小學(xué)四年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)課件

四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)講練教程四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)講練教程第一講加減法的巧算速算第一講加減法的巧算速算

奧數(shù)知識(shí)：在巧算方法里，蘊(yùn)含著一種重要的解決問題的策略。轉(zhuǎn)化問題法即把所給的算式，根據(jù)運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，或改變它的運(yùn)算順序，或減整從而變成一個(gè)易于算出結(jié)果的算式。

【例題1】

計(jì)算9+99+999+9999

【思路】這四個(gè)加數(shù)分別接近10、100、1000、10000。在計(jì)算這類題目時(shí)，常使用減整法，例如將99轉(zhuǎn)化為100－1。這是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算中常用的一種技巧。9+99+999+9999=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）=10+100+1000+10000－4=11106

奧數(shù)知識(shí)：在巧算方法里，蘊(yùn)含著一種重要的解決問題【例題2】計(jì)算489+487+483+485+484+486+488

【思路】認(rèn)真觀察每個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)490接近，所以選490為基準(zhǔn)數(shù)。489+487+483+485+484+486+488=490×7－1－3－7－5－6－4－2=3430－28=3402想一想：如果選480為基準(zhǔn)數(shù)，可以怎樣計(jì)算？.【例題2】計(jì)算489+487+483+485+484+486【例題3】計(jì)算下面各題。（1）632－156－232（2）128+186+72－86

【思路】在一個(gè)沒有括號(hào)的算式中，如果只有第一級(jí)運(yùn)算，計(jì)算時(shí)可以根據(jù)運(yùn)算定律和性質(zhì)調(diào)換加數(shù)或減數(shù)的位置。（2）128+186+72－86=128+72+186－86=（128+72）+（186－86）=200+100=300（1）632－156－232=632－232－156=400－156=244【例題3】計(jì)算下面各題。（2）128+186+72－86（1【例題4】計(jì)算：1.248+（152－127）2.324－（124－97）【思路】在計(jì)算有括號(hào)的加減混合運(yùn)算時(shí)，有時(shí)為了使計(jì)算簡(jiǎn)便可以去括號(hào)，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的符號(hào)不變；如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的加號(hào)就要變成減號(hào)，減號(hào)就要變成加號(hào)。

我們可以把上面的計(jì)算方法概括為：括號(hào)前面是加號(hào)，去掉括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前面是減號(hào)，去掉括號(hào)要變號(hào)。1.248+（152－127）2.324－（124－97）=248+152－127=324-124+97=400－127=200+97=273=297

【例題4】計(jì)算：1.248+（152－127）2.【例題5】計(jì)算下面各題。（1）286+879－679（2）812－593+193

【思路】在計(jì)算沒有括號(hào)的加減法混合運(yùn)算式題時(shí)，有時(shí)可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用添括號(hào)的方法使計(jì)算簡(jiǎn)便，與前面去括號(hào)的方法類似，我們可以把這種方法概括為：括號(hào)前面是加號(hào)，添上括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前面是減號(hào)，添上括號(hào)要變號(hào)?！纠}5】計(jì)算下面各題。小結(jié)：加減法的巧算速算共5種典型題型一是減整法二是選定基數(shù)法三是調(diào)換運(yùn)算順序法四是去括號(hào)法五是添括號(hào)法小結(jié)：加減法的巧算速算共5種典型題型練習(xí)：【練習(xí)1】1.99999+9999+999+99+92.9+98+996+9997

3.1999+2998+396+4974.198+297+396+495

5.1998+2997+4995+59946.19998+39996+49995+69996.【練習(xí)2】1.50+52+53+54+512.262+266+270+268+264

3.89+94+92+95+93+94+88+96+874.381+378+382+383+379

5.1032+1028+1033+1029+1031+10306.2451+2452+2446+2453.【練習(xí)3】1.1208－569－2082.283+69－1833.132－85+684.2318+625－1318+375

練習(xí)：【練習(xí)1】【練習(xí)2】【練習(xí)3】【練習(xí)4】1.348+（252－166）2.629+（320－1293.462－(262－129)4.662－(315－238)5.5623－(623－289)+452－(352－2116.736+678+2386－(336+278)－186【練習(xí)5】1.368+1859－8592.582+393－2933.632－385+2854.2756－2748+1748+2445.612－375+275+（388+2866.756+1478+346－（256+278）－246【練習(xí)4】【練習(xí)5】第二講

乘除法的巧算速算

第二講乘除法的巧算速算

奧數(shù)知識(shí)：

乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)以及積、商的變化規(guī)律，通過對(duì)算式適當(dāng)變形，將其中的數(shù)轉(zhuǎn)化成整十、整百、整千…的數(shù)，或者使這道題計(jì)算中的一些數(shù)變得易于口算，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便?！纠?】計(jì)算325÷25。

【思路】在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。利用這一性質(zhì)，可以使這道計(jì)算題簡(jiǎn)便。325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13奧數(shù)知識(shí)：乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的運(yùn)算定律和【例2】計(jì)算25×125×4×8

【思路】經(jīng)過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在這道連乘算式中，如果先把25與4相乘，可以得到100；同時(shí)把125與8相乘，可以得到1000；再把100與1000相乘就簡(jiǎn)便了。這就啟發(fā)我們運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律使計(jì)算簡(jiǎn)便。25×125×4×8=（25×4）×（125×8）=100×1000=100000【例2】計(jì)算25×125×4×8【例3】計(jì)算（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15

【思路】兩個(gè)數(shù)的和（或差）除以一個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去除這兩個(gè)數(shù)，再求出兩個(gè)商的和（或差）。

利用這一性質(zhì)，可以使這道題計(jì)算簡(jiǎn)便。（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15=360÷36+108÷36=450÷15－75÷15=10+3=30－5=13=25【例3】計(jì)算【例4】計(jì)算158×61÷79×3。

【思路】在乘除法混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號(hào)，計(jì)算時(shí)可以根據(jù)運(yùn)算定律和性質(zhì)調(diào)換因數(shù)或除數(shù)的位置。

158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366【例4】計(jì)算158×61÷79×3。【例5】計(jì)算下面各題。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）

