春考數(shù)學(xué)公式大全整理稿

數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論元素與集合的關(guān)系xgAox電CA,xgCAox電A.UU德摩根公式C(ARB)=CAUCB；C(AUB)=CAQCB.UUUUUU3?集合｛a,a，…,a｝的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n-1個(gè)；非空子集有2n-i個(gè)；非空12n的真子集有2n-2個(gè).二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a豐0)；頂點(diǎn)式f(x)=a(x-h)2+k(a豐0);零點(diǎn)式f(x)=a(x-x)(x-x)(a豐0).12閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a豐0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值只能在x=-丄處及區(qū)間的兩端2a點(diǎn)處取得，具體如下：(可畫圖解決問題)(1)當(dāng)a>0時(shí)，若x=-[etp,q],則f(x)=f(-f),f(x)={f(p),f(q)}；2amin2amaxmaxx=-]gtp,q],f(x)={f(p),f(q)},f(x)={f(p),f(q)}.2amaxmaxminmin⑵當(dāng)a<0時(shí)，若x=-]etp,q],則f(x)=min{f(p),f(q)}，若x=-]纟[p,q],貝ij2amin2af(x)=max{f(p),f(q)}，f(x)=min{f(p),f(q)}.maxmin7.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假8.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有n個(gè)至多有(n—1)個(gè)小于不小于至多有n個(gè)至少有(n+1)個(gè)對(duì)所有x，成立存在某x，不成立p或q「p且「q對(duì)任何x，不成立存在某x，成立p且q「p或「q四種命題的相互關(guān)系充要條件(1)充分條件：若pnq，則p是q充分條件.必要條件：若qnp，則p是q必要條件.充要條件：若pnq，且qnp，則p是q充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.函數(shù)的單調(diào)性設(shè)x-xela,b]x豐x那么1212(x-x)[f(x)-f(x)]>0o_f(x2)>0of(x)在1a,b]上是增函數(shù)；1212x一x12(x-x)[f(x)-f(x)]<0ofM)_f(x2)<0of(x)在1a,b]上是減函數(shù).1212x-x1212.如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)f(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)y=f(u)和u=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù).13．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).14.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x二0(即y軸)對(duì)稱.(2)同底的指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。15.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)f(x)=f(x+a)，則f(x)的周期T=a；16.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(a>0,m,ngN*，且n>1).m1(2)a-n=(a>0,m,ngN*，且n>1).man17．根式的性質(zhì)(1)(na)n=a.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nan=a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a,a>0-a,a<018．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)ar?as=ar+s(a>0,r,sgQ).(2)(ar)s=ars(a>0,r,sgQ).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,rgQ).注：若a>0,p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式logN=boab=N(a>0,a豐1,N>0)a.對(duì)數(shù)的換底公式logNlogN=m—(a>0，且a豐1,m>0，且m豐1,N>0).alogamn推論logbn=logb(a>0，且a>1,m,n>0，且m豐1,n豐1,N>0).amma21．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a〉0,a#1,M〉0,N〉0,則⑴log(MN)=logM+logN;aaaM⑵log=logM-logN;aNaa⑶logMn=nlogM(neR).aa22.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系s,n=s,n=11s—s,n>2nn-123.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)的和為s=a+aHHa).nn12n其前n項(xiàng)和公式為s=na=aH(n-1)d=dnHa-d(neN*)；n11n(aHa)n(n-1)d1in=na+d=n2+(a-—d)n.21221224.24.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a=aqn-i=a-qn(neN*)；n1q其前n項(xiàng)的和公式為其前n項(xiàng)的和公式為a(1-qn)”1,q豐1s=$1—qnna,q=11a-aq4——l,q主1或s=$1-qnna,q=1125.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin20sin20+cos20=1，tan0=一cos0正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：奇變偶不變,符號(hào)看象限。