高等量子力學(xué)理論方法5課件

一、量子力學(xué)的建立二、量子力學(xué)基本原理三、量子力學(xué)的理論方法四、量子力學(xué)的應(yīng)用

高等量子力學(xué)

1一、量子力學(xué)的建立高等量子力學(xué)

1三、量子力學(xué)的理論方法一、表象理論二、微擾理論五、散射理論

六、多粒子體系理論

七、二次量子化

八、相對論量子力學(xué)三、量子躍遷理論四、自旋與角動量理論2三、量子力學(xué)的理論方法一、表象理論二、微擾理論五、第六章散射理論一、散射過程、散射截面二、中心力場中的彈性散射三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射四、格林函數(shù)法和波恩近似3第六章散射理論一、散射過程、散射截面3散射過程：Zθds靶粒子所處位置稱為散射中心。方向準(zhǔn)直的均勻單能粒子由遠(yuǎn)處沿z軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開去，此過程稱為散射過程。散射后的粒子可用探測器測量。一、散射過程、散射截面4散射過程：Zθds靶粒子所處位置稱為散射中心。方向準(zhǔn)直的散射角：入射粒子受靶粒子勢場的作用，其運(yùn)動方向偏離入射方向的角度。彈性散射：若在散射過程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。入射粒子流密度N：單位時間內(nèi)通過與入射粒子運(yùn)動方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，用于描述入射粒子流強(qiáng)度的物理量，故又稱為入射粒子流強(qiáng)度。

5散射角：入射粒子受靶粒子勢場的作用，其運(yùn)動方向偏離入射方向的設(shè)單位時間內(nèi)散射到（，）方向面積元ds上（立體角d內(nèi)）的粒子數(shù)為dn，顯然綜合之，則有：或

（1）比例系數(shù)q(，)的性質(zhì)：q(，)與入射粒子和靶粒子（散射場）的性質(zhì)，它們之間的相互作用，以及入射粒子的動能有關(guān)，是，的函數(shù)散射截面dsZθ6設(shè)單位時間內(nèi)散射到（，）方向面積元ds上（立體角d內(nèi)）q(，)具有面積的量綱故稱q(，)為微分散射截面，簡稱為截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面積q(，)，則單位時間內(nèi)通過此截面的粒子數(shù)恰好散射到(，)方向的單位立體角內(nèi)。（2）7q(，)具有面積的量綱故稱q(，)為微分散射截面，簡總散射截面：[注]由于N、可通過實(shí)驗(yàn)測定，故而求得。量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計算出，以便于同實(shí)驗(yàn)比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以及其它問題。8總散射截面：[注]由于N、可通過實(shí)驗(yàn)測定，故而現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對散射體系的描述。設(shè)靶粒子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于散射粒子的質(zhì)量，在碰撞過程中，靶粒子可視為靜止。取散射中心A為坐標(biāo)原點(diǎn)，散射粒子體系的定態(tài)Schr?dinger方程（4）令方程（4）改寫為9現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對散射體系的描述。設(shè)靶粒子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于散射（5）由于實(shí)驗(yàn)觀測是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的，從微觀角度看，可以認(rèn)為，因此，在計算時，僅需考慮處的散射粒子的行為，即僅需考慮處的散射體系的波函數(shù)。設(shè)時，，方程（5）變?yōu)椋?）10（5）由于實(shí)驗(yàn)觀測是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的，從微觀角度看，可以在處，散射粒子的波函數(shù)是入射平面波和球面散射波之和。即（7）對于三維情形，波可沿各方向散射。11在處，散射粒子的波函數(shù)是入射平面波散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）為方便起見，取入射平面波的系數(shù)，這表明，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為1。（8）12散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）為單位時間內(nèi)，在沿方向d立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為

（11）比較（1）式與（10），得到（10）（9）13單位時間內(nèi)，在沿方向d立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。分波法是準(zhǔn)確的求散射理論問題的方法，即準(zhǔn)確的散射理論。由此可知，若知道了，即可求得，稱為散射振幅。所以，對于能量給定的入射粒子，速率給定，于是，入射粒子流密度給定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具體形式通過求Schr?dinger方程（5）的解并要求在時具有漸近形式（7）而得出。14下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸z，顯然與無關(guān)，對于具有確定能量的粒子，方程（2-1）的特解為討論粒子在中心力場中的散射。（2-1）粒子在輳力場中的勢能為，狀態(tài)方程由于現(xiàn)在與無關(guān)(m=0)，所以，方程（1）的特解可寫成二、中心力場中的彈性散射（分波法）15取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸z，顯然與方程（2-1）的通解為所有特解的線性迭加

