材料力學復習：Chapt07課件

Purposeofthischapter:1Stiffnessofbeam梁剛度2Staticallyindeterminatebeam

靜不定梁3ProblemsofStability穩(wěn)定問題Lastchapter:1Internalforceofbeam2Stressandstrengthanalysisofbeam3Purposeofthischapter:1Sti1Chapter7DeflectionsofBeams

梁的變形

§1Introduction引言

§2Differentialequationofbeamdeflection梁變形微分方程

§3Integrationmethodtocalculatedeflections計算梁位移的積分法

§4

Macaulay'smethodtocalculatedeflections計算梁位移的奇異函數法

§5

Methodofsuperpositiontocalculatedeflections

計算梁位移的疊加法

§6

StaticallyIndeterminateBeams靜不定梁

§7

Stiffnessanalysisanddesignofbeams梁的剛度條件與合理設計Chapter7DeflectionsofBeams2§1Introduction引言

Deflectioncurve

撓曲軸

Deflectionandslope

撓度與轉角§1Introduction引言Deflection3deflectioncurve撓曲軸

Neglectingtheeffectofshearforces,theentiretransversesectionofthebeam,remainsplaneandnormaltothedeflectioncurve忽略剪力對彎曲變形的影響,因而橫截面仍保持平面,并與撓曲軸正交撓曲軸

Theaxisofabeamthatisbentintoanarc,iscalleddeflectioncurve(變彎后的梁軸稱為撓曲軸)

Underthecaseofsymmetricbending,thedeflectioncurveisintheplaneofsymmetry對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向對稱面的平面曲線deflectioncurve撓曲軸Neg4Deflectionandslope撓度與轉角撓曲軸轉角－撓度Simplification:(smalldeflection小變形)Deflection(撓度)－

verticaldisplacementofcentroidofcrosssection

(橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移)－撓曲軸方程Slope(轉角)－angleofrotationofcrosssection(橫截面繞中性軸的轉角)－轉角方程（Neglecttheeffectofshearforces忽略剪力影響）（rad）小變形的條件下，水平位移比撓度小得多，可以略而不計。Deflectionandslope撓度與轉角撓曲5§2Differentialequationofbeamdeflection

梁變形微分方程

Differentialequationofdeflectioncurve撓曲軸微分方程

ApproximateDifferentialequationofdeflectioncurve撓曲軸近似微分方程§2Differentialequationofbe6Differentialequationofdeflectioncurve

撓曲軸微分方程（purebending純彎）（推廣到非純彎non-uniformbending）

w－deflection撓度smax<sp－Differentialequationofdeflectioncurve

撓曲軸微分方程Curvatureoftheneutralsurface中性層曲率:Math數學:

Differentialequationofdefle7ApproximateDifferentialequationofdeflectioncurve撓曲軸近似微分方程Smalldeflection

：－Approximatedifferentialequationofdeflectioncurve撓曲軸近似微分方程Simplification簡化:(數學)

(材力)

ApproximateDifferentialequ8Withinlinearlyelasticrange

Undersmalldeflection小變形NeglecteffectofFs(slenderbar)

Ifwispositivewheninthedownwarddirection當坐標軸w向下時：Theconditionsofaboveequationtobevalid應用條件：wispositivewhenintheupwarddirection坐標軸

w

向上Withinlinearlyelasticrang9§3

Integrationmethodtocalculatedeflections

計算梁位移的積分法Integrationandboundaryconditionsofthedifferentialequation微分方程的積分與邊界條件Integrationmethodtocalculatedeflectionsofbeam積分法求梁位移Examples例題§3Integrationmethodtocalcu10Integrationandboundaryconditionsofthedifferentialequation

撓曲軸微分方程的積分與邊界條件約束處位移應滿足的條件梁段交接處位移應滿足的條件－boundaryconditions邊界條件－interfacecontinuumconditions連續(xù)條件Theconstantsofintegrationcanbefoundbyboundary(andinterface)conditions(利用位移邊界與連續(xù)條件確定積分常數)C,D:constantsofintegrationIntegrationandboundarycondi11Pinorrollersupport(鉸支座):

wC=0Interfacecontinuumconditions(連續(xù)條件):Fixedsupport(固定端):wA=0,θA=0ABCDPEPinorrollersupport(鉸支座):12Integrationmethodtocalculatedeflectionsofbeam積分法求梁位移TofindtheslopeofsectionA，EI=const(常數)計算圖示梁截面

