九年級(jí)數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)（十）-代數(shù)綜合題北京實(shí)驗(yàn)版知識(shí)精講

初三數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)（十）—代數(shù)綜合題北京實(shí)驗(yàn)版【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：中考總復(fù)習(xí)（十）——代數(shù)綜合題二.數(shù)學(xué)目標(biāo)及綜合題簡(jiǎn)介綜合題是指涉及的知識(shí)內(nèi)容多，或應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法比較多的題目．按內(nèi)容可分為代數(shù)綜合題和幾何綜合題，也有兩個(gè)學(xué)科綜合在一起的題目．初中代數(shù)綜合題，主要以方程、函數(shù)這兩部分為重點(diǎn)，因此牢固地掌握方程、不等式的解法，一元二次方程的解法和判別式、函數(shù)的解析式的確定及函數(shù)性質(zhì)等重要基礎(chǔ)知識(shí)是解好代數(shù)綜合題的關(guān)鍵．在許多問題中，代數(shù)和幾何問題交織在一起，就要溝通這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解決問題的突破口．通過解綜合題有利于透徹和熟練地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問題和解決問題的能力．【典型例題】例1.方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的值．分析：解分式方程的基本方法是把它轉(zhuǎn)化為整式方程，而這個(gè)整式方程的根可能是原方程的根，也可能是原方程的增根，本題條件中分式方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，則有以下三種可能的情況：（1）轉(zhuǎn)化為整式方程后是一元一次方程，且它的根不是原方程的增根；（2）轉(zhuǎn)化為整式方程后是一元二次方程，該方程有兩個(gè)相等實(shí)根，且不是原方程的增根；（3）轉(zhuǎn)化為整式方程后是一元二次方程，且這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根中有一個(gè)是原方程的增根，另一個(gè)不是增根．解：把原方程去分母，整理得：（1）當(dāng)a=0時(shí)，x=1，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根；（2）當(dāng)時(shí)，①若方程有兩個(gè)相等實(shí)根，則△=0即解之得當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．②若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且一個(gè)是原方程的增根，另一個(gè)是原方程的根，則（1）設(shè)x=0是的根，則a=2，此時(shí)，另一根，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．（2）設(shè)x=2是的根，則，此時(shí)，另一根為x=3，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根．綜上所述：當(dāng)，a=2，或時(shí)，方程有且僅有一個(gè)實(shí)根．例2.已知二次函數(shù)，其中a、b、c是△ABC的三邊，且．（1）若這個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，試證：△ABC是等邊三角形；（2）若△ABC是直角三角形，試證：這個(gè)二次函數(shù)的圖像除頂點(diǎn)以外都在x軸上方．分析：（1）從結(jié)論看，要證△ABC是等邊三角形，需證a=b=c；從條件看，由函數(shù)圖像通過原點(diǎn)，可知（0，0）滿足該函數(shù)的解析式，將之代入變形，尋找a=b=c的關(guān)系．（2）從結(jié)論看，要證二次函數(shù)的圖像除頂點(diǎn)外都在x軸上方，那么解析式配方后，其中n=0；從條件看，利用△ABC是，可將a、b、c均用a表示，通過配方觀察結(jié)論．證明：（1）由圖像過原點(diǎn)，得a=c又即△ABC是等邊三角形（2）由△ABC是Rt△，及又∴二次函數(shù)的圖像除頂點(diǎn)外都在x軸上方例3.如圖①是某城市三月份1至10日的最低氣溫隨時(shí)間變化的圖像． ① ②（1）根據(jù)圖①提供的信息，在圖②中補(bǔ)全直方圖；（2）這10天最低氣溫的眾數(shù)是_______________℃，最低氣溫的中位數(shù)是_________℃，最低氣溫的平均數(shù)是_______________℃．分析：這是一道統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)據(jù)的分析的應(yīng)用，看懂圖形是關(guān)鍵．解：（1）如圖（2）2，0，0例4.關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等實(shí)根，其中a，b，c為△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若，求和的值．分析：從題目結(jié)構(gòu)看是把方程的知識(shí)，三角形邊角關(guān)系“串聯(lián)”起來，知識(shí)銜接關(guān)系清楚，屬組合型綜合題．解：把方程整理得因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，所以，且△=0即∴△ABC為直角三角形，∠C=90°由可得由可得中，例5.若不等式的解集是，那么a的值是（）A. B. C.3 D.解：設(shè)，整理得顯然，這個(gè)二次函數(shù)圖像與x軸交于把代入，得解得答案：B說明：此題是用函數(shù)及圖像解決不等式的問題，可見用函數(shù)思想處理一元二次不等式的有關(guān)問題很有實(shí)用價(jià)值．例6.二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列三個(gè)代數(shù)式中，值大于0的個(gè)數(shù)為（）A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)解：觀察圖像可知，當(dāng)時(shí)，即∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)∴因此在所給代數(shù)式中值大于0的個(gè)數(shù)為3個(gè)．答案：C說明：本題滲透了數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合二次函數(shù)，一元二次方程的知識(shí)，確定a，b，c，△的符號(hào)是解決此題的關(guān)鍵．例7.已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且．（1）求k的值；（2）求△OAB的面積；（3）若一條開口向下的拋物線過A、B兩點(diǎn)，并在過點(diǎn)B且和OA平行的直線上截得的線段長(zhǎng)為，試求該拋物線的解析式．分析：（1）一次函數(shù)和反比例函數(shù)和圖像相交，即可組成方程組，化簡(jiǎn)得到關(guān)于x的一元二次方程，方程的兩個(gè)根就是、．（2）△OAB的面積可轉(zhuǎn)化為△OBC的面積和△AOC面積差來求．（3）已知拋物線過A、B兩點(diǎn)，只要求得和OA平行的直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，由“三點(diǎn)式”即可求得拋物線的解析式．解：（1）依題意有解得由解得（2）由，相應(yīng)地可得設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），又知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，2）、（2，4），則由圖知：（3）設(shè)過點(diǎn)B且和OA平行的直線交x軸于D，與拋物線交于E，分別作、、垂直于x軸，垂足分別為、、．設(shè)又由題設(shè)，解此方程組得∴拋物線的解析式為說明：這是一道函數(shù)綜合題，E點(diǎn)的坐標(biāo)也可以通過全等三角形的方法來求，還可以運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)來求，請(qǐng)你試一試．例8.已知點(diǎn)，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，則直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（）A. B.C. D.