線性代數(shù)(第二版)第七節(jié)矩陣的秩課件

線性代數(shù)（第二版）第七節(jié)矩陣的秩線性代數(shù)（第二版）第七節(jié)矩陣的秩一、矩陣的秩的定義在§1.3介紹拉普拉斯定理時(shí)，曾給出過(guò)矩陣的利用這個(gè)概念，可以給出矩陣的秩的定義.定義1.16

如果數(shù)域F上的m

n矩陣一、矩陣的秩的定義在§1.3介紹拉普拉斯定理時(shí)，曾給出存在一個(gè)k階子式不為零，并且所有的k+1階子式全為零，則稱A

秩為k，記作r(A)=k.顯然，r(A)min(m,n);r(AT)=r(A).例１求矩陣A的秩，其中存在一個(gè)k階子式不為零，并且所有的k+1階子式全例2求矩陣B的秩，其中例2求矩陣B的秩，其中例3求矩陣C的秩，其中例3求矩陣C的秩，其中矩陣化為行階梯形矩陣,但兩個(gè)等價(jià)矩陣的秩是否從例2可知,對(duì)于一般的矩陣,當(dāng)行數(shù)與列數(shù)較高時(shí),按定義求秩的計(jì)算量很大.然而對(duì)于例3中這種形式的矩陣，它的秩就等于非零行的行數(shù),一看便知，毋需計(jì)算.因此自然想到用初等變換把下面先引進(jìn)梯矩陣的概念.相等呢?矩陣化為行階梯形矩陣,但兩個(gè)等價(jià)矩陣的秩是否從例2可知二、梯矩陣的定義t1<t2<…<tr.一個(gè)非零元所在的列號(hào)為ti,i=1,2,…,r,則

(2)

設(shè)矩陣有r個(gè)非零行,第i個(gè)非零行的第(元全為零的行)的標(biāo)號(hào);

(1)

非零行(元不全為零的行)的標(biāo)號(hào)小于零行形矩陣(或稱梯矩陣):定義

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯二、梯矩陣的定義t1<t2<…<tr.一個(gè)非零

關(guān)于行階梯形矩陣有以下結(jié)論

定理1.8

每一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)單純的初單擊這里開(kāi)始梯形矩陣.具體的例子說(shuō)明如何用初等行變換化矩陣為行階這個(gè)定理我們不作一般的證明,下面通過(guò)幾個(gè)等行變換化為行階梯形矩陣.關(guān)于行階梯形矩陣有以下結(jié)論單擊這行最簡(jiǎn)形矩陣

定義一個(gè)行階梯矩陣若滿足

(1)

每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為1;

(2)每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元所在列的其它元全為零,則稱之為行最簡(jiǎn)形矩陣.關(guān)于行最簡(jiǎn)形矩陣有以下結(jié)論

定理任何矩陣都可經(jīng)過(guò)單純的初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.換化為行最簡(jiǎn)形矩陣.任何矩陣都可經(jīng)過(guò)初等變驗(yàn)證行最簡(jiǎn)形矩陣定義一個(gè)行階梯矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形的比較我們以下面的矩陣B為例.矩陣B的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形分別如下：矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形的比較我們以下面的矩

行階梯形矩陣

其特點(diǎn)是：階梯線以下的元素全是０，臺(tái)階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個(gè)元素為非零元.

行最簡(jiǎn)形矩陣

其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為１，且這些非零元所在的列的其它元素都為０.

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

其特點(diǎn)是：左上角為一單位矩陣,其它位置上的元素全都為0.行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣三、矩陣秩的求法由前面的討論可知，用行初等變換可以把一個(gè)矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣，用初等變換可以把它化成等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.那么它們的秩有什么關(guān)系呢？可以證明下面的定理：定理1.9

初等變換不改變矩陣的秩.由定理1.8和定理1.9可得到求矩陣秩的一個(gè)有效方法：三、矩陣秩的求法由前面的討論可知，用行初等變換可以把一個(gè)矩陣

根據(jù)這兩個(gè)定理,為求矩陣的秩,只要把矩陣用初等行變換變成行階梯矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩.例4用初等變換法求矩陣A的秩，其中解根據(jù)這兩個(gè)定理,為求矩陣的秩,只要把矩例由可以得到定理1.10

n階矩陣A可逆的充分必要條件是r(A)=n.由可以得到定理1.10n階矩陣A可逆的充分必本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)線性代數(shù)（第二版）第七節(jié)矩陣的秩線性代數(shù)（第二版）第七節(jié)矩陣的秩一、矩陣的秩的定義在§1.3介紹拉普拉斯定理時(shí)，曾給出過(guò)矩陣的利用這個(gè)概念，可以給出矩陣的秩的定義.定義1.16

