武漢科技大學(xué)-信號(hào)與系統(tǒng)下冊課后習(xí)題講解

武漢科技大學(xué)—信號(hào)與系統(tǒng)下冊課后習(xí)題講解6.2精選例題例1設(shè)一個(gè)LTI離散系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，當(dāng)激勵(lì)為fl(n)u(n)時(shí)全響應(yīng)為n1n當(dāng)激勵(lì)為f2(n) u(n)時(shí)全響應(yīng)為y2(n) 1u(n).yl(n) 1u(n), 2 2(1)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)保持不變，且激勵(lì)為f3(n)4u(n)時(shí)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y3(n)o(2)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)增加一倍，且激勵(lì)為f4(n)4u(n2)時(shí)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y4(n).(3)求該系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(n)。解：設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)保持不變，當(dāng)激勵(lì)為fl(n)u(n)時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為yx(n)、yf(n)?依題意，有:1n1nyl(n)yx(n)yf(n)根據(jù)LTI系統(tǒng)的性質(zhì)，當(dāng)激勵(lì)為f2(n)1ny2(n)yx(n)yf(n)聯(lián)立式Ol、02,可解得：1n11n1nIn1 1 1yf(n)1u(n)O1 2u(n)時(shí)全響應(yīng)為1u(n)022u(n)yx(n) 2 22 2 1u(n)同樣，根據(jù)LTI系統(tǒng)的基本性質(zhì)，不難得到:(1)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)保持不變，且激勵(lì)為f3(n)4u(n)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為:y3(n)yx(n)4yf(n)1n同樣，根據(jù)LTI系統(tǒng)的基本性質(zhì)，不難得到:(1)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)保持不變，且激勵(lì)為f3(n)4u(n)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為:y3(n)yx(n)4yf(n)1n11n1 1n1u(n)2 2 2 24u(n)2 2u(n)41n11n1 5 3(2)當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)增加一倍，且激勵(lì)為f4(n)4u(n2)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為:y4(n)2yx(n)4yf(n2)1n11n1 1n11n1 u(n)41u(n2) 2 2 2 2(3)由于(n)u(n)u(n1),所以該系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：h(n)yf(n)yf(n1)1n11n1Inin 1u(n)1u(n1) 2 2 2 2例2一個(gè)LTI連續(xù)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)f(t)sintu(t)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)如例2圖所示，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解：依題意，該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：yf(t)sintu(t)h(t)由于沒學(xué)過卷積逆運(yùn)算，無法直接求得沖激響應(yīng)h(t),t可以從卷積運(yùn)算的性質(zhì)下手，設(shè)法使激勵(lì)信號(hào)中出現(xiàn)例2圖(t),這樣就有可能求出h(t)。dsintu(t)d2sintu(t)costu(t), (t)sintu(t)因?yàn)閐tdt2不難發(fā)現(xiàn)：d2sintu(t)sintu(t)sintu(t)[(t)sintu(t)](t)2dt從而，一方面，根據(jù)卷積分配律：d2sintu(t)sintu(t)h(t)h(t)dt2d2sintu(t)[sintu(t)]h(t)(1)dt2(t)h(t)h(t)t例A”⑺0 1 22解圖另一方面，根據(jù)卷積的微分性質(zhì)：d2yf(t)d2sintu(t)sintu(t)h(t)h(t)yf(t)2dtdt2故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：h(t)yf(t)其波形如例2解圖所示。d2yf(t)dt2例3求下面例3圖(1)所示系統(tǒng)中的加權(quán)系數(shù)h(n),以使得該系統(tǒng)與例3圖(2)所示的系統(tǒng)等效。