【思路】這兩道題都是乘除混合運(yùn)算式題，我們可以根據(jù)這兩道題的特點(diǎn)，采用加括號(hào)或去括號(hào)的方法，使計(jì)算簡(jiǎn)便。其方法與加減混合運(yùn)算添、去括號(hào)的方法類似，可以概括為：括號(hào)前是乘號(hào)，添、去括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前是除號(hào)，添、去括號(hào)要變號(hào)。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）=123×（96÷16）=200÷25×4=123×6=8×4=738=32

【例5】計(jì)算下面各題。

小結(jié)：乘除法的巧算速算常用3種方法：一是同時(shí)擴(kuò)大（縮?。┏龜?shù)與被除數(shù)倍數(shù)湊整二是調(diào)換運(yùn)算順序湊整三是去括號(hào)（添括號(hào)）小結(jié)：乘除法的巧算速算常用3種方法：【練習(xí)1】1.450÷252.525÷253.3500÷1254.10000÷6255.9000÷225

【練習(xí)2】1.125×15×8×42.25×3.25×5×64×1254.125×25×325.75×166.125×16【練習(xí)3】計(jì)算下面各題。1．（720+96）÷242．（4500－90）÷453．8811÷894．73÷36+105÷36+146÷365．（10000－1000－100－10）÷10

【練習(xí)4】1.238×36÷119×52.624×48÷312÷8

3.138×27÷69×504.406×312÷104÷203【練習(xí)5】計(jì)算下面各題。1.612×366÷1832.1000÷（125÷4）3.（13×8×5×6）÷（4×5×6）4.241×345÷678÷345×（678÷241）

【練習(xí)1】【練習(xí)2】【練習(xí)3】計(jì)算下面各題?！揪毩?xí)4】【第三講小數(shù)巧算第三講小數(shù)巧算知識(shí)點(diǎn)撥一、基本運(yùn)算律及公式一、加法加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，他們的和不變。即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一數(shù)．例如，7＋8＝8＋7＝15.總結(jié)：多個(gè)數(shù)相加，任意交換相加的次序，其和不變．知識(shí)點(diǎn)撥加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再與第一個(gè)數(shù)相加，他們的和不變。即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一數(shù)．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).總結(jié)：多個(gè)數(shù)相加，也可以把其中的任意兩個(gè)數(shù)或者多個(gè)數(shù)相加，其和不變。加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或二、減法在連減或者加減混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號(hào)，那么計(jì)算時(shí)要帶數(shù)字前面的運(yùn)算符號(hào)“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一個(gè)數(shù)．在加減法混合運(yùn)算中，去括號(hào)時(shí)：如果括號(hào)前面是“＋”號(hào)，那么去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)不變；如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，那么去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃保纾篴＋（b－c）＝a＋b－c二、減法a－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、減法混合運(yùn)算中，添括號(hào)時(shí)：如果添加的括號(hào)前面是“＋”，那么括號(hào)內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)不變；如果添加的括號(hào)前面是“－”，那么括號(hào)內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)“＋”變?yōu)椤埃?，“－”變?yōu)椤埃?。如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）a－（b＋c）＝a－b－c二、加減法中的速算與巧算速算巧算的核心思想和本質(zhì)：湊整常用的思想方法：1、分組湊整法．把幾個(gè)互為“補(bǔ)數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)．“補(bǔ)數(shù)”就是兩個(gè)數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”．2、加補(bǔ)湊整法．有些算式中直接湊整不明顯，這時(shí)可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整．二、加減法中的速算與巧算3、數(shù)值原理法．先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)相加．4、“基準(zhǔn)數(shù)”法，基準(zhǔn)當(dāng)幾個(gè)數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時(shí)，選這個(gè)整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”（要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）例題精講3、數(shù)值原理法．先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，模塊一：分組湊整思想【例1】91.8186.789.6270.490.288.891.5【鞏固】2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝【例3】計(jì)算56.43＋12.96＋13.57－4.33－8.96－5.67模塊一：分組湊整思想模塊二、加補(bǔ)湊整思想【例5】(1)0.999990.99990.9990.990.9(2)199.819.971.996(3)999999999.799.79.70.7【鞏固】（1）9.996＋29.98＋169.9＋3999.5（2）89＋899＋8999＋89999＋899999模塊二、加補(bǔ)湊整思想模塊三、位值原理【例7】924.68724.68524.68324.68124.68

模塊四、基準(zhǔn)數(shù)思想【例8】計(jì)算0.999990.99990.9990.990.9

【鞏固】199.819.971.996模塊三、位值原理第四講體育比賽中的數(shù)學(xué)問題

第四講體育比賽中的數(shù)學(xué)問題

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.單循環(huán)賽：每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，無主客場(chǎng)之分。（通俗的說就是除了不和自己比賽，其他人都要比）一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2.雙循環(huán)賽：每兩個(gè)隊(duì)都要比賽一場(chǎng)，有主客場(chǎng)之分。

（每個(gè)隊(duì)和同一個(gè)對(duì)手交換場(chǎng)地賽兩次）

一共比賽場(chǎng)數(shù)=（人數(shù)-1）×人數(shù)3.淘汰賽：每兩個(gè)隊(duì)用一場(chǎng)比賽定勝負(fù)，經(jīng)過若干輪之后，最后決出冠軍。

（每場(chǎng)比賽輸者打包回家）

2.雙循環(huán)賽：每兩個(gè)隊(duì)都要比賽一場(chǎng)，有主客場(chǎng)之分。二、做題方法1.點(diǎn)線圖2.列表法3.極端性分析------根據(jù)個(gè)人比賽場(chǎng)數(shù)，猜個(gè)人最高分根據(jù)得分，猜“戰(zhàn)況”

二、做題方法例題分析

例題1：三年級(jí)四個(gè)班進(jìn)行足球比賽，每兩個(gè)班之間都要賽一場(chǎng)，每個(gè)班賽幾場(chǎng)？一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

解析：除了不和自己賽，和其他班都要賽，所以每個(gè)班賽4-1=3場(chǎng)。

一共進(jìn)行的場(chǎng)數(shù)：3×4÷2=6場(chǎng)

