幾何與代數(shù)-第三章 幾何空間3-1-2

第三章幾何空間

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何學(xué)。本章運(yùn)用向量和坐標(biāo)方法，研究空間的幾何問(wèn)題。數(shù)量關(guān)系

—三維空間:空間形式

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點(diǎn),線,面研究方法：坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）

本章先介紹向量代數(shù)和空間直角坐標(biāo)系，然后以此為工具討論空間的直線和平面。幾何與代數(shù)間最早的橋梁是由17世紀(jì)笛卡爾和費(fèi)馬建立的平面解析幾何.解析幾何利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì).解析幾何為微積分的出現(xiàn)創(chuàng)造了條件.幾何向量是研究空間解析幾何的工具；也是研究數(shù)學(xué)中其它一些分支、力學(xué)及三維計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、三維游戲設(shè)計(jì)等學(xué)科的工具.1715年，瑞士貝努利將平面解析幾何推廣到空間解析幾何.§3.1平面向量及其運(yùn)算

一.空間向量的線性運(yùn)算二.向量的共線與共面§3.2空間坐標(biāo)系§3.3空間向量的向量積與混合積§3.4平面和直線三.空間向量的數(shù)量積

1.向量的概念§3.1平面向量及其運(yùn)算

一.空間向量的線性運(yùn)算向量：既有大小又有方向的量。以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段。向量的模：向量的大小單位向量：模為1的向量；零向量：模為0的向量。也稱(chēng)長(zhǎng)度或范數(shù)AB||AB||a向量的表示：，a，，，…AB相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量；

負(fù)向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量；

平行(共線)向量：方向相同或相反的向量。

自由向量：只考慮向量的大小和方向，不計(jì)較起點(diǎn)位置。

2.向量的加法平行四邊形法則

三角形法則

首尾相連,a起點(diǎn)指向b終點(diǎn)baa+baba+b

說(shuō)明(1).多個(gè)向量相加，可以采用多邊形法則，將它們相繼首尾連接，從第一個(gè)向量的起點(diǎn)到最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即為和向量。說(shuō)明(2).規(guī)定向量的減法

a-b=a+(-b)b兩起點(diǎn)置一處,

b終點(diǎn)指向a終點(diǎn)aa-babcde例如：e=a+b+c+d

加法運(yùn)算性質(zhì):(1)(交換律)

+=+;(2)(結(jié)合律)

(+)+=+(+);(3)(零元)

+0

=;(4)(負(fù)元)

+(-)=0;

3.向量的數(shù)乘

數(shù)k與向量的乘積稱(chēng)為向量的數(shù)乘，記為k。

大?。簁=k

方向：k0時(shí)，k>0k與同向；

k<0k與反向；

k=0時(shí)，方向任意

說(shuō)明(3).k=0k

=0

或=0

說(shuō)明(4).(-1)=-

說(shuō)明(5).如果記與同向的單位向量為0，則=0

，或者0

=/。

數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì):(5)(單位數(shù))

1=;(6)(數(shù)的結(jié)合律)

k(l)=(kl);(7)(向量的分配律)

k(+)=k+k;(8)(數(shù)的分配律)

(k+l)=k+l.

向量的加法與數(shù)乘，統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算。

說(shuō)明(6).

向量的線性運(yùn)算，可以看作特殊矩陣的線性運(yùn)算。

4.線性組合：表達(dá)式

稱(chēng)為向量

的線性組合，稱(chēng)為組合系數(shù)。

例1.

證明三角形的中位線定理：兩邊中點(diǎn)連線的長(zhǎng)度等于底邊的一半。

若向量滿足：則稱(chēng)向量可以由向量組線性表示。

例2.

設(shè)P、Q分別是ABC的BC、AC邊的中點(diǎn)，AP與BQ交于點(diǎn)M。證明:ABCMAM=AP23PQABCST來(lái)證點(diǎn)S與點(diǎn)T重合,即PQ證明：可知

二.向量的共線與共面

1.定義：將一組向量，用同一個(gè)起點(diǎn)的有向線段表示，若它們?cè)谝粭l直線（或一個(gè)平面）上時(shí)，稱(chēng)這組向量是共線的（或共面的）。

說(shuō)明(1).

兩個(gè)向量共線時(shí)，它們的方向一定是相同或相反的，這時(shí)也可以稱(chēng)它們是平行的。

說(shuō)明(2).

