這樣教豈不是更好

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朱小平

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開習(xí)題。習(xí)題教學(xué)必需明方向、理思路、有規(guī)律、重思維，方能使學(xué)生擺脫思維之困，提升解題能力，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。

人教版數(shù)學(xué)七年級上冊第130頁習(xí)題4.2第11題是一道拓展摸索題。如圖1所示，一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B，怎樣爬行路線最短？假如要爬行到頂點(diǎn)C呢？說出你的理由。

一次聽課活動中，執(zhí)教教師是這樣處理的：學(xué)生以小組為單位邊觀測圖1邊探討如何解題，用時(shí)20多分鐘之后，教師讓學(xué)生共享探討結(jié)果，一共得到4種從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑。這樣教學(xué)，不僅費(fèi)時(shí)吃力，而且效果不好。究其原因，教師在解決此題的過程中既沒拿實(shí)物演示，也沒有畫出相應(yīng)的展開圖進(jìn)行直觀講解，更沒有深入地挖掘問題的本質(zhì)，摸索出行之有效的解決問題的方法。

接下來，筆者共享自己對于此題的探究過程。

首先，每個(gè)小組準(zhǔn)備正方體盒子若干，按圖2標(biāo)注頂點(diǎn)A、B、C，并在六個(gè)面分別標(biāo)注上、下、前、后、左、右字樣。

然后，先后出示5個(gè)問題。

問題1：從點(diǎn)A到點(diǎn)B如何走最近？理由是什么？（兩點(diǎn)之間，線段最短）

問題2：從點(diǎn)A到點(diǎn)C如何走最近？理由是什么？（從點(diǎn)A到點(diǎn)B再到點(diǎn)C）

問題3：上述答案對嗎？對要說明理由，不對則給出正確路徑并解釋。

通過學(xué)生的解答，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生有轉(zhuǎn)化問題的意識和實(shí)際拼接經(jīng)驗(yàn)，但缺乏明晰的方向與有序的思考，只能借助直觀、動手操作、觀測發(fā)現(xiàn)獲取從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑的部分方法，而不能將立體圖形快速展開，確切形成點(diǎn)A、點(diǎn)C的共面，不重不漏地找出所有的最短路徑。基于此，筆者繼續(xù)出示了問題4。

問題4：方才我們通過把盒子的某些面拆拼到一起，得到了一些最短路徑，假如沒有紙盒供拆拼，我們怎樣才能迅速找到所有的最短路徑呢？

通過小組合作交流，學(xué)生認(rèn)為沒有實(shí)物的狀況下，只能借助圖形思考，想象點(diǎn)A、點(diǎn)C拼在同一平面的情形。顯然，學(xué)生只能從實(shí)踐操作到空間想象，不能到達(dá)規(guī)律推理的高度，缺乏用數(shù)學(xué)的思維思考、分析、解決問題的能力。于是，筆者追問：研究一個(gè)幾何對象，我們尋常會從組成它的元素開始研究，那么正方體有哪些元素？（頂點(diǎn)、棱、面）從元素出發(fā)，這個(gè)問題又該怎樣研究呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑必然與起點(diǎn)A和終點(diǎn)C這兩個(gè)頂點(diǎn)元素有關(guān)，螞蟻要從起點(diǎn)A沿正方體的表面爬行到終點(diǎn)C，一定會經(jīng)過含點(diǎn)A和點(diǎn)C的面，而點(diǎn)A、點(diǎn)C不共面，點(diǎn)A在“前〞“上〞“左〞三面，點(diǎn)C在“后〞“下〞“右〞三面，尋求從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑，就是要將空間問題平面化，把含點(diǎn)A的面與含點(diǎn)C的面組合在同一平面（如圖3），即利用“兩點(diǎn)之間，線段最短〞獲取路徑。

最終，為了更明了、更有條理地表示這一過程，筆者用圖4、圖5、圖6依序說明：前后、上下、左右這些兩兩相對的面可看成是對稱的，若從前下、前右、上右組合的面可以找到最短路徑，則其對稱的組合上后、左后、左下也必然成立，只有相鄰面才能拼接，而相對面平行，無法拼接。

通過對問題4的探討，學(xué)生得出了找“直線爬行路徑〞的一般方法。那么，這些路徑是否都是最短路徑呢？筆者出示問題5：將立體圖形展開成平面圖形后，一共有6種從點(diǎn)A到點(diǎn)C的直線爬行路徑，這些路徑的長度一樣嗎？都是最短的嗎？

學(xué)生通過對比路徑長度，發(fā)現(xiàn)它們都是由兩個(gè)一致大小的正方形組成的長方形的對角線的長度，故最短路徑有6種，分別經(jīng)過前下、前右、上后、上右、左后、左下這些面的展開圖。

此題解決的是“空間內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離〞問題，學(xué)生受思維定式影響，給出了從點(diǎn)A到點(diǎn)B再到點(diǎn)C的錯(cuò)誤的直覺判斷。此時(shí)，筆者讓學(xué)生借助實(shí)物操作，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，摸索發(fā)現(xiàn)了正確