練習(xí)1：每個(gè)學(xué)校都要賽一場(chǎng)，共賽了28場(chǎng)，那么有幾個(gè)學(xué)校參加比賽？

解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+……7=287+1=8個(gè)方法二：（人數(shù)-1）×人數(shù)=28×2=567×8=56，所以為8人例題分析例題2：20名羽毛球運(yùn)動(dòng)員參加單打比賽，淘汰賽，那么冠軍一共要比賽多少場(chǎng)？解析：第一輪：20÷2=10（場(chǎng)），10名勝利者進(jìn)入下一輪

第二輪：10÷2=5（場(chǎng)），5名勝利者進(jìn)入下一輪第三輪：5÷2=2（場(chǎng)）....1人，3名勝利者進(jìn)入下一輪第四輪：2÷2=1（場(chǎng)）勝利者和第三輪中剩下的一人進(jìn)入下一輪比賽第五輪：2÷2=1（場(chǎng)）冠軍一共參加了5場(chǎng)比賽。決出冠軍一共要比賽的場(chǎng)數(shù)：一場(chǎng)比賽淘汰一人，除了冠軍不被淘汰：20-1=19場(chǎng)

例題2：20名羽毛球運(yùn)動(dòng)員參加單打比賽，淘汰賽，那么冠軍一共例題3：A,B,C,D,E,五位同學(xué)一起比賽象棋，單循環(huán)比賽，A已經(jīng)賽了4盤，B已經(jīng)賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1盤，此時(shí)E賽了幾盤？

解析：利用點(diǎn)線圖例題3：A,B,C,D,E,五位同學(xué)一起比賽象棋，單循環(huán)比賽

例題4：A,B,C,D,E,五位同學(xué)一起比賽乒乓球，單循環(huán)比賽，勝者得2分，負(fù)者不得分，比賽結(jié)果如下：(1)A與E并列第一(2)B是第三名(3)C和D并列第四名求B得分？解析：根據(jù)個(gè)人比賽場(chǎng)數(shù)猜最高分每人比賽4場(chǎng)，全勝得8分，有并列第一，就沒有全勝，所以不可能得8分；有并列倒數(shù)第一，所以沒有全敗，沒有0分；而每個(gè)人得分是個(gè)偶數(shù)，在0和8之間的偶數(shù)只有2,4,6，三個(gè)分?jǐn)?shù)，三個(gè)名次，所以B得4分

例題4：A,B,C,D,E,五位同學(xué)一起比賽乒乓球，單循環(huán)學(xué)案5：四名同學(xué)單循環(huán)比賽，勝者得2分，負(fù)者得0分，平者各得1分。已知甲乙丙三人得分分別為3分，4分，4分，且丙無平局，甲有勝局，乙有平局，那么丁同學(xué)得分？解析：共比賽場(chǎng)數(shù)3×4÷2=6場(chǎng)每場(chǎng)比賽兩人共得2分，6場(chǎng)比賽共得6×2=12分所以丁得分12-2-4-4=1分學(xué)案5：四名同學(xué)單循環(huán)比賽，勝者得2分，負(fù)者得0分，平者各得第五講整除

第五講整除

概念復(fù)習(xí)：約數(shù)：整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a稱為b的倍數(shù)，b稱為a的約數(shù)。如：4是2的倍數(shù)，2是4的約數(shù)。公約數(shù)：亦稱“公因數(shù)”。它是幾個(gè)整數(shù)同時(shí)均能整除的整數(shù)。如果一個(gè)整數(shù)同時(shí)是幾個(gè)整數(shù)的約數(shù)，稱這個(gè)整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；如：3是6和9的公約數(shù)；30和40，它們的公約數(shù)有1，2，5，10。最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。如30和40，它們的最大公約數(shù)是10?；ベ|(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。稱兩數(shù)互質(zhì)。概念復(fù)習(xí)：

整除的特性：一、看末位：能被2整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)，那么這個(gè)數(shù)能被2整除。能被5整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，那么這個(gè)數(shù)能被5整除。能被4（或25）整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)能被8（或125）整除。

整除的特性：二、看數(shù)字和：能被3（9）整除的特征：如果一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（9）整除，那么這個(gè)數(shù)能被3（9）整除。能被99整除的特征：如果一個(gè)數(shù)從右向左兩位兩位和能被99整除，那么這個(gè)數(shù)能被99整除。能被999整除的特征：如果一個(gè)數(shù)從右向三位三位和能被999整除，那么這個(gè)數(shù)能被999整除。二、看數(shù)字和：三、看數(shù)段差

能被7（11/13）整除的特征：如果一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）能被7（11/13）整除，那么這個(gè)數(shù)能被7（11/13）整除。當(dāng)一個(gè)多位數(shù)中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字用字母表示時(shí)，為防止理解錯(cuò)誤，就在這個(gè)多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個(gè)多位數(shù)。例如，表示這個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位依次是3，a，5；三、看數(shù)段差當(dāng)一個(gè)多位數(shù)中有一個(gè)或幾例1：判斷下列各數(shù)是否能被3整除：2574，38974，587931例2：六位數(shù)能被3整除，字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。例3：已知一個(gè)6位數(shù)14A52B能被5和9整除，求這個(gè)6位數(shù)?！窘忸}步驟】能被5整除的數(shù)的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的數(shù)字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。當(dāng)B=0時(shí)，A取6；當(dāng)B=5時(shí)，A取1。所以這個(gè)6位數(shù)是141525或146520例1：判斷下列各數(shù)是否能被3整除：2574，38974，58例4：

在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)四位數(shù)分別能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除：

那么5＋6＋□＋2＝13＋□應(yīng)能被9整除，

所以當(dāng)十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時(shí)能被9整除；

如果56□2能被8整除：

那么6□2應(yīng)能被8整除，

所以當(dāng)十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時(shí)能被8整除；

如果56□2能被4整除：

那么□2應(yīng)能被4整除，

所以當(dāng)十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時(shí)能被4整除。例4：在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時(shí)，這個(gè)數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：

如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2：

如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差也一定能被這個(gè)自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性質(zhì)3：如果一個(gè)數(shù)能分別被兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被這兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質(zhì)，那么126能被9×7＝63整除。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?＝2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。同理，判斷一個(gè)數(shù)能否被12整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被3和4整除；判斷一個(gè)數(shù)能否被72整除，只需判斷這個(gè)數(shù)能否同時(shí)被8和9整除；如此等等。例5：要使六位數(shù)18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，這個(gè)六位數(shù)是多少？根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大?！景l(fā)散思維】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互質(zhì)，所以這個(gè)6位數(shù)既能被4整除又能被9整除。

