基本不等式的應用習題課

【選題明細表】知識點、方法題號利用基本不等式求最值1、2、6、8利用基本不等式求解實際應用題5、7、12利用基本不等式求解恒成立問題3、4綜合問題9、10、11、13基礎達標1.已知x,y為正實數(shù),且x+4y=1,則xy的最大值為(C)(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE解析:∵x,y均為正實數(shù),且x+4y=1,∴xy=QUOTE(x·4y)≤QUOTE·（QUOTE）2=QUOTE·（QUOTE）2=QUOTE,當且僅當x=4y即x=QUOTE,y=QUOTE時取等號.故xy的最大值是QUOTE,故選C.2.(2022淄博高二期末)已知x>1,y>1且xy=16,則log2x·log2y(D)(A)有最大值2 (B)等于4(C)有最小值3 (D)有最大值4解析:∵x>1,y>1,∴l(xiāng)og2x>0,log2y>0.∴l(xiāng)og2x·log2y≤（QUOTE）2=（QUOTE）2=4,當且僅當x=y=4時取等號.故選D.3.當x>1時,不等式x+QUOTE≥a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(D)(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)(C)[3,+∞) (D)(-∞,3]解析:由于x>1,∴x-1>0,QUOTE>0,于是x+QUOTE=x-1+QUOTE+1≥2+1=3,當QUOTE=x-1即x=2時等號成立,即x+QUOTE的最小值為3,要使不等式恒成立,應有a≤3,故選D.4.(2022福建莆田十八中高二檢測)若對所有正數(shù)x,y,不等式x+y≤aQUOTE都成立,則a的最小值是(A)(A)QUOTE (B)2 (C)2QUOTE (D)8解析:∵x>0,y>0,∴x+y=QUOTE≤QUOTE=QUOTE·QUOTE,當且僅當x=y時等號成立,所以使得x+y≤aQUOTE都成立的a的最小值是QUOTE.故選A.5.某汽車運輸公司購買了一批豪運營,據(jù)市場分析,每輛客車營運的總利潤y(單位:10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)的關系(如圖),若使營運的年平均利潤最大,則每輛客車營運的年數(shù)為(C)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由題圖求得函數(shù)為y=-(x-6)2+11,則營運的年平均利潤QUOTE=QUOTE=12-（x+QUOTE）≤12-2QUOTE=2,當且僅當x=QUOTE時取等號,解得x=5.故選C.6.(2022三門峽高二期末)已知正數(shù)a、b滿足QUOTE+QUOTE=3,則ab的最小值為.

解析:QUOTE+QUOTE=3≥2QUOTE?QUOTE≥2?ab≥4.當且僅當QUOTE=QUOTE,即a=6,b=QUOTE時取等號.答案:47.某公司一年購買某種貨物400買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=噸.

解析:總運費與總存儲費用之和f(x)=4x+QUOTE×4=4x+QUOTE≥2QUOTE=160,當且僅當4x=QUOTE,即x=20噸時,f(x)最小.答案:20能力提升8.(2022南陽高二期末)已知x≥QUOTE,則f(x)=QUOTE有(D)(A)最大值QUOTE (B)最小值QUOTE(C)最大值1 (D)最小值1解析:f(x)=QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=1.當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=3時取“=”.故選D.9.(2022滁州高二期末)若關于x的不等式ax+b>0的解集為(1,+∞),則a-QUOTE+1的最小值為.

解析:由題意可得a·1+b=0,a>0,所以a-QUOTE+1=a+QUOTE+1≥3,當且僅當a=1,b=-1時取等號.答案:310.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m,n>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為.

解析:函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A(-2,-1),(-2)·m+(-1)·n+1=0,2m+n=1,m,n>0,QUOTE+QUOTE=（QUOTE+QUOTE）·(2m+n)=4+QUOTE+QUOTE≥4+2QUOTE=8,當且僅當QUOTE即QUOTE時等號成立.答案:811.(2022錦州高二期末)(1)已知a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),求證:QUOTE+QUOTE≥QUOTE,并指出等號成立的條件;(2)利用(1)的結論求函數(shù)f(x)=QUOTE+QUOTE（x∈（0,QUOTE））的最小值,并指出取最小值時x的值.(1)證明:（QUOTE+QUOTE）(x+y)=a2+b2+a2QUOTE+b2QUOTE≥a2+b2+2QUOTE=(a+b)2,故QUOTE+QUOTE≥QUOTE,當且僅當a2QUOTE=b2QUOTE,即QUOTE=QUOTE時上式取等號.(2)由(1)得f(x)=QUOTE+QUOTE≥QUOTE=25,當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時上式取最小值,即f(x)min=25.12.(2022德所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求B點在AM上,D點在AN上,且對角線MN過點C,已知AB=2米,AD=1米.(1)要使矩形AMPN的面積大于9平方米,則DN的長應在什么范圍內(nèi)?(2)當DN的長度為多少時,矩形花壇AMPN的面積最小?并求出最小值.解:(1)設DN的長為x(x>0)米,則|AN|=(x+1)米,∵QUOTE=QUOTE,∴|AM|=QUOTE,∴S矩形AMPN=|AN|·|AM|=QUOTE由S矩形AMPN>9得QUOTE>9,又x>0得2x2-5x+2>0,解得0<x<QUOTE或x>2.即DN的長的取值范圍是（0,QUOTE）∪(2,+∞).(單位:米)(2)矩形花壇的面積為:y=QUOTE=QUOTE=2x+QUOTE+4(x>0)≥2QUOTE+4=8.當且僅當2x=QUOTE即x=1時,矩形花壇的面積最小為8平方米.探究創(chuàng)新13.(2022寧德質檢)關于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),則x1+x2+QUOTE的最小值是(C)(A)QUOTE (B)QUOTE