第五講非線性方程模型實驗購房貸款利率

第五講非線性方程模型實驗購房貸款利率實驗目的實驗內容2、學會用Matlab代數(shù)方程的數(shù)值解.1、學會用Matlab求代數(shù)方程的解析解.1、求代數(shù)方程的解析解.4、實驗作業(yè).2、求代數(shù)方程的數(shù)值解.問題：如下是一則房產廣告。不難算出，你向銀行共借了25.2萬，30年內共要還51.696萬，約為當初借款的兩倍，這個案例中貸款年利率是多少？建筑面積總價30%首付70%按揭月還款86.98m236萬10.8萬30年1436元分析有人可能會這樣算年利率=(51.696-25.2)/30/25.2=3.5%

錯的，因為你并不是等到30年后一次性還款。

設xk—第k個月的欠款數(shù)；a—月還款數(shù)；r—為月利率，我們得到迭代關系式

xk+1=(1+r)xk-a(2.1)

那么

xk=(1+r)xk-1-a=(1+r)2xk-2-(1+r)a-a=…=…=(1+r)kx0-a[(1+r)k-1]/r根據(jù)a=0.1436,x0=25.2,x360=0得到25.2(1+r)360-0.1436[(1+r)360-1]/r=0(2.2)關于月利率r的高次代數(shù)方程。年利率R=12r.

非線性方程（組）簡介若方程是未知量x的多項式，稱為高次代數(shù)方程；若方程包含x的超越函數(shù)，稱為超越方程。一元非線性方程的一般形式為

f(x)=0(2.3)若對于數(shù)a有f(a)=0,則稱a為方程（2.3）的解或根，也稱為函數(shù)f(x)的零點。方程的根可能是實數(shù)也可能是復數(shù)。相應地稱為實根和復根。如果對于數(shù)a有f(a)=0,f(a)0,則a稱為單根，如果有k>1,f(a)=f(a)=…=f(k-1)(a)=0但f(k)(a)≠0,稱為k重根，對于高次代數(shù)方程，其根的個數(shù)與其次數(shù)相同（包括重數(shù)），至于超越方程，其界可能是一個或幾個甚至無窮多，也可能無解。常見的求解問題有如下兩重要求：一種是要求定出在給定范圍內的某個解，而解的粗略位置事先從問題的物理背景或應用（作圖等）其他方法得知；另一種是定出方程的全部解，或者給定區(qū)域內的所有解，而解的個數(shù)未知。除少數(shù)特殊的方程可以利用公式直接求解（如4次以下代數(shù)方程），一般都沒有解析求解方法，只能靠數(shù)值方法求得近似解。常見的數(shù)值方法有二分法等。n元非線性方程組的一般形式為

fi(x1,x2,…,xn)=0,i=1,…,m(2.4)

非線性方程組的解極少能用解析法求得。常用的數(shù)值方法是Newton法、擬Newton法和最優(yōu)化方法等。解方程和方程組的MATLAB命令

roots求多項式的根

fsolve方程（組）數(shù)值解

fzero求一元函數(shù)實根

solve符號方程（組）求解1.多項式的根roots(p)多項式p的所有復根。例

x3+2x2-5的根>>roots([120-5])ans=-1.6209+1.1826i-1.6209-1.1826i1.24192.一元函數(shù)零點

fzero(F,X,tol)F為字符串表示的函數(shù)或M函數(shù)名；

x為標量時，作為迭代初值；X為向量[a,b]時，返回F在[a,b]中的一個零點，這時要求F在a,b兩點異號；tol為精度（缺損值1e-4).例:y=sin(x)-0.1x>>fzero('sin(x)-0.1*x',6)ans=7.0682>>fzero('sin(x)-0.1*x',[2,6])ans=2.8523

注：fzero只能求零點附近變號的根，試用fzero求解(x-1)2=0,看看發(fā)生了什么？3.非線性方程組求解fsolve用法與fzero類似,例：解方程組寫M函數(shù)eg2_1fun.mfunctiony=fun(x)y(1)=4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1;y(2)=-x(1)+4*x(2)+x(1)^2/8;然后用>>[x,y,f]=fsolve('eg2_2fun',[0,0])x=0.23260.0565y=1.0e-006*0.09080.1798f=1注：X返回解向量,y返回誤差向量，f>0則解收斂?；蛑苯佑?gt;>[x,y,f]=fsolve('[4*x(1)-x(2)+exp(x(1))/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1).^2/8]',[0,0])x=0.23260.0565y=1.0e-006*0.09080.1798f=1注意：fsolve采用最小二乘優(yōu)化法，穩(wěn)定性比fzero好，但fsolve可能陷入局部極小。試用fsolve解x2+x+1=0,看會發(fā)生什么？不要完全相信計算機。4.解析求解solve例解ax2+bx+c=0>>solve('a*x^2+b*x+c','x')ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]>>[x,y]=solve('4*x-y+exp(x)/10=1','-x+4*y+y^2/8=0','x,y')x=y=注意所得的解與fsolve的不同。注意：雖然solve可用于求數(shù)值解，但速度很慢，且有很大的局限性，不提倡使用。數(shù)值解法：圖解法和迭代法1.圖解法例解方程

sin(x)=0.1x（2.5)

顯然，解在[-10,10]內，函數(shù)y=sinx-0.1x的零點就是(2.5)的解，作出y=sinx-0.1x在[-10,10]范圍內的圖象（圖2.1）,可看出根的大致位置。作圖可使用如下MATLAB語句：close;fplot('sin(x)-0.1*x',[-10,10]);grid;可知±8.5,±7,±3,0附近各有一解。