A

的轉角Establishandintegratethe

differentialequationofdeflection

建立撓曲軸微分方程并積分Integrationmethodtocalcul13

Theconstantsofintegrationcanbefoundbyboundaryconditions利用邊界條件確定積分常數Slope轉角由條件

(1),(2)

與式

(b)，得（）Theconstantsofintegration14Protractionofdeflectioncurve撓曲軸的繪制Differentialequation撓曲軸微分方程Boundaryconditions位移邊界條件與連續(xù)條件ProtractionofdeflectioncurveConstructMdiagram畫

M圖Determinethepositionofdeflectioncurvebyboundaryconditions由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置Determinetheshapeofdeflectioncurve確定撓曲軸的形狀(由M圖的正、負、零點或零值區(qū)，確定撓曲軸的凹、凸、拐點或直線區(qū))Protractionofdeflection15Examples例題TofindthedeflectionandslopeofsectionB，EI=const(常數)試計算截面

B

的撓度與轉角Abeaminpurebending解:彎矩方程撓曲軸近似微分方程邊界條件ABExamples例題Tofindthedefl16求撓曲軸微分方程,列撓曲線的位移邊界和連續(xù)條件AB段：BC段:ABC(連續(xù)條件)

(光滑條件)

(邊界條件)

位移邊界條件和連續(xù)條件

四個方程定4個常數求撓曲軸微分方程,列撓曲線的位移邊界和連續(xù)條件AB段：BC段17Examples例題解：1.建立撓曲軸微分方程并積分TofindthedeflectionandslopeofsectionC，EI=const(常數)試計算截面

C

的撓度與轉角Examples例題解：1.建立撓曲軸微分方程并182.確定積分常數位移邊界條件：位移連續(xù)條件：2.確定積分常數位移邊界條件：位移連續(xù)條件：193.截面C的撓度與轉角（）（）3.截面C的撓度與轉角（）（）20例：1.畫剪力彎矩圖2.列撓曲線的位移和連續(xù)條件3.畫撓曲線大致形狀(注明凹凸性與拐點)位移與連續(xù)條件+_FsADBCD凹凸凹直線大致形狀AC+M_例：1.畫剪力彎矩圖位移與連續(xù)條件+_FsADBCD凹凸凹直21例繪制圖示梁撓曲軸的大致形狀F=qa例繪制圖示梁撓曲軸的大致形狀F=qa22§4

Macaulay'smethodtocalculatedeflections計算梁位移的奇異函數法

Singularityfunctions奇異函數

Generalequationofbendingmoment彎矩通用方程

Generalequationofbeamdeflection梁位移通用方程Examples例題§4Macaulay'smethodtocalcu23Singularityfunctions奇異函數Findingdeflectionofbeamwithmanysubsectionsbyintegrationmethod,manyconstantsofintegrationshouldbefoundbyboundaryandinterfaceconditions當需分段求解梁的撓度時，用積分法求解需要由各段邊界條件確定許多積分常數。DefinitionofMacaulaybracketsSingularityfunctions奇異函數（MacaulayFunction麥考利函數）Singularityfunctions奇異函數Fi24Generalequationofbendingmoment彎矩通用方程用奇異函數建立最后梁段

DE

的彎矩方程：適用于各梁段。例如

BC

段（l1,l2）Generalequationofbending25Generalequationofbeamdeflection梁位移通用方程適用于任一梁段，僅包括兩個積分常數，由邊界條件確定Generalequationofbeamdef26例題例4-1求最大撓度，EI=常數解：1.建立撓曲軸微分方程并積分例題例4-1求最大撓度，EI=常數解：1.272.建立撓曲軸通用方程3.最大撓度分析（）（當

a

>

b

時）2.建立撓曲軸通用方程3.最大撓度分析（）（當a28例4-2計算截面A的撓度解：（）例4-2計算截面A的撓度解：（）29例4-3建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件解：例4-3建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件解：30§5

Methodofsuperpositiontocalculatedeflections

計算梁位移的疊加法

Methodofsuperposition(I)疊加法(I)