零向量與任何向量均共線（或共面）。

2.線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)使得，則稱(chēng)向量組線性相關(guān)；否則稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)。

定理3.1

設(shè)是非零向量，向量與共線可以由唯一線性表示。

3.(兩向量)共線與(三向量)共面的判別

推論3.1

向量與共線，線性相關(guān)。

定理3.2

設(shè)向量、不共線，則向量與、共面可以由、唯一線性表示。

推論3.2

向量，，共面，，線性相關(guān)。

例3.

見(jiàn)教材P94例3.3三.空間向量的數(shù)量積

1.數(shù)量積概念

向量與的數(shù)量積是個(gè)實(shí)數(shù)，它等于它們的模與夾角余弦的乘積，數(shù)量積也可稱(chēng)為內(nèi)積或點(diǎn)積，記為。

注:·=0=或

=或⊥(1)正定性:2=·=||||20，且2=0=

(2)對(duì)稱(chēng)性:·=·

(3)(k)·=k(·)=·(k)(4)分配律：(+)·=·+·

(5)Schwartz不等式：|

·

|

≤||||||||

注:

數(shù)量積一般不滿足消去律，即0時(shí)，

·=

·

=應(yīng)為：·(-)=0

⊥(-)

2.數(shù)量積性質(zhì)

3.投影的概念A(yù)BuABuAB

投影與數(shù)量積的關(guān)系：

投影是一個(gè)數(shù)

向量AB在軸u上的投影為(AB)u=||AB||cos

其中為向量AB與軸u的夾角.

4.投影性質(zhì)(1)若與的夾角為，則

=||||cos

；(2)=||||

；(3)與垂直

=0=0；(4)與共線||=||||||||||=||||。

例4.

用數(shù)量積證明：

||+||2+||-||2=2||||2+2||||2

例5.已知||||=3,||||=6,∠(,)=π/3,(3

λ)⊥(+2),求λ.

解：

(3

λ)·

(+2)=032

+(6λ)

·

2λ2=0

3·9+(6λ)||||||||cos(π/3)2λ·36=08181λ=0λ=1

例6.（見(jiàn)教材P96例3.4）§3.2空間坐標(biāo)系

一.空間坐標(biāo)系

(1)

直線上任一向量都可以由直線上一非零向量唯一的線性表示（定理3.1）；

(2)

平面上任一向量都可以由平面上兩個(gè)不共線向量唯一線性表示（定理3.2）；

(3)

空間上任一向量？也可以由空間上三個(gè)不共面向量唯一線性表示。

1.仿射坐標(biāo)系定義

在空間任取一點(diǎn)O，以O(shè)為起點(diǎn)任意作3條不共面向量1,2,3，這就構(gòu)成一個(gè)仿射坐標(biāo)系，記為{O;1,2,3}。其中點(diǎn)O稱(chēng)為坐標(biāo)原點(diǎn)，1,2,3稱(chēng)為坐標(biāo)向量或基。o123右(左)手仿射坐標(biāo)系坐標(biāo)軸

2.定理3.3對(duì)于仿射坐標(biāo)系{O;1,2,3}中的任意向量，都可以由坐標(biāo)向量1,2,3唯一線性表示。

說(shuō)明(1).唯一線性表示的系數(shù)，就是向量在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

3.空間直角坐標(biāo)系z(mì)yxox軸(橫軸)，y軸(縱軸)，z軸(豎軸)

坐標(biāo)向量i,j,k為兩兩垂直的單位向量，符合右手規(guī)則，{O;i,j,k}稱(chēng)為右手直角坐標(biāo)系。Ⅶ空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧyoz面zox面xoy面則稱(chēng)(x,y,z)為點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系{O;i,j,k}下的坐標(biāo)，向量也可以表示為

二.用坐標(biāo)表示向量的線性運(yùn)算設(shè)

=(a1,a2,a3),

=(b1,b2,b3),則k1+k2=(k1a1+k2b1,k1a2+k2b2,k1a3+k3b3).

例1.設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)為P1(x1,y1,z1)與P2(x2,y2,z2)，求向量P1P2的坐標(biāo)。P1P2

=

OP2OP1=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)

=(x2x1,y2y1,z2z1)

坐標(biāo)后項(xiàng)減前項(xiàng)xyzP1P2O

例3.

設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)

P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)若點(diǎn)P(x,y,z)把有向線段P1P2分成定比，即

P1P=PP2(1)求分點(diǎn)P的坐標(biāo)。xyzP1POP2OPOP1=(OP2OP

)OP=OP1+OP21+y=y1+y21+,x=x1+x21+,z=z1+z2