再考慮“所得的商最小”這個(gè)條件，應(yīng)首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小?！窘忸}步驟】18ABC6能被4整除，則C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。18ABC6能被9整除，則1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。

要使所得的商最小，就要使18ABC6盡可能小，即ABC盡可能小，因此首先A盡可能小，其次B,最后C盡可能小?！景l(fā)散思維】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4

先試取A=0，此六位數(shù)之和為15+B+C,欲使B+C盡可能小，而且15+B+C能被9整除，則（B+C）取3，因?yàn)锽+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。則C=3,B=0.當(dāng)A=0,B=0,C=3時(shí)，此六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，為180036÷36=5001。例6：

五位數(shù)

能被72整除，A與B各代表什么數(shù)字？分析與解：已知

能被72整除。因?yàn)?2＝8×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所以

既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要能被8整除，那么末三位數(shù)

能被8整除，由此可確定B＝6。先試取A=0，此六位數(shù)之和為15+B+C,欲使B+C盡可能再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征（各位數(shù)字之和能被9整除），即：A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，能被9整除因?yàn)閘≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個(gè)范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因?yàn)锽代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征（各位數(shù)字之和能被9整除），即：A

【鞏固練習(xí)】在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被3、4、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能得小。解：假設(shè)這個(gè)數(shù)為865ABC，因?yàn)槟鼙?整除，所以C為0或5因?yàn)槟鼙?整除，所以末兩位BC數(shù)能被4整除，當(dāng)C為0時(shí)，B為2、4、6、8；當(dāng)C為5時(shí)，B沒有取值，所以，C只能為0；

因?yàn)槟軌虮?整除，所以各位數(shù)字之和能被3整除，即8+6+5+A+B+C能被3整除。8+6+5+A+B+C=8+6+5+A+B+0=19+A+B當(dāng)B為2時(shí)，19+A+B=21+A，所以A為0、3、6、9；當(dāng)B為4時(shí)，

19+A+B=23+A，所以A為1、4、7當(dāng)B為6時(shí)，

19+A+B=25+A，所以A為2、5、8【鞏固練習(xí)】在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它當(dāng)B為8時(shí)，19+A+B=27+A，所以A為0、3、6、9因?yàn)橐筮@個(gè)數(shù)值盡可能的小，所以A、B、C要盡可能的小，所以：A=0，B=2，C=0，所以這個(gè)數(shù)為：865020例7：要使六位數(shù)

能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數(shù)字？當(dāng)B為8時(shí)，19+A+B=27+A，所以A為0、3、6、分析與解：因?yàn)?6＝4×9，且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)

應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)能被4整除，就要

能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使

這個(gè)六位數(shù)

盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數(shù)

的各位數(shù)字之和為12＋B＋C。它應(yīng)能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因?yàn)锽，C應(yīng)盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使

盡可能小，應(yīng)取B＝1，C＝5。當(dāng)A=0，B=1，C＝5時(shí)，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。

分析與解：因?yàn)?6＝4×9，且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)例8：

判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因?yàn)?4-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)。

一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和（大數(shù)減小數(shù)）所得的差除以11的余數(shù)相同。

例9：求

除以11的余數(shù)。

分析與解：奇數(shù)位是101個(gè)1，偶數(shù)位是100個(gè)9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，

11-7=4，所求余數(shù)是4。例8：判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。

例10：六位數(shù)

能被33整除，求A+B。

分析與解：

由33=3×11，且3與11互質(zhì)，所以六位數(shù)

既能被3整除又能被11整除。

因?yàn)槟鼙?整除，

所以5+A+6+3+4+B=18+A+B能被3整除，所以：A+B可以為0、3、6、9、12、15、18

因?yàn)槟鼙?1整除，所以（A+3+B）-（5+6+4）=（A+B）-12能被11整除。

如果（A+B）—12能被11整除，則A+B可以為12、23.

因?yàn)锳+B小于20，所以A+B=12例10：六位數(shù)試除法和數(shù)字謎法：當(dāng)末尾數(shù)不知道，用試除法。當(dāng)前邊或中間數(shù)不知道，用數(shù)字謎法。例11：9是12的倍數(shù)，求這個(gè)數(shù)的末位？解：設(shè)=9，則99÷12=8......3，99-3=96，則=6例12：如果2能被79整除，求這個(gè)數(shù)的末兩位？解1：設(shè)這個(gè)數(shù)為299，則299÷79=3......62，299-62=237,這個(gè)數(shù)的末兩位為37.解2：設(shè)這個(gè)數(shù)為200，則200÷79=42，200+（79-42）=237試除法和數(shù)字謎法：例13：能同時(shí)被7、17整除的最大和最小四位數(shù)是多少？解（一）設(shè)這個(gè)數(shù)為9999：則：9999÷7=1428......3，說明能被7整除的最大四位數(shù)是9999-3=9996，那么9996-n×7都能被7整除，依次為9989、9982、9975......9999÷17=576......7，說明能被17整除的最大四位數(shù)是9999-7=9992，那么9992-n×17都能被17整除，依次為9975、9958、9941......綜上，能同時(shí)被7、17整除的最大四位數(shù)是9975。例13：能同時(shí)被7、17整除的最大和最小四位數(shù)是多少？（二）設(shè)這個(gè)數(shù)為1000：則1000÷7=142......6，說明能被7整除的最小四位數(shù)是1000+（7-6）=1001，那么1001+n×7都能被7整除，依次為1008、1015、1022、1029、1036、1043、1050、1057、1064、1071、1078.....1000÷17=58......14，說明能被17整除的最小四位數(shù)是1000+（17-14）=1003，那么1003+n×17都能被17整除，依次為1020、1037、1054、1071......。綜上，能同時(shí)被7、17整除的最小四位數(shù)是1071（二）設(shè)這個(gè)數(shù)為1000：例14：一個(gè)五位數(shù)的末三位為999，如果這個(gè)數(shù)能被23整除，那么這個(gè)五位數(shù)最小是多少？（數(shù)字謎法）

