水文統(tǒng)計(jì)課件

第四章、水文統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)變量及其分布參數(shù)水文中常用的概率分布曲線統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)方法相關(guān)分析水文時(shí)間序列分析第四章、水文統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)變量及其分布參數(shù)1學(xué)習(xí)要求：（1）了解概率、隨機(jī)變量及其概率分布的基本概念；

（2）了解水文頻率曲線常用的線型，要掌握P-III型分布曲線和經(jīng)驗(yàn)頻率曲線的性質(zhì)和計(jì)算方法；

（3）掌握水文頻率計(jì)算適線法的具體步驟和方法，特別是參數(shù)對頻率曲線的影響；

（5）了解相關(guān)分析的基本概念和方法，特別要掌握兩變量直線相關(guān)、曲線相關(guān)的方法和具體步驟；（6）水文過程的隨機(jī)模擬。

學(xué)習(xí)要求：

2水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象包含著必然性水文現(xiàn)象也包含著偶然性，對水文的偶然現(xiàn)象（或稱隨機(jī)現(xiàn)象）所遵循的規(guī)律一般稱做統(tǒng)計(jì)規(guī)律。物理成因分析法概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象也包含著偶然性34.1.1概率的基本概念與定理1.事件:是指隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。事件有兩種屬性：

數(shù)量性質(zhì)：直接測量的量或計(jì)算的量，如年降雨量，年徑流量...

屬性性質(zhì):

直接觀測到的現(xiàn)象，如天氣的雨天和晴天，嬰兒性別，錢幣的正面和背面...4.1.隨機(jī)變量及其分布參數(shù)4.1.1概率的基本概念與定理4.1.隨機(jī)變量及其分41)必然事件2)不可能事件3)隨機(jī)事件事件可以分為三種類型：2.概率

為了比較某隨機(jī)事件出現(xiàn)（或不出現(xiàn))的可能性大小，必然賦予一種量化的（以數(shù)量表示)指標(biāo)，這個(gè)數(shù)量指標(biāo)就是事件的概率。1)必然事件事件可以分為三種類型：2.概率5

式中，P(A)：一定條件下隨機(jī)事件A的概率；

n：試驗(yàn)中所有可能的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；

m：出現(xiàn)隨機(jī)事件A的結(jié)果數(shù)。簡單(古典)的隨機(jī)事件的概率定義用下式表示：古典的隨機(jī)試驗(yàn)是指所有試驗(yàn)的可能結(jié)果都是等可能的，而且試驗(yàn)的可能結(jié)果的總數(shù)是有限的。但水文事件不一定符合這種性質(zhì)。 式中，P(A)：一定條件下隨機(jī)事件A的概6對于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗(yàn)來估計(jì)事件的概率。設(shè)事件A在n次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了m次，則稱：3.頻率為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。注意：n

不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)。對于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗(yàn)來估計(jì)事件7頻率:

頻率是通過若干次試驗(yàn)后才能求得的經(jīng)驗(yàn)值，事先不能確定，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n愈大，即當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，理論上，n變成試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果總數(shù)，則頻率愈接近概率。概率和頻率的區(qū)別：概率:

在等可能條件下，表達(dá)事件客觀上出現(xiàn)的可能性大小，是一個(gè)理論值。頻率:概率和頻率的區(qū)別：概率:

在等可能條件81.隨機(jī)變量

用以表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量(事先是未知的)，由于它事先不能確定，是隨機(jī)的，稱為隨機(jī)變量。水文現(xiàn)象中的隨機(jī)變量，一般指某個(gè)水文特征值(如年徑流量、年降雨量、洪峰流量等)。4.1.2.隨機(jī)變量及其分布參數(shù)1.隨機(jī)變量4.1.2.隨機(jī)變量及其分布參數(shù)9

總體

在統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中，把某種隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體，稱為總體。如年徑流量的總體數(shù)是無窮的。統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個(gè)概念：

樣本

從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項(xiàng)數(shù)，稱為樣本容量。如實(shí)測的水文資料是有限的，是一樣本?？傮w統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個(gè)概念：樣本10

它是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量。在水文學(xué)中，常用大寫字母表示，記作X，而隨機(jī)變量的可能取的值記作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

一般稱之為隨機(jī)系列或隨機(jī)數(shù)列。

隨機(jī)變量的表示:它是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量。在水文學(xué)中，常用大寫字11離散型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量僅取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機(jī)變量。如洪峰次數(shù)，只能取0,1,2…，不能取相鄰兩數(shù)值之間的任何值。隨機(jī)變量的分類:連續(xù)型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量可以取得一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。如某河流斷面的流量可以取0~極限值之間的任何實(shí)數(shù)值。離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類:連續(xù)型隨機(jī)變量12對于離散型隨機(jī)變量：

隨機(jī)變量的取某一可能值的機(jī)會有的大有的小，即隨機(jī)變量取值都有一定的概率與之相對應(yīng)，可表示為：2.隨機(jī)變量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示隨機(jī)變量X

取值x1,x2,…xn

所對應(yīng)的概率。對于離散型隨機(jī)變量：2.隨機(jī)變量的概率分布13

x1x2x3x4……xnXP

離散型隨機(jī)變量概率分布圖一般將這種對應(yīng)關(guān)系稱作隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律，簡稱為分布律?？梢杂靡韵碌姆植紙D形表示：x1x2x3x4…14

由于它的所有可能取值有無限個(gè)，而取個(gè)別值的概率為零，故無法研究個(gè)別值的概率。水文學(xué)上習(xí)慣研究隨機(jī)變量的取值等于或大于某個(gè)值的概率，表示為：

它是x的函數(shù)，稱作隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作F(x),即F(x)=P(Xx)

表示隨機(jī)變量X大于或等于值

x的概率，其幾何曲線稱作隨機(jī)變量的概率分布曲線（水文學(xué)上通常稱累計(jì)頻率曲線，簡稱頻率曲線）。

對于連續(xù)型隨機(jī)變量：由于它的所有可能取值有無限個(gè)，而取個(gè)別值的概15

由圖中可知，X=900，相應(yīng)的P(Xx)=0.15，說明大于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于500mm降雨的可能性為60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線

P(Xx)由圖中可知，X=900，相應(yīng)的P(Xx)=16

P(Xx)=P(X>x+x)+P(x+x>Xx)

P(x+x>Xx)=P(Xx)-P(X>x+x)=F(x)-F(x+x)

(8-1)由概率的加法定理：則，降雨量落在900和500mm的可能性為:60%-15%=45%

x

x+

x

PXP(Xx)P(X>x+x)隨機(jī)變量X落在(x，x+x)

的概率可用下式表示:

P(Xx)=P(X>x+x)+17平均概率密度：

隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,x+x)的概率與該區(qū)間長度的比值稱作隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,x+x)平均概率。概率密度函數(shù):平均概率密度：隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,x+x)18稱f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。而密度函數(shù)的幾何曲線稱作密度曲線。當(dāng)x

0，取極限得：稱f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。當(dāng)x019f(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdxf(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdx20通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X落在(x~x+dx)區(qū)間即dx上的概率=f(x)dx，稱之為概率元素，即為圖中的陰影面積；通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X概率分布函數(shù)F(x)，其與密度函數(shù)f(x)有如下的數(shù)學(xué)關(guān)系:通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X落在(x~x+dx21

F(x)分布函數(shù)，反映隨機(jī)變量X超過某個(gè)值x的概率。這兩個(gè)函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的分布規(guī)律。

f(x)密度函數(shù)，反映隨機(jī)變量X落入dx區(qū)間的平均概率；可見，隨機(jī)變量的二個(gè)函數(shù)：

F(x)分布函數(shù)，反映隨機(jī)變量X超過某個(gè)值x的22

在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)不易確定，或有時(shí)不一定需要用完整的形式來說明隨機(jī)變量，而只要知道其主要特征就可以。隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)中都包含一些參數(shù)（如均值、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)），而這些參數(shù)能反映隨機(jī)變量分布的特點(diǎn)：如有的分布集中，有的分布分散，有的分布對稱，有的分布非對稱，等等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中用以表示隨機(jī)變量這些分布特征的某些數(shù)值，稱之為隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)。3.隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)不易確定，或有時(shí)不一23平均數(shù)/數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的平均數(shù)是以概率為權(quán)重的加權(quán)平均值。a.反映位置特征參數(shù)

對于離散型隨機(jī)變量：平均數(shù)/數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的平均數(shù)是以24

式中，a、b分別為隨機(jī)變量X取值的上下限。

數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)代表整個(gè)隨機(jī)變量的總水平的高低，它為分布的中心。

對于連續(xù)的隨機(jī)變量：式中，a、b分別為隨機(jī)變量X取值的上下限。25

表示概率密度分布峰點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)。對于離散型隨機(jī)變量：

M0(x)

是使概率P(=xi)等于最大時(shí)所相應(yīng)的xi值。M0(x)=xiPi-1PiPi+1

Px離散型隨機(jī)變量的眾數(shù)眾數(shù)，記為M0(x)表示概率密度分布峰點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)。M0(x)=26M0(x)是概率密度函數(shù)f(x)等于最大時(shí)所對應(yīng)的xi值M0(x)f(x)x連續(xù)的隨機(jī)變量的眾數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量：M0(x)是概率密度函數(shù)f(x)等于最大27把概率密度分布分為二個(gè)相等部分的數(shù)。對于離散型的隨機(jī)變量：

將所有變量的可能取值按大小次序排列，位置居中的數(shù)字。中位數(shù)，記為Me(x)把概率密度分布分為二個(gè)相等部分的數(shù)。中位28對于連續(xù)的隨機(jī)變量中位數(shù)滿足：式中，a,b分別為隨機(jī)變量X取值的上下限Me(x)xf(x)1/21/2ab對于連續(xù)的隨機(jī)變量式中，a,b分別為隨機(jī)變量X29

該參數(shù)用以反映隨機(jī)變量分布離散程度(相對于隨機(jī)變量分布中心即平均值的差距)的指標(biāo)，通常有以下幾種：b.反映離散特征參數(shù)

值愈大，分布愈分散；值愈小，分布愈集中。

標(biāo)準(zhǔn)差（均方差)

(Standarddeviation)(8-6)122>1f(x)x標(biāo)準(zhǔn)差對密度函數(shù)的影響該參數(shù)用以反映隨機(jī)變量分布離散程度(相對于隨30變差系數(shù)（離差系數(shù)，離勢系數(shù)〕CV1CV2CV2>CV1f(x)x變差系數(shù)對密度函數(shù)的影響CV值愈大，分布愈分散；CV

值愈小，分布愈集中。對于均值不同的二個(gè)系列，用均方差來比較其離散程度就不合適，則要采用均方差和均值的比來表示：變差系數(shù)（離差系數(shù)，離勢系數(shù)〕CV1CV2CV2>CV31f(x)x偏態(tài)系數(shù)對密度函數(shù)的影響Cs=0Cs>0Cs<0若不對稱：CS

>0,稱為正偏；CS

<0,稱為負(fù)偏。c.反映對稱特征的參數(shù):

偏態(tài)系數(shù)（偏差系數(shù))f(x)x偏態(tài)系數(shù)對密度函數(shù)的影響Cs=0Cs>0Cs<0若324.2.水文中常用的概率分布曲線1.正態(tài)分布(8-9)式中，：平均數(shù)；

：標(biāo)準(zhǔn)差。

許多隨機(jī)變量如水文測量誤差、抽樣誤差等一般服從正態(tài)分布。4.2.水文中常用的概率分布曲線1.正態(tài)分布(8-9)式中，33f(x)

a.單峰，只有一個(gè)眾數(shù)；b.對于平均數(shù)對稱,Cs=0；c.曲線二端趨于±∞，并以x軸為漸近線;d.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：f(x)a.單峰，只有一個(gè)眾數(shù)；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：34概率密度函數(shù)表達(dá)式：

2.皮爾遜Ⅲ型分布式中,（）~的伽瑪函數(shù),,,a

0：三個(gè)參數(shù)，它們與三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)有一定的關(guān)系，其表達(dá)式為：可見，當(dāng)以上三個(gè)參數(shù)確定后，P-III型密度函數(shù)亦完全確定。概率密度函數(shù)表達(dá)式： 2.皮爾遜Ⅲ型分布式中,（35f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線

a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲線的特點(diǎn)：一端有限另一端無限的不對稱單峰正偏曲線f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線a0M0(x)Me(x)x36在水文計(jì)算中，一般要求出指定概率P所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值xP，即求出的xP滿足下列等式：按上式計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，故實(shí)用中，采用標(biāo)準(zhǔn)化變換：取標(biāo)準(zhǔn)變量(離均系數(shù))，即代入上式，,

,a0以相應(yīng)的和關(guān)系式表示，簡化后得：在水文計(jì)算中，一般要求出指定概率P所相應(yīng)370.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)pCsP-III型曲線離均系數(shù)

P值表注：詳表見附表1,p266被積函數(shù)含有參數(shù),Cs，而包含在

中，制成對應(yīng)關(guān)系表：0.031.302.473.384.160.20.021.238因此，由給定的CS

及P，從P-III型曲線離均系數(shù)

