第二章 三類典型的偏微分方程概要課件

三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程

一根緊拉著的均勻柔軟弦，長為l，兩端固定在X軸上O、L兩點，當它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小橫向振動時，求這根弦上各點的運動規(guī)律。OLxy2.1波動方程☆

一維波動方程

最典型的一維波動問題是均勻弦的橫向振動問題。一根緊拉著的均勻柔軟弦，長為l，兩端固定在X軸上O、

討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動。不受外力影響。研究對象：線上某點在t

時刻沿垂直方向的位移。討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題簡化假設(shè)：

由于弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。在弦上任取一小段它的弧長為：由于假定弦在平衡位置附近做微小振動，很小，從而

可以認為這段弦在振動中沒有伸長，由胡克定律可知，弦上每一點所受張力在運動過程中保持不變，與時間無關(guān)。即點處的張力記為。

由于振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。簡化假設(shè)：由于弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的橫向：其中：

作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)牛頓運動定律，寫出它們的表達式和平衡條件。

也就是說，張力

是一個常數(shù)。橫向：橫向：其中：作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面由中值定理：縱向：由中值定理：縱向：………一維波動方程令：------非齊次方程自由項------齊次方程忽略重力作用：a就是弦的振動傳播速度………一維波動方程令：------非齊次方程自由項-----假設(shè)外力在處外力密度為：方向垂直于軸。等號兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點處所受外力。當存在外力作用時：等號兩邊除以等號兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點處所受外力。當存

弦振動方程中只含有兩個自變量：。由于它描寫的是弦的振動，因而它又稱為一維波動方程。類似可以導(dǎo)出二維波動方程（如膜振動）和三維波動方程，它們的形式分別為：二維波動方程：三維波動方程：弦振動方程中只含有兩個自變量：。由于它

建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程。由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對所研究的對象能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化?？偨Y(jié)：建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程。總結(jié)：☆均勻桿的縱振動

考慮一均勻細桿，沿桿長方向作微小振動。假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點的振動情況(即偏移平衡位置位移)完全相同。試寫出桿的振動方程。在任一時刻t，此截面相對于平衡位置的位移為u(x,t)。在桿中隔離出一小段(x,x+dx)，分析受力：☆均勻桿的縱振動考慮一均勻細桿，沿桿長方向作微小振通過截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用通過截面x+dx受到彈性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)為單位面積所受的彈性力(應(yīng)力)，沿x方向為正．根據(jù)Newton第二定律，就得到：根據(jù)胡克定律通過截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用根據(jù)Newton第☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：動力學(xué)方程連續(xù)性方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，u是一階小量，是二階小量☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力代入得對t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程。代入得對t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程?！铎o止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動方程式中：水面波高為ξ為聲波速度

水波速度為☆靜止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動方程式中：水2.2擴散方程

問題：一根長為l的均勻?qū)峒殫U，截面為一個單位面積。側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。AB☆一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當導(dǎo)熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。2.2擴散方程問題：一根長為l所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長方向為x

軸，考慮桿上從到的一段(代表)，設(shè)桿中溫度分布為滿足的物理規(guī)律：均勻物體：物體的密度為常數(shù)各向同性：物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)假設(shè)條件：所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長方向為x軸，考慮桿上從到的利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來建立熱傳導(dǎo)方程。

由Fourier熱力學(xué)定律，單位時間內(nèi)通過A端面的熱量為：單位時間內(nèi)通過B端面的熱量為：利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來建立熱傳導(dǎo)方在dt

時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量在任意時段內(nèi)，同時在此時段內(nèi),微元內(nèi)各點的溫度由流入微元的熱量

升高為

在dt時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量在任意時段內(nèi)，同時為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：

由和的任意性可得為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：由和的任意性可得即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中

分析：設(shè)熱源強度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt。即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中分析：設(shè)熱根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱場☆三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：三維熱傳導(dǎo)方程熱場有熱源三維熱傳導(dǎo)方程流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變☆一維濃度擴散方程☆動量輸運方程C為物質(zhì)濃度，λ為擴散系數(shù)。u為速度，fx為流體體積力，ν

為流體粘性系數(shù)。

顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴散、動量輸運這些過程屬于同一類物理現(xiàn)象，可用同一類型方程來描述?！钜痪S濃度擴散方程☆動量輸運方程C為物質(zhì)濃度，λ為擴散系2.3穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程)

穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，表征物理過程達到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。熱傳導(dǎo)問題，控制方程為：設(shè)場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為f(x,y,z)

流場溫度不隨時間變化，即T=T(x,y,z)