Methodofsuperposition(II)疊加法(II)(逐段變形效應疊加法)Examples例題§5Methodofsuperpositionto31Methodofsuperposition(I)疊加法Thedeflectionofthebeamcausedbyseveraldifferentloadsactingsimultaneouslycanbefoundbysuperimposingthedeflectionscausedbytheloadsactingseparately.當梁上同時作用幾個載荷時的總位移，等于各載荷單獨作用時在該截面引起的位移的代數和或矢量和分解載荷分別計算位移求位移之和Methodofsuperposition(I)疊32)()(

xwxwwqF+=So：（Smalldeflection小變形,Withinlinearlyelasticrange比例極限內）Theconditionsofmethodofsuperpositiontobevalid:Loadanddeformationkeepslinearrelationship疊加法適用范圍：力與位移之間的線性關系(小變形，比例極限內)兩類情況：疊加單個載荷引起的位移;疊加分段變形引起的位移)()(xwxwwqF+=So：（Smalldef33Methodofsuperposition(II)

逐段變形效應疊加法Resolve分解Calculatethedeflectioncausedbythedeformationofeachsectionofthebeam分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移Summationofdisplacement位移之和（代數和或矢量和）注意：分段計算時，除所研究梁段變形外，其余梁段均視為剛體廣義迭加法（GeneralizedSuperpositionMethod）Methodofsuperposition(II)34Known：EI=const常數Tofind:wACBqAla

CBqA零彎矩，不變形ACBq相當于懸臂梁SolutionI:Known：EI=const常數Tofind:wACBq35Known：EI=const常數Tofind:wA剛化AB段CBqAla剛化BC段CBqAACBqF=qaCBqASolutionII:Known：EI=const常數Tofind:wA剛化A36例題例6-6

q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求wB=?解：(）(）例題例6-6q(x)=q0cos(px/2l)37例6-8解：剛化BC段剛化AB段例6-8解：剛化BC段剛化AB段38例求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況解：例求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況解：39利用對稱性求簡支梁與懸臂梁的變形關系

CAPBl/2l/2

令l→2l,P→2PBPlCAPBll2PP

利用對稱性求簡支梁與懸臂梁的變形關系CAPBl/2l40PM=PaP習題6-14(b)CAFBaaaaCPAaa僅考慮2段變形：僅考慮1段變形：PM=PaP習題6-14(b)CAFBaaaaCP41求C點撓度與轉角

對稱反對稱,C點撓度為0,彎矩為0CaqABaABaaq/2ABaaq/2q/2aq/2求C點撓度與轉角對稱反對稱,C點撓度為0,彎矩為0Ca42例:求AB組合梁的變形分析AqCB例:求AB組合梁的變形分析AqCB43用疊加法求AB梁上E處的撓度wE1wE2簡支梁中點撓度用疊加法求AB梁上E處的撓度wE1wE2簡支梁中點撓度44剛化BC，CD為懸臂梁剛化CD，BC看作懸臂梁剛化BC，CD為懸臂梁剛化CD，BC看作懸臂梁45DeterminetheslopeanddisplacementofendDofthecantileveredbeamsubjectedtotwouniformlydistributedloads.DisplacementatD:wherewhereSlopeatD:

TheslopeanddisplacementofpointCaredeterminedbymodelingthebeamasacantileveredbeamoflength2a.BetweenpointsCandDthebeamremainsstraightTheslopeanddisplacementofpointBaredeterminedbymodelingthebeamasacantileveredbeamoflengtha.BetweenpointsBandDthebeamremainsstraight.Determinetheslopeanddispla46材料力學復習：Chapt07課件47位移與變形的相依關系

比較二梁的受力、彎矩、變形與位移位移除與變形有關外，還與約束有關;總體變形是微段變形累加的結果;有位移不一定有變形;有變形不一定處處有位移。位移與變形的相依關系比較二梁的受力、彎矩、變形與位移位移除48§6

StaticallyIndeterminateBeams

靜不定梁(超靜定梁)

Degreeofstaticalindeterminacyandredundantconfinement靜不定度與多余約束

Analyticalmethodofsimplystaticallyindeterminatebeams簡單靜不定梁分析方法

Examples例題§6StaticallyIndeterminateBe49Degreeofstaticalindeterminacyandredundantconfinement

靜不定度與多余約束Redundantconfinement多余約束Redundantreaction多余反力Degreeofstaticalindeterminacy:Thenumberofreactionsinaccessofthenumberthatcanbefoundfromequationsofstaticequilibrium靜不定度

