè)絹碓疥P(guān)注身體健康，而電視廣告在商品市場(chǎng)中占有非常重要的地位.某著名保健品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2013年通過電視廣告進(jìn)行一系列促銷活動(dòng).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，保健品的年銷量x(單位：百萬件)與年促銷費(fèi)，(單位：百萬元)之間滿足：3-x與t+2成反比例.如果不搞促銷活動(dòng)，保健品的年銷量只能是1百萬件，2013年生產(chǎn)該保健品的固定費(fèi)用為5百萬元，每生產(chǎn)1百萬件保健品需再投入40百萬元的生產(chǎn)費(fèi)用.若將每件保健品的售價(jià)定為“其生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費(fèi)的m倍(0<mW1.2)”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的保健品恰能銷完.假設(shè)2013年該企業(yè)的保健品恰能銷完，且該企業(yè)的年產(chǎn)量最大為2.6百萬件.將2013年的利潤(rùn)"單位：百萬元)表示為促銷費(fèi)t的函數(shù)；該企業(yè)2013年的促銷費(fèi)投入多少百萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？(注：利潤(rùn)=銷售收入一生產(chǎn)成本一促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用).….一一...…k［解答］(1)因?yàn)槟赇N量x百萬件與年促銷費(fèi)t百萬元之間滿足：3-x與t+2成反比例，所以設(shè)t+2二一3-x(k/0).由題意知，當(dāng)t=0時(shí),x=1，代入得0+2=解得k=4.所以t+2=，即x=3-土(t>0).由3-13-xt+2該企業(yè)的年產(chǎn)量最大為2.6百萬件可得，x=3-<2.6，解得tW8.由于2013年的年銷量為x百萬件，t+2則生產(chǎn)成本為七二5+40x，促銷費(fèi)用為t，年銷售收入為y2=150%Xy1+mt.所以2013年的利潤(rùn)y=y2-y-t^y+(m-1)t二:X(5+40x)+(m-1)t.將x=3-^-代入上式，得212t+2y=」x5+40X3-]+(m-1)t—2.5+60—+(m-1)t—62.5—+(m-1)t(0WtW8,0<mW1.2).Lkt+2)\t+2t+2(2)由(1)知,y—62.5-~8^+(m-1)t(0WtW8)所以y‘二80+(m-1).當(dāng)1WmW1.2時(shí)，m-1N0,80t+2(t+2)2(t+2)2N0，所以礦—(t+^+(m-DM。，此時(shí)函數(shù)在[0罰上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t—8時(shí)，年利潤(rùn)y取得最大值，最大值為62.5-里+(m-1)X8—46.5+8m(百萬元)；8+2當(dāng)0<m<1時(shí)，由y'=0解得￡二801-m嚴(yán)-2上單調(diào)遞增在1-m上單調(diào)遞減.所以當(dāng)，二-8土-2時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為62.5-1-m80r1)-=64.5-8?5(1-m)-2m(百萬元).綜上，若1WmW1.2,則當(dāng)促銷費(fèi)投入￡=8時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)y取得最大值，最大值為46.5+8m(百萬元)；若0<m<1,則當(dāng)促銷費(fèi)投入￡=『：.產(chǎn)-2時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)y取得最大值，最大值為64.5-8\：‘5(1-m)-2m(百萬元).變式練習(xí)3.某商場(chǎng)預(yù)計(jì)2013年1月份起前x個(gè)月，顧客對(duì)某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關(guān)系近似地滿