值表，查出P，再由下式求：

即求出指定概率P所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值xP因此，由給定的CS及P，從P-III型曲線39已知:某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,若年降雨量符合P-III型分布試求：P=1%

的年降雨量?！舅憷壳蠼猓河蒀S=1.0及P=1%，查附表1得p=3.02已知:某地年平均降雨量=1000mm,CV=40引入模比系數(shù)：

另一種求解方法：由由此建立的對應(yīng)數(shù)值關(guān)系[P-III型曲線模比系數(shù)KP

值表（見附表2）]上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2

CV

，P=1%查附表2得:引入模比系數(shù)：另一種求解方法：由由此建立的41P-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附表2,P266）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV。。。。。。（三）CS=6CVP-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附表2,P266）42

水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本(觀測的系列)去估計(jì)總體參數(shù)。4.3.隨機(jī)變量系列統(tǒng)計(jì)參數(shù)的估計(jì)估算方法有：

矩法；

適線法；

極大似然法；

權(quán)函數(shù)法；………水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情43現(xiàn)行水文頻率計(jì)算方法～配線法(適線法)是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，這是一種較好的參數(shù)估計(jì)方法，是我國估計(jì)洪水頻率曲線統(tǒng)計(jì)參數(shù)的主要方法?，F(xiàn)行水文頻率計(jì)算方法～配線法(適線法)是以經(jīng)44有關(guān)的概念介紹：1)經(jīng)驗(yàn)頻率及經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：【例】已知某地年降雨量的觀測資料(n=12)，并由大到小排列，按計(jì)算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值x的經(jīng)驗(yàn)頻率；m：x由大到小排列的序號，即在n次觀測資料中出現(xiàn)大于或等于某一值x的次數(shù)。有關(guān)的概念介紹：1)經(jīng)驗(yàn)頻率及經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：【例】已知45經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算表：n=12經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算表：n=1246其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)和x的關(guān)系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經(jīng)驗(yàn)分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經(jīng)驗(yàn)分布曲線:P(Xx)x其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)和x的47注意：樣本的每一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率用公式P=m/n進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)m=n時(shí)，P=100%，說明樣本的最末項(xiàng)為總體的最小值，這是不合理的。故必須進(jìn)行修正，中國常采用下面的公式進(jìn)行計(jì)算：經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算公式：這樣，當(dāng)m=n=12

時(shí)，該公式在水文計(jì)算中通常稱為期望公式注意：樣本的每一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率用公式P=m/n進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)m=48

所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機(jī)事件在很長時(shí)期內(nèi)平均多長時(shí)間出現(xiàn)一次（水文學(xué)中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗(yàn)中，某一隨機(jī)事件重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在水文分析中，重現(xiàn)期可以等效地替代頻率。2)重現(xiàn)期所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機(jī)事件在很長時(shí)期內(nèi)平49a.當(dāng)研究洪水或暴雨問題

水文上關(guān)心的是大于某洪水或某暴雨量發(fā)生的頻率，因此，重現(xiàn)期指在很長時(shí)期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于某水文變量XP事件的平均重現(xiàn)的間隔期T：式中，T：重現(xiàn)期，以年計(jì)；

P：大于某水文變量XP事件的頻率，頻率P與重現(xiàn)期T關(guān)系的兩種表示法：a.當(dāng)研究洪水或暴雨問題式中，T：重現(xiàn)期，以年計(jì)；頻率P50

水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)的重現(xiàn)期。重現(xiàn)期指在很長的時(shí)期內(nèi)(N年)出現(xiàn)小于某水文變量xP事件的平均重現(xiàn)間隔期。若水文變量大于xP的頻率為P

，則小于xP事件的頻率應(yīng)為1-P，在N年內(nèi)小于xP事件出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)為N(1-P)，因此其重現(xiàn)期為：b.當(dāng)研究枯水問題水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)51具體求解步驟：a

根據(jù)實(shí)測樣本資料進(jìn)行點(diǎn)繪[縱坐標(biāo)為隨機(jī)變量X=x，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)]，經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算公式為：b

假定一組參數(shù)

，可選用矩法的估值作為的初始值,一般不求CS，假定，K為比例系數(shù)，可選K＝1.5,2,2.5,3...3)適線法（配線法）的步驟已知：經(jīng)驗(yàn)頻率分布，求：總體分布參數(shù)具體求解步驟：b假定一組參數(shù)，可選用矩法52d根據(jù)選定的參數(shù)，由P-III型曲線離均系數(shù)值(附表1)或P-III型曲線模比系數(shù)KP值表(附表2)，求出xP~P

的頻率曲線，將其繪在有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關(guān)的參數(shù)(主要調(diào)整CV及K=CS/CV)，重復(fù)以上的步驟，重新配線；c選定線型，對于水文的隨機(jī)變量，一般選P-III型;e根據(jù)配合的情況，選出一配合最佳的頻率曲線作為采用曲線，則相應(yīng)的參數(shù)作為總體參數(shù)的估值。d根據(jù)選定的參數(shù)，由53PxP

適線法的實(shí)質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗(yàn)分布來推求總體分布，適線法的關(guān)鍵在于“最佳配合”的判別。經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)理論頻率曲線PxP適線法的實(shí)質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗(yàn)分布來推求總體分布，適線54為避免修改參數(shù)的盲目性，要了解參數(shù)對頻率曲線形狀的影響：a)值愈大，頻率曲線位置愈高；xPPPxPPxPc)CS值愈大，頻率曲線上段變陡，下段變緩，中部向左偏。b)CV值愈大，頻率曲線愈陡；為避免修改參數(shù)的盲目性，要了解參數(shù)556.5.1相關(guān)關(guān)系的概念

水文現(xiàn)象中許多變量不是孤立的，相互之間存在聯(lián)系，則分析研究二個(gè)或二個(gè)以上隨機(jī)變量之間的關(guān)系，稱作相關(guān)關(guān)系。6.5相關(guān)分析6.5.1相關(guān)關(guān)系的概念6.5相關(guān)分析56

如果兩個(gè)變量x,y，其中變量x的每一個(gè)值，變量y都有一個(gè)或多個(gè)確定值與之對應(yīng)，而且x,y成函數(shù)關(guān)系，即x,y的關(guān)系點(diǎn)完全落在直線或曲線上，則稱這二個(gè)變量是完全相關(guān)的。完全相關(guān)yx完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系〕直線關(guān)系曲線關(guān)系二個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系有以下三種情況：如果兩個(gè)變量x,y，其中變量x的每一個(gè)值57零相關(guān)YXb.零相關(guān)(沒有關(guān)系)如果兩個(gè)變量x,y之間互不影響互不相關(guān)，則稱這二個(gè)變量沒有關(guān)系或零相關(guān)。即x,y的關(guān)系點(diǎn)毫無規(guī)律，十分分散。零相關(guān)YXb.零相關(guān)(沒有關(guān)系)如果兩個(gè)58yx如果兩個(gè)變量x,y之間關(guān)系介于以上二者之間，x,y的關(guān)系點(diǎn)雖有點(diǎn)分散，但有明顯的趨勢，數(shù)學(xué)上可以用一定的表達(dá)式進(jìn)行擬合。則稱這二個(gè)變量關(guān)系為:

統(tǒng)計(jì)相關(guān)或相關(guān)關(guān)系。統(tǒng)計(jì)相關(guān)c.統(tǒng)計(jì)相關(guān)（相關(guān)關(guān)系〕yx如果兩個(gè)變量x,y之間關(guān)系介于以上二者59a.確定二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,以相關(guān)方程或回歸方程表示，用以由已知變量推求未知變量；b.判斷二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度,用一稱為相關(guān)系數(shù)的參數(shù)來表示。水文計(jì)算中的相關(guān)分析的主要任務(wù)：a.確定二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,60水文計(jì)算中，一般處理兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，稱簡相關(guān)，有時(shí)也要處理三個(gè)或三個(gè)以上變量關(guān)系，稱為復(fù)相關(guān)。簡相關(guān)可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)。曲線相關(guān)直線相關(guān)6.5.2

簡相關(guān)水文計(jì)算中，一般處理兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，稱61圖解法：根據(jù)實(shí)測值，將對應(yīng)點(diǎn)繪于方格紙上，如果點(diǎn)群分布平均趨勢為一直線，則可以直線來近似代表這種相關(guān)關(guān)系。通過點(diǎn)群中心目估繪出一條直線，然后在圖上量出直線的斜率a和截距b，則直線方程:

y=a+bx即為所求的相關(guān)方程。該方法簡便實(shí)用，而且一般情況下精度可以保證。1)回歸方程及其誤差分析圖解法：1)回歸方程及其誤差分析62相關(guān)分析法：若相關(guān)點(diǎn)分布較散，目估定線有一定任意性，為保證一定精確性，最好采用分析法來確定相關(guān)線的方程。設(shè)該直線方程形式為：

y=a+bx式中，x：自變量y：倚變量a,b：分別為一常數(shù)，待定。則相關(guān)點(diǎn)與直線在縱軸方向必然存在離差。相關(guān)分析法：若相關(guān)點(diǎn)分布較散，目估定線有一定任意性，為保63配合曲線與觀測點(diǎn)在縱軸方向的離差為：xiy配合曲線與觀測點(diǎn)在縱軸方向的離差為：xiy64要求配合曲線與所有的觀測點(diǎn)能“最佳”擬合，即滿足所有的觀測點(diǎn)的離差y的平方和為最小，即：分別對a,b求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：要求配合曲線與所有的觀測點(diǎn)能“最佳”擬合，即65求解上列兩聯(lián)立方程式，可得求解上列兩聯(lián)立方程式，可得66式中，：分別為x,y系列的均方差/標(biāo)準(zhǔn)差; ：分別為x,y系列的平均值; ：x,y系列的變差系數(shù)(按不偏估計(jì)公式計(jì)算):

：相關(guān)系數(shù);Kxi，Kyi：分別為xi,yi系列的模比系數(shù):式中，：分別為x,y系列的均67為回歸線的斜率，稱y為x倚的回歸系數(shù)(8-37)式即為y倚x的回歸方程，其曲線稱為回歸線/相關(guān)線(僅是對點(diǎn)據(jù)擬合最佳一條線)，亦可表示為：將

，

代入y=a+bx中得：為回歸線的斜率，稱y為x倚的回歸系數(shù)(8-37)式即68注意：由于x,y并非確定性關(guān)系，對于x=x0，無法知道其相應(yīng)的真正值y0，通過回歸方程求到：僅僅是真正值y0的一個(gè)估計(jì)值。故其與真正值y0存在偏差。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究，由于隨機(jī)因素的影響，y0在估計(jì)值上下波動呈正態(tài)分布，其均方誤差可用公式表示。注意：由于x,y并非確定性關(guān)系，對于x=x69式中，Sy：y倚x回歸線的均方誤;

yi

：觀測點(diǎn)的縱坐標(biāo)值;y：由回歸方程求到的縱坐標(biāo)值；n：觀測項(xiàng)的數(shù)目

y倚x回歸線的均方誤估算公式：如前所述，可以用均方誤進(jìn)行誤差分析，即對于任一固定的x=x0值，若以作為y的估值，其誤差不超過Sy的可能性為68.3%;其誤差不超過3Sy的可能性為99.7%。式中，Sy：y倚x回歸線的均方誤; y倚x回歸線的均方誤70另外，可以證明回歸線的均方誤與系列標(biāo)準(zhǔn)差及相關(guān)系數(shù)

有以下關(guān)系：式中，為y系列的標(biāo)準(zhǔn)差(無偏估計(jì)量)根據(jù)均方誤公式，也可以用

2來判斷相關(guān)程度:

若

2=1，Sy=0，則y=yi

，屬函數(shù)關(guān)系;

若

2=0，Sy=y，誤差最大，屬零相關(guān);

若0<

2<1,為統(tǒng)計(jì)相關(guān),

2

1,x,y關(guān)系愈密切。可知，均方誤Sy值愈大，則回歸方程的誤差愈大。另外，可以證明回歸線的均方誤與系列標(biāo)準(zhǔn)差及相71相關(guān)系數(shù)的均方誤可用下式來估算：式中，為相關(guān)系數(shù)；n為觀測項(xiàng)數(shù)。相關(guān)系數(shù)是根據(jù)有限的實(shí)測資料(樣本)計(jì)算出來的，故相關(guān)系數(shù)也不免帶有抽樣誤差

故水文上為了推斷二個(gè)變量的相關(guān)性，必須對樣本相關(guān)系數(shù)作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。相關(guān)系數(shù)的均方誤：相關(guān)系數(shù)的均方誤可用下式來估算：式中，為相關(guān)系數(shù)；72相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的思路---反證法：

檢驗(yàn)二個(gè)變量是否相關(guān)，先假定二個(gè)變量不相關(guān)，由此如果導(dǎo)致“不合理的現(xiàn)象”發(fā)生，則表明原先的假定不成立，拒絕“不相關(guān)”的假定，如果沒有導(dǎo)致“不合理現(xiàn)象”發(fā)生，則原假定成立，稱原假定是相容的。這里所謂的“不合理”不是指形式邏輯上的絕對矛盾，而是基于實(shí)踐中廣泛采用的一個(gè)原則：

