《第一章三角形及其性質(zhì)》知識點(diǎn)講解典型例題輔導(dǎo)講義

?第一章三角形及其性質(zhì)?知識點(diǎn)解說典型例題指導(dǎo)講義?第一章三角形及其性質(zhì)?知識點(diǎn)解說典型例題指導(dǎo)講義?第一章三角形及其性質(zhì)?知識點(diǎn)解說典型例題指導(dǎo)講義三角形及其性質(zhì)〔提升〕知識解說【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解三角形及與三角形相關(guān)的見解,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法．理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；掌握并會把三角形按邊和角分類掌握并會應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系．理解三角形的高、中線、角均分線的見解，學(xué)會它們的畫法．對三角形的堅(jiān)固性有所認(rèn)識，知道這個性質(zhì)有寬泛的應(yīng)用．【重點(diǎn)梳理】重點(diǎn)一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾挨次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形．重點(diǎn)解說：1〕三角形的根本元素：①三角形的邊：即構(gòu)成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所構(gòu)成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的極點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).2〕三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上〞、“三條線段〞、“首尾挨次相接〞.〔3〕三角形的表示：三角形用符號“△〞表示，極點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC〞，讀作“三角形ABC〞，注意獨(dú)自的△沒存心義；△ABC的三邊能夠用大寫字母AB、BC、AC來表示，也能夠用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．重點(diǎn)二、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．重點(diǎn)解說：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理能夠解決以下三類問題：①在三角形中隨意兩個角的度數(shù)能夠求出第三個角的度數(shù)；②三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，能夠求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關(guān)系．重點(diǎn)三、三角形的分類按角分類：直角三角形三角形銳角三角形斜三角形鈍角三角形重點(diǎn)解說：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.按邊分類：不等邊三角形三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形重點(diǎn)解說：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，其余一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.重點(diǎn)四、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形隨意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形隨意兩邊之差小于第三邊.重點(diǎn)解說：〔1〕理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.〔2〕三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，假定兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，那么這三條線段能夠構(gòu)成三角形；反之，那么不可以夠構(gòu)成三角形．當(dāng)三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．〔3〕證明線段之間的不等關(guān)系．重點(diǎn)五、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角均分線是三角形中三條重要的線段，它們供給了重要的線段或角的關(guān)系，為我們此后深入研究三角形的一些特點(diǎn)起著很大的幫助作用，所以，我們需要從不同樣的角度弄清這三條線段，列表以下：線段三角形的高三角形的中線三角形的角均分線名稱三角形一個內(nèi)角的均分線從三角形的一個極點(diǎn)向它的三角形中，連結(jié)一個頂文字與它的對邊訂交，這個角對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線語言的極點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線點(diǎn)和垂足之間的線段．段．段．圖形語言作圖過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連結(jié)作∠BAC的均分線AD，交語言AD．BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形1．AD是△ABC的高．1．AD是△ABC的中線．1．AD是△ABC的角均分線．2．AD是△ABC中BC邊上的2．AD是△ABC中BC邊符號2．AD均分∠BAC，交BC高．上的中線．語言于點(diǎn)D．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．3．BD＝DC＝1BC3．∠1＝∠2＝1∠BAC．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝224．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的高，所以因?yàn)锳D是△ABC的中線，因?yàn)锳D均分∠BAC，所以推理AD⊥BC．所以BD＝DC＝1BC．∠1＝∠2＝1∠BAC．語言22(或∠ADB＝∠ADC＝90°)用途1．線段垂直．1．線段相等．角度相等．舉例2．角度相等．2．面積相等．注意1．與邊的垂線不同樣．—與角的均分線不同樣．事項(xiàng)2．不用然在三角形內(nèi)．三角形的三條高(或它們的一個三角形有三條中一個三角形有三條角均分重要延伸線)交于一點(diǎn)．線，它們交于三角形內(nèi)線，它們交于三角形內(nèi)一特點(diǎn)一點(diǎn)．點(diǎn)．