＝支反力（力偶）數－有效平衡方程數靜不定度＝多余約束數4-3=1度靜不定5-3

=

2度靜不定約束多余約束：增加了未知力個數，同時增加對變形的限制與約束，前者使問題變?yōu)椴豢山?，后者使問題變?yōu)榭山?。Degreeofstaticalindetermina50Analyticalmethodofsimplystaticallyindeterminatebeams

簡單靜不定梁分析方法ChooseFbyasredundantreaction

選

Fby

為多余力－compatibleequation變形協調條件－physicalequation物理方程－complementaryequation補充方程－staticequilibrium

平衡方程Onedegreeofstaticalindeterminacy一度靜不定Example綜合考慮三方面Tofind:reactionsofthebeam求梁的支反力Analyticalmethodofsimply51判斷梁的靜不定度用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－所謂相當系統計算相當系統在多余約束處的位移，并根據變形協調條件建立補充方程由補充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力相當系統通過相當系統計算內力、位移與應力等求解依據－綜合考慮三方面求解關鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當系統判斷梁的靜不定度用多余力代替多余約束的作用，得受52例6-9Tofind:Reactions1.

Analysis

小變形，水平反力忽略不計2.

SolutionRedundantreaction多余未知力:2例題例6-9Tofind:Reactions1.An53Discussion:(3)Initialstress(2)Choicesofredundantreaction(1)Whena=b,it’ssymmetricproblem:OnlyoneofthecomplementaryequationisneededtofindMAorMBDiscussion:(3)Initials54例6-11直徑為d

的圓截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：例6-11直徑為d的圓截面梁,支座B下沉d，s55例6-10懸臂梁

AB，用短梁

DG

加固，試分析加固效果解：1.靜不定分析2.加固效果分析與

Fa

相比，減少50%與

相比，減少39.9%例6-10懸臂梁AB，用短梁DG加固，試分析加56例試求桿

BC

的軸力解：梁截面形心的軸向位移一般忽略不計如計及梁截面形心的軸向位移，如何求解?例試求桿BC的軸力解：梁截面形心的軸向位移一般忽略不57ABCDaM0aaCFAyM0ADFAyTofindreactionsABCDaM0aaCFAyM0ADFAyTofindre58Tofind:deflectionofpointB(B點位移)CABqCDlaaABqRRRDRBDABRqaqa2/2Tofind:deflectionofpointB59習題7-28：已知彎曲剛度EI，梁單位長度重q，外伸長a,求拱起部分b。ABabCABCMC工程問題：力學分析與力學模型求解ABC段的力學分析：位移的約束條件：力：(1)懸臂梁+B點多余約束(2)簡支梁:未知量b，多余約束近似解法:忽略摩擦；剛性支撐？

習題7-28：已知彎曲剛度EI，梁單位長度重q，外伸長a,求60§7Stiffnessanalysisanddesignofbeams

梁的剛度條件與合理設計

Stiffnessanalysisofbeams梁的剛度條件

Designofbeamswithconsiderationofstiffness梁的合理剛度設計

Examples例題§7Stiffnessanalysisanddesi61Stiffnessanalysisofbeams梁的剛度條件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑動軸承處Stiffnessanalysisofbeams梁62Designofbeamswithconsiderationofstiffness梁的合理剛度設計Selectionofabeamcrosssection

選擇橫截面形狀SelectionofMaterial

材料的合理選擇使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學性能是

E

，為提高剛度，宜選用E

較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同Designofbeamswithconside63

Selectionofbeamlength梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導致撓度顯著改變例如

l

縮短

20％，dmax

將減少

48.8%Selectionofbeamlength梁跨度的64Arrangementofrestrictionsandloads合理安排約束與加載方式q=F/l增加約束，制作成靜不定梁Arrangementofrestrictions65Examples例題例7-1已知

F

=

35

kN，l

=

4

m，[s

]=

160

MPa，[d

]=l/500，E

=

200

GPa，試選擇工字鋼型號。解：Examples例題例7-1已知F=3566Thanks！Thanks！67Purposeofthischapter:1Stiffnessofbeam梁剛度2Staticallyindeterminatebeam

靜不定梁3ProblemsofStability穩(wěn)定問題Lastchapter:1Internalforceofbeam2Stressandstrengthanalysisofbeam3Purposeofthischapter:1Sti68Chapter7DeflectionsofBeams