"小概率事件在一次觀測中是不可能發(fā)生的"。相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的思路---反證法：相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)73-

α0+

αf(r)樣本相關(guān)系數(shù)密度曲線示意圖具體的檢驗(yàn)步驟：

假設(shè)兩變量X，Y在總體上不相關(guān)；

從不相關(guān)的兩變量總體中抽出大量的樣本(如n個(gè))，進(jìn)行相關(guān)分析，并分別計(jì)算各樣本的相關(guān)系數(shù)1,2,…n,由于假設(shè)總體不相關(guān)，可以判斷1,2,…n,為較小值的可能性大，而較大值的可能性小，其概率分布密度曲線f(r)~r如右圖所示：-α0+αf(r)樣本相關(guān)系數(shù)74

選定一個(gè)衡量事件發(fā)生可能性(概率)很小的指標(biāo)(水文統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱顯著性水平)，對于容量為n的樣本，則有一相應(yīng)的臨界值(為較大值)，樣本相關(guān)系數(shù)（根據(jù)原先假定

應(yīng)為很小的值）

超過±的可能性(概率)應(yīng)為較小值(水文上一般選

=0.05或0.01作為小概率)，即:由于

值很小，故≥為一小概率事件.選定一個(gè)衡量事件發(fā)生可能性(概率)很小的指標(biāo)(水文統(tǒng)計(jì)學(xué)75

取某一個(gè)具體的樣本所計(jì)算的

與作比較，以判斷總體是否相關(guān)：

若≥，說明樣本相關(guān)系數(shù)絕對值較大，且超過了臨界值，說明“小概率事件”發(fā)生了，則原先的假定是不能接受的，總體很大可能性是相關(guān)的。

若≤，說明樣本相關(guān)系數(shù)絕對值較小，未超過臨界值，則原先的假定可以成立，即總體很大可能性是不相關(guān)的。實(shí)用上，可查n~~(表8-7，p158)求取某一個(gè)具體的樣本所計(jì)算的與作比較，以判斷76不同顯著性水平下所需相關(guān)系數(shù)最低值n-2（n為樣本容量）0.10.050.020.0180.54940.63190.71550.764690.52140.60210.68510.7348100.49730.57600.65810.7079……………120.45750.53240.61200.6614……………1000.16380.19460.23010.2540不同顯著性水平下所需相關(guān)系數(shù)最低值n-20.10.0577則上式可寫成：

----直線關(guān)系故可按直線相關(guān)的方法求Y與X的回歸方程，再還原成y與x的函數(shù)關(guān)系。6.5.3

曲線相關(guān)1)冪函數(shù)方程二邊取對數(shù)：令:則上式可寫成：故可按直線相關(guān)的方法求Y與X的回歸方程，再還原78故可按直線相關(guān)的方法求Y倚X的回歸方程，再還原成y與x的函數(shù)關(guān)系則上式可寫成----直線關(guān)系2)指數(shù)函數(shù)方程二邊取對數(shù)：令故可按直線相關(guān)的方法求Y倚X的回歸方程，再還原成y79End！End！80第四章、水文統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)變量及其分布參數(shù)水文中常用的概率分布曲線統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)方法相關(guān)分析水文時(shí)間序列分析第四章、水文統(tǒng)計(jì)學(xué)隨機(jī)變量及其分布參數(shù)81學(xué)習(xí)要求：（1）了解概率、隨機(jī)變量及其概率分布的基本概念；

（2）了解水文頻率曲線常用的線型，要掌握P-III型分布曲線和經(jīng)驗(yàn)頻率曲線的性質(zhì)和計(jì)算方法；

（3）掌握水文頻率計(jì)算適線法的具體步驟和方法，特別是參數(shù)對頻率曲線的影響；

（5）了解相關(guān)分析的基本概念和方法，特別要掌握兩變量直線相關(guān)、曲線相關(guān)的方法和具體步驟；（6）水文過程的隨機(jī)模擬。

學(xué)習(xí)要求：

82水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象包含著必然性水文現(xiàn)象也包含著偶然性，對水文的偶然現(xiàn)象（或稱隨機(jī)現(xiàn)象）所遵循的規(guī)律一般稱做統(tǒng)計(jì)規(guī)律。物理成因分析法概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法水文現(xiàn)象具有二重性：水文現(xiàn)象也包含著偶然性834.1.1概率的基本概念與定理1.事件:是指隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。事件有兩種屬性：

數(shù)量性質(zhì)：直接測量的量或計(jì)算的量，如年降雨量，年徑流量...

屬性性質(zhì):

直接觀測到的現(xiàn)象，如天氣的雨天和晴天，嬰兒性別，錢幣的正面和背面...4.1.隨機(jī)變量及其分布參數(shù)4.1.1概率的基本概念與定理4.1.隨機(jī)變量及其分841)必然事件2)不可能事件3)隨機(jī)事件事件可以分為三種類型：2.概率

為了比較某隨機(jī)事件出現(xiàn)（或不出現(xiàn))的可能性大小，必然賦予一種量化的（以數(shù)量表示)指標(biāo)，這個(gè)數(shù)量指標(biāo)就是事件的概率。1)必然事件事件可以分為三種類型：2.概率85

式中，P(A)：一定條件下隨機(jī)事件A的概率；

n：試驗(yàn)中所有可能的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；

m：出現(xiàn)隨機(jī)事件A的結(jié)果數(shù)。簡單(古典)的隨機(jī)事件的概率定義用下式表示：古典的隨機(jī)試驗(yàn)是指所有試驗(yàn)的可能結(jié)果都是等可能的，而且試驗(yàn)的可能結(jié)果的總數(shù)是有限的。但水文事件不一定符合這種性質(zhì)。 式中，P(A)：一定條件下隨機(jī)事件A的概86對于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗(yàn)來估計(jì)事件的概率。設(shè)事件A在n次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了m次，則稱：3.頻率為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。注意：n

不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)。對于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗(yàn)來估計(jì)事件87頻率:

頻率是通過若干次試驗(yàn)后才能求得的經(jīng)驗(yàn)值，事先不能確定，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n愈大，即當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，理論上，n變成試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果總數(shù)，則頻率愈接近概率。概率和頻率的區(qū)別：概率:

在等可能條件下，表達(dá)事件客觀上出現(xiàn)的可能性大小，是一個(gè)理論值。頻率:概率和頻率的區(qū)別：概率:

在等可能條件881.隨機(jī)變量

用以表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量(事先是未知的)，由于它事先不能確定，是隨機(jī)的，稱為隨機(jī)變量。水文現(xiàn)象中的隨機(jī)變量，一般指某個(gè)水文特征值(如年徑流量、年降雨量、洪峰流量等)。4.1.2.隨機(jī)變量及其分布參數(shù)1.隨機(jī)變量4.1.2.隨機(jī)變量及其分布參數(shù)89

總體

在統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中，把某種隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體，稱為總體。如年徑流量的總體數(shù)是無窮的。統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個(gè)概念：

樣本

從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項(xiàng)數(shù)，稱為樣本容量。如實(shí)測的水文資料是有限的，是一樣本?？傮w統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個(gè)概念：樣本90

它是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量。在水文學(xué)中，常用大寫字母表示，記作X，而隨機(jī)變量的可能取的值記作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

一般稱之為隨機(jī)系列或隨機(jī)數(shù)列。

隨機(jī)變量的表示:它是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量。在水文學(xué)中，常用大寫字91離散型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量僅取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機(jī)變量。如洪峰次數(shù)，只能取0,1,2…，不能取相鄰兩數(shù)值之間的任何值。隨機(jī)變量的分類:連續(xù)型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量可以取得一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。如某河流斷面的流量可以取0~極限值之間的任何實(shí)數(shù)值。離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類:連續(xù)型隨機(jī)變量92對于離散型隨機(jī)變量：

隨機(jī)變量的取某一可能值的機(jī)會有的大有的小，即隨機(jī)變量取值都有一定的概率與之相對應(yīng)，可表示為：2.隨機(jī)變量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示隨機(jī)變量X

取值x1,x2,…xn

所對應(yīng)的概率。對于離散型隨機(jī)變量：2.隨機(jī)變量的概率分布93

x1x2x3x4……xnXP

離散型隨機(jī)變量概率分布圖一般將這種對應(yīng)關(guān)系稱作隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律，簡稱為分布律。可以用以下的分布圖形表示：x1x2x3x4…94

由于它的所有可能取值有無限個(gè)，而取個(gè)別值的概率為零，故無法研究個(gè)別值的概率。水文學(xué)上習(xí)慣研究隨機(jī)變量的取值等于或大于某個(gè)值的概率，表示為：

它是x的函數(shù)，稱作隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作F(x),即F(x)=P(Xx)

表示隨機(jī)變量X大于或等于值

x的概率，其幾何曲線稱作隨機(jī)變量的概率分布曲線（水文學(xué)上通常稱累計(jì)頻率曲線，簡稱頻率曲線）。

對于連續(xù)型隨機(jī)變量：由于它的所有可能取值有無限個(gè)，而取個(gè)別值的概95

由圖中可知，X=900，相應(yīng)的P(Xx)=0.15，說明大于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于500mm降雨的可能性為60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線

P(Xx)由圖中可知，X=900，相應(yīng)的P(Xx)=96

P(Xx)=P(X>x+x)+P(x+x>Xx)

P(x+x>Xx)=P(Xx)-P(X>x+x)=F(x)-F(x+x)

(8-1)由概率的加法定理：則，降雨量落在900和500mm的可能性為:60%-15%=45%

x

x+

x

PXP(Xx)P(X>x+x)隨機(jī)變量X落在(x，x+x)

的概率可用下式表示:

P(Xx)=P(X>x+x)+97平均概率密度：

隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,x+x)的概率與該區(qū)間長度的比值稱作隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,x+x)平均概率。概率密度函數(shù):平均概率密度：隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,x+x)98稱f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。而密度函數(shù)的幾何曲線稱作密度曲線。當(dāng)x

0，取極限得：稱f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。當(dāng)x099f(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdxf(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdx100通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X落在(x~x+dx)區(qū)間即dx上的概率=f(x)dx，稱之為概率元素，即為圖中的陰影面積；通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X概率分布函數(shù)F(x)，其與密度函數(shù)f(x)有如下的數(shù)學(xué)關(guān)系:通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X落在(x~x+dx101

F(x)分布函數(shù)，反映隨機(jī)變量X超過某個(gè)值x的概率。這兩個(gè)函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的分布規(guī)律。

f(x)密度函數(shù)，反映隨機(jī)變量X落入dx區(qū)間的平均概率；可見，隨機(jī)變量的二個(gè)函數(shù)：

F(x)分布函數(shù)，反映隨機(jī)變量X超過某個(gè)值x的102

在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)不易確定，或有時(shí)不一定需要用完整的形式來說明隨機(jī)變量，而只要知道其主要特征就可以。隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)中都包含一些參數(shù)（如均值、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)），而這些參數(shù)能反映隨機(jī)變量分布的特點(diǎn)：如有的分布集中，有的分布分散，有的分布對稱，有的分布非對稱，等等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中用以表示隨機(jī)變量這些分布特征的某些數(shù)值，稱之為隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)。3.隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)不易確定，或有時(shí)不一103平均數(shù)/數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的平均數(shù)是以概率為權(quán)重的加權(quán)平均值。a.反映位置特征參數(shù)

對于離散型隨機(jī)變量：平均數(shù)/數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的平均數(shù)是以104

式中，a、b分別為隨機(jī)變量X取值的上下限。

數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)代表整個(gè)隨機(jī)變量的總水平的高低，它為分布的中心。

對于連續(xù)的隨機(jī)變量：式中，a、b分別為隨機(jī)變量X取值的上下限。105

表示概率密度分布峰點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)。對于離散型隨機(jī)變量：

M0(x)

是使概率P(=xi)等于最大時(shí)所相應(yīng)的xi值。M0(x)=xiPi-1PiPi+1

Px離散型隨機(jī)變量的眾數(shù)眾數(shù)，記為M0(x)表示概率密度分布峰點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)。M0(x)=106M0(x)是概率密度函數(shù)f(x)等于最大時(shí)所對應(yīng)的xi值M0(x)f(x)x連續(xù)的隨機(jī)變量的眾數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量：M0(x)是概率密度函數(shù)f(x)等于最大107把概率密度分布分為二個(gè)相等部分的數(shù)。對于離散型的隨機(jī)變量：

將所有變量的可能取值按大小次序排列，位置居中的數(shù)字。中位數(shù)，記為Me(x)把概率密度分布分為二個(gè)相等部分的數(shù)。中位108對于連續(xù)的隨機(jī)變量中位數(shù)滿足：式中，a,b分別為隨機(jī)變量X取值的上下限Me(x)xf(x)1/21/2ab對于連續(xù)的隨機(jī)變量式中，a,b分別為隨機(jī)變量X109

該參數(shù)用以反映隨機(jī)變量分布離散程度(相對于隨機(jī)變量分布中心即平均值的差距)的指標(biāo)，通常有以下幾種：b.反映離散特征參數(shù)

