2022年全國初中數(shù)學競賽模擬試題及答案

2022年全國初中數(shù)學競賽試題考試時間2011年3月20日9︰30－11︰30滿分150答題時注意：1、用圓珠筆或鋼筆作答2、解答書寫時不要超過裝訂線3、草稿紙不上交。一、選擇題（共5735分。每道小題均給出了代號為ACD的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后0分）1x

，則代數(shù)式x(x1)(x2)(x3)的值為（C ）553A．0 B．1 C．－1 D．22、對于任意實數(shù)abcd，定義有序?qū)崝?shù)對(ab與(cd之間的運算“△”為：(a,b)(c,d)(acbd,adbc)。如果對于任意實數(shù)u,v，都有(u,v)(x,y)(u,v)，那么(x,y)為（ B 。A．(0,1) B．(1,0) C．(1,0) D．(0,1)5 3、已知A,B是兩個銳角，且滿足sin2Acos2B t，cos2Asin2B t2，則5 4 4實數(shù)t所有可能值的和為（C ）8

5

C．1 D．113 3 34、如圖，點D,E分別在△ABC的邊AB，AC上，BE，CD相交于點F，設S ＝S

＝S，S

＝S，S

＝SS

與SS

的大小關系（C ）四邊形EADF 1

BDF 2

BCF 3

CEF 4

13 2 4 AA．SS＜SS13 2 4B．SS＝SS13 2 4C．SS＞SS13 2 4D．不能確定DFE1 1 1 1 DFE5、設S＝＋＋23

＋＋ ，則4S的整數(shù)部分等于（ A ）20113A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6、兩條直角邊長分別是整數(shù)a,b（其中b2011，斜邊長是b1的個數(shù)為＿＿31＿＿。7、一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8。同時擲這5的概率是＿＿＿＿198、如圖，雙曲線y2(x0)與矩形OABC的邊xCB，BAE，F(xiàn)AF＝BFEF，則△OEF的面積為＿＿＿＿＿；329OO區(qū)域的個數(shù)為＿＿＿＿＿。28

yCEByCEBF10、設四位數(shù)abcd 滿足a3b3c3d3110cd，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)為＿＿＿。5三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11、已知關于x的一元二次方程x2cxa0的兩個整數(shù)根恰好比方程x2axb0的兩個根都大1，求abc的值。x2axb0的兩個根為α、β，其中α、β為整數(shù)，且x2cxa0的兩個整數(shù)根為α＋1、β＋1，由根與系數(shù)關系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a兩式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3∴21或23 解得：1或523

21

1

3 又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)]∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6故abc＝－3或abc＝2912H為△ABCABO1

和△BCH的外接圓⊙O2相交于點D，延長AD交CH于點P，求證：點P為CH的中點。APO2

于點QAO1HDPBCO2QO1HDPBCO2Q∴BQO2

的直徑于是CQ⊥BC，BH⊥HQ∵點H為△ABC的垂心∴AH⊥BC，BH⊥AC∴AH∥CQ，AC∥HQ，四邊形ACHQ為平行四邊形則點P為CH的中點。131，2，3，…n5個兩兩互素的不同的整數(shù)aaa1 2 3

，a，4a，其中總有一個整數(shù)是素數(shù)，求n的最大值。5n≥491，22，32，52，72，這五個整數(shù)是五個兩兩互素的不同的整5互素的不同的整數(shù)aaa1 2 3

，a，a，4 5若aaa1 2

，a，a4

都不是素數(shù)，則aaa1 2

，a，a4

中至少有四個數(shù)是合數(shù)，不妨假設aaa1 2

a為合數(shù)，4設aaa1 2

ap1，p2，p3，p44由于aaa41 2

a兩兩互素，∴p1，p2，p3，p4兩兩不同4設p是p1，p2，p3，p4中的最大數(shù)，則p≥74因為aaa1 2

a為合數(shù)，所以aaa4 1 2

a中一定存在一個4ja≥p2≥72＝49n≥49矛盾，于是aaaj1 2 3

，a，a4

中一定有一個是素數(shù)綜上所述，正整數(shù)n的最大值為48。314如圖中點P在△ABC內(nèi)且，3PB＝5，PC＝2，求△ABC的面積。解：如圖，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，則△ABQ∽△ACP，由于AB＝2AC，∴相似比為2于是，AQ＝2

，BQ＝2CP＝4 M3∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60° A3由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900 Q3于是，PQ＝ AP＝33∴BP2＝25＝BQ2＋PQ2 從而∠BQ