x例3圖(1例3圖(2)解：如果兩個(gè)離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)相同，則這兩個(gè)系統(tǒng)等效。因此，必須先求出每個(gè)系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。根據(jù)例3圖(2),可以得到該系統(tǒng)的差分方程為：y(n)5y(n1)6y(n2)x(n)x(n1)設(shè)該系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，當(dāng)激勵(lì)x(n)為單位取樣信號(hào)(n)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)y(n)就是單位序列響應(yīng)hO(n),上述差分方程可以寫為：hO(n)5hO(n1)6h0(n2) (n)(n1)此差分方程的特征方程為：25 60解之，得特征根：12, 23由于激勵(lì)是單位取樣信號(hào)(n),方程特解為零，故單位序列響應(yīng)的形式與齊次解相同，即：hO(n)(Cl2nC23n)u(n)由于初始狀態(tài)hO(1)hO(2)0不難根據(jù)差分方程迭代求出n0的初始條件：hO(O)1hO(l)6將它們代入單位序列響應(yīng)，求得

hO(O)ClC21hO(l)2C13C26hO(O)ClC21hO(l)2C13C26Cl3解之，得C24nn故：hO(n)(3243)u(n)1O對(duì)于例3圖(1)所示系統(tǒng)的響應(yīng)為：y(n)h(0)x(n)h(l)x(n1) h(N)x(nN)h(m)x(nm)m0x(n)h(n)因?yàn)橄到y(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)信號(hào)和單位序列響應(yīng)的卷積，所以圖(1)所示系統(tǒng)中的各加權(quán)系數(shù)h(n)正是該系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)在不同時(shí)刻的樣值。這樣要使圖(1)和圖(2)所示的兩個(gè)系統(tǒng)等效，則圖(1)所示系統(tǒng)的加權(quán)系數(shù)h(n)就應(yīng)和式O1相同，即h(n)(32n43n)u(n)從上面分析可以看出，圖(1)所示系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)卷積器。利用這個(gè)結(jié)構(gòu)可以模擬線性離散系統(tǒng)。6.3習(xí)題精解1.下列系統(tǒng)中f()為激勵(lì)，y()為響應(yīng)，x(0)為初始狀態(tài)，試判斷它們是否為線性系統(tǒng)。(1)y(t)x(0)f(t)(2)y(t)x(0)5f(t)(3)y(n)4x(0)7f(n)(4)y(n)af(n)b,其中a、b為常數(shù)解：由于系統(tǒng)(1)不滿足分解性；系統(tǒng)(2)不滿足零輸入線性；系統(tǒng)(3)不滿足零狀態(tài)線性，故這三個(gè)系統(tǒng)都不是線性系統(tǒng)。對(duì)于系統(tǒng)(4),如果直接觀察丫(0~￡6)關(guān)系，似乎系統(tǒng)既不滿足齊次性，也不滿足疊加性。但考慮到令f(n)=0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為常數(shù)b,若把它看成是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)仍是滿足線性系統(tǒng)條件的，故系統(tǒng)⑷是線性系統(tǒng)。2.下列系統(tǒng)中f()和yf()分別表示激勵(lì)和零狀態(tài)響應(yīng)，試判斷它們是否為時(shí)不變系統(tǒng)。(1)yf(t)acos[f(t)],其中a為常數(shù)解：(1)已知f(t)yf(t)acos[f(t)],設(shè)fl(t)f(ttd),ttd,則其零狀態(tài)響應(yīng)為yfl(t)acos[fl(t)]acos[f(ttd)],顯然yfl(t)yf(ttd),故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。(2)已知f(n)yf(n)bf(n),設(shè)fl(n)f(nnO),nnO,則其零狀態(tài)響應(yīng)為yfl(n)bfl(n)bf(nnO),顯然yfl(n)yf(nnO),故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。3.下列系統(tǒng)中f()和yf()分別表示激勵(lì)和零狀態(tài)響應(yīng)，試判斷系統(tǒng)的因果性。(1)yf(t)7f(t)3(2)yf(t)(4)yf(n)(2)yf(n)bf(n),其中b為常數(shù)3tf(x)dx(3)yf(n)3f(n)5f(n2)if(i)(5)ynf(6)yf(t)f(3t)(n)f(n1)解：對(duì)于(1)?(4),由于任一時(shí)刻的零狀態(tài)響應(yīng)均與該時(shí)刻以后的輸入無關(guān)，因此都是因果系統(tǒng)。而對(duì)于(5),系統(tǒng)任一時(shí)刻的零狀態(tài)響應(yīng)都與該時(shí)刻以后的激勵(lì)有關(guān)。響應(yīng)在先，激勵(lì)在后，這在物理系統(tǒng)中是不可能的。因此，該系統(tǒng)是非因果的。