則有2.3穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程)穩(wěn)態(tài)問題也是自這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。如果場內(nèi)無熱源，g(x,y,z,t)=0，則有：這個方程又稱為拉普拉斯方程。其中：這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。如果場內(nèi)無熱源，g(x,y

又如在理想勢流場中，存在速度勢φ(x,y,z)，速度與φ(x,y,z)的關(guān)系為：帶入連續(xù)方程中

由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征穩(wěn)態(tài)問題的控制方程。得又如在理想勢流場中，存在速度勢φ(x,y三類典型的偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導(dǎo)問題和擴散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程（穩(wěn)態(tài)方程）三類典型的偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程

一根緊拉著的均勻柔軟弦，長為l，兩端固定在X軸上O、L兩點，當它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小橫向振動時，求這根弦上各點的運動規(guī)律。OLxy2.1波動方程☆

一維波動方程

最典型的一維波動問題是均勻弦的橫向振動問題。一根緊拉著的均勻柔軟弦，長為l，兩端固定在X軸上O、

討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動。不受外力影響。研究對象：線上某點在t

時刻沿垂直方向的位移。討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題簡化假設(shè)：

由于弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。在弦上任取一小段它的弧長為：由于假定弦在平衡位置附近做微小振動，很小，從而

可以認為這段弦在振動中沒有伸長，由胡克定律可知，弦上每一點所受張力在運動過程中保持不變，與時間無關(guān)。即點處的張力記為。

由于振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。簡化假設(shè)：由于弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的橫向：其中：

作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)牛頓運動定律，寫出它們的表達式和平衡條件。

也就是說，張力

是一個常數(shù)。橫向：橫向：其中：作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面由中值定理：縱向：由中值定理：縱向：………一維波動方程令：------非齊次方程自由項------齊次方程忽略重力作用：a就是弦的振動傳播速度………一維波動方程令：------非齊次方程自由項-----假設(shè)外力在處外力密度為：方向垂直于軸。等號兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點處所受外力。當存在外力作用時：等號兩邊除以等號兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點處所受外力。當存

弦振動方程中只含有兩個自變量：。由于它描寫的是弦的振動，因而它又稱為一維波動方程。類似可以導(dǎo)出二維波動方程（如膜振動）和三維波動方程，它們的形式分別為：二維波動方程：三維波動方程：弦振動方程中只含有兩個自變量：。由于它

建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程。由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對所研究的對象能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化?？偨Y(jié)：建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程?？偨Y(jié)：☆均勻桿的縱振動

考慮一均勻細桿，沿桿長方向作微小振動。假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點的振動情況(即偏移平衡位置位移)完全相同。試寫出桿的振動方程。在任一時刻t，此截面相對于平衡位置的位移為u(x,t)。在桿中隔離出一小段(x,x+dx)，分析受力：☆均勻桿的縱振動考慮一均勻細桿，沿桿長方向作微小振通過截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用通過截面x+dx受到彈性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)為單位面積所受的彈性力(應(yīng)力)，沿x方向為正．根據(jù)Newton第二定律，就得到：根據(jù)胡克定律通過截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用根據(jù)Newton第☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：動力學(xué)方程連續(xù)性方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，u是一階小量，是二階小量☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力代入得對t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程。代入得對t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程。☆靜止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動方程式中：水面波高為ξ為聲波速度

水波速度為☆靜止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動方程式中：水2.2擴散方程

問題：一根長為l的均勻?qū)峒殫U，截面為一個單位面積。側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。AB☆一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當導(dǎo)熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。2.2擴散方程問題：一根長為l所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長方向為x

軸，考慮桿上從到的一段(代表)，設(shè)桿中溫度分布為滿足的物理規(guī)律：均勻物體：物體的密度為常數(shù)各向同性：物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)假設(shè)條件：所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長方向為x軸，考慮桿上從到的利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來建立熱傳導(dǎo)方程。

由Fourier熱力學(xué)定律，單位時間內(nèi)通過A端面的熱量為：單位時間內(nèi)通過B端面的熱量為：利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來建立熱傳導(dǎo)方在dt

時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量在任意時段內(nèi)，同時在此時段內(nèi),微元內(nèi)各點的溫度由流入微元的熱量

升高為

在dt時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量在任意時段內(nèi)，同時為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：

由和的任意性可得為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：由和的任意性可得即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中

分析：設(shè)熱源強度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt。即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中分析：設(shè)熱根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱場☆三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：三維熱傳導(dǎo)方程熱場有熱源三維熱傳導(dǎo)方程流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生