Matlab微分方程的應(yīng)用課件1

藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì)

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程——藥物動(dòng)力學(xué)

建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體1何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀(guān)點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱(chēng)為“交換”且交換滿(mǎn)足著總量守衡。以下我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物在體內(nèi)的分布。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采2藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常見(jiàn)的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機(jī)體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的3情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類(lèi)似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱(chēng)為藥物的血漿半衰期：負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型

在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿(mǎn)足微分方程：情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃4情況2恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿(mǎn)足：（x(0)=0）

這是一個(gè)一階常系數(shù)線(xiàn)性方程，其解為：或易見(jiàn)：稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T(mén)1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為T(mén)2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況1。故：0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類(lèi)似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況2恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點(diǎn)滴5情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時(shí)刻殘留藥物量為y(t)，則y滿(mǎn)足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以解得：從而藥物濃度情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外6圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線(xiàn)。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同。圖3-9

我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線(xiàn)。7

上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱(chēng)單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過(guò)血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過(guò)交換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)

圖3-10表示的是一種常見(jiàn)的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)際情況。當(dāng)差異較大的部分較多時(shí)，可以類(lèi)似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)，包括：中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱(chēng)8

油畫(huà)真假辨別歷史背景：

二戰(zhàn)后,荷蘭保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹分子的合作者,于1945年5月以通敵罪逮捕了一名三流畫(huà)家H.A.Vanmeegren,此人曾將荷蘭著名畫(huà)家創(chuàng)作的一批名貴油畫(huà)盜賣(mài)給德國(guó).但此人被捕后稱(chēng)自己從未出賣(mài)過(guò)荷蘭利益,所有油畫(huà)均是自己偽造的.這件事在當(dāng)時(shí)轟動(dòng)了全世界,為了證明自己是一個(gè)高明的偽造者,他開(kāi)始在牢房里作畫(huà).當(dāng)畫(huà)快要完成時(shí),他又得悉通敵罪可能會(huì)改為偽造罪,為了逃避判決,他末將此畫(huà)畫(huà)完,并拒絕將畫(huà)老化,以免留下罪證.油畫(huà)真假辨別歷史背景：9

為審理此案,法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國(guó)際專(zhuān)門(mén)小組,采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法,如X-光線(xiàn)透視等對(duì)顏料成份進(jìn)行分析,終于在幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì),如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡.這樣偽造罪成立,Vanmeegren被判一年徒刑.1947年11月30日他在獄中因心臟病發(fā)作死去.但許多人還是不相信其余名畫(huà)是偽造的,因?yàn)樗讵z中作的畫(huà)質(zhì)量實(shí)在太差,所找理由都不能使懷疑者滿(mǎn)意.直到1967年,卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了此問(wèn)題。為審理此案,法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家10放射物質(zhì)衰變?cè)恚何镔|(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N(t)為t時(shí)刻存在的原子數(shù)，則dN/dt為單位時(shí)間內(nèi)蛻變的原子數(shù)，因此有：半衰期T:給定數(shù)量的放射性原子蛻變一半所需的時(shí)間λ：衰變系數(shù)假設(shè)N(t0)＝N0，于是得初值問(wèn)題：兩邊取對(duì)數(shù)后：放射性物質(zhì)測(cè)定半衰期：碳-14鐳-226鈾-238鉛-210放射物質(zhì)衰變?cè)恚何镔|(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N11油畫(huà)中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫(huà)中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦中提取來(lái)出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來(lái)時(shí)，Pb210的絕大多數(shù)來(lái)源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。油畫(huà)中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫(huà)中的12衰變史：油畫(huà)小知識(shí)：所有油畫(huà)都含少量放射性元素鉛-210以及更少量的鐳-226。鉛礦石金屬鉛鉛白鉛-210半衰期：22年鐳-226半衰期：1600年化煉鉛-206衰變衰變衰變史：油畫(huà)小知識(shí)：所有油畫(huà)都含少量放射性元素鉛-鉛礦石金屬13鑒別油畫(huà)的方法：

