數(shù)值分析教學(xué)課件：2-1Gauss消去法

第二章解線性方程組的直接法數(shù)值分析2.1線性方程組的一般形式與直接法思想2.2Gauss消去法華長(zhǎng)生制作12.1線性方程組與直接法實(shí)際問(wèn)題中的線性方程組分類：按系數(shù)矩陣中零元素的個(gè)數(shù)：稠密線性方程組稀疏線性方程組按未知量的個(gè)數(shù)：高階線性方程組低階線性方程組(如1000)(80%)按系數(shù)矩陣的形狀對(duì)稱正定方程組三角形方程組三對(duì)角占優(yōu)方程組華長(zhǎng)生制作2一、直接法概述直接法是將原方程組化為一個(gè)或若干個(gè)三角形方程組的方法，共有若干種．對(duì)于線性方程組其中系數(shù)矩陣未知量向量常數(shù)項(xiàng)------------(1)華長(zhǎng)生制作3根據(jù)Cramer(克萊姆)法則,若determinantal行列式的記號(hào)若用初等變換法求解,則對(duì)其增廣矩陣作行初等變換:經(jīng)過(guò)n-1次華長(zhǎng)生制作4同解即以上求解線性方程組的方法稱為Gauss消去法則都是三角形方程組上述方法稱為直接三角形分解法------------(2)華長(zhǎng)生制作5不論是Gauss消去法還是直接三角形分解法,都?xì)w結(jié)為解三角形方程組.二、三角形線性方程組的解法若記下三角形線性方程組上三角形線性方程組華長(zhǎng)生制作6即前推方向華長(zhǎng)生制作7其解為華長(zhǎng)生制作8其解為:回代方向華長(zhǎng)生制作9K

由消元過(guò)程和回代過(guò)程構(gòu)成高斯(Gauss)消去法.基本思想用矩陣行的初等變換將方程組系數(shù)矩陣A約化為簡(jiǎn)單的三角形矩陣,然后回代求解.2.2Gauss消去法華長(zhǎng)生制作102.2Gauss消去法一、消元與回代計(jì)算對(duì)線性方程組對(duì)其增廣矩陣施行行初等變換:華長(zhǎng)生制作11定義行乘數(shù)（消元因子）：華長(zhǎng)生制作12且華長(zhǎng)生制作13定義行乘數(shù)華長(zhǎng)生制作14華長(zhǎng)生制作15(n次除法及次乘法)華長(zhǎng)生制作16二、Gauss消去法的運(yùn)算量計(jì)算機(jī)作乘除運(yùn)算所耗時(shí)間要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于加減運(yùn)算且在一個(gè)算法中，加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算次數(shù)大體相當(dāng)故在衡量一個(gè)算法的運(yùn)算量時(shí)只需統(tǒng)計(jì)乘除的運(yùn)算次數(shù)乘法次數(shù)：除法次數(shù)：華長(zhǎng)生制作17全部回代過(guò)程需作乘除法的總次數(shù)為于是Gauss消去法的乘除法運(yùn)算總的次數(shù)為數(shù)量級(jí)華長(zhǎng)生制作18Gauss消去法乘除法約為2700次而如果用Cramer法則的乘除法運(yùn)算次數(shù)約為或用行列式定義用行列式性質(zhì)華長(zhǎng)生制作19Tobecontinued!華長(zhǎng)生制作20數(shù)值分析第二章解線性方程組的直接法

2.2Gauss列主元消去法華長(zhǎng)生制作21

Gauss列主元消去法例1.用Gauss消去法解線性方程組(用3位十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算）解:本方程組的精度較高的解為用Gauss消去法求解(用3位十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算)一、Gauss列主元消去法的引入華長(zhǎng)生制作22回代后得到與精確解相比,該結(jié)果相當(dāng)糟糕究其原因,在求乘數(shù)時(shí)用了很小的數(shù)0.0001作除數(shù)主元華長(zhǎng)生制作23如果在求解時(shí)將1,2行交換,即回代后得到這是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的結(jié)果!華長(zhǎng)生制作24例2.解線性方程組(用8位十進(jìn)制尾數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算)解:這個(gè)方程組和例1一樣,若用Gauss消去法計(jì)算會(huì)有小數(shù)作除數(shù)的現(xiàn)象,若采用換行的技巧,則可避免華長(zhǎng)生制作25絕對(duì)值最大不需換行華長(zhǎng)生制作26經(jīng)過(guò)回代后可得事實(shí)上,方程組的準(zhǔn)確解為華長(zhǎng)生制作27例2所用的方法是在G