解：設(shè)這個(gè)五位數(shù)數(shù)為999。999除以23，可以是四位數(shù)或三位，因?yàn)榍笞钚≈?，所以，商為三位?shù)，設(shè)為

，則得豎式：

×23

999

根據(jù)上圖計(jì)算，這個(gè)五位數(shù)為25999例14：一個(gè)五位數(shù)的末三位為999，如果這個(gè)數(shù)能第六講

列方程式解應(yīng)用題

第六講列方程式解應(yīng)用題

一、解簡(jiǎn)易方程

什么是方程？首先，它是一個(gè)等式（用等號(hào)連接的式子）。例如：X+2=7這里的x是我們要求的數(shù)，在沒有求出之前我們還不知道x是多少，稱它為未知數(shù)。像上面的“含有未知數(shù)的等式”叫做方程。

求方程的未知數(shù)的值（叫做方程的解）的過程叫做解方程。

使得方程的左右兩邊都相等的未知數(shù)的值稱之為方程的解。

二、等式的基本性質(zhì)1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果還是等式.2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果還是等式.一、解簡(jiǎn)易方程

【例】下列各式，屬于方程的是？（1）68-3.4=-x（2）5x-3.6÷1.2(3)x÷3.2=6(4)0=x(5)x+y=5(6)6(x-2)>7(7)2.3(1-1.5)x=x+x【例】解方程。

6x+5-7=164×0.9-4x=1.2600÷（15－x）=200x÷6－2.5=1.1小學(xué)四年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)課件三、解方程的一般步驟

（一）把一個(gè)數(shù)從方程的一邊移動(dòng)到另一邊，要改變符號(hào)（加變減，減變加，乘變除，除變乘）。

10-3x=43x-5+2x+4=1445-6x+9x=157x+18-6x+12=60（二）有多個(gè)未知數(shù)的方程，要把含有未知數(shù)的部分移動(dòng)到方程的同一邊，不含有未知數(shù)的部分移動(dòng)到方程的另一邊。

3x+5=6x-105x-8=16-3x20-4x=x+516-2x=46-8x（三）有括號(hào)的先打開括號(hào)（原則：乘法對(duì)加減法的分配律）。2×(4x+3)=x+13×(2x-3)=22x-3(4x-9)=x-6括號(hào)前面的乘號(hào)可以省略：2(2x+7)=5-4(x-1)+21三、解方程的一般步驟四、列方程解應(yīng)用題的一般步驟是（五步）

①弄清題意，找出已知條件和所求問題；

②設(shè)未知數(shù)x，依題意確定等量關(guān)系；③根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

④解方程；

⑤檢驗(yàn)，寫出答案?！纠恳阎粋€(gè)三角形的面積是40平方厘米，它的高時(shí)8厘米，請(qǐng)問高所在的底邊長多少？

【解析】1、已知兩個(gè)條件：三角形面積=40平方厘米，高=8厘米。求一個(gè)量：高所在的底邊長？四、列方程解應(yīng)用題的一般步驟是（五步）2、依題意確定等量關(guān)系：三角形面積公式：面積=底邊長×高；設(shè)未知數(shù)x：設(shè)高所在的底邊長為x厘米：底×高÷2

=三角形面積

設(shè)為X8厘米40平方厘米3、列方程：40=x×8÷24、解方程：x=10（厘米）5、檢驗(yàn)，把x=10帶入方程，看等式兩邊是否相等。6、寫答案：答：高所在的底邊長為10厘米。*紅字為解題過程2、依題意確定等量關(guān)系：三角形面積公式：面積=底邊長×高；設(shè)六、方程解應(yīng)用題與算術(shù)解應(yīng)用題的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：都是以四則運(yùn)算的意義，相互關(guān)系以及常見的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)和依據(jù)的

區(qū)別：1、解題思路不同。列方程解應(yīng)用題，以字母“X”代替未知數(shù),按題中的等量關(guān)系,使字母“X”直接參與列式計(jì)算；而算術(shù)解時(shí),

未知數(shù)處于特殊的地位,不能直接參加運(yùn)算,只根據(jù)已知條件和問題間的數(shù)量關(guān)系直接用已知數(shù)量列出算式。例3：一個(gè)三角形的面積是100平方厘米，它的底是20厘米，高是多少厘米？如果本例用算術(shù)解，就屬于逆向思考的問題，從而使學(xué)生思考困難，會(huì)出現(xiàn)不應(yīng)有的錯(cuò)誤。這時(shí)，應(yīng)利用三角形的面積計(jì)算公式列出方程求解。六、方程解應(yīng)用題與算術(shù)解應(yīng)用題的聯(lián)系與區(qū)別2、解題的步驟與方法不同。列方程解應(yīng)用題是利用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，而算術(shù)解主要通過四則運(yùn)算及其定律進(jìn)行計(jì)算。比如上面例3就可用方程解：20×X÷2＝100；算術(shù)解則就是100÷20×2。3、難易程度不同。算術(shù)法比較曲折、間接、不大容易掌握。而方程解則比較簡(jiǎn)明、清晰、容易掌握。在小學(xué)的應(yīng)用題教學(xué)中，即使學(xué)了方程解法，也不宜用其完全代替算術(shù)解法。2、解題的步驟與方法不同。列方程解應(yīng)用題是利用等式的性質(zhì)進(jìn)行例4：買3張桌子和4把椅子一共用了308元。每把椅子32元，每把桌子多少元？本例是逆向思考的題目，如果用算術(shù)方法來想，解題思路和列式就很難。如果把每張桌子的價(jià)錢用X表示，進(jìn)行順向思考，按照數(shù)量間的相等關(guān)系列方程就比較容易。桌子椅子總數(shù)個(gè)數(shù)34每個(gè)的錢數(shù)設(shè)為X