要區(qū)別17世紀(jì)的油畫(huà)和現(xiàn)代膺品，可根據(jù)下述簡(jiǎn)單事實(shí)：如果顏料的年頭比起鉛的半衰期22年長(zhǎng)得多，那么顏料中鉛-210的放射作用量就幾乎接近于顏料中鐳的放射作用量，即兩者每分鐘蛻變的原子數(shù)應(yīng)非常接近;如果油畫(huà)是現(xiàn)代作品(大約20年左右),那么鉛-210的放射作用量就要比鐳的放射作用量大得多。因此，一般只要測(cè)得每克鉛白中鉛-210及鐳的衰變率就能判定。鑒別油畫(huà)的方法：要區(qū)別17世紀(jì)的油畫(huà)和現(xiàn)代膺14假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17世紀(jì)的油畫(huà)感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17世紀(jì)15模型建立：記y(t)為t時(shí)刻每克鉛白所含鉛-210的數(shù)量，y0為制造時(shí)刻t0每克鉛白所含鉛-210的數(shù)量，r為鐳在每克鉛白中鐳-226在每分鐘的蛻變量，λ是鉛-210的衰變常數(shù)，則油畫(huà)中鉛-210含量應(yīng)滿(mǎn)足：解：因?yàn)殍D-226衰變?yōu)殂U-210模型建立：記y(t)為t時(shí)刻每克鉛白所含鉛-210的數(shù)量，y16求解均可測(cè)出。求解均可測(cè)出。17是否現(xiàn)代膺品的判別

取t-t0=300年，可算出鉛白中鉛-210的蛻變值λy0，然后再與當(dāng)時(shí)的礦物質(zhì)比較,能分析發(fā)現(xiàn)原礦中含鈾量是否合理。

由于礦石中含鈾量達(dá)2-3%已極罕見(jiàn)，而由鉛-210單位時(shí)間蛻變的原子數(shù)來(lái)計(jì)算礦石中含鈾量的方法也不難，只要鉛白中鉛-210每分鐘蛻變超過(guò)3萬(wàn)個(gè)原子，就知礦石中含鈾超過(guò)4%，就判定出必為膺品。是否現(xiàn)代膺品的判別18測(cè)定結(jié)果與分析畫(huà)名鉛210衰變?cè)訑?shù)鐳226衰變?cè)訑?shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂(lè)譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0測(cè)定結(jié)果與分析畫(huà)名鉛210衰變?cè)訑?shù)鐳226衰變?cè)訑?shù)Emm19若第一幅畫(huà)是真品，鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品若第一幅畫(huà)是真品，鉛210每分鐘每克衰20其它鑒定結(jié)果：油畫(huà)名稱(chēng)鉛-210蛻變?cè)訑?shù)（λy）鐳226蛻變?cè)跀?shù)（r）λy0結(jié)果濯足12.60.26157130膺品看樂(lè)譜的女人10.30.3127340膺品演奏曼陀琳的女人8.20.17102250膺品花邊織工1.51.41270真品笑女5.26.0-10180真品取t-t0=300，鉛-210的λ=ln2/22后兩幅畫(huà)不可能是偽制品，因?yàn)殂U-210和鐳-226非常接近于放射性平衡，這種平衡在19世紀(jì)或20世紀(jì)油畫(huà)的任何樣品中都觀(guān)察不到。其它鑒定結(jié)果：油畫(huà)名稱(chēng)鉛-210蛻變?cè)訑?shù)（λy）鐳226蛻21

藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì)

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程——藥物動(dòng)力學(xué)

建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體22何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀(guān)點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱(chēng)為“交換”且交換滿(mǎn)足著總量守衡。以下我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物在體內(nèi)的分布。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采23藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常見(jiàn)的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機(jī)體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的24情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類(lèi)似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱(chēng)為藥物的血漿半衰期：負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型

在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿(mǎn)足微分方程：情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃25情況2恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿(mǎn)足：（x(0)=0）

這是一個(gè)一階常系數(shù)線(xiàn)性方程，其解為：或易見(jiàn)：稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T(mén)1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為T(mén)2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況1。故：0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類(lèi)似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況2恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點(diǎn)滴26情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時(shí)刻殘留藥物量為y(t)，則y滿(mǎn)足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以解得：從而藥物濃度情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外27圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線(xiàn)。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同。圖3-9