解：建立直角坐標(biāo)系如圖由知AC⊥x軸．∵AE平分∠BAC∴∠EAC=30°∴點(diǎn)E坐標(biāo)為設(shè)過A、E兩點(diǎn)的解析式為得解之∴直線AE的函數(shù)表達(dá)式為故選B說明：此題是利用三角函數(shù)，一次函數(shù)和幾何知識(shí)為主的綜合題，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求角的大小是解題的關(guān)鍵．同時(shí)注意E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是求OE的長(zhǎng)．例9.如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AO為一邊作矩形AOBC使OB=2OA，點(diǎn)C在第二象限，將矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE，過點(diǎn)A的直線，交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B=FA，拋物線過點(diǎn)E，F(xiàn)，G且和直線AF交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M．（1）求k的值；（2）求A位置改變時(shí)，△AMH的面積和矩形AOBC的面積比是否改變？說明你的理由．解：（1）根據(jù)題意得到：當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為而∵在中，又FB=AF化簡(jiǎn)得：對(duì)于過點(diǎn)（2）∵拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)解得：∴拋物線為解方程組：得：∴H坐標(biāo)：，的面積，而，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變說明：此題由矩形兩邊關(guān)系求點(diǎn)F，點(diǎn)E，點(diǎn)G的坐標(biāo)是關(guān)鍵，又由直線和二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而推出面積的比．例10.如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是．（1）求拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S．若點(diǎn)A、點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止．求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．分析：（1）由中心對(duì)稱知識(shí)求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的解析式．（2）由中心對(duì)稱的性質(zhì)，確定四邊形MDNA為平行四邊形，由面積關(guān)系求函數(shù)解析式．（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求最大值．（4）從平行四邊形的對(duì)角線出發(fā)，若為矩形則對(duì)角線AD=MN，從而求出t的值．解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)B，點(diǎn)E（0，8）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為D（4，0），C（2，0），．設(shè)拋物線的解析式是則解得∴所求拋物線的解析式是（2）由（1）可計(jì)算得點(diǎn)過點(diǎn)N作NH⊥AD，垂足為H當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻t時(shí)，AD=2OD=，NH=1+2t．根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)∴四邊形MDNA是平行四邊形∴四邊形MDNA的面積∵運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止，據(jù)題意可知∴所求關(guān)系式是，t的取值范圍是（3）時(shí)，S有最大值提示：也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求（4）在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形MDNA能形成矩形．由（2）知四邊形MDNA是平行四邊形，對(duì)角線是AD、MN∴當(dāng)AD=MN時(shí)四邊形MDNA是矩形∴OD=ON解之得（舍）∴在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時(shí)小結(jié)：綜合性問題往往設(shè)計(jì)新穎，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，條件與結(jié)論隱蔽，解決綜合性問題，需要我們具備一定的閱讀能力，分析問題和解決問題的能力．【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）一.選擇題1.在平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則該點(diǎn)一定不在（）A.直線上 B.直線上C.拋物線上 D.雙曲線上2.已知a、b為實(shí)數(shù)，下列各式中一定為正值的是（）A. B.C. D.3.已知，則代數(shù)式的值是（）A. B. C. D.64.已知x、y是實(shí)數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)a的值是（）A. B. C. D.5.已知a、b、c均為正數(shù)，且，則下列四個(gè)點(diǎn)中，在正比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，令、1、、2、、3、、4、、5，可得函數(shù)圖像上的十個(gè)點(diǎn)，在這十個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取兩個(gè)點(diǎn)、，則P、Q兩點(diǎn)在同一反比例函數(shù)圖像上的概率是（）A. B. C. D.二.填空題7.若，計(jì)算：___________．8.若點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于x的二次三項(xiàng)式可以分解為___________．9.點(diǎn)既在反比例函數(shù)的圖像上，又在一次函數(shù)的圖像上，則以m，n為根的一元二次方程為___________．10.已知點(diǎn)A、B在x軸上，分別以A、B為圓心的兩圓相交于、，則的值是___________．11.如圖，在直角坐標(biāo)系中，射線Ox繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)330°到OA的位置，若OP=2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________．三.解答題12.當(dāng)時(shí)，先將代數(shù)式化簡(jiǎn)后再求值．13.已知關(guān)于x、y的方程組的解滿足，化簡(jiǎn)．14.已知拋物線（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，且它的頂點(diǎn)為P，求△ABP的面積．15.如圖，已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段AB的垂直平分線的解析式；（3）如圖②，取與線段AB等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在A、B兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P將與A、B構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由． ① ②

試題答案一.選擇題1—6DACAAB二.填空題：7.10 8. 9. 10.11.12.∴原式三.解答題13.解：解得由解得①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，（寫為：也可）14.解（1）證明：∵對(duì)方程，其判別式∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根即拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)（2）