足p(x)=|x(x+1)(39-2x)(xGN*,且xW12).該商品第x月的進(jìn)貨單價(jià)q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是'150+2xq(x)=|185-^Ix(xEN*，且1WxW6),(xEN*，且7WxW12).寫出2013年第x月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數(shù)關(guān)系式；該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場(chǎng)需求，試問商場(chǎng)2013年第幾月銷售該商品的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為多少元？解：(1)當(dāng)x=1時(shí)頂1)=p(1)=37，當(dāng)2WxW12，且xEN*時(shí)，fx)=p(x)-p(x-1)=|x(x+1)(39-2x)-：(x-1)?x(41-2x)=-3x2+40x,經(jīng)驗(yàn)證x=1符合f(x)=-3x2+40x(xEN*，且1WxW12).(2)該商場(chǎng)預(yù)計(jì)第x月銷售該商品的月利潤(rùn)為(-3x2+40x)(35-2x)(xEN*，且1WxW6),)(-3x2+40x),160(xeN*，且7WxW12),1、x、J6x3-185x2+1400x(xEN*，且1WxW6),-480x+6400(xEN*,且7WxW12),即g(x)當(dāng)1WxW6，且xEN*時(shí)，g'(x)=18x2-370x+1400,令g'(x)=0，解得x=5,x=】；°(舍去).當(dāng)1WxW5時(shí),g'(x)>0，當(dāng)5<xW6時(shí),g'(x)<0，二當(dāng)x=5時(shí)，g(x)max二g(5)二3125(元)..?.當(dāng)7WxW12，且xEN*時(shí)，g(x)二-480x+6400是減函數(shù)，當(dāng)x=7時(shí)，g(xy二g(7)二3040(元),綜上，商場(chǎng)2013年第5個(gè)月的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3125元.三、歸納總結(jié)方法在握歸納1、利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.歸納2、將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理.四、拓展延伸能力升華例1、(2012-山東高考)已知函數(shù)地;)=匝尹%為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲ex線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行.求k的值；求fx)的單調(diào)區(qū)間；⑶設(shè)g(x)=(x2+x)f(x)，其中f'(x)為fx)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x>0,g(x)<1+eNInx+k1-kx-xlnx［解］(1)由f(x)^—~，得f⑴二一——，xE(0，+8)，e^xex由于曲線y=f(x)在(1頂1))處的切線與x軸平行，所以f'(1)=0,因此k=1.(2)由(1)得f'(x)=(1-x-xlnx),xE(0,+8)，令h(x)=1-x-xlnx,xE(0,+8),xex、當(dāng)xE(0,1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)xE(1，+8)時(shí)，h(x)<0.又ex>0，所以xE(0,1)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)xE(1,+8)時(shí)，f'(x)<0.因此fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8).x+1⑶證明：因?yàn)間(x)=(x2+xf(x)，所以g(x)=ex(1-x-xlnx),xE(0,+8).因此對(duì)任意x>0,g(x)<1+e-2等價(jià)于1-x-xlnx<-e^(1+e-2).x+1由(2)h(x)=1-x-xlnx,xE(0,+8),所以h'(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),xE(0,+8),因此當(dāng)xE(0,e-2)時(shí)，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xE(e-2,+8)時(shí)，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.所以h(x)的最大值為h(e-2)=1+e-2，故1-x-xlnxW1+e-2.設(shè)破x)二ex-(x+1).

因?yàn)閏p'(x)=ex-1=ex-e0，所以當(dāng)xE(0，+°°)時(shí)，礦(x)>0,(p(x)單調(diào)遞增，^(x)>^(0)=0,故當(dāng)xE(0，+8)時(shí)，p(x)=ex-(x+1)>0,即""e—>1.所以1-x-xlnxW1+e-2<—(1+e-2).因此對(duì)任意x>0,g(x)<1+e-2.x+1x+1變式練習(xí)變式練習(xí)(2012-遼寧高考)設(shè)fx)=ln(x+1)+'、h車1+ax+b(a,bER,a,b為常數(shù))，曲線y=f(x)與直線y=；x在(0,0)點(diǎn)相切.⑴求a,b的值;(2)證明：當(dāng)0<x<2時(shí)，fx)<x^6.3解：(1油j=f(x)過(0,0)點(diǎn)，得b=-1.由y=f(x)在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為2，七+七+~^+a

"x+12對(duì)x+1)=-+a，得a=0.x=02(2)證明：法一：由均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，2\：(x+1).1<x+1+1=x+2，故寸x+1<2+L記h(x)=f(x)-蕓，則h'(x)二工+^-工二土B-兵=-二x+6x+12\'x+1(x+6)22(x+1)(x+6)24(x+1)(x+6)2(x+6)3-216(x+1)4(x+1)(x+6)2.令g(x)=(x+6)3-216(x+1)，則當(dāng)0<x<2時(shí),g'(4(x+1)(x+6)2因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù).又由g(0)=0,得g(x)<0，所以h'(x)<0.因此h(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù).又h(0)二0，得h(x)<0.于是當(dāng)0<x<2時(shí)，fx)v-9L.x+6法二：由(1)知fx)=ln(x+1)+寸x+1-1.由均值不等式，當(dāng)x>0時(shí)，2-?.."x+1).1vx+1+1=x+2，TOC\o"1-5"\h\z古故?：x+1<x+1.①令k(x)=ln(x+1)-x，貝Uk(0)=0，k'(x)二一11二<0*2x+1x+1'七+"x+127x+1)故k(x)<0，即ln(x+1)<x.②由①②得，當(dāng)x>0時(shí)，fx)<3x.記h(x)=(x七+"x+127x+1)..3h'(x)=f(x)+(x+6)f(x)-9<2x+(x+6)

