第十章 剛體的平面運(yùn)動(dòng) 2015年太原理工大學(xué)《理論力學(xué)》課件

第十章剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解平面圖形上各點(diǎn)的速度分析平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解一、剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義

觀察上述剛體的運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)，它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有一個(gè)共同的特征，即：當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一點(diǎn)至某一固定平面的距離始終保持不變。具備這樣一個(gè)特征的剛體的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱平面運(yùn)動(dòng)。剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解二、剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化如圖所示，剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上所有與空間某固定平面距離相等的點(diǎn)所構(gòu)成的平面圖形就保持在它自身所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

經(jīng)分析可得如下結(jié)論：

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解

三、剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程建立如圖的靜坐標(biāo)系，將點(diǎn)稱為基點(diǎn)。當(dāng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，，和均隨時(shí)間連續(xù)變化，它們均為時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即上式稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程。分析運(yùn)動(dòng)方程可知，平面運(yùn)動(dòng)包函了平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種基本運(yùn)動(dòng)形式，即：平面運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解

四、平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)在平面圖形S上任選一點(diǎn)作為基點(diǎn)，并以基點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)建立隨同基點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)坐標(biāo)系，如圖所示。于是：平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）就可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）。在進(jìn)行平面運(yùn)動(dòng)的分解時(shí)，基點(diǎn)的選擇是完全任意的。在解決具體問(wèn)題時(shí)，一般總是選圖形上其運(yùn)動(dòng)為已知的點(diǎn)作為基點(diǎn)。由于所選的基點(diǎn)不同，分解運(yùn)動(dòng)中的平動(dòng)部分的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同，即：圖形隨同基點(diǎn)平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的位置的選擇有關(guān)。但圖形對(duì)于不同的基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度都是一樣的。下面予以說(shuō)明：剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解如圖所示，由圖可知：而所以類似地即：在任一瞬時(shí)，圖形繞其平面內(nèi)任何點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度都相同。亦即：角速度和角加速度與基點(diǎn)的位置的選擇無(wú)關(guān)。于是可以直接稱為平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度平面圖形上各點(diǎn)的速度分析

一、基點(diǎn)法（速度合成法）如圖，在圖形內(nèi)任取一點(diǎn)作為基點(diǎn)，已知該點(diǎn)的速度為及圖形的角速度為，則圖形上任一點(diǎn)M的牽連速度為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度的大小為方向如圖。M點(diǎn)的速度即為絕對(duì)速度，即。于是根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理可將M點(diǎn)的速度寫成即：平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和。這就是平面運(yùn)動(dòng)的速度合成法，又稱基點(diǎn)法。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析

二、速度投影法將速度矢量式投影到上，則有即：在任一瞬時(shí)，平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。這就是速度投影定理。

三、速度瞬心法如圖所示，在垂直于的半直線上必有一點(diǎn)且僅有一點(diǎn)，它的相對(duì)速度和牽連速度大小相等而方向相反，因而絕對(duì)速度等于零。點(diǎn)的位置滿足下列關(guān)系或平面圖形上各點(diǎn)的速度分析即：如平面圖形的角速度不等于零，則該瞬時(shí)圖形上總有唯一的速度為零的一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)稱為圖形的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱瞬心。如取瞬心作為基點(diǎn)，則平面圖形上任一點(diǎn)M的速度大小為必須指出：瞬心可以在平面圖形內(nèi)，也可在平面圖形外，它的位置不是固定的。即：平面圖形在不同的瞬時(shí)具有不同的速度瞬心。由此可見(jiàn)，剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以認(rèn)為是繞一系列的瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。如果求出圖形的角速度和確定出數(shù)心的位置，就可以求出圖形上所有各點(diǎn)在此瞬時(shí)的速度。這種方法稱為瞬時(shí)速度中心法，簡(jiǎn)稱瞬心法。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析

下面介紹確定瞬心的方法：平面圖形上各點(diǎn)的速度分析例1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖。已知連桿AB的長(zhǎng)度，滑塊A的速度，求連桿與水平方向夾角為時(shí)，滑塊B和連桿中點(diǎn)M的速度。解：（1）基點(diǎn)法

AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的速度為B點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖所示。建立如圖的投影坐標(biāo)，由速度合成矢量式，將各矢量投影到軸上得于是方向如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析以A為基點(diǎn)，則M點(diǎn)的速度為M點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖所示。建立如圖的投影坐標(biāo)，由速度合成矢量式，將各矢量投影到軸上得解之得（2）速度投影法由速度投影定理財(cái)?shù)媒獾梅较蛉鐖D。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析（3）瞬心法

AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)。方向如圖。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析例2如圖所示，一個(gè)帶有凸緣的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)。已知輪心速度為，輪凸緣半徑為R，輪半徑為r，求其上A、B、C、D各點(diǎn)的速度。解：（1）基點(diǎn)法輪子作平面運(yùn)動(dòng)，以輪心O為基點(diǎn)，則A、B、C、D各點(diǎn)的速度為速度合成矢量圖如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析下面先求平面圖形的角速度。如圖所示。由于此式對(duì)任意時(shí)間都成立，故兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有由此可得再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有由此可得平面圖形上各點(diǎn)的速度分析取如圖的水平投影軸，由以上的速度合成矢量式，將各矢量投影到軸上得平面圖形上各點(diǎn)的速度分析（2）瞬心法輪子作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心和C點(diǎn)重合，如圖所示。則方向如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析例3曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長(zhǎng)r以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=BC=BD=l，當(dāng)曲柄與水平線成角時(shí)，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成角。試求圖示位置時(shí)，桿AB、BC的角速度以及沖頭C的速度。解：連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)，則方向如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析連桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)，則方向如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析例4圖示機(jī)構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為，，角，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心分別為和點(diǎn)，則方向如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的速度分析例5直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑。圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無(wú)滑動(dòng)，如圖，求時(shí)圓柱的角速度。解一：圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在點(diǎn)，設(shè)其角速度為。

AB圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在點(diǎn)，則即亦即故平面圖形上各點(diǎn)的速度分析解二：由于圓柱作純滾動(dòng)，所以O(shè)點(diǎn)的速度為以O(shè)為基點(diǎn)，則D點(diǎn)的速度為根據(jù)速度投影定理有則平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析如圖所示。由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的加速度合成定理，有由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，所以，于是有而其中故即：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這就是平面運(yùn)動(dòng)的加速度合成法，又稱基點(diǎn)法。平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析例6車輪在地面上作純滾動(dòng)，已知輪心O在圖示瞬時(shí)的速度為，加速度為，車輪半徑為r，如圖。試求輪緣與地面接觸點(diǎn)C的加速度。解：車輪作平面運(yùn)動(dòng)，取O點(diǎn)為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度為由于于是可得取如圖的投影軸，由以上的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得于是方向由C點(diǎn)指向O點(diǎn)。平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析例7圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，已知曲柄OA長(zhǎng)0.2m，連桿AB長(zhǎng)1m，OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)，則轉(zhuǎn)向如圖。AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為其中平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析取如圖的投影軸，由將各矢量投影到投影軸上，得解之得于是方向如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析例8如圖所示四連桿機(jī)構(gòu)中，AB=1m，AD=3m，BC=CD=2m，已知AB以勻角速度繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試求BC和CD桿的角加速度及BC桿中點(diǎn)G的加速度。解：BC作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)，則平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析

BC作平面運(yùn)動(dòng)，以B為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度為其中建立如圖所示的投影軸，由以上形式的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得解得所以平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析

BC作平面運(yùn)動(dòng)，以B為基點(diǎn)，則G點(diǎn)的加速度為其中建立如圖所示的投影軸，由以上形式的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得解之得平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析例9圖示平面機(jī)構(gòu)中，OA桿以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)連桿AB帶動(dòng)輪B在固定輪上作純滾動(dòng)。已知OA=r，輪B半徑也為r，固定輪半徑R=2r。求圖示位置B輪的角速度和角加速度及AB桿的角加速度。解：AB在圖示瞬時(shí)作瞬時(shí)平動(dòng)。因此輪B作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心和C點(diǎn)重合，故

AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析其中建立如圖所示的投影軸，由將各矢量投影到投影軸上得解得于是得轉(zhuǎn)向與圖示方向相反。轉(zhuǎn)向如圖。平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析例10圖示平面機(jī)構(gòu)，由四根桿依次鉸接而成。已知AB=BC=2r，CD=DE=r，AB桿與ED桿分別以勻角速度與繞A、E軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在圖示瞬時(shí)AB與CD鉛垂、BC與DE水平，試求該瞬時(shí)BC桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和C點(diǎn)的加速度大小。解：BC和CD作平面運(yùn)動(dòng)，分別以B點(diǎn)和D點(diǎn)為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的速度，有于是有建立如圖的投影軸，由以上速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析其中故轉(zhuǎn)向如圖所示。BC和CD作平面運(yùn)動(dòng)，分別以B點(diǎn)和D點(diǎn)為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度，有于是有平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析其中建立如圖的投影軸，由以上加速度合成矢量式，將各矢量投影軸上得將矢量式投影到投影軸上得故C點(diǎn)的加速度大小為運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例例11圖示平面機(jī)構(gòu)，桿和OC的長(zhǎng)度均為r，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2r，三個(gè)頂點(diǎn)分別與桿、OC及套筒鉸接；直角折桿EDF穿過(guò)套筒A，其DF段置于水平槽內(nèi)。在圖示瞬時(shí)，桿水平，B、C、O三點(diǎn)在同一鉛垂線上，桿OC的角速度為，角加速度為零。試求此瞬時(shí)桿EDF的速度和加速度。解：三角板作平面運(yùn)動(dòng)，在圖示瞬時(shí)瞬心和B點(diǎn)重合。于是三角板的角速度為以滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系取在折桿上，靜系取在地面上，則動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖所示。運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例由圖示幾何關(guān)系，得所以方向如圖。三角板作平面運(yùn)動(dòng)，以C為基點(diǎn)，分析B點(diǎn)的加速度有加速度合成矢量圖如圖所示。取如圖的投影軸，由以上的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得故于是可得運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，分析A點(diǎn)的加速度，有由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的加速度合成定理有于是可得加速度合成矢量圖如圖所示。其中取如圖的投影軸，由以上的加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得即即為折桿的加速度。運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例例12半徑r=1m的輪子，沿水平直線軌道純滾動(dòng)，輪心具有勻加速度，借助于鉸接在輪緣A點(diǎn)上的滑塊，帶動(dòng)桿OB繞垂直圖面的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，在初瞬時(shí)（t=0）輪處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)t=3s時(shí)機(jī)構(gòu)的位置如圖。試求桿OB在此瞬時(shí)的角速度和角加速度。

解：當(dāng)t=3s時(shí)，輪心C的速度輪子作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系取在OB桿上，靜系取在地面上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖所示。由圖可知故于是，桿OB的角速度轉(zhuǎn)向如圖。輪作平面運(yùn)動(dòng)，取C為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度合成定理，動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)加速度為運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例于是可得動(dòng)點(diǎn)的加速度合成矢量圖如圖所示。其中取如圖的投影軸，由以上加速度合成矢量式，將各矢量投影到投影軸上得運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例于是，桿OB的角加速度為轉(zhuǎn)向如圖所示。例：圖示圓輪相對(duì)地面與相對(duì)BD均作純滾動(dòng)。已知：h=40cm，r=15cm，當(dāng)α=30

時(shí)，桿OC的角速度ω=5rad/s，ε=0，試求：圖示瞬時(shí)圓輪中心E點(diǎn)的速度、加速度及圓輪的角速度、角加速度？0OABCDEFhrεωα解：點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)的綜合題動(dòng)點(diǎn)：BD上銷釘A動(dòng)系：OAC桿絕對(duì)運(yùn)動(dòng)（軌跡）：沿BD的水平直線相對(duì)運(yùn)動(dòng)（軌跡）：沿OC的直線牽連運(yùn)動(dòng)（軌跡）：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)vAavAevArAaAaaAraAeaAeaAKnτ作出速度矢量合成圖與加速度矢量合成圖因?yàn)椋簐Aa=vAe+vAr

其中：vAe=ωOAOAB600RR4Ru如圖，半徑為R的圓輪A、B在各自接觸面上做純滾動(dòng)，在A輪鉸接桿OA可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求：圖示瞬時(shí)，輪A、B及桿OA的角速度？思考題1300P1P2K思考題2300P1OABCP2600300ωvAvBvC如圖，半徑為R的圓輪C在地面上純滾動(dòng)，桿OA以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r，BC=l，求：圖示瞬時(shí)，輪心C的速度和加速度？OABCP2600300ωvAvBvC300P1ξBaBnaAnaBAτaBAnaBaCaCBτaCBnCη分別以A、B為基點(diǎn)，分析B、C點(diǎn)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的解題步驟：一、選動(dòng)點(diǎn)，二、建立動(dòng)坐標(biāo)系，三、速度矢量圖，四、加速度矢量圖。（1點(diǎn)，2系，3運(yùn)動(dòng)）動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系的選取原則：1）動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)系不能在同一個(gè)物體上；2）三種運(yùn)動(dòng)軌跡要簡(jiǎn)單。動(dòng)點(diǎn)的選取原則：1）單獨(dú)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)；2）運(yùn)動(dòng)剛體上的不動(dòng)點(diǎn)；3）凸輪（圓輪）的質(zhì)心（圓心）科氏加速度例題：1、矩形板ABCD以勻角速度ω繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，