梁的變形

§1Introduction引言

§2Differentialequationofbeamdeflection梁變形微分方程

§3Integrationmethodtocalculatedeflections計算梁位移的積分法

§4

Macaulay'smethodtocalculatedeflections計算梁位移的奇異函數法

§5

Methodofsuperpositiontocalculatedeflections

計算梁位移的疊加法

§6

StaticallyIndeterminateBeams靜不定梁

§7

Stiffnessanalysisanddesignofbeams梁的剛度條件與合理設計Chapter7DeflectionsofBeams69§1Introduction引言

Deflectioncurve

撓曲軸

Deflectionandslope

撓度與轉角§1Introduction引言Deflection70deflectioncurve撓曲軸

Neglectingtheeffectofshearforces,theentiretransversesectionofthebeam,remainsplaneandnormaltothedeflectioncurve忽略剪力對彎曲變形的影響,因而橫截面仍保持平面,并與撓曲軸正交撓曲軸

Theaxisofabeamthatisbentintoanarc,iscalleddeflectioncurve(變彎后的梁軸稱為撓曲軸)

Underthecaseofsymmetricbending,thedeflectioncurveisintheplaneofsymmetry對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向對稱面的平面曲線deflectioncurve撓曲軸Neg71Deflectionandslope撓度與轉角撓曲軸轉角－撓度Simplification:(smalldeflection小變形)Deflection(撓度)－

verticaldisplacementofcentroidofcrosssection

(橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移)－撓曲軸方程Slope(轉角)－angleofrotationofcrosssection(橫截面繞中性軸的轉角)－轉角方程（Neglecttheeffectofshearforces忽略剪力影響）（rad）小變形的條件下，水平位移比撓度小得多，可以略而不計。Deflectionandslope撓度與轉角撓曲72§2Differentialequationofbeamdeflection

梁變形微分方程

Differentialequationofdeflectioncurve撓曲軸微分方程

ApproximateDifferentialequationofdeflectioncurve撓曲軸近似微分方程§2Differentialequationofbe73Differentialequationofdeflectioncurve

撓曲軸微分方程（purebending純彎）（推廣到非純彎non-uniformbending）

w－deflection撓度smax<sp－Differentialequationofdeflectioncurve

撓曲軸微分方程Curvatureoftheneutralsurface中性層曲率:Math數學:

Differentialequationofdefle74ApproximateDifferentialequationofdeflectioncurve撓曲軸近似微分方程Smalldeflection

：－Approximatedifferentialequationofdeflectioncurve撓曲軸近似微分方程Simplification簡化:(數學)

(材力)

ApproximateDifferentialequ75Withinlinearlyelasticrange

Undersmalldeflection小變形NeglecteffectofFs(slenderbar)

Ifwispositivewheninthedownwarddirection當坐標軸w向下時：Theconditionsofaboveequationtobevalid應用條件：wispositivewhenintheupwarddirection坐標軸

w

向上Withinlinearlyelasticrang76§3

Integrationmethodtocalculatedeflections

計算梁位移的積分法Integrationandboundaryconditionsofthedifferentialequation微分方程的積分與邊界條件Integrationmethodtocalculatedeflectionsofbeam積分法求梁位移Examples例題§3Integrationmethodtocalcu77Integrationandboundaryconditionsofthedifferentialequation

撓曲軸微分方程的積分與邊界條件約束處位移應滿足的條件梁段交接處位移應滿足的條件－boundaryconditions邊界條件－interfacecontinuumconditions連續(xù)條件Theconstantsofintegrationcanbefoundbyboundary(andinterface)conditions(利用位移邊界與連續(xù)條件確定積分常數)C,D:constantsofintegrationIntegrationandboundarycondi78Pinorrollersupport(鉸支座):

wC=0Interfacecontinuumconditions(連續(xù)條件):Fixedsupport(固定端):wA=0,θA=0ABCDPEPinorrollersupport(鉸支座):79Integrationmethodtocalculatedeflectionsofbeam積分法求梁位移TofindtheslopeofsectionA，EI=const(常數)計算圖示梁截面

A

的轉角Establishandintegratethe

differentialequationofdeflection

建立撓曲軸微分方程并積分Integrationmethodtocalcul80

Theconstantsofintegrationcanbefoundbyboundaryconditions利用邊界條件確定積分常數Slope轉角由條件

(1),(2)

與式

(b)，得（）Theconstantsofintegration81Protractionofdeflectioncurve撓曲軸的繪制Differentialequation撓曲軸微分方程Boundaryconditions位移邊界條件與連續(xù)條件ProtractionofdeflectioncurveConstructMdiagram畫