-2(1])[3x(x+1)+(x+6)(2+寸x+1)-18(x+1)]<?('°3x(x+1)+(x+6)(3+專)一l8(x+D9x二(7x-18)<0,因此所x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減.又h(0)=0,所以h(x)<0，即您;)<.4(x+1)x+6五、課后作業(yè)鞏固提高已知/(x)=x3—ox在[1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析：選Df(x)=3x2-aN0在[1，+8)上恒成立，即af在[1，+8)上恒成立，而(312扁二3乂12=3,.?.aW3，故。皿廣3.設(shè)動(dòng)直線x=m與函數(shù)fx)=x3，g(x)=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則IMN的最小值為()A.|(1+ln3)B.|ln3C.1+ln3D.ln3—1解析：選A由題意知|MNI=|x3-lnx|，設(shè)h(x)=x3-lnx,h'(x)=3x2-1，令h'⑴=0,得x=?計(jì),TOC\o"1-5"\h\zx\|3易知當(dāng)x=\貝時(shí)，h(x)取得最小值，h(x).=1-TlnT=!(1-ln9>0，故|MN|.二：(1-ln^=?(1+ln3).3min3333k37，mm3V373'>3.若不等式2xlnxN—x2+ax—3對(duì)xE(0，+8)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(—8，0)B.(—8，4]C.(0，+8)D.[4，+8)33(x+3)(x-1)解析：選B2xlnxN-x2+ax-3，則aW2lnx+x+-，設(shè)h(x)=2lnx+x+—(x>0)，則h'(x)=.xxx2當(dāng)xE(0,1)時(shí)，h'(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xE(1，+8)時(shí)，h'(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min=h(1)=4.所以aWh(x)i=4.4?球的直徑為d，其內(nèi)接正四棱柱體積V最大時(shí)的高為()A弓dB.亨dC.亨dD?32d解析：選C設(shè)正四棱柱的高為h，底面邊長(zhǎng)為x，如圖是其組合體的軸截面圖形，則AB=&x，BD=d，AD=h，「AB2+AD2=BD2，「.2x2+h2=4.d2-h2(d2-h2)h「x2=-2~.又V=x2-h=2-h3)，「V(h)=^d2-5.已知函數(shù)fx)=x3—3x，若對(duì)于區(qū)間［—-h3)，「V(h)=^d2-5.已知函數(shù)fx)=x3—3x，若對(duì)于區(qū)間［—3,2］上任意的x1，x2都有fx］)—fx2)|&，則實(shí)數(shù)t的最小值是()D.20A.0B.10C.18解析：選Df(x)=3x2-3,令f(x)=0，解得x二±1，所以1,-1為函數(shù)fx)的極值點(diǎn)?因?yàn)閒(-3)二-18頂-1)=2頂1)=-2頂2)=2,所以在區(qū)間［-3,2］上，fx/=2,fx)min=-18，所以對(duì)于區(qū)間［-3,2］上任意的x1,x2,f(x1)-fx2)|W20，所以歸20，從而t的最小值為20.，當(dāng)xE(—2,0)時(shí)，fx)的最6.(2013-宜昌模擬)已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)xE(0,2)時(shí)，fx)=lnx-?x，當(dāng)xE(—2,0)時(shí)，fx)的最C.2D.1TOC\o"1-5"\h\z11A.4B.3解析：選D由題意知，當(dāng)xe(0,2)時(shí)，fx)的最大值為-1.令f(x)二f-a=0，得x=!，xa當(dāng)0<x<］時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x〉1時(shí)，f(x)<0.Afx)=ff1)=-lna-1二-1,解得a=1.C.2D.1aamaxJ\aJn7.設(shè)fx)=x3+x，xER，若當(dāng)0W9WS時(shí)，f(msin0)+f(1—m)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析:因?yàn)閒x)=x3+xxER，古攵f(x)=3x2+1>0,Mf(x)在xER上為單調(diào)增函數(shù)又因?yàn)閒(-x)=-f(x)故fx)也為奇函數(shù)，由f(msin0)+f(1-m)>0,即f(msin6)>-f(1-m)=f(m-1)，得msin0>m-1,即m(sinQ-f1)1)>-1,因?yàn)?W0W^，故當(dāng)0二f時(shí)，0>-1恒成立；當(dāng)0E0-)時(shí)，m<恒成立，即m<~~~22L2/1-sin0U-sin仞min=1.故m<1.答案：(—8,1)8.