（在figure窗口用matlab的zoom命令演示）2、迭代法（牛頓法，切線法）求f(x)=0的解，從幾何上說xk+1為用f(x)在xk處的切線代替f(x)求得的解，故也稱為切線法。當初值x0與真解足夠靠近，Newton迭代法斂。單根快，重根慢。迭代格式：例求如下方程的正根（要求精度=10-6）

x2-3x+ex=2

解：令f(x)=x2-3x+ex-2,f(0)=-1<0,x>2,

f(x)>0,f′(x)>0,即f(x)單調上升，根在

[0，2]，先用圖解法找初值。>>fplot('x^2-3*x+exp(x)-2',[0,2]);gridon;唯一正根在1附近，取x0=1,迭代格式M腳本eg2_2.mclear,e=1e-6;formatlong;x1=1x0=x1+2*2;%使while成立while(abs(x0-x1)>e)x0=x1,x1=x0-(x0^2-3*x0+exp(x0)-2)/(2*x0-3+exp(x0))end;format得x1=1.44623868596643貸款利率問題求解考慮方程(2.2).常識上，r應比當時活期存款月利率略高。用活期存款月利率0.0198/12作為迭代初值，用fzero求解。（使用Matlab)>>r=fzero('25.2*(1+x)^360-((1+x)^360-1)/x*0.1436',0.0198/12),R=12*rr=0.0046R=0.0553練習1、作出f(x)=xsin(1/x)在[-0.1,0.1]內的圖，可見在x=0附近f(x)=0有無窮多個解，并設法求出它的解。2、（月還款額）作為房產公司的代理人，你要迅速準確回答用戶各方面的問題。現(xiàn)在有個客戶看中了貴公司一套建筑面積為120m2,單價5200元/m2的房子。他計劃首付30%，其余70%用20年按揭貸款（年利率5.58%)。請你提供下列信息：房屋總價格、首付款額、月付還款額。補充：混沌線性迭代要么收斂于它的不動點，要么趨于無窮大；而不收斂的非線性迭代可能會趨于無窮大，也可能趨于一個周期解，但也可能在一個有限區(qū)域內雜亂無章地動彈，由確定性運動導致的貌似隨機的現(xiàn)象稱為混沌現(xiàn)象。下面就Logistic迭代研究這一現(xiàn)象。

1.昆蟲數(shù)量的Logistic模型

xk表示第

k代昆蟲數(shù)量（1表示最大值）。(2.7)式反映了下一代對上一代的既依賴又競爭的關系。當上一代很少，繁殖能力不夠，從而后代很少；當上一代很多，會吃掉很多食物，后代難以存活，從而后代很少。a為資源系數(shù)，0a4保證了xk

在區(qū)間(0,1)上封閉。

2.平衡與穩(wěn)定稱a為映射g(x)的平衡解或不動點，若g(x)=ax(1-x).解方程

x=ax(1-x)得(2.7)式兩個不動點0和1-1/a.若初始值恰好為不動點，迭代式(2.7)的只永不改變。如果對于不動點x0附近的初始值，(2.7)收斂與此不動點，我們稱這一不動點是穩(wěn)定的。當0x<1,在[0,1]內只有一個不動點0，且由|g(0)|=a<1,可知它是穩(wěn)定的。說明資源匱乏時，昆蟲趨于死亡。當a>1,不動點0不再穩(wěn)定，而由|g(1-1/a)|=|2-a|<1可知1<a<3時不動點1-1/a

穩(wěn)定，說明資源適當時，昆蟲穩(wěn)定于一定數(shù)量。

3.周期解、分叉和混沌稱a為映射g(x)的周期k點，若gk(a)=a,而對任意j<k,gj(a)≠a（這里gj表示g的j次復合）。并稱a,g(a),…,gk-1(a)為周期k軌道。我們來求(2.7)的周期2軌道：解x-a2x(1-x)(1-ax(1-x))=0solve('x-a*a*x*(1-x)*(1-a*x*(1-x))=0')ans=[0][(-1+a)/a][(1/2*a+1/2+1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a][(1/2*a+1/2-1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a]可見當a2-2a-3>0,即a>3,出現(xiàn)兩個周期2解，可以證明3<a<1+61/2時周期2軌道穩(wěn)定。迭代開始發(fā)生倍周期分岔，從周期2，周期4，…，周期2n,…,直到a∞=3.569945672…。說明a在[3,a∞]取值時昆蟲數(shù)量呈現(xiàn)規(guī)律性振蕩。當a>a∞,(2.4)是的迭代序列幾乎雜亂無章，即所謂混沌。下列例子可形象地顯示上述現(xiàn)象。例（分叉圖）對a在[0,4]的不同值，畫出Logistic迭代的極限形態(tài)圖。如下M文件對于每一個a值，隨機產生一個初值。文件顯示前20步迭代的變化。最后用第180~200步迭代值表示極限形態(tài)，最后結果見圖2-3。%M腳本2_3.mclear;close;a=0:0.01:4;M=length(a);K=200;X=zeros(K,M);x(1,:)=rand(1,M);form=1:M,fork=1:K-1x(k+1,m)=a(m)*x(k,m)*(1-x(k,m));end,endfork=1:20,plot(a,x(k,:),'.');title(['k=',int2str(k)]);pause(2);end;plot(a,x(180:K,:),'.');xlabel('a');ylabel('x');holdoff;4.混沌的特征混沌是由確定性系統(tǒng)產生的貌似隨機的現(xiàn)象。一般認為混沌有如下幾個特征初值的敏感性：兩個任意近的點出發(fā)的兩條軌跡遲早會分得很開；遍歷性：任意點出發(fā)的軌跡總會進入[0,1]內任意小的開區(qū)間。例（初值的敏感性）如下M文件eg2_4.m