重點(diǎn)六、三角形的堅(jiān)固性三角形的三條邊確立后，三角形的形狀和大小就確立不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的堅(jiān)固性。重點(diǎn)解說：1〕三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．2〕三角形的堅(jiān)固性在生產(chǎn)和生活中很合用．比方，房子的人字梁擁有三角形的構(gòu)造，它就堅(jiān)固而堅(jiān)固；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就能夠使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采納三角形構(gòu)造，也是這個道理．3〕四邊形沒有堅(jiān)固性，也就是說，四邊形的四條邊長確立后，不可以夠確立它的形狀，它的各個角的大小能夠改變．四邊形的不堅(jiān)固性也有寬泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要戰(zhàn)勝四邊形的不堅(jiān)固性，如在門框未安好以前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】種類一、三角形的內(nèi)角和1．在△ABC中，假定∠A＝1∠B＝1∠C，試判斷該三角形的形狀．23【思路點(diǎn)撥】由∠A＝1∠B＝1∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和23∠C的度數(shù)，進(jìn)而判斷三角形的形狀．【答案與解析】解：設(shè)∠A＝x，那么∠B＝2x，∠C＝3x．因?yàn)椤螦+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【總結(jié)升華】本題利用設(shè)未知數(shù)的方法求出三角形三個內(nèi)角的度數(shù)，解法較為奇妙．貫串交融：【變式1】〔2021春?泰興市期末〕如圖，BD是∠ABC的均分線，DE∥CB，交AB于點(diǎn)E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各內(nèi)角的度數(shù)．【答案】解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°．∵BD是∠ABC的角均分線，∴∠DBC=∠EBD=15°，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC=15°；∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°．【高清講堂：與三角形相關(guān)的角練習(xí)〔3〕】【變式2】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對互余的角？有對相等的銳角？【答案】3,2．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，那么∠C的度數(shù)是多少?【思路點(diǎn)撥】按△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種狀況，分類討論．【答案與解析】解：分兩種狀況討論：〔1〕當(dāng)△ABC為銳角三角形時，以以下列圖，在△ABD中，BD是AC邊上的高( )，∴∠ADB＝90°(垂直定義)．又∵∠ABD＝30°( )，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，以以下列圖．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°( )，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．綜上，∠C的度數(shù)為60°或30°．【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題．這就要求解答者必然具備依據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的圓滿性和其余各樣可能性，雙解和多解問題也是我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)注意的一個重要環(huán)節(jié)．種類二、三角形的分類3.一個三角形一個內(nèi)角的度數(shù)是108°，這個三角形是〔〕三角形；一個三角形三條邊的長度分別是7cm，8cm，7cm，這個三角形是〔〕三角形.【答案】鈍角；等腰貫串交融：【變式】一個等腰三角形的邊長為5cm和4cm，圍成這個等腰三角形最少需要〔〕cm長的繩索，最多需要〔〕cm長繩索〔接頭忽視不計(jì)〕.【思路點(diǎn)撥】關(guān)于所給邊長要分類討論：當(dāng)4cm為腰長時，需要繩索的長度最短；當(dāng)5cm為腰長時，需要繩索的長度最長.【答案】13；14種類三、三角形的三邊關(guān)系〔2021春?太康縣期末〕在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的長為偶數(shù)，求△ABC的周長．【答案與解析】解：依據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：9﹣2＜BC＜9+2，即7＜BC＜11，∵BC為偶數(shù)，AC=8或10，∴△ABC的周長為：9+2+8=19或9+2+10=21．【總結(jié)升華】本題主要察看了三角形的三邊關(guān)系，重點(diǎn)是掌握三角形的三邊關(guān)系，還要注意第三邊是偶數(shù)這一條件．貫串交融：【變式】三角形的三邊長為2，x-3，4，且都為整數(shù)，那么共能構(gòu)成個不同樣的三角形.當(dāng)x為時，所構(gòu)成的三角形周長最大.【答案】三；8(由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因?yàn)閤為整數(shù)，故x可取6，7，8；當(dāng)x=8時，構(gòu)成的三角形周長最大為11).如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)OB和OC．你能說明OB+OC＜AB+AC的原由嗎?假定AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能寫出OB+OC的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延伸BO交AC于點(diǎn)E，依據(jù)三角形的三邊關(guān)系能夠獲得，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，兩不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由圖可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因?yàn)镺B+OC＞BC，所以O(shè)B+OC＞7．