值愈大，分布愈分散；值愈小，分布愈集中。

標(biāo)準(zhǔn)差（均方差)

(Standarddeviation)(8-6)122>1f(x)x標(biāo)準(zhǔn)差對密度函數(shù)的影響該參數(shù)用以反映隨機(jī)變量分布離散程度(相對于隨110變差系數(shù)（離差系數(shù)，離勢系數(shù)〕CV1CV2CV2>CV1f(x)x變差系數(shù)對密度函數(shù)的影響CV值愈大，分布愈分散；CV

值愈小，分布愈集中。對于均值不同的二個(gè)系列，用均方差來比較其離散程度就不合適，則要采用均方差和均值的比來表示：變差系數(shù)（離差系數(shù)，離勢系數(shù)〕CV1CV2CV2>CV111f(x)x偏態(tài)系數(shù)對密度函數(shù)的影響Cs=0Cs>0Cs<0若不對稱：CS

>0,稱為正偏；CS

<0,稱為負(fù)偏。c.反映對稱特征的參數(shù):

偏態(tài)系數(shù)（偏差系數(shù))f(x)x偏態(tài)系數(shù)對密度函數(shù)的影響Cs=0Cs>0Cs<0若1124.2.水文中常用的概率分布曲線1.正態(tài)分布(8-9)式中，：平均數(shù)；

：標(biāo)準(zhǔn)差。

許多隨機(jī)變量如水文測量誤差、抽樣誤差等一般服從正態(tài)分布。4.2.水文中常用的概率分布曲線1.正態(tài)分布(8-9)式中，113f(x)

a.單峰，只有一個(gè)眾數(shù)；b.對于平均數(shù)對稱,Cs=0；c.曲線二端趨于±∞，并以x軸為漸近線;d.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：f(x)a.單峰，只有一個(gè)眾數(shù)；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：114概率密度函數(shù)表達(dá)式：

2.皮爾遜Ⅲ型分布式中,（）~的伽瑪函數(shù),,,a

0：三個(gè)參數(shù)，它們與三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)有一定的關(guān)系，其表達(dá)式為：可見，當(dāng)以上三個(gè)參數(shù)確定后，P-III型密度函數(shù)亦完全確定。概率密度函數(shù)表達(dá)式： 2.皮爾遜Ⅲ型分布式中,（115f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線

a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲線的特點(diǎn)：一端有限另一端無限的不對稱單峰正偏曲線f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線a0M0(x)Me(x)x116在水文計(jì)算中，一般要求出指定概率P所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值xP，即求出的xP滿足下列等式：按上式計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，故實(shí)用中，采用標(biāo)準(zhǔn)化變換：取標(biāo)準(zhǔn)變量(離均系數(shù))，即代入上式，,

,a0以相應(yīng)的和關(guān)系式表示，簡化后得：在水文計(jì)算中，一般要求出指定概率P所相應(yīng)1170.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)pCsP-III型曲線離均系數(shù)

P值表注：詳表見附表1,p266被積函數(shù)含有參數(shù),Cs，而包含在

中，制成對應(yīng)關(guān)系表：0.031.302.473.384.160.20.021.2118因此，由給定的CS

及P，從P-III型曲線離均系數(shù)

值表，查出P，再由下式求：

即求出指定概率P所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值xP因此，由給定的CS及P，從P-III型曲線119已知:某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,若年降雨量符合P-III型分布試求：P=1%

的年降雨量。【算例】求解：由CS=1.0及P=1%，查附表1得p=3.02已知:某地年平均降雨量=1000mm,CV=120引入模比系數(shù)：

另一種求解方法：由由此建立的對應(yīng)數(shù)值關(guān)系[P-III型曲線模比系數(shù)KP

值表（見附表2）]上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2

CV

，P=1%查附表2得:引入模比系數(shù)：另一種求解方法：由由此建立的121P-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附表2,P266）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV。。。。。。（三）CS=6CVP-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附表2,P266）122

水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本(觀測的系列)去估計(jì)總體參數(shù)。4.3.隨機(jī)變量系列統(tǒng)計(jì)參數(shù)的估計(jì)估算方法有：

矩法；

適線法；

極大似然法；

權(quán)函數(shù)法；………水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情123現(xiàn)行水文頻率計(jì)算方法～配線法(適線法)是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，這是一種較好的參數(shù)估計(jì)方法，是我國估計(jì)洪水頻率曲線統(tǒng)計(jì)參數(shù)的主要方法?，F(xiàn)行水文頻率計(jì)算方法～配線法(適線法)是以經(jīng)124有關(guān)的概念介紹：1)經(jīng)驗(yàn)頻率及經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：【例】已知某地年降雨量的觀測資料(n=12)，并由大到小排列，按計(jì)算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值x的經(jīng)驗(yàn)頻率；m：x由大到小排列的序號，即在n次觀測資料中出現(xiàn)大于或等于某一值x的次數(shù)。有關(guān)的概念介紹：1)經(jīng)驗(yàn)頻率及經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：【例】已知125經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算表：n=12經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算表：n=12126其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)和x的關(guān)系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經(jīng)驗(yàn)分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經(jīng)驗(yàn)分布曲線:P(Xx)x其反映年降雨量(Xx)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)和x的127注意：樣本的每一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率用公式P=m/n進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)m=n時(shí)，P=100%，說明樣本的最末項(xiàng)為總體的最小值，這是不合理的。故必須進(jìn)行修正，中國常采用下面的公式進(jìn)行計(jì)算：經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算公式：這樣，當(dāng)m=n=12

時(shí)，該公式在水文計(jì)算中通常稱為期望公式注意：樣本的每一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率用公式P=m/n進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)m=128

所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機(jī)事件在很長時(shí)期內(nèi)平均多長時(shí)間出現(xiàn)一次（水文學(xué)中常稱為“多少年一遇”）。即在許多試驗(yàn)中，某一隨機(jī)事件重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間間隔的平均數(shù)，即平均的重現(xiàn)間隔期。在水文分析中，重現(xiàn)期可以等效地替代頻率。2)重現(xiàn)期所謂的重現(xiàn)期是指某一隨機(jī)事件在很長時(shí)期內(nèi)平129a.當(dāng)研究洪水或暴雨問題

水文上關(guān)心的是大于某洪水或某暴雨量發(fā)生的頻率，因此，重現(xiàn)期指在很長時(shí)期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于某水文變量XP事件的平均重現(xiàn)的間隔期T：式中，T：重現(xiàn)期，以年計(jì)；

P：大于某水文變量XP事件的頻率，頻率P與重現(xiàn)期T關(guān)系的兩種表示法：a.當(dāng)研究洪水或暴雨問題式中，T：重現(xiàn)期，以年計(jì)；頻率P130

