備戰(zhàn)高考技巧大全之高中數學黃金解題模板：專題32 線性規(guī)劃問題的求解策略（解析版）

專業(yè)文檔珍貴文檔【高考地位】線性規(guī)劃問題是高考的必考內容，其基本解題策略是定區(qū)域、化函數、找最值。近年來，高考中的線性規(guī)劃問題更趨靈活多樣，體現了“活、變、新”等特點，更加深刻的考查學生解決綜合性問題的能力。在高考中以各種題型中均出現過，其試題難度屬中高檔題.【方法點評】類型一線性目標函數問題使用情景：求目標函數的最值解題模板：第一步根據已知約束條件畫出其可行域；第二步平移目標函數的直線系，根據直線的斜率和截距之間的關系求出其最優(yōu)解；第三步得出結論.例1已知實數滿足不等式組則的最大值是___________．【答案】6【解析】考點：簡單的線性規(guī)劃問題．【方法點睛】運用線性規(guī)劃求解最值時，關鍵是要搞清楚目標函數所表示的直線的斜率與可行域便捷直線的斜率之間的大小關系，以好確定在哪個端點，目標函數取得最大值；在哪個端點，目標函數取得最小值，正確作出可行域是解答此類問題的前提條件．例2SKIPIF1<0已知、滿足不等式組，則的最大值是．【答案】6【解析】目標函數為，當時，取得最大值是6.考點：簡單的線性規(guī)劃．【名師點睛】簡單的線性規(guī)劃問題，首先要作出可行域，作直線，把中轉化為，易知是直線的縱截距，因此當時，直線向上平移，增大，在時，直線向下平移，增大，這樣我們把的值與直線縱截距聯系起來，可容易求得最優(yōu)解．【變式演練1】已知變量滿足約束條件：，若表示的區(qū)域面積為4，則的最大值為___________.【答案】【解析】試題分析:畫出不等式組表示的區(qū)域如圖,因且,故區(qū)域的面積為,解之得,平移動直線,結合圖形可以看出當動直線經過點時,動直線的截距最小,最大,,故應填.考點：線性規(guī)劃的有關知識及運用．【變式演練2】已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數的值為（）A．0B．1C【答案】B【解析】AABC考點：1、線性規(guī)劃；2、三角形的面積.類型二非線性目標函數問題使用情景：求非線性目標函數的最值解題模板：第一步根據已知約束條件畫出其可行域；第二步借助目標函數的幾何意義，并利用數形結合法將所求問題轉化為我們所熟悉的問題如直線的斜率問題、兩點的距離的平方等；第三步得出結論.例3已知不等式組則的最大值為．【答案】3【解析】考點：線性規(guī)劃【易錯點睛】線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.例4在平面直角坐標系中,為不等式組所表示的區(qū)域上一動點,已知點,則直線斜率的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：可行域為一個四邊形OBCD及其內部,其中，因此直線斜率的最小值為直線斜率，為，選B.考點：線性規(guī)劃【易錯點睛】線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.例5若滿足，則的最大值為（）A．-8B．-4C．1D．2【答案】D 【解析】考點：1、可行域的畫法；2、最優(yōu)解的求法.“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.【變式演練3】已知實數滿足，則的最大值是（）A．B．9C．2D．11【答案】B【解析】考點：線性規(guī)劃.【變式演練4】若變量滿足約束條件，且僅在點處取得最大值，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】試題分析：由約束條件畫出可行域如圖所示，表示的幾何意義是:點與時,通過圖象旋轉可知,不可能在處取到最大值,舍去；當時,若,則必然存在與可行域有交點,此時無斜率,可以理解為斜率趨向于正無窮,故無最大值；當時,在點處取到最大值,在處取得最小值,符合題意,故選C.考點：線性規(guī)劃.【變式演練5】已知實數滿足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點：簡單的線性規(guī)劃問題．類型三含參數線性目標函數問題使用情景：求含參數線性目標函數的最值解題模板：第一步根據已知約束條件畫出其可行域；第二步畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較并進行分類討論；第三步得出結論.例6已知滿足，且的最大值是最小值的-2倍，則的值是.【答案】【解析】試題分析：由題意得可行域為一個三角形ABC及其內部，其中，直線過C點時取最大值，過B點時取最小值，因此.考點：線性規(guī)劃【易錯點睛】線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.【變式演練6】SKIPIF1<0設，變量，在約束條件下，目標函數的最大值為，則_________．【答案】【解析】考點：簡單的線性規(guī)劃的應用．【高考再現】1.【2016高考山東文數】若變量x，y滿足則x2+y2的最大值是（）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】試題分析：畫出可行域如圖所示，點到原點距離最大，所以，選C.考點：簡單線性規(guī)劃2.【2016高考浙江文數】若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：畫出不等式組的平面區(qū)域如題所示，由得，由得，由題意可知,當斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時，兩直線的距離最小，即．故選B．考點：線性規(guī)劃.【思路點睛】先根據不等式組畫出可行域，再根據可行域的特點確定取得最值的最優(yōu)解，代入計算．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點驗證，防止出現錯誤．3.