（2-2）（2-2）代入（2-1），得徑向方程為待定的徑向波函數(shù)，每個特解稱為一個分波，稱為第

個分波，通常稱的分波分別為s,p,d,f…分波（2-3）16方程（2-1）的通解為所有特解的線性迭加 令代入上方程（2-4）考慮方程（2-4）在情況下的極限解令方程（2-4）的極限形式由此求得：（2-5）17令代入上方程（2-4）考慮方程（2-4）在情況下為了后面的方便起見，這里引入了兩個新的常數(shù)將（2-5）代入（2-2），得到方程（2-1）在情形下通解的漸近形式（2-6）18為了后面的方便起見，這里引入了兩個新的常數(shù)將（2-5）代入（

另一方面，按上節(jié)的討論，在遠(yuǎn)離散射中心處，粒子的波函數(shù)（2-7）（2-8）式中jl(kr)是球貝塞爾函數(shù)將平面波按球面波展開 （2-9）19另一方面，按上節(jié)的討論，在遠(yuǎn)離散射中心處，粒子的波函數(shù)（利用（2-8）、（2-9），可將（2-7）寫成（2-10）

（2-6）和（2-10）兩式右邊應(yīng)相等，即分別比較等式兩邊和前邊的系數(shù)，得

20利用（2-8）、（2-9），可將（2-7）寫成（2-10）（2-12）（2-11）可以得到用乘以（12）式，再對從積分，并利用Legradrer多項(xiàng)式的正交性21（2-12）（2-11）可以得到用乘以（即（2-13）將此結(jié)果代入（2-11）式（2-14）22即可見，求散射振幅f()的問題歸結(jié)為求，求

的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù)

的方程（3-3）

由（2-8），（2-9）知，是入射平面波的第個分波的位相；由（2-6）知，是散射波第

個分波的位相。所以，

是入射波經(jīng)散射后第

個分波的位相移動（相移）。

的物理意義：

23可見，求散射振幅f()的問題歸結(jié)為求，求的具體微分散射截面（2-15）總散射截面24微分散射截面（2-15）總散射截面24即 （2-16）式中 （2-17）是第

個分波的散射截面。由上述看們看出：求散射振幅的問題歸結(jié)為求相移，而

的獲得，需要根據(jù)的具體情況解徑向方程（2-3）求，然后取其漸近解，并寫為25即 （2-16）式中 即可得到第個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移，所以，必須尋找各個分波的相移來計算散射截面，這種方法稱為分波法。光學(xué)定理表示由散射振幅在零點(diǎn)的虛部可以求出總散射截面26即可得到第個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移，分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍方法。但實(shí)際上，依次計算級數(shù)中的各項(xiàng)是相當(dāng)復(fù)雜的，有時也是不可能的，所以只能在一定的條件下計算級數(shù)中的前幾項(xiàng)，達(dá)到一定精確度即可。分波法的適用范圍散射主要發(fā)生在勢場的作用范圍內(nèi)，以散射中心為圓心，以

為半徑的球表示這個范圍，則時，散射效果就可以忽略不計了。27分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問分波法的適用范圍由于入射波的第

個分波的徑向函數(shù)的第一極大值位于附近，當(dāng)

較大時，愈大，愈快，如果的第一極大值位于，即時，在內(nèi)，的值很小。亦即第

個分波受勢場的影響很小，散射影響可以忽略，只有第

個分波之前的各分波必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件28由于入射波的第個分波的徑向函數(shù)的第一極大值位于寫成，而的分波不必考慮，愈小，則需計算的項(xiàng)數(shù)愈小，當(dāng)時，

，這時僅需計算一個相移即足夠了，足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射，的分波散射截面可以略去。29寫成，而的分波不必考慮，愈小，說明已知時，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道的具體形式，這時，我們可先由實(shí)驗(yàn)測定散射截面和相移，然后確定勢場和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。30說明已知時，可用分波法求出低能散射的相移和散射思考題：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展開展開式中的每一項(xiàng)稱為一個分波，每個分波在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移。而

的獲得需根據(jù)的具體形式解徑向方程31思考題：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展開展開式中求出，然后取其漸近解，并寫成即可得到第個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移

，所以，計算散射截面時須尋找各個分波的相移，這種方法稱為分波法。32求出，然后取其漸近解，并寫成即可得到第個分波的相分波法應(yīng)用舉例ex.