又因?yàn)镺B+OC＜AB+AC，所以O(shè)B+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【總結(jié)升華】充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行解題．貫串交融：【變式】假定五條線段的長分別是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,那么以此中三條線段為邊可構(gòu)成______個三角形.【答案】3.種類四、三角形中的重要線段在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩局部，求三角形的各邊長．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，所以AD＝CD，造成兩局部不等的原由是BC邊與AB、AC邊不等，故應(yīng)分類討論．【答案與解析】解：如圖(1)，設(shè)AB＝x，AD＝CD＝1x．2(1)假定AB+AD＝12，即x1x12，所以x＝8，2即AB＝AC＝8，那么CD＝4．故BC＝15-4＝11．此時AB+AC＞BC，所以三邊長為8，8，11．(2)如圖(2)，假定AB+AD＝15，即x1x15，所以x＝10．2即AB＝AC＝10，那么CD＝5．故BC＝12-5＝7．明顯此時三角形存在，所以三邊長為10，10，7．綜上所述此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7．【總結(jié)升華】BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩局部，哪局部是12cm，哪局部是15cm，問題中沒有交代，所以，必然進(jìn)行分類討論．【高清講堂：與三角形相關(guān)的線段例5、】貫串交融：【變式】有一塊三角形優(yōu)秀品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四個品種進(jìn)行比較試驗(yàn)，需將這塊土地分紅面積相等的四塊，請你制定出兩種以上的方案供選擇.【答案】解：方案1：如圖〔1〕，在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，連結(jié)AE、AD、AF．方案2：如圖(2)，分別取AB、BC、CA的中點(diǎn)D、E、F，連結(jié)DE、EF、DF．方案3：如圖(3)，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)AD，再取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、CE．方案4：如圖(4)，在AB取點(diǎn)D，使DC＝2BD，連結(jié)AD，再取AD的三均分點(diǎn)E、F，連結(jié)CE、CF．種類五、三角形的堅(jiān)固性如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條〔四長四短〕構(gòu)成的幾個連續(xù)的菱形〔四條邊都相等〕，每一個極點(diǎn)處都有一個掛鉤〔連在軸上〕，不只雅觀，并且使用，你知道它能縮短的原由和固定方法嗎？【答案與解析】解：這類衣帽架能縮短是利用四邊形的不堅(jiān)固性，能夠依據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個不在同一木條上的極點(diǎn)固定就行了?！究偨Y(jié)升華】要使物體擁有堅(jiān)固性，應(yīng)做成三角形，否那么做成四邊形、五邊形等等.貫串交融：【變式】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，最少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形，最少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，最少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又最少要釘多少根木條?【答案】要使五邊形木架不變形，最少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，最少要釘4根木條；使n邊形木架不變形，最少要釘(n-3)根木條．全等三角形的見解和性質(zhì)〔提升〕責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解全等三角形及其對應(yīng)邊、對應(yīng)角的見解；能正確鑒識全等三角形的對應(yīng)元素.2．掌握全等三角形的性質(zhì)；會用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算，解決某些實(shí)詰問題.【重點(diǎn)梳理】重點(diǎn)一、全等形形狀、大小同樣的圖形放在一同能夠圓滿重合.能夠圓滿重合的兩個圖形叫做全等形.重點(diǎn)解說：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，地點(diǎn)變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.重點(diǎn)二、全等三角形能夠圓滿重合的兩個三角形叫全等三角形.重點(diǎn)三、對應(yīng)極點(diǎn)，對應(yīng)邊，對應(yīng)角1.對應(yīng)極點(diǎn)，對應(yīng)邊，對應(yīng)角定義兩個全等三角形重合在一同，重合的極點(diǎn)叫對應(yīng)極點(diǎn)，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角重點(diǎn)解說：在寫兩個三角形全等時，平常把對應(yīng)極點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)地點(diǎn)上，這樣簡單找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角

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.如以以下列圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，此中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對應(yīng)極點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對應(yīng)角.找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法1〕全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；2〕全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；3〕有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；4〕有公共角的，公共角是對應(yīng)角；5〕有對頂角的，對頂角必然是對應(yīng)角；〔6〕兩個全等三角形中一對最長的邊〔或最大的角〕是對應(yīng)邊〔或角〕的角〕是對應(yīng)邊〔或角〕，等等.