水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)的重現(xiàn)期。重現(xiàn)期指在很長的時(shí)期內(nèi)(N年)出現(xiàn)小于某水文變量xP事件的平均重現(xiàn)間隔期。若水文變量大于xP的頻率為P

，則小于xP事件的頻率應(yīng)為1-P，在N年內(nèi)小于xP事件出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)為N(1-P)，因此其重現(xiàn)期為：b.當(dāng)研究枯水問題水文上關(guān)心的是小于xP的事件出現(xiàn)的頻率及相應(yīng)131具體求解步驟：a

根據(jù)實(shí)測樣本資料進(jìn)行點(diǎn)繪[縱坐標(biāo)為隨機(jī)變量X=x，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(Xx)]，經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算公式為：b

假定一組參數(shù)

，可選用矩法的估值作為的初始值,一般不求CS，假定，K為比例系數(shù)，可選K＝1.5,2,2.5,3...3)適線法（配線法）的步驟已知：經(jīng)驗(yàn)頻率分布，求：總體分布參數(shù)具體求解步驟：b假定一組參數(shù)，可選用矩法132d根據(jù)選定的參數(shù)，由P-III型曲線離均系數(shù)值(附表1)或P-III型曲線模比系數(shù)KP值表(附表2)，求出xP~P

的頻率曲線，將其繪在有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關(guān)的參數(shù)(主要調(diào)整CV及K=CS/CV)，重復(fù)以上的步驟，重新配線；c選定線型，對于水文的隨機(jī)變量，一般選P-III型;e根據(jù)配合的情況，選出一配合最佳的頻率曲線作為采用曲線，則相應(yīng)的參數(shù)作為總體參數(shù)的估值。d根據(jù)選定的參數(shù)，由133PxP

適線法的實(shí)質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗(yàn)分布來推求總體分布，適線法的關(guān)鍵在于“最佳配合”的判別。經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)理論頻率曲線PxP適線法的實(shí)質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗(yàn)分布來推求總體分布，適線134為避免修改參數(shù)的盲目性，要了解參數(shù)對頻率曲線形狀的影響：a)值愈大，頻率曲線位置愈高；xPPPxPPxPc)CS值愈大，頻率曲線上段變陡，下段變緩，中部向左偏。b)CV值愈大，頻率曲線愈陡；為避免修改參數(shù)的盲目性，要了解參數(shù)1356.5.1相關(guān)關(guān)系的概念

水文現(xiàn)象中許多變量不是孤立的，相互之間存在聯(lián)系，則分析研究二個(gè)或二個(gè)以上隨機(jī)變量之間的關(guān)系，稱作相關(guān)關(guān)系。6.5相關(guān)分析6.5.1相關(guān)關(guān)系的概念6.5相關(guān)分析136

如果兩個(gè)變量x,y，其中變量x的每一個(gè)值，變量y都有一個(gè)或多個(gè)確定值與之對應(yīng)，而且x,y成函數(shù)關(guān)系，即x,y的關(guān)系點(diǎn)完全落在直線或曲線上，則稱這二個(gè)變量是完全相關(guān)的。完全相關(guān)yx完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系〕直線關(guān)系曲線關(guān)系二個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系有以下三種情況：如果兩個(gè)變量x,y，其中變量x的每一個(gè)值137零相關(guān)YXb.零相關(guān)(沒有關(guān)系)如果兩個(gè)變量x,y之間互不影響互不相關(guān)，則稱這二個(gè)變量沒有關(guān)系或零相關(guān)。即x,y的關(guān)系點(diǎn)毫無規(guī)律，十分分散。零相關(guān)YXb.零相關(guān)(沒有關(guān)系)如果兩個(gè)138yx如果兩個(gè)變量x,y之間關(guān)系介于以上二者之間，x,y的關(guān)系點(diǎn)雖有點(diǎn)分散，但有明顯的趨勢，數(shù)學(xué)上可以用一定的表達(dá)式進(jìn)行擬合。則稱這二個(gè)變量關(guān)系為:

統(tǒng)計(jì)相關(guān)或相關(guān)關(guān)系。統(tǒng)計(jì)相關(guān)c.統(tǒng)計(jì)相關(guān)（相關(guān)關(guān)系〕yx如果兩個(gè)變量x,y之間關(guān)系介于以上二者139a.確定二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,以相關(guān)方程或回歸方程表示，用以由已知變量推求未知變量；b.判斷二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度,用一稱為相關(guān)系數(shù)的參數(shù)來表示。水文計(jì)算中的相關(guān)分析的主要任務(wù)：a.確定二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,140水文計(jì)算中，一般處理兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，稱簡相關(guān)，有時(shí)也要處理三個(gè)或三個(gè)以上變量關(guān)系，稱為復(fù)相關(guān)。簡相關(guān)可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)。曲線相關(guān)直線相關(guān)6.5.2

簡相關(guān)水文計(jì)算中，一般處理兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，稱141圖解法：根據(jù)實(shí)測值，將對應(yīng)點(diǎn)繪于方格紙上，如果點(diǎn)群分布平均趨勢為一直線，則可以直線來近似代表這種相關(guān)關(guān)系。通過點(diǎn)群中心目估繪出一條直線，然后在圖上量出直線的斜率a和截距b，則直線方程:

y=a+bx即為所求的相關(guān)方程。該方法簡便實(shí)用，而且一般情況下精度可以保證。1)回歸方程及其誤差分析圖解法：1)回歸方程及其誤差分析142相關(guān)分析法：若相關(guān)點(diǎn)分布較散，目估定線有一定任意性，為保證一定精確性，最好采用分析法來確定相關(guān)線的方程。設(shè)該直線方程形式為：

y=a+bx式中，x：自變量y：倚變量a,b：分別為一常數(shù)，待定。則相關(guān)點(diǎn)與直線在縱軸方向必然存在離差。相關(guān)分析法：若相關(guān)點(diǎn)分布較散，目估定線有一定任意性，為保143配合曲線與觀測點(diǎn)在縱軸方向的離差為：xiy配合曲線與觀測點(diǎn)在縱軸方向的離差為：xiy144要求配合曲線與所有的觀測點(diǎn)能“最佳”擬合，即滿足所有的觀測點(diǎn)的離差y的平方和為最小，即：分別對a,b求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：要求配合曲線與所有的觀測點(diǎn)能“最佳”擬合，即145求解上列兩聯(lián)立方程式，可得求解上列兩聯(lián)立方程式，可得146式中，：分別為x,y系列的均方差/標(biāo)準(zhǔn)差; ：分別為x,y系列的平均值