球方勢阱和球方勢壘的低能散射。粒子的勢能:

是勢阱或勢壘的深度或高度。設(shè)入射粒子能量很小，其德布羅意波長比勢場作用范圍大很多（質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地歸結(jié)為這種情況），求粒子的散射截面。Solve:

粒子的徑向方程（1）三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射33分波法應(yīng)用舉例ex.球方勢阱和球方勢壘的低能散射。粒子的勢其中（2）對于球方勢阱為粒子的能量，為粒子在靶粒子中心力場中的勢能。（2）因粒子波長所以僅需討論s波的散射，據(jù)此及（2）式，可將方程（1）寫成 34其中（2）對于球方勢阱為粒子的能量，為粒子在其中（4）（3）令則（3），（4）可寫成（5）35其中（4）（3）令則（3），（4）可寫成（5）35（6）其解為（7）（8）于是（9）（10）因在處有限，必須有所以36（6）其解為（7）（8）于是（9）（10）因在處，及連續(xù)，因此，及在處連續(xù)。由（7），（8）式得總散射截面（11）（12）由此求得相移即37在處，及連續(xù)，因此，在粒子能量很低的情況下，。利用時，，有（13）（14）對于球方勢壘。這時，用代替以上討論中的，在粒子能量很低的情況下，（13）變?yōu)?（15）38在粒子能量很低的情況下，。利用EX.1Solve為一般起見，先考慮

分波的相移，再取特殊情況分波的相移。粒子受到勢能為的場的散射，求s分波的微分散射截面。根據(jù)邊界條件 （1）解徑向函數(shù)滿足的徑向方程令

39EX.1Solve為一般起見，先考慮分波的相移，又令（2）所以（2）式可以寫成于是（3）式又可寫成（3）令40又令（2）所以（2）式可以寫成于是（3）式又可寫成（3）令4上式是階貝塞爾方程，其解為，因此但當(dāng)時，

所以在附近由（4）41上式是階貝塞爾方程，其解為，因此但當(dāng)（5）比較（1）式和（5）式，則有42（5）比較（1）式和（5）式，則有42將值代入微分散射截面的表達(dá)式立即可得到s分波的微分散射截面令s分波散射截面43將值代入微分散射截面的表達(dá)式立即可得到s分波的微分散射截EX.2慢速粒子受到勢能為的場的散射，若，，求散射截面。由徑向波函數(shù)所滿足的徑向方程當(dāng)

時（1）令（2）Solve:由于是慢速粒子散射，對于低能散射只需考慮

分波。44EX.2慢速粒子受到勢能為將代入以上方程（3）并令 （4）（6）（5）45將代入以上方程（3）并令

當(dāng)應(yīng)有限，則要求

在處，和連續(xù)兩式相除，得46當(dāng)應(yīng)有限，則要求在總散射截面(7)討論：當(dāng)粒子的能量時，如果粒子能量很低的情況下

47總散射截面(7)討論：當(dāng)粒子的能量時，如果粒子如果時，，于是有在這種情況下，總散射截面等于半徑為

的球面面積。它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下48如果時，，于是有在這種情況下，總散射截EX.3只考慮s分波，求慢速粒子受到勢場的場散射時的散射截面Solve:

根據(jù)邊界條件解徑向方程：令則上方程簡寫為：49EX.3只考慮s分波，求慢速粒子受到勢場令代入上方程，有只考慮s分波，，由于，，以上方程在時的漸近形式為此為階貝塞爾方程，其解為50令代入上方程，有只考慮s分波，，由于，由于，，所以有限解為于是比較（1）和（2）兩式，并注意取（1）式中的

等于0，則51由于，，所以有限解為于是比較（1）和一、量子力學(xué)的建立二、量子力學(xué)基本原理三、量子力學(xué)的理論方法四、量子力學(xué)的應(yīng)用

高等量子力學(xué)

52一、量子力學(xué)的建立高等量子力學(xué)

1三、量子力學(xué)的理論方法一、表象理論二、微擾理論五、散射理論

六、多粒子體系理論

七、二次量子化

八、相對論量子力學(xué)三、量子躍遷理論四、自旋與角動量理論53三、量子力學(xué)的理論方法一、表象理論二、微擾理論五、第六章散射理論一、散射過程、散射截面二、中心力場中的彈性散射三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射四、格林函數(shù)法和波恩近似54第六章散射理論一、散射過程、散射截面3散射過程：Zθds靶粒子所處位置稱為散射中心。方向準(zhǔn)直的均勻單能粒子由遠(yuǎn)處沿z軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開去，此過程稱為散射過程。散射后的粒子可用探測器測量。一、散射過程、散射截面55散射過程：Zθds靶粒子所處位置稱為散射中心。方向準(zhǔn)直的散射角：入射粒子受靶粒子勢場的作用，其運(yùn)動方向偏離入射方向的角度。彈性散射：若在散射過程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。入射粒子流密度N：單位時間內(nèi)通過與入射粒子運(yùn)動方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，用于描述入射粒子流強(qiáng)度的物理量，故又稱為入射粒子流強(qiáng)度。