如果數(shù)域F上的m

n矩陣一、矩陣的秩的定義在§1.3介紹拉普拉斯定理時(shí)，曾給出存在一個(gè)k階子式不為零，并且所有的k+1階子式全為零，則稱A

秩為k，記作r(A)=k.顯然，r(A)min(m,n);r(AT)=r(A).例１求矩陣A的秩，其中存在一個(gè)k階子式不為零，并且所有的k+1階子式全例2求矩陣B的秩，其中例2求矩陣B的秩，其中例3求矩陣C的秩，其中例3求矩陣C的秩，其中矩陣化為行階梯形矩陣,但兩個(gè)等價(jià)矩陣的秩是否從例2可知,對(duì)于一般的矩陣,當(dāng)行數(shù)與列數(shù)較高時(shí),按定義求秩的計(jì)算量很大.然而對(duì)于例3中這種形式的矩陣，它的秩就等于非零行的行數(shù),一看便知，毋需計(jì)算.因此自然想到用初等變換把下面先引進(jìn)梯矩陣的概念.相等呢?矩陣化為行階梯形矩陣,但兩個(gè)等價(jià)矩陣的秩是否從例2可知二、梯矩陣的定義t1<t2<…<tr.一個(gè)非零元所在的列號(hào)為ti,i=1,2,…,r,則

(2)

設(shè)矩陣有r個(gè)非零行,第i個(gè)非零行的第(元全為零的行)的標(biāo)號(hào);

(1)

非零行(元不全為零的行)的標(biāo)號(hào)小于零行形矩陣(或稱梯矩陣):定義

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯二、梯矩陣的定義t1<t2<…<tr.一個(gè)非零

關(guān)于行階梯形矩陣有以下結(jié)論

定理1.8

每一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)單純的初單擊這里開(kāi)始梯形矩陣.具體的例子說(shuō)明如何用初等行變換化矩陣為行階這個(gè)定理我們不作一般的證明,下面通過(guò)幾個(gè)等行變換化為行階梯形矩陣.關(guān)于行階梯形矩陣有以下結(jié)論單擊這行最簡(jiǎn)形矩陣

定義一個(gè)行階梯矩陣若滿足

(1)

每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為1;

(2)每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元所在列的其它元全為零,則稱之為行最簡(jiǎn)形矩陣.關(guān)于行最簡(jiǎn)形矩陣有以下結(jié)論

定理任何矩陣都可經(jīng)過(guò)單純的初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.換化為行最簡(jiǎn)形矩陣.任何矩陣都可經(jīng)過(guò)初等變驗(yàn)證行最簡(jiǎn)形矩陣定義一個(gè)行階梯矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形的比較我們以下面的矩陣B為例.矩陣B的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形分別如下：矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形的比較我們以下面的矩

行階梯形矩陣

其特點(diǎn)是：階梯線以下的元素全是０，臺(tái)階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個(gè)元素為非零元.

行最簡(jiǎn)形矩陣

其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為１，且這些非零元所在的列的其它元素都為０.

標(biāo)準(zhǔn)形矩陣

其特點(diǎn)是：左上角為一單位矩陣,其它位置上的元素全都為0.行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣三、矩陣秩的求法由前面的討論可知，用行初等變換可以把一個(gè)矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣，用初等變換可以把它化成等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.那么它們的秩有什么關(guān)系呢？可以證明下面的定理：定理1.9

初等變換不改變矩陣的秩.由定理1.8和定理1.9可得到求矩陣秩的一個(gè)有效方法：三、矩陣秩的求法由前面的討論可知，用行初等變換可以把一個(gè)矩陣

根據(jù)這兩個(gè)定理,為求矩陣的秩,只要把矩陣用初等行變換變成行階梯矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩.例4用初等變換法求矩陣A的秩，其中解根據(jù)這兩個(gè)定理,為求矩陣的秩,只要把矩例由可以得到定理1.10

n階矩陣A可逆的充分必要條件是r(A)=n.由可以得到定理1.10n階矩陣A可逆的充分必本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本