2022屆天津市部分區(qū)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列A．1B．2C．3D．4滿足，則公比（）2．已知集合M＝{x|1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，則M∩N＝（）A．[3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）3．數(shù)，則將它乘加，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到.如圖是驗證“的一個程序框圖，若輸入正整數(shù)的值為，則輸出的的值是（）世紀產(chǎn)生了著名的“”猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果是奇”猜想A．B．C．D．4．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．5．數(shù)列A．滿足：，則數(shù)列前項的和為B．C．D．6．已知平面向量的最小值為()，，滿足：，，則A．5B．6C．7D．87．已知函數(shù)，，且在上是單調(diào)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱8．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A．B．C．D．9．若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．36cm3B．48cm3C．60cm3D．72cm310．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示.則（）A．B．D．C．11．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知（），，，則A．2B．5C．7D．812．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A．B．2C．3D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，已知，，是邊的垂直平分線上的一點，則__________.14．已知，，，的夾角為30°，，則_________.15．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍為_____．16．一次考試后，某班全班50個人數(shù)學(xué)成績的平均分為正數(shù)，若把當成一個同學(xué)的分數(shù)，與原來的50個分數(shù)一起，算出這51個分數(shù)的平均值為，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的最大值為2.上的單調(diào)遞減區(qū)間；所對的邊分別是（Ⅰ）求函數(shù)（Ⅱ）在中,,角，且，求的面積．18．（12分）在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半（為參數(shù)），求直線軸建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為與曲線的交點的直角坐標.19．（12分）某公司打算引進一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)甲設(shè)備乙設(shè)備25034561053015501515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設(shè)備？請說明理由.20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為線，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲的極坐標方程為.（Ⅰ）求的極坐標方程和分別交的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)于兩點（與原點不重合），求的最小值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．，函數(shù)22．（10分）已知（1）若函數(shù).在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：對成立.上的任意兩個實數(shù)，，總有參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由正項等比數(shù)列滿足，即，又，即，運算即可得解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，又，解得.故選：C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】先化簡N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根據(jù)M＝{x|1＜x＜2}，求兩集合的交集.【詳解】因為N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因為M＝{x|1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|1＜x≤0}.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的的值.【詳解】，輸入，，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，，不成立，是偶數(shù)成立，則不成立，是偶數(shù)不成立，則不成立，是偶數(shù)成立，則；；，；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，成立，跳出循環(huán)，輸出的值為.故選：C.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，，四個焦點的坐標為，四個頂點的坐標為，四個頂點形成的四邊形的面積四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.5、A【解析】分析：通過對anan+1=2anan+1變形可知，進而可知，利用裂項相消法求和即可．詳解：又，，=5，，即，，數(shù)列前項的和為，故選A．點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.6、B【解析】建立平面直角坐標系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將關(guān)系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.的最小值轉(zhuǎn)化為用該【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設(shè)，由于，，且，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即時，，解得.所以當且僅當有最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.7、B【解析】根據(jù)函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，確定，然后一一驗證，A.若，則，由，得，但.B.由，，確定，再求解驗證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計算是否為0.【詳解】因為函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以若，即，所以，，則，又因為，即，解得，而，故A錯誤.由，不妨令，得由當，得或時，，不合題意.當時，，此時所以，故B正確.因為，函數(shù)，在上是單調(diào)遞增，故C錯誤.，故D錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.8、B【解析】利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡，由此求得【詳解】.依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】試題分析：該幾何體上面是長方體，下面是四棱柱；長方體的體積，四棱柱的底面是梯形，體積為，因此總的體積.考點：三視圖和幾何體的體積.10、C【解析】由圖象可知令,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,,即可求得.【詳解】依題意，解得，即,；因為所以，當時，.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.11、B【解析】求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，，，，同理可得：；；.；，，……..故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．12、A【解析】由奇函數(shù)定義求出【詳解】和．因為是定義在上的奇函數(shù)，.又當時，，.故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作出圖形，設(shè)點為線段的中點，可得出且，進而可計算出的值.【詳解】設(shè)點為線段的中點，則，，，.故答案為：【點睛】.本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及平面向量數(shù)量積運算律的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.14、1【解析】由求出，代入，進行數(shù)量積的運算即得.【詳解】，存在實數(shù)，使得.不共線，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對稱的點的等價命題是方程在區(qū)間上有解，化簡方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)對稱的點，與的圖象上存在關(guān)于軸則方程即方程設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有解，在區(qū)間上有解，，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得：，故函數(shù)故函數(shù)有最大值在區(qū)間，上的值域為上有解，；若方程在區(qū)間必有，則有；，即的取值范圍是故答案為：【點睛】；本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)的零點就是方程的根，在研究方程的有關(guān)問題時，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.16、1【解析】根據(jù)均值的定義計算．【詳解】由題意，．故答案為：1．【點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(1)由題意，f(x)的最大值為所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得x滿足即所以f(x)在［0,π］上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)ABC的外接圓半徑為R，由題意，得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0將式代入，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故18、【解析】將直線的極坐標方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程,聯(lián)立直角坐標方程求出交點坐標,結(jié)合的取值范圍進行取舍即可.【詳解】因為直線的極坐標方程為所以直線的普通方程為，，又因為曲線所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，的直角坐標方程為聯(lián)立方程因為,解得或，，所以舍去，故點的直角坐標為【點睛】.本題考查極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化;考查運算求解能力;熟練掌握極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.19、（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設(shè)備，理由見解析【解析】（1）的可能取值為10000，11000，12000，的可能取值為9000，10000，11000，12000，計算概率得到分布列；（2）計算期望，得到，設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，，計算分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列為如下9000100001100012000（2）設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，的可能取值為2，3，4，5，，，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，，，則的分布列為3456由于，，因此需購買甲設(shè)備【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.20、（Ⅰ）直線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為；（Ⅱ）2.，的直角坐標方程為【解析】（Ⅰ）由定義可直接寫出直線（Ⅱ）分別聯(lián)立兩直線和曲線的極坐標方程，對曲線同乘可得：，轉(zhuǎn)化成直角坐標為；的方程，由得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)即可求解；【詳解】（Ⅰ）直線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為由曲線所以的極坐標方程得，的直角坐標方程為.（Ⅱ）與的極坐標方程聯(lián)立得所以.與的極坐標方程聯(lián)立得所以.所以.所以當時，取最小值2.【點睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，極坐標中的幾何意義，屬于中檔題21、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分