56散射角：入射粒子受靶粒子勢場的作用，其運(yùn)動方向偏離入射方向的設(shè)單位時間內(nèi)散射到（，）方向面積元ds上（立體角d內(nèi)）的粒子數(shù)為dn，顯然綜合之，則有：或

（1）比例系數(shù)q(，)的性質(zhì)：q(，)與入射粒子和靶粒子（散射場）的性質(zhì)，它們之間的相互作用，以及入射粒子的動能有關(guān)，是，的函數(shù)散射截面dsZθ57設(shè)單位時間內(nèi)散射到（，）方向面積元ds上（立體角d內(nèi)）q(，)具有面積的量綱故稱q(，)為微分散射截面，簡稱為截面或角分布如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面積q(，)，則單位時間內(nèi)通過此截面的粒子數(shù)恰好散射到(，)方向的單位立體角內(nèi)。（2）58q(，)具有面積的量綱故稱q(，)為微分散射截面，簡總散射截面：[注]由于N、可通過實(shí)驗(yàn)測定，故而求得。量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計算出，以便于同實(shí)驗(yàn)比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以及其它問題。59總散射截面：[注]由于N、可通過實(shí)驗(yàn)測定，故而現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對散射體系的描述。設(shè)靶粒子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于散射粒子的質(zhì)量，在碰撞過程中，靶粒子可視為靜止。取散射中心A為坐標(biāo)原點(diǎn)，散射粒子體系的定態(tài)Schr?dinger方程（4）令方程（4）改寫為60現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對散射體系的描述。設(shè)靶粒子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于散射（5）由于實(shí)驗(yàn)觀測是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的，從微觀角度看，可以認(rèn)為，因此，在計算時，僅需考慮處的散射粒子的行為，即僅需考慮處的散射體系的波函數(shù)。設(shè)時，，方程（5）變?yōu)椋?）61（5）由于實(shí)驗(yàn)觀測是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的，從微觀角度看，可以在處，散射粒子的波函數(shù)是入射平面波和球面散射波之和。即（7）對于三維情形，波可沿各方向散射。62在處，散射粒子的波函數(shù)是入射平面波散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）為方便起見，取入射平面波的系數(shù)，這表明，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為1。（8）63散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）為單位時間內(nèi)，在沿方向d立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為

（11）比較（1）式與（10），得到（10）（9）64單位時間內(nèi)，在沿方向d立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。分波法是準(zhǔn)確的求散射理論問題的方法，即準(zhǔn)確的散射理論。由此可知，若知道了，即可求得，稱為散射振幅。所以，對于能量給定的入射粒子，速率給定，于是，入射粒子流密度給定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具體形式通過求Schr?dinger方程（5）的解并要求在時具有漸近形式（7）而得出。65下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸z，顯然與無關(guān)，對于具有確定能量的粒子，方程（2-1）的特解為討論粒子在中心力場中的散射。（2-1）粒子在輳力場中的勢能為，狀態(tài)方程由于現(xiàn)在與無關(guān)(m=0)，所以，方程（1）的特解可寫成二、中心力場中的彈性散射（分波法）66取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸z，顯然與方程（2-1）的通解為所有特解的線性迭加

（2-2）（2-2）代入（2-1），得徑向方程為待定的徑向波函數(shù)，每個特解稱為一個分波，稱為第

個分波，通常稱的分波分別為s,p,d,f…分波（2-3）67方程（2-1）的通解為所有特解的線性迭加 令代入上方程（2-4）考慮方程（2-4）在情況下的極限解令方程（2-4）的極限形式由此求得：（2-5）68令代入上方程（2-4）考慮方程（2-4）在情況下為了后面的方便起見，這里引入了兩個新的常數(shù)將（2-5）代入（2-2），得到方程（2-1）在情形下通解的漸近形式（2-6）69為了后面的方便起見，這里引入了兩個新的常數(shù)將（2-5）代入（

另一方面，按上節(jié)的討論，在遠(yuǎn)離散射中心處，粒子的波函數(shù)（2-7）（2-8）式中jl(kr)是球貝塞爾函數(shù)將平面波按球面波展開 （2-9）70另一方面，按上節(jié)的討論，在遠(yuǎn)離散射中心處，粒子的波函數(shù)（利用（2-8）、（2-9），可將（2-7）寫成（2-10）