M圖Determinethepositionofdeflectioncurvebyboundaryconditions由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置Determinetheshapeofdeflectioncurve確定撓曲軸的形狀(由M圖的正、負、零點或零值區(qū)，確定撓曲軸的凹、凸、拐點或直線區(qū))Protractionofdeflection82Examples例題TofindthedeflectionandslopeofsectionB，EI=const(常數)試計算截面

B

的撓度與轉角Abeaminpurebending解:彎矩方程撓曲軸近似微分方程邊界條件ABExamples例題Tofindthedefl83求撓曲軸微分方程,列撓曲線的位移邊界和連續(xù)條件AB段：BC段:ABC(連續(xù)條件)

(光滑條件)

(邊界條件)

位移邊界條件和連續(xù)條件

四個方程定4個常數求撓曲軸微分方程,列撓曲線的位移邊界和連續(xù)條件AB段：BC段84Examples例題解：1.建立撓曲軸微分方程并積分TofindthedeflectionandslopeofsectionC，EI=const(常數)試計算截面

C

的撓度與轉角Examples例題解：1.建立撓曲軸微分方程并852.確定積分常數位移邊界條件：位移連續(xù)條件：2.確定積分常數位移邊界條件：位移連續(xù)條件：863.截面C的撓度與轉角（）（）3.截面C的撓度與轉角（）（）87例：1.畫剪力彎矩圖2.列撓曲線的位移和連續(xù)條件3.畫撓曲線大致形狀(注明凹凸性與拐點)位移與連續(xù)條件+_FsADBCD凹凸凹直線大致形狀AC+M_例：1.畫剪力彎矩圖位移與連續(xù)條件+_FsADBCD凹凸凹直88例繪制圖示梁撓曲軸的大致形狀F=qa例繪制圖示梁撓曲軸的大致形狀F=qa89§4

Macaulay'smethodtocalculatedeflections計算梁位移的奇異函數法

Singularityfunctions奇異函數

Generalequationofbendingmoment彎矩通用方程

Generalequationofbeamdeflection梁位移通用方程Examples例題§4Macaulay'smethodtocalcu90Singularityfunctions奇異函數Findingdeflectionofbeamwithmanysubsectionsbyintegrationmethod,manyconstantsofintegrationshouldbefoundbyboundaryandinterfaceconditions當需分段求解梁的撓度時，用積分法求解需要由各段邊界條件確定許多積分常數。DefinitionofMacaulaybracketsSingularityfunctions奇異函數（MacaulayFunction麥考利函數）Singularityfunctions奇異函數Fi91Generalequationofbendingmoment彎矩通用方程用奇異函數建立最后梁段

DE

的彎矩方程：適用于各梁段。例如

BC

段（l1,l2）Generalequationofbending92Generalequationofbeamdeflection梁位移通用方程適用于任一梁段，僅包括兩個積分常數，由邊界條件確定Generalequationofbeamdef93例題例4-1求最大撓度，EI=常數解：1.建立撓曲軸微分方程并積分例題例4-1求最大撓度，EI=常數解：1.942.建立撓曲軸通用方程3.最大撓度分析（）（當

a

>

b

時）2.建立撓曲軸通用方程3.最大撓度分析（）（當a95例4-2計算截面A的撓度解：（）例4-2計算截面A的撓度解：（）96例4-3建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件解：例4-3建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件解：97§5

Methodofsuperpositiontocalculatedeflections

計算梁位移的疊加法

Methodofsuperposition(I)疊加法(I)

Methodofsuperposition(II)疊加法(II)(逐段變形效應疊加法)Examples例題§5Methodofsuperpositionto98Methodofsuperposition(I)疊加法Thedeflectionofthebeamcausedbyseveraldifferentloadsactingsimultaneouslycanbefoundbysuperimposingthedeflectionscausedbytheloadsactingseparately.當梁上同時作用幾個載荷時的總位移，等于各載荷單獨作用時在該截面引起的位移的代數和或矢量和分解載荷分別計算位移求位移之和Methodofsuperposition(I)疊99)()(

xwxwwqF+=So：（Smalldeflection小變形,Withinlinearlyelasticrange比例極限內）Theconditionsofmethodofsuperpositiontobevalid:Loadanddeformationkeepslinearrelationship疊加法適用范圍：力與位移之間的線性關系(小變形，比例極限內)兩類情況：疊加單個載荷引起的位移;疊加分段變形引起的位移)()(xwxwwqF+=So：（Smalldef100Methodofsuperposition(II)