【2016高考新課標2文數】若x，y滿足約束條件，則的最小值為__________【答案】【解析】考點：簡單的線性規(guī)劃.【名師點睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標系內作出可行域；(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形；(3)確定最優(yōu)解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數即可求出最大值或最小值．4.【2016高考新課標Ⅲ文數】若滿足約束條件QUOTEQUOTE則的最大值為_____________.【答案】【解析】考點：簡單的線性規(guī)劃問題．【技巧點撥】利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：(1)作出可行域．將約束條件中的每一個不等式當作等式，作出相應的直線，并確定原不等式的區(qū)域，然后求出所有區(qū)域的交集；(2)作出目標函數的等值線(等值線是指目標函數過原點的直線)；(3)求出最終結果．5.【2016高考新課標1文數】某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時,生產一件產品A的利潤為2100元,生產一件產品B的利潤為900元.該企業(yè)現有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為元.【答案】【解析】試題分析：設生產產品、產品分別為、件,利潤之和為元,那么 ①目標函數.二元一次不等式組①等價于 ②作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.考點：線性規(guī)劃的應用【名師點睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R點,一般以客觀題形式出現,基本題型是給出約束條件求目標函數的最值,常見的結合方式有：縱截距、斜率、兩點間的距離、點到直線的距離,解決此類問題常利用數形結合.本題運算量較大,失分的一個主要原因是運算失誤.6.【2016高考上海文科】若滿足則的最大值為_______.【答案】【解析】試題分析：由不等式組畫出可行域，如圖，令，當直線經過點時，取得最大值，且為.考點：簡單線性規(guī)劃7.【2016高考天津文數】(本小題滿分13分)某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C三種主要原料.生產1車皮甲種肥料和生產1車皮乙中肥料所需三種原料的噸數如下表所示：現有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎上生產甲乙兩種肥料.已知生產1車皮甲種肥料，產生的利潤為2萬元；生產1車皮乙種肥料，產生的利潤為3萬元.分別用x,y表示生產甲、乙兩種肥料的車皮數.(Ⅰ)用x,y列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(Ⅱ)問分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？并求出此最大利潤.【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）生產甲種肥料車皮，乙種肥料車皮時利潤最大，且最大利潤為萬元【解析】試題分析：（Ⅰ）根據生產原料不能超過A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，列不等關系式，即可行域，再根據直線及區(qū)域畫出可行域（Ⅱ）目標函數為利潤，根據直線平移及截距變化規(guī)律確定最大利潤試題解析：（Ⅰ）解：由已知滿足的數學關系式為，該二元一次不等式組所表示的區(qū)域為圖1中的陰影部分.答：生產甲種肥料車皮，乙種肥料車皮時利潤最大，且最大利潤為萬元.考點：線性規(guī)劃【反饋練習】1.【吉林省長春市普通高中2017屆高三質量監(jiān)測（一）數學（理）試題】動點滿足，則的最小值為.【答案】【解析】試題分析：由已知可得，線性可行域如圖所示，則線性目標函數在點取最小值3.考點：線性規(guī)劃2.【山西大學附中2017屆高三第二次模擬測試數學（理）試題】設滿足約束條件，則的最大值是____________．【答案】【解析】考點：線性規(guī)劃．3.【河南省新鄉(xiāng)市2017屆高三上學期第一次調研測試數學（理）試題】已知變量滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標函數分別在點和點處取得最大值為，最小值為.考點：線性規(guī)劃．4.【河北省武邑中學2017屆高三上學期第三次調研考試數學（理）試題】設不等式組，表示平面區(qū)域為，若圓經過區(qū)域上的點，則的取值范圍是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】xyxyoABC考點:線性規(guī)劃.5.【河北省衡水中學2017屆高三摸底聯考，8】若為不等式組，表示的平面區(qū)域，則當從連續(xù)變化到時，動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點：線性規(guī)劃.6.【廣西南寧二中、柳州高中、玉林高中2017屆高三8月聯考，13】若滿足約束條件，那么的最大值是__________.【答案】2【解析】試題分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．因為表示平面區(qū)域上的點到原點連線的斜率，由圖知當點位于點時，斜率最大，所以的最大值為2．考點：簡單的線性規(guī)劃問題．7.【河南百校聯考2017屆高三9月質檢，15】已知實數滿足不等式組，則的最小值為______________．【答案】【解析】考點：線性規(guī)劃8.【湖南永州市2017屆高三第一次模