32花費(fèi)總數(shù)3X+32×4=308

例4：買3張桌子和4把椅子一共用了308元。每把椅子32元，七、設(shè)未知數(shù)的方法。列方程解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)X,是關(guān)鍵。一般來說，設(shè)未知數(shù)有兩種方法：1.直接設(shè)未知數(shù)。題目問什么（求什么）就設(shè)什么。例5：少年宮合唱隊(duì)有64人，比舞蹈隊(duì)人數(shù)的2倍多16人，舞蹈隊(duì)有多少人？這題就直接設(shè)題目中問什么，即設(shè)舞蹈隊(duì)人數(shù)有x人。根據(jù)題目的意思，列出方程：2X＋16＝64。七、設(shè)未知數(shù)的方法。2、間接設(shè)未知數(shù)。用間接法求出的X并不是題目要求的結(jié)果，求出X后，還要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系求出題中要求的未知量。例6：果園里桃樹和杏樹一共180棵，杏樹的棵數(shù)是桃樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？這例要求的未知數(shù)有兩個(gè)，有很多的同學(xué)就會(huì)直接設(shè)桃樹和杏樹各有X棵。這樣設(shè)的話，就顯得模棱兩可的，不知道到底是設(shè)哪一個(gè)量。如果設(shè)杏樹為X棵，就會(huì)給列方程和解方程帶來困難。間接設(shè)桃樹為X棵,就顯得容易多了.2、間接設(shè)未知數(shù)。用間接法求出的X并不是題目要求的結(jié)果，求出八、正確分析數(shù)量關(guān)系，掌握列方程解應(yīng)用題的思路和途徑。列方程解應(yīng)用題的思路和途徑是多種多樣的：。1.利用數(shù)形結(jié)合找等量關(guān)系列方程。在感知應(yīng)用題情景的基礎(chǔ)上，畫出示意圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法分析數(shù)量關(guān)系，實(shí)際上使視覺參與了解題過程，它能直觀地再現(xiàn)題目的數(shù)量關(guān)系，便于列出方程。例：同學(xué)們種向日葵，四年級(jí)種的棵數(shù)是三年級(jí)的3倍，還知道四年級(jí)比三年級(jí)多種128棵，問兩個(gè)年級(jí)各種多少棵？解：設(shè)三年級(jí)種X棵，那么，四年級(jí)種3X棵。三年級(jí)：X四年級(jí)：3X可列出方程：3X－X＝128八、正確分析數(shù)量關(guān)系，掌握列方程解應(yīng)用題的思路和途徑。2、借助數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系很多，比如面積、體積公式；常見的“三量”關(guān)系（單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)、．．．．．．），幾何圖形的特征等。根據(jù)數(shù)量關(guān)系就可列出方程。例8：已知：∠1＝37°、∠2＝63°。求：∠3＝？。這題就根據(jù)“任意三角形的內(nèi)角和是180°”這個(gè)特征來列出一個(gè)方程：37°＋63°＋X＝180°，這樣既簡(jiǎn)單又明了。2、借助數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程。九、直接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題例1：長方形周長是66厘米，長比寬多3厘米，求長方形的長和寬各是多少厘米？

周長=

2

×（長+寬）66厘米X+3厘米設(shè)為X厘米解：依題意設(shè)長方形的寬是x厘米，則長方形的長3+x（厘米）

則：[（3+x）+x]×2=666+4x=66

4x=60

x=15（厘米）

x+3=18（厘米）

答：長方形的長18厘米，長方形的寬是15厘米九、直接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題例2：某八位數(shù)形如

2abcdrfg

，它與3的乘積形如abcdrfg4，則七位數(shù)abcdrfg

應(yīng)是

？解：設(shè)abcdrfg=x則：2abcdrfg

=20000000+abcdrfg=20000000+xabcdrfg

4=10×abcdrfg+4=10x+4依據(jù)題意列方程：3×

（20000000+x）=10x+460000000+3x=10x+459999996=7xx=8571428答：七位數(shù)abcdrfg

應(yīng)是8571428。

例2：某八位數(shù)形如2abcdrfg，它與3的乘積形如ab例3：有三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，已知最小的數(shù)加上中間的數(shù)的兩倍再加上最大的數(shù)的三倍的和是68，求這三個(gè)連續(xù)整數(shù)。解：設(shè)最小的那個(gè)數(shù)為X，那么中間的數(shù)和最大的數(shù)分別為X+1和X+2。則X+2（X+1）+3（X+2）=686X+8=686X=60X=10所以這三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為10、11、12．例3：有三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，已知最小的數(shù)加上中間的數(shù)的兩倍再加上二、間接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題例：平行四邊形ABCD的周長是80厘米（cm），以AD邊為底時(shí)，高為12cm，以AB為底邊時(shí)，高為20cm，求ABCD的面積。分析：平行四邊形的周長是兩條鄰邊之和的2倍，所以：AB+AD=40cm設(shè)：AB=Xcm，則AD=（40-X）cm根據(jù)平行四邊形面積公式，得AB×

20=AD×

12，則：20X=12（40-X）解得：X=15所以：平行四邊形面積=15×20=300（平方厘米）二、間接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題例：小龍、小虎、小方和小圓四個(gè)孩子共有45個(gè)球，但不知道每個(gè)人各有幾個(gè)球，如果變動(dòng)一下，小龍的球減少2個(gè)，小虎的球增加2個(gè)，小方的球增加一倍，小圓的球減少一半，那么四個(gè)人球的個(gè)數(shù)就一樣多了．求原來每個(gè)人各有幾個(gè)球？設(shè)：變動(dòng)后，每個(gè)孩子有X個(gè)球

小龍

小虎

小方

小圓

共有原來：X+2X-2X÷2X×245個(gè)得：（X+2）+（X-2）+（X÷2）+（X×2）=45解：4.5X=45X=10所以：小龍有12個(gè)，小虎8個(gè)，小方5個(gè)，小10個(gè)。例：小龍、小虎、小方和小圓四個(gè)孩子共有45個(gè)球，但不知道每個(gè)練習(xí)：1.已知三個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和為為75，求這三個(gè)數(shù)？2.兄弟二人共養(yǎng)鴨550只，當(dāng)哥哥賣掉自己養(yǎng)鴨總數(shù)的一半，弟弟賣出70只時(shí)，兩人余下的鴨只數(shù)相等，求兄弟兩人原來各養(yǎng)鴨多少只？3.一人看見山上有一群羊，他自言自語到：“我如果有這些羊，再加上這些羊，然后加上這些羊的一半，又加上這些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有

只羊”．山上的羊群共有______只．4.某班原分成兩個(gè)小組活動(dòng)，第一組26人，第二組22人，根據(jù)學(xué)校活動(dòng)器材的數(shù)量，要將一組人數(shù)調(diào)整為二組人數(shù)的一半，應(yīng)從一組調(diào)多少人到二組去？練習(xí)：1.已知三個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和為為75，求這三個(gè)數(shù)？第七講行程問題