（2-6）和（2-10）兩式右邊應(yīng)相等，即分別比較等式兩邊和前邊的系數(shù)，得

71利用（2-8）、（2-9），可將（2-7）寫成（2-10）（2-12）（2-11）可以得到用乘以（12）式，再對從積分，并利用Legradrer多項(xiàng)式的正交性72（2-12）（2-11）可以得到用乘以（即（2-13）將此結(jié)果代入（2-11）式（2-14）73即可見，求散射振幅f()的問題歸結(jié)為求，求

的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù)

的方程（3-3）

由（2-8），（2-9）知，是入射平面波的第個分波的位相；由（2-6）知，是散射波第

個分波的位相。所以，

是入射波經(jīng)散射后第

個分波的位相移動（相移）。

的物理意義：

74可見，求散射振幅f()的問題歸結(jié)為求，求的具體微分散射截面（2-15）總散射截面75微分散射截面（2-15）總散射截面24即 （2-16）式中 （2-17）是第

個分波的散射截面。由上述看們看出：求散射振幅的問題歸結(jié)為求相移，而

的獲得，需要根據(jù)的具體情況解徑向方程（2-3）求，然后取其漸近解，并寫為76即 （2-16）式中 即可得到第個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移，所以，必須尋找各個分波的相移來計算散射截面，這種方法稱為分波法。光學(xué)定理表示由散射振幅在零點(diǎn)的虛部可以求出總散射截面77即可得到第個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移，分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍方法。但實(shí)際上，依次計算級數(shù)中的各項(xiàng)是相當(dāng)復(fù)雜的，有時也是不可能的，所以只能在一定的條件下計算級數(shù)中的前幾項(xiàng)，達(dá)到一定精確度即可。分波法的適用范圍散射主要發(fā)生在勢場的作用范圍內(nèi)，以散射中心為圓心，以

為半徑的球表示這個范圍，則時，散射效果就可以忽略不計了。78分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問分波法的適用范圍由于入射波的第

個分波的徑向函數(shù)的第一極大值位于附近，當(dāng)

較大時，愈大，愈快，如果的第一極大值位于，即時，在內(nèi)，的值很小。亦即第

個分波受勢場的影響很小，散射影響可以忽略，只有第

個分波之前的各分波必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件79由于入射波的第個分波的徑向函數(shù)的第一極大值位于寫成，而的分波不必考慮，愈小，則需計算的項(xiàng)數(shù)愈小，當(dāng)時，

，這時僅需計算一個相移即足夠了，足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射，的分波散射截面可以略去。80寫成，而的分波不必考慮，愈小，說明已知時，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道的具體形式，這時，我們可先由實(shí)驗(yàn)測定散射截面和相移，然后確定勢場和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。81說明已知時，可用分波法求出低能散射的相移和散射思考題：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展開展開式中的每一項(xiàng)稱為一個分波，每個分波在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移。而

的獲得需根據(jù)的具體形式解徑向方程82思考題：什么是分波法？入射平面波eikz按球面波展開展開式中求出，然后取其漸近解，并寫成即可得到第個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移

，所以，計算散射截面時須尋找各個分波的相移，這種方法稱為分波法。83求出，然后取其漸近解，并寫成即可得到第個分波的相分波法應(yīng)用舉例ex.

球方勢阱和球方勢壘的低能散射。粒子的勢能:

是勢阱或勢壘的深度或高度。設(shè)入射粒子能量很小，其德布羅意波長比勢場作用范圍大很多（質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地歸結(jié)為這種情況），求粒子的散射截面。Solve:

粒子的徑向方程（1）三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射84分波法應(yīng)用舉例ex.球方勢阱和球方勢壘的低能散射。粒子的勢其中（2）對于球方勢阱為粒子的能量，為粒子在靶粒子中心力場中的勢能。（2）因粒子波長所以僅需討論s波的散射，據(jù)此及（2）式，可將方程（1）寫成 85其中（2）對于球方勢阱為粒子的能量，為粒子在其中（4）（3）令則（3），（4）可寫成（5）86其中（4）（3）令則（3），（4）可寫成（5）35（6）其解為（7）（8）于是（9）（10）因在處有限，必須有所以87（6）其解為（7）（8）于是（9）（10）因在處，及連續(xù)，因此，及在處連續(xù)。由（7），（8）式得總散射截面（11）（12）由此求得相移即88在處，及連續(xù)，因此，在粒子能量很低的情況下，。利用時，，有（13）（14）對于球方勢壘。這時，用代替以上討論中的，在粒子能量很低的情況下，（13）變?yōu)?（15）89在粒子能量很低的情況下，。利用