，一對最短的邊〔或最小重點(diǎn)四、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等；重點(diǎn)解說：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是此后研究其余全等圖形的重要工具.【典型例題】種類一、全等形和全等三角形的見解1、請察看以以下列圖中的6組圖案，此中是全等形的是__________.【答案】〔1〕〔4〕〔5〕〔6〕；【解析】〔1〕〔5〕是由此中一個圖形旋轉(zhuǎn)必然角度獲得另一個圖形的，〔4〕是將此中一個圖形翻折后獲得另一個圖形的，〔6〕是將此中一個圖形旋轉(zhuǎn)180°再平移獲得的，〔2〕〔3〕形狀同樣，但大小不等.【總結(jié)升華】能否是全等形，既要看形狀能否同樣，還要看大小能否相等.貫串交融：【變式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真吻合同三角形與鏡面合同三角形，假定△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，點(diǎn)A與點(diǎn)A1對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)B1對應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)C1對應(yīng)，當(dāng)沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1圍繞時，假定運(yùn)動方向同樣，那么稱它們是真吻合同三角形(如圖1)，假定運(yùn)動方向相反，那么稱它們是鏡面合同三角形(如圖2)，兩個真吻合同三角形都能夠在平面內(nèi)經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合，兩個鏡面合同三角形要重合，那么必然將此中一個翻轉(zhuǎn)180°，以下各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是( )【答案】B；提示：抓住重點(diǎn)語句，兩個鏡面合同三角形要重合，那么必然將此中一個翻轉(zhuǎn)180°，B答案中的兩個三角形經(jīng)過翻轉(zhuǎn)180°就能夠重合，應(yīng)選B；其余三個選項(xiàng)都需要經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合.種類二、全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角2、〔2021春?新疆期末〕如圖，△ABC≌△AEF，那么與∠EAC相等的角是〔〕A．∠ACBB.∠BAFC.∠CAFD.∠AFE【答案】B【解析】∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC-∠CAF＝∠EAF-∠CAF，即∠BAF=∠EAC.【總結(jié)升華】全等三角形的對應(yīng)極點(diǎn)的字母放在對應(yīng)地點(diǎn)上簡單確立出對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角.種類三、全等三角形性質(zhì)3、〔2021秋?鹽城期中〕如圖，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，1〕求DE的長．2〕假定A、B、C在一條直線上，那么DB與AC垂直嗎？為何？【思路點(diǎn)撥】〔1〕依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，此后依據(jù)DE=BD﹣BE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；〔2〕DB⊥AC．依據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一條直線上，依據(jù)平角的定義得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定義即可獲得DB⊥AC．【答案與解析】解：〔1〕∵△ABD≌△EBC，BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，DE=BD﹣BE=3cm；2〕DB⊥AC．原由以下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．【總結(jié)升華】本題主要察看了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等．也察看了平角的定義與垂直的定義，熟記性質(zhì)與定義是解題的重點(diǎn)．貫串交融：【變式】〔2021春?吉州區(qū)期末〕以下命題中：〔1〕形狀同樣的兩個三角形是全等形；〔2〕在兩個全等三角形中，相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊；〔3〕全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等，此中真命題的個數(shù)有〔〕A.3個個個個【答案】C；提示：〔1〕形狀同樣、大小相等的兩個三角形是全等形，而原說法沒有指出大小相等這一點(diǎn)，故〔1〕錯誤；〔2〕在兩個全等三角形中，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，而非相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊，故〔2〕錯誤；〔3〕全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角均分線分別相等，故〔3〕正確．綜上可得只有〔3〕正確．應(yīng)選C．【高清講堂：全等三角形的見解和性質(zhì)例14】4、如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180