第七講行程問題

相遇問題：所謂相遇問題就是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以不同的地點(diǎn)作為出發(fā)地作相向運(yùn)動(dòng)的問題?；竟剑合嘤雎烦?速度和×相遇時(shí)間相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇時(shí)間例1：甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米。兩人幾小時(shí)后相遇？分析與解答：這是一道相遇問題。根據(jù)題意，出發(fā)時(shí)甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離每小時(shí)縮短6＋4=10千米，這也是兩人的速度和。所以，求兩人幾小時(shí)相遇，就是求20千米里面有幾個(gè)10千米。因此，兩人20÷（6＋4）=2小時(shí)后相遇。相遇問題：所謂相遇問題就是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以不同的地點(diǎn)作為出發(fā)例2：王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時(shí)同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時(shí)間。根據(jù)題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關(guān)鍵是要求出狗所行的時(shí)間，根據(jù)題意可知：狗與主人是同時(shí)行走的，狗不斷來回所行的時(shí)間就是王欣和陸亮同時(shí)出發(fā)到兩人相遇的時(shí)間，即2000÷（110＋90）=10分鐘。所以狗共行了500×10=5000米。例2：王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行，王欣所謂相背問題是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體作背向運(yùn)動(dòng)的問題。在相背問題中，相遇問題的基本數(shù)量關(guān)系仍然成立。例3：甲每小時(shí)行7千米，乙每小時(shí)行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時(shí)相背而行，幾小時(shí)后兩人相隔54千米？分析與解答：這是一道相背問題。根據(jù)題意，甲乙兩人共行的路程應(yīng)該是54－18=36千米，而兩人每小時(shí)共行7＋5=12千米。要求幾小時(shí)能行完36千米，就是求36千米里面有幾個(gè)12千米。所以，36÷12=3小時(shí)。所謂相背問題是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體作背向運(yùn)動(dòng)的問題。例3：甲每小追及問題：追及問題的地點(diǎn)可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。根據(jù)速度差、距離差和追及時(shí)間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：速度差=快的速度-慢的速度距離差（路程差）=速度差×追及時(shí)間追及時(shí)間=距離差（路程差）÷速度差速度差=距離差（路程差）÷追及時(shí)間平均速度=總路程÷總時(shí)間解題的關(guān)鍵是：在互相關(guān)聯(lián)、互相對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追及時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來達(dá)到解題目的。追及問題：例4：甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時(shí)向東而行，甲騎自行車每小時(shí)行13千米，乙步行每小時(shí)走5千米。幾小時(shí)后甲可以追上乙？分析與解答：這是一道追及問題。根據(jù)題意，甲追上乙時(shí)，比乙多行了24千米（路程差）。甲騎自行車每小時(shí)行13千米，乙步行每小時(shí)走5千米，甲每小時(shí)比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小時(shí)可以追上乙8千米。所以要求追上乙所用的時(shí)間，就是求24千米里面有幾個(gè)8千米。因此，24÷8=3小時(shí)甲可以追上乙。例4：甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時(shí)向東而行，甲騎自行火車行程問題：

1、火車＋樹(電線桿)：一個(gè)有長度、有速度，一個(gè)沒長度、沒速度

解法：總路程(火車車長)＝火車速度×通過時(shí)間；路程長火車車長火車行程問題：路程長火車車長2、火車過橋（隧道）：一個(gè)有長度、有速度，一個(gè)有長度、但沒速度，

解法：火車車長＋橋(隧道)長度(總路程)＝火車速度×通過的時(shí)間；

火車車長橋長路程長火車車長橋長路程長3、火車＋人：一個(gè)有長度、有速度，一個(gè)沒長度、但有速度（1）火車＋迎面行走的人：相當(dāng)于相遇問題，

解法：路程和

(火車車長)＝(火車速度＋人的速度)×迎面錯(cuò)過的時(shí)間；火車車長(路程和)人路程火車路程火車車長(路程和)人路程火車路程（2）火車＋同向行走的人：相當(dāng)于追及問題，解法：路程差

(火車車長)＝(火車速度—人的速度)×追及的時(shí)間；人路程車路程火車車長(路程差)

人路程車路程火車車長(路程差)4、火車＋火車：一個(gè)有長度、有速度，一個(gè)也有長度、有速度，（1）錯(cuò)車問題：相當(dāng)于相遇問題，解法：路程和(快車車長＋慢車車長)＝(快車速度＋慢車速度)×錯(cuò)車時(shí)間；慢車路程路程和快車路程快車車長慢車車長4、火車＋火車：一個(gè)有長度、有速度，一個(gè)也有長度、有速度，（2）超車問題：相當(dāng)于追及問題

解法：路程差

(快車車長＋慢車車長)＝(快車速度—慢車速度)×錯(cuò)車時(shí)間；快車路程慢車路程路程差慢車車長快車車長（2）超車問題：相當(dāng)于追及問題快車路程慢車路程路程差慢車?yán)?：一列火車通過一條長240米的鐵路橋用了30秒，用這樣的速度通過320的隧道用了34秒，求火車的車長和車速。分析與解：從圖中可知，火車過橋行駛的路程是橋長+車長；同樣的道理，火車過隧道行駛的路程是隧道長+車長。兩次所用時(shí)間的不同是因?yàn)殍F路橋與隧道的長度不同引起的，利用兩次的時(shí)間差與路程差可以求出火車的速度。

例1：一列火車通過一條長240米的鐵路橋用了30秒，用這樣的解：火車的速度：（320－240）÷（34－30）=20米/秒；

車長：20×30－240=360米。答：火車的車長是360米，車速是20米/秒。解：火車的速度：（320－240）÷（34－30）=20米/第八講加法原理和乘法原理

第八講加法原理和乘法原理

1、加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。每一種方法都能夠直接達(dá)成目標(biāo)。2、乘法原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。1、加法原理3、注意區(qū)分兩個(gè)原理。要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨(dú)立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開來。4、口訣加法原理：類類獨(dú)立；乘法原理：類類相關(guān)。3、注意例1：從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達(dá)。從甲地到乙地共有多少種走法？

【思路導(dǎo)航】加法原理。

分類：第一類，“走公路”，共有3種方法。

第二類，“走鐵路”，共兩種方法。

所以從甲地到乙地的方法總和是3+2=5（種）

解答：從甲地到乙地共有5種走法。例1：從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達(dá)。從甲地例2：十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。請(qǐng)問：最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來?