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)為p元，銷量0單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q=8300—170p—p2，則該商品零售價(jià)定為元時(shí)利潤(rùn)最大，利潤(rùn)的最大值為.解析：設(shè)商場(chǎng)銷售該商品所獲利潤(rùn)為y元，則y=(p-20)Q=(p-20)(8300-170p-p2)二-p3-150p2+11700p-166000(pN20)，則y'=-3p2-300p+11700.令y'=0得p2+100p-3900=0,解得p=30或p=-130(舍去).則p,y,y'變化關(guān)系如下表：p(20,30)30(30，+8)y'+0-y增極大值減故當(dāng)p=30時(shí)，y取極大值為23000元.又y=-p3-150p2+11700p-166000在［20,+8)上只有一個(gè)極值，故也是最值.所以該商品零售價(jià)定為9.若函數(shù)f(x)=\x3—a2x滿足：對(duì)于任意的x1,x2E［0,1］都有fxJ—9.若函數(shù)f(x)=\x3—a2x滿足：對(duì)于任意的x1,x2E［0,1］都有fxJ—fxRIW1恒成立，則a的取值范圍是解析：由題意得，在［0,1］內(nèi)，fx)max-f(x)minW1.f(x)=X2-a2，函數(shù)f(x)=|x3-a2x的極小值點(diǎn)是x=IaI.若IaI>1，則函數(shù)fx)在［0,1］上單調(diào)遞減，故只要f(0)頊1)W1，即只要a2W4，即1<|a|<233；若火1，此時(shí)f(x)min=f(IaI)-jab-a2IaI=-2a2IaI,由于f(0)-0,f(1)-3-a2，古攵當(dāng)IaIW33時(shí)，fx)max-f(1)，此時(shí)只要1-a2+2a2IaI<1即可即a2f2IaI-1)W2，由于IaIW^3，古攵2IaI-1W2X吏-1<0，故此式成立；當(dāng)^3<IaK1a匕3^^-ia，a匕^3/333*a3'、33a,_l時(shí)，此時(shí)fx)max-f(0)，故只要3a2IaIW1即可，此不等式顯然成立.綜上，a的取值范圍是答案:10.已知函數(shù)fx)=alnx—ax—3(aER).求函數(shù)fx)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,對(duì)于任意的沱［1,2］，函數(shù)g(x)=x3+x2?f(x)+m_|在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍.a(1-x)解：(1)根據(jù)題意知，f(x)-—-—(x>0)，x當(dāng)a>0時(shí)，fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1］，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，+8);當(dāng)a<0時(shí)，fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1］；當(dāng)a-0時(shí)，fx)不是單調(diào)函數(shù),(2"(2)--冒-1，膈-2,fx)--2lnx+2x-3..，.g(x)=x3+\m+2Jx2-2x.g'(x)-3x2+(m+4)x-2「.?g(x)在區(qū)間(t,3)上不是單調(diào)函數(shù)，且g'(0)--2..|g'(t)<0，

lg'(3)>0.g'(1)<0，

由題意知：對(duì)于任意的re［1,2］，g.|g'(t)<0，

lg'(3)>0.▽(3)>0，37八~3<m<-9.lnx11.已知f(x)=ax—lnx，xE(0，e］，g(x)=，其中e是自然常數(shù)，aER.x(1)討論當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)fx)的單調(diào)性和極值;求證：在(1)的條件下，,f(x)>g(x)+|；是否存在實(shí)數(shù)。，使fx)的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.x-1解：(1)，.fx)=x-lnx,f'(x)=1-X=~^~，二當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0,此時(shí)/(x)單調(diào)遞/咸；當(dāng)1<x<e時(shí),f(x)>0，此時(shí)fx)單調(diào)遞增.項(xiàng)了)的極小值為f(1)=1.(2)證明：?.必)的極小值為1，即fx)在(0,e］上的最小值為1,.fx)min=1.又*'(x)=1^,.?.0<x<e時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(0,e］上單調(diào)遞增.x2,?g(x)max=g(e)=e<2..頂x)min-g(x)max>2；?在⑴的條件下，f(x)>§(x)+；.1ax-1(3)假設(shè)存在實(shí)