和角與差角公式sin(a土卩)=sinacos卩土cosasin卩；cos(a土卩)=cosacos卩干sinasin卩；tana土tanBtan(a土卩)=—-.1+tanatan-asina+bcosa仝a2+b2sin(a+p)(輔助角P所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定，tanp=-).a二倍角公式sin2a=sinacosa.cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a._2tanatan2a=一1-tan2a三角函數(shù)的周期公式函數(shù)y=sin@x+申),xWR及函數(shù)y=cos(?x+申),xWR(A,s,申為常數(shù)，且AM0,s>0)的2兀周期T；/，兀，兀函數(shù)y=tangx+申),x豐k兀+—,keZ(A,s,9為常數(shù)，且AM0,s>0)的周期T=—.2①abc31?正弦定理===2R.sinAsinBsinC余弦定理a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.面積定理S=ah=—bh=—ch(h、h、h分別表示a、b、c邊上的咼).2a2b2cabcS=—absinC=—bcsinA=—casinB.222三角形內(nèi)角和定理在厶ABC中，有A+B+C=兀。C=n-(A+B)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)入、卩為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：入(ua)=(入u)a;⑵第一分配律：(入+u)a=入a+ua;⑶第二分配律：入(a+b)=入a+入b.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：a?b=b?a(交換律)；(九a)?b=九(a?b)=九a?b=a?(九b);(a+b)?c=a?c+b?c.平面向量基本定理如果e、e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)12數(shù)入、入，使得a二入e+入e.121122不共線的向量e、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.12向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a二(x,y),b=(x,y)，且b豐0,則a|b(b豐0)Oxy-xy=0.11221221a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a?b=|a||b|cos0.a?b的幾何意義數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算⑴設(shè)a二(x,y),b=(x,y)，則a+b=(x+x,y+y).11221212⑵設(shè)a二(x,y),b=(x,y)，則a-b=(x-x,y-y).11221212⑶設(shè)A(x,y),B(x,y)，則AB=OB-OA=(x-x,y-y).11222121⑷設(shè)a二(x,y),XgR，則九a二(九x,九y).⑸設(shè)a二(x,y),b=(x,y)，則a?b二(xx+yy).11221212兩向量的夾角公式xx+yy/、/、cose=1212(a=(x,y),b=(x,y)).Y：x2+y2-x2+y21122平面兩點(diǎn)間的距離公式d=IAB1=AB-ABA,B=、：'(x-x)2+(y-y)2(A(x,y)，B(x,y)).21211122向量的平行與垂直設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，且b豐0，貝卩1122AllbOb="Ox1y2—x2y1=0.a丄b(a豐0)Oa?b=0Oxx+yy=0.1212三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(xi‘yi)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則sc的重心的坐標(biāo)是~x+~x+x+xG(ty1+y2+y)46..一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a豐0,A=b2-4ac>0)，女口果a與ax2+bx+c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2+bx+c異號(hào)，則其解集在兩根之間簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.x<x<xo(x-x)(x-x)<0(x<x)；121212x<x,或x>xo(x-x)(x-x)>0(x<x).12121247.含有絕對(duì)值的不等式當(dāng)a〉0時(shí)，有|x<aox2<a2o-a<x<a.x>aox2>a2ox>a或x<一a.48.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1)當(dāng)a>1時(shí)，af(x)>ag(x)of(x)>g(x);logf(x)>logg(x)oaa<g(x)>0f(x)>g(x)(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，af(x)>ag(x)of(x)<g(x);49..斜率公式logf(x)>logg(x)oaa<g(x)>0f(x)<g(x)k=—21(P(x,y)、P(x,y)).k=tand(d豐90°)x-x1112222150.直線的五種方程k=v—2v1點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=k(x-x)(直線l過點(diǎn)P(x,y)，且斜率為k).11111斜截式y(tǒng)=kx+b(b為直線l在y軸上的截距).y-yx-x兩點(diǎn)式a=a(y豐y)(P(x,y)、P(x,y)(x豐x)).y-yx-x12111222122121xy(4)截距式+?=1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b主0)ab(5)—般式Ax+By+C=0(其中A、B不同時(shí)為0).51.兩條直線的平行和垂直若l:y=kx+b,l:y=kx+b111222①l||lok=k,b豐b②l丄lokk=—1.121212;1212若l:Ax+By+C二0,l:Ax+By+C二0，且A、A、B、B都不為零，111122221212ABC①l11lo—二一^豐—；②l丄loAA+BB二0；12ABC12121222252．