【分析】任意取一把鑰匙去試開鎖，要試9次；其次，再從剩下的9把鑰匙中任取一把去試開鎖，要試8次?照此方法進(jìn)行下去，最后，只剩下一把鑰匙和一把鎖，就不需要試了。運(yùn)用加法原理。

解：9+8+7+......+3+1=45

答：最多試開45次，就能把鎖和鑰匙配起來。例2：十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。請(qǐng)問：最多例3：用0,1,2,3,4,5,6組成四位數(shù)的密碼共有幾種？思路：其實(shí)就是組成四位數(shù)（千位可以為0）。分四步：確定個(gè)位數(shù)字個(gè)數(shù)、確定十位數(shù)字個(gè)數(shù)、確定百位數(shù)字個(gè)數(shù)、確定千位數(shù)字個(gè)數(shù)。（用乘法原理）。每一位都有0,1,2,3,4,5,6，六種選擇（加法原理）四位數(shù)個(gè)數(shù)=個(gè)位數(shù)字個(gè)數(shù)×十位數(shù)字個(gè)數(shù)×百位數(shù)字個(gè)數(shù)×千位數(shù)字個(gè)數(shù)=6×6×6×6例3：用0,1,2,3,4,5,6組成四位數(shù)的密碼共有幾種？例4：如圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丁地有三條路，從甲地到丙地有兩條路，從丙地到丁地有四條路。問：從甲地到丁地有多少條路？【分析】1、甲到丁，是完成一件事，有兩種途徑，即：甲經(jīng)乙到丁和甲經(jīng)丙到丁，用加法原理。即：甲地到丁的路=甲經(jīng)乙到丁+甲經(jīng)丙到丁2、甲經(jīng)乙到丁，分兩步：即甲先到乙，由乙到丁，屬完成一件事情的兩步，用乘法原理，即甲經(jīng)乙到丁的路=甲到乙的路×乙到丁的路=3×3同理，甲經(jīng)丙到丁的路=甲到丙的路×丙到丁的路=2×4。所以：甲地到丁的路=甲經(jīng)乙到丁+甲經(jīng)丙到丁=（甲到乙的路×乙到丁的路）+（甲到丙的路×丙到丁的路）=3×3+2×4=9+8=17例4：如圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丁地有三條路，從甲例5：從1到500的所有自然數(shù)中,不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)?分析：從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．

一位數(shù)中：不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；

兩位數(shù)中：不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況．個(gè)位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有8×9=72個(gè)數(shù)不含4．

例5：從1到500的所有自然數(shù)中,不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個(gè)位上，不含4的也有九種情況．要確定一個(gè)三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有3×9×9=243個(gè)三位數(shù)．由于500也是一個(gè)不含4的三位數(shù)．所以，1～500中，不含4的三位數(shù)共有3×9×9+1=244個(gè)．

解：在1～500中，不含4的一位數(shù)有8個(gè)；不含4的兩位數(shù)有8×9=72個(gè)；不含4的三位數(shù)有3×9×9+1=244個(gè)，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324（個(gè)）

三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不解法二：這道題也可以這樣想：把一位數(shù)看成是前面有兩個(gè)0的三位數(shù)，如：把1看成是001．把兩位數(shù)看成是前面有一個(gè)0的三位數(shù)．如：把11看成011．那么所有的從1到500的自然數(shù)都可以看成是“三位數(shù)”，除去500外，考慮不含有4的這樣的“三位數(shù)”．百位上，有0、1、2、3這四種選法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種選法；個(gè)位上，也有九種選法．所以，除500外，有4×9×9=324個(gè)不含4的“三位數(shù)”．注意到，這里面有一個(gè)數(shù)是000，應(yīng)該去掉．而500還沒有算進(jìn)去，應(yīng)該加進(jìn)去．所以，從1到500中，不含4的自然數(shù)仍有324個(gè)．

解法二：這道題也可以這樣想：例6：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師要求同學(xué)們用0、1、2、3這四個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，請(qǐng)問：（1）可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？

解：（１）3×3×2=18（個(gè)）

（3）3×4×4=48（個(gè)）例6：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師要求同學(xué)們用0、1、2、3這四個(gè)數(shù)第九講求平均數(shù)

第九講求平均數(shù)

什么是平均數(shù)：把一個(gè)(總)數(shù)平均分成幾個(gè)相等的數(shù)，相等的數(shù)的數(shù)值就叫做這個(gè)(總)數(shù)的平均數(shù)。如，24平均分成四個(gè)數(shù)：6，6，6，6，數(shù)6就叫做24分成四份的平均數(shù)。由此可見，平均數(shù)是相對(duì)于“總數(shù)”和分成的“份數(shù)”而言的。知道了被均分的“總數(shù)”和均分的“份數(shù)”，就可以求出平均數(shù)：

總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)。

總數(shù)量÷平均數(shù)=總份數(shù);

平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量。什么是平均數(shù)：把一個(gè)(總)數(shù)平均分成幾個(gè)相等的數(shù)，相等的數(shù)的根據(jù)求平均數(shù)的一般公式可以得到它們的計(jì)算方法：

全班同學(xué)的總成績÷全班同學(xué)人數(shù)=平均成績，

幾件貨物的總重量÷貨物件數(shù)=平均重量，

一輛汽車行駛的路程÷所用的時(shí)間=平均速度。

這三個(gè)數(shù)量中，知道其中任意兩個(gè)數(shù)量，就可以求出第三個(gè)數(shù)量。解題的關(guān)鍵是弄清題意，找準(zhǔn)題中什么數(shù)量是總數(shù)量，其對(duì)應(yīng)的總份數(shù)及平均數(shù)各是什么數(shù)量，再運(yùn)用對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系求解。根據(jù)求平均數(shù)的一般公式可以得到它們的計(jì)算方法：例1：求下列20個(gè)數(shù)的平均數(shù)：401，398，400，403，399，396，40