我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線(xiàn)。28

上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱(chēng)單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過(guò)血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過(guò)交換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)

圖3-10表示的是一種常見(jiàn)的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)際情況。當(dāng)差異較大的部分較多時(shí)，可以類(lèi)似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)，包括：中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱(chēng)29

油畫(huà)真假辨別歷史背景：

二戰(zhàn)后,荷蘭保安機(jī)關(guān)開(kāi)始搜捕納粹分子的合作者,于1945年5月以通敵罪逮捕了一名三流畫(huà)家H.A.Vanmeegren,此人曾將荷蘭著名畫(huà)家創(chuàng)作的一批名貴油畫(huà)盜賣(mài)給德國(guó).但此人被捕后稱(chēng)自己從未出賣(mài)過(guò)荷蘭利益,所有油畫(huà)均是自己偽造的.這件事在當(dāng)時(shí)轟動(dòng)了全世界,為了證明自己是一個(gè)高明的偽造者,他開(kāi)始在牢房里作畫(huà).當(dāng)畫(huà)快要完成時(shí),他又得悉通敵罪可能會(huì)改為偽造罪,為了逃避判決,他末將此畫(huà)畫(huà)完,并拒絕將畫(huà)老化,以免留下罪證.油畫(huà)真假辨別歷史背景：30

為審理此案,法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國(guó)際專(zhuān)門(mén)小組,采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法,如X-光線(xiàn)透視等對(duì)顏料成份進(jìn)行分析,終于在幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì),如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡.這樣偽造罪成立,Vanmeegren被判一年徒刑.1947年11月30日他在獄中因心臟病發(fā)作死去.但許多人還是不相信其余名畫(huà)是偽造的,因?yàn)樗讵z中作的畫(huà)質(zhì)量實(shí)在太差,所找理由都不能使懷疑者滿(mǎn)意.直到1967年,卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了此問(wèn)題。為審理此案,法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家31放射物質(zhì)衰變?cè)恚何镔|(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N(t)為t時(shí)刻存在的原子數(shù)，則dN/dt為單位時(shí)間內(nèi)蛻變的原子數(shù)，因此有：半衰期T:給定數(shù)量的放射性原子蛻變一半所需的時(shí)間λ：衰變系數(shù)假設(shè)N(t0)＝N0，于是得初值問(wèn)題：兩邊取對(duì)數(shù)后：放射性物質(zhì)測(cè)定半衰期：碳-14鐳-226鈾-238鉛-210放射物質(zhì)衰變?cè)恚何镔|(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N32油畫(huà)中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫(huà)中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦中提取來(lái)出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來(lái)時(shí)，Pb210的絕大多數(shù)來(lái)源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。油畫(huà)中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫(huà)中的33衰變史：油畫(huà)小知識(shí)：所有油畫(huà)都含少量放射性元素鉛-210以及更少量的鐳-226。鉛礦石金屬鉛鉛白鉛-210半衰期：22年鐳-226半衰期：1600年化煉鉛-206衰變衰變衰變史：油畫(huà)小知識(shí)：所有油畫(huà)都含少量放射性元素鉛-鉛礦石金屬34鑒別油畫(huà)的方法：

要區(qū)別17世紀(jì)的油畫(huà)和現(xiàn)代膺品，可根據(jù)下述簡(jiǎn)單事實(shí)：如果顏料的年頭比起鉛的半衰期22年長(zhǎng)得多，那么顏料中鉛-210的放射作用量就幾乎接近于顏料中鐳的放射作用量，即兩者每分鐘蛻變的原子數(shù)應(yīng)非常接近;如果油畫(huà)是現(xiàn)代作品(大約20年左右),那么鉛-210的放射作用量就要比鐳的放射作用量大得多。因此，一般只要測(cè)得每克鉛白中鉛-210及鐳的衰變率就能判定。鑒別油畫(huà)的方法：要區(qū)別17世紀(jì)的油畫(huà)和現(xiàn)代膺35假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17世紀(jì)的油畫(huà)感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對(duì)17世紀(jì)36模