逐段變形效應疊加法Resolve分解Calculatethedeflectioncausedbythedeformationofeachsectionofthebeam分別計算各梁段的變形在需求位移處引起的位移Summationofdisplacement位移之和（代數和或矢量和）注意：分段計算時，除所研究梁段變形外，其余梁段均視為剛體廣義迭加法（GeneralizedSuperpositionMethod）Methodofsuperposition(II)101Known：EI=const常數Tofind:wACBqAla

CBqA零彎矩，不變形ACBq相當于懸臂梁SolutionI:Known：EI=const常數Tofind:wACBq102Known：EI=const常數Tofind:wA剛化AB段CBqAla剛化BC段CBqAACBqF=qaCBqASolutionII:Known：EI=const常數Tofind:wA剛化A103例題例6-6

q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求wB=?解：(）(）例題例6-6q(x)=q0cos(px/2l)104例6-8解：剛化BC段剛化AB段例6-8解：剛化BC段剛化AB段105例求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況解：例求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況解：106利用對稱性求簡支梁與懸臂梁的變形關系

CAPBl/2l/2

令l→2l,P→2PBPlCAPBll2PP

利用對稱性求簡支梁與懸臂梁的變形關系CAPBl/2l107PM=PaP習題6-14(b)CAFBaaaaCPAaa僅考慮2段變形：僅考慮1段變形：PM=PaP習題6-14(b)CAFBaaaaCP108求C點撓度與轉角

對稱反對稱,C點撓度為0,彎矩為0CaqABaABaaq/2ABaaq/2q/2aq/2求C點撓度與轉角對稱反對稱,C點撓度為0,彎矩為0Ca109例:求AB組合梁的變形分析AqCB例:求AB組合梁的變形分析AqCB110用疊加法求AB梁上E處的撓度wE1wE2簡支梁中點撓度用疊加法求AB梁上E處的撓度wE1wE2簡支梁中點撓度111剛化BC，CD為懸臂梁剛化CD，BC看作懸臂梁剛化BC，CD為懸臂梁剛化CD，BC看作懸臂梁112DeterminetheslopeanddisplacementofendDofthecantileveredbeamsubjectedtotwouniformlydistributedloads.DisplacementatD:wherewhereSlopeatD:

TheslopeanddisplacementofpointCaredeterminedbymodelingthebeamasacantileveredbeamoflength2a.BetweenpointsCandDthebeamremainsstraightTheslopeanddisplacementofpointBaredeterminedbymodelingthebeamasacantileveredbeamoflengtha.BetweenpointsBandDthebeamremainsstraight.Determinetheslopeanddispla113材料力學復習：Chapt07課件114位移與變形的相依關系

比較二梁的受力、彎矩、變形與位移位移除與變形有關外，還與約束有關;總體變形是微段變形累加的結果;有位移不一定有變形;有變形不一定處處有位移。位移與變形的相依關系比較二梁的受力、彎矩、變形與位移位移除115§6

StaticallyIndeterminateBeams

靜不定梁(超靜定梁)

Degreeofstaticalindeterminacyandredundantconfinement靜不定度與多余約束

Analyticalmethodofsimplystaticallyindeterminatebeams簡單靜不定梁分析方法

Examples例題§6StaticallyIndeterminateBe116Degreeofstaticalindeterminacyandredundantconfinement

靜不定度與多余約束Redundantconfinement多余約束Redundantreaction多余反力Degreeofstaticalindeterminacy:Thenumberofreactionsinaccessofthenumberthatcanbefoundfromequationsofstaticequilibrium靜不定度

＝支反力（力偶）數－有效平衡方程數靜不定度＝多余約束數4-3=1度靜不定5-3

=

2度靜不定約束多余約束：增加了未知力個數，同時增加對變形的限制與約束，前者使問題變?yōu)椴豢山猓笳呤箚栴}變?yōu)榭山?。Degreeofstaticalindetermina117Analyticalmethodofsimplystaticallyindeterminatebeams

簡單靜不定梁分析方法ChooseFbyasredundantreaction

選

Fby

為多余力－compatibleequation變形協調條件－physicalequation物理方程－complementaryequation補充方程－