四種常用直線系方程⑴定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)P(x,y)的直線系方程為y—y二k(x—x)(除直線x二x)，其000000中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點(diǎn)P(x,y)的直線系方程為A(x—x)+B(y—y)二0，其中A,B是00000待定的系數(shù)．共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l:Ax+By+C二0,l:Ax+By+C二0的交點(diǎn)的直線系方11112222程為(Ax+By+C)+九(Ax+By+C)=0(除l)，其中入是待定的系數(shù).1112222平行直線系方程：直線y=kx+b中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+九=0(X豐0)，入是參變量.垂直直線系方程：與直線Ax+By+C=0(AMO,BH0)垂直的直線系方程是Bx—Ay+九=0,入是參變量.點(diǎn)到直線的距離|Ax+By+C|d二00(點(diǎn)P(x,y)，直線l:Ax+By+C=0).v'A2+B200Ax+By+C>0或V0所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l:Ax+By+C=0，則Ax+By+C>0或v0所表示的平面區(qū)域是：若B豐0，當(dāng)B與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)B與Ax+By+C異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域?簡(jiǎn)言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.若B=0，當(dāng)A與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ax+By+C異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.55.(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面區(qū)域111222設(shè)曲線C:(Ax+By+C)(Ax+By+C)—0(AABB豐0)，則1112221212(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面區(qū)域是：111222(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；111222(Ax+By+C)(Ax+By+C)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.111222圓的四種方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2—r2.圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F—0(D2+E2-4F>0).點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x,y)與圓(x-a)2+(y-b)2—r2的位置關(guān)系有三種00若d—\(a—x)2+(b—y)2,貝y00d>ro點(diǎn)P在圓外；d—ro點(diǎn)P在圓上；d<ro點(diǎn)P在圓內(nèi).直線與圓的位置關(guān)系直線Ax+By+C—0與圓(x-a)2+(y-b)2—r2的位置關(guān)系有三種：d>ro相離oA<0；d—ro相切oA—0；d<ro相交oA>0.IAa+Bb+C其中d—.A2+B2兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為0,0,半徑分別為r,r,I00|=d1212112d>r+ro外離o4條公切線；d—r+ro外切o3條公切線；1212|r一rI<d<r+ro相交o2條公切線；d—|r一rIo內(nèi)切o1條公切線；112'1211210<d<|r-[|o內(nèi)含o無公切線.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)61．橢圓的的內(nèi)外部TOC\o"1-5"\h\zx2y2x2y2點(diǎn)p(x,y)在橢圓一+——l(a>b>0)的內(nèi)部Of+0<1.00a2b2a2b2x2y2x2y2點(diǎn)P(x,y)在橢圓一+]—1(a>b>0)的外部Of+~>1.00a2b2a2b2雙曲線的內(nèi)外部x2y2x2y2(1)點(diǎn)P(x,y)在雙曲線——一—1(a>0,b>0)的內(nèi)部°—°>1.00a2b2a2b2x2y2x2y2⑵點(diǎn)P(x,y)在雙曲線一—1—1(a>0,b>0)的外部Of—-<1.00a2b2a2b2雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系x2y2x2y2b(1)若雙曲線方程為——一—1亠漸近線方程：——一—0°y=±—x.a2b2a2b2a若漸近線方程為y-±2x°±￥=0亠雙曲線可設(shè)為——^-=九.aaba2b2x2y2x2y2若雙曲線與一-[=1有公共漸近線，可設(shè)為一-1=九(九〉0，焦點(diǎn)在x軸上，a2b2a2b2九<0，焦點(diǎn)在y軸上).64.拋物線y2=2px的焦半徑公式拋物線y2—2px(p>0)焦半徑|CF|—x0+彳.過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|CD|—x1+2+x2+2—x1+x2+p.拋物線y2—2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(￡-,y)或P(2pt2,2pt)或p(x,y)，其中y2—2px.2po拋物線的內(nèi)外部⑴點(diǎn)P(x,y)在拋物線y2—2px(p>0)的內(nèi)部oy2<2px(p>0).00點(diǎn)P(x,y)在拋物線y2—2px(p>0)的外部oy2>2px(p>0).00⑵點(diǎn)P(xo,y°)在拋物線y2一2px(p>0)的內(nèi)部oy2<-2”(p>0).點(diǎn)P(xo,yo)在拋物線y2一-px(p>0)的外部oy2>-2px(p>0)-⑶點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2二2py(p>0)的內(nèi)部Ox2<2py(p>0)-點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線x2二2py(p>0)的外部Ox2>2py(p>