(6)也是非因果的，因?yàn)槿绻鹒(t)0.ttO則有yf(t)f(3t)0,ttO3可見在區(qū)間tOttO±yf(t)0,即零狀態(tài)出現(xiàn)于激勵(lì)之前，因而該系統(tǒng)是非因果的。3.下列系統(tǒng)中f()和yf()分別表示激勵(lì)和零狀態(tài)響應(yīng)，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。yf(n)3f(n)2f(n1)解：(1)顯然，無論激勵(lì)f(n)是何種形式的序列，只要它是有界的，那么yf(n)也是有界的，因果該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。f(x)dx(2)若f(t)u(t),顯然該激勵(lì)是有界的，但(2)yf(t)f(x)dxyf(t)u(x)dxt,t0t它隨時(shí)間t無限增長，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。.已知系統(tǒng)方程及其對(duì)應(yīng)的初始條件(0狀態(tài))，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。y''(t)2y'(t)2y(t)f(t),給定：y(0)0,y(0)2；,y'(0)2；⑵y''(t)2y'(t)y(t)f(t),給定：y(0)1解：(1)特征方程為：22 20,得特征根：1 1j,1 1j因而，可設(shè)零輸入響應(yīng)為：yx(t)et(ClcostC2sint),t0代入初始條件得：yx(0)et(ClcostC2sint)t0Cl0yx'(0)[et(ClcostC2sint)et(ClsintC2cost)]t0ClC22聯(lián)立以上兩式，解得Cl0,C22所以，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：yx(t)2etsintu(t)(2)特征方程為：22 10,得特征根：1 2 1因而，可設(shè)零輸入響應(yīng)為：yx(t)(CltC2)et,t0代入初始條件得：yx(0)(CltC2)ett0C21yx'(0)[Ciet(CltC2)et]t0ClC22聯(lián)立以上兩式，解得Cl3,C21所以，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：yx(t)(3tDetu(t).給定系統(tǒng)微分方程、初始狀態(tài)(0狀態(tài))以及激勵(lì)信號(hào)分別為以下三種情況：y'(t)2y(t)f(t),y(0)0,f(t)u(t)y'(t)2y(t)3f'(t),y(0)0,f(t)u(t)?y*(0)1,f(t)u(t)(3)2y''(t)3y'(t)4y(t)f'(t),y(0)1試判斷系統(tǒng)在起始點(diǎn)是否發(fā)生跳變，據(jù)此對(duì)(1)(2)分別寫出其y(0)值，對(duì)(3)寫出y(0)和y'(0)值。解：(1)將f(t)u(t)代入方程，由于方程右邊沒有沖激信號(hào)(t)及其導(dǎo)數(shù)，所以系統(tǒng)在起始點(diǎn)(從0狀態(tài)到0狀態(tài))沒有發(fā)生跳變。從而可知：y(0)y(0)0(2)將f(t)u(t)代入方程，由于f'(t) (t),即方程右邊有沖激信號(hào)(t),所以系統(tǒng)在起始點(diǎn)(從0狀態(tài)到0狀態(tài))會(huì)發(fā)生跳變。根據(jù)奇異函數(shù)匹配法的原理，可設(shè)：y'(t)a(t)bu(t),0t0?(注意：這里u(t)不代表單位階躍信號(hào)，只是借用它表示y(n)(t)在t0點(diǎn)有一個(gè)單位的跳變量。)從而有：y(t)au(t)代入原方程可得：a(t)bu(t)2au(t)3(t)解得：a3,b6故y(0)y(0)a3(3)將f(t)u(t)代入方程，由于f'(t) (t),即方程右邊有沖激信號(hào)(t),所以系統(tǒng)在起始點(diǎn)(從0狀態(tài)到0狀態(tài))會(huì)發(fā)生跳變。根據(jù)奇異函數(shù)匹配法的原理，可設(shè)：y"(t)a'(t)b(t)cu(t),0t0從而有：y'(t)a(t)bu(t),y(t)au(t)代入原方程可得：2a'(t)2b(t)2cu(t)3a(t)3bu(t)4au(t)(t)解得：a0,b13,c243,y(0)y(0)a12故：y'(0)y'(0)b7.給定系統(tǒng)微分方程y''(t)3y'(t)2y(t)f'(t)3f(t),若激勵(lì)信號(hào)和初始狀態(tài),y'(0)2,試求系統(tǒng)的全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)、分別為f(t)u(t),y(0) 1零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)各分量。解:(1)求零輸入響應(yīng)yx(t)：由已知條件有：yx"(t)3yx'(t)2yx(t)0''yx(O)yx(O)2yx(O)yx(O)1特征方程：23 20特征根為：1 1, 2 2故可設(shè)零輸入響應(yīng)(齊次解)為：yx(t)(CietC2e2t),t0代入初始條件，并求解得Cl4,C23故yx⑴(4et3e2t)u(t)(2)求零狀態(tài)yf(t)：依題意，可設(shè)齊次解DietD2e2t,t0,又由于t0時(shí)，f(t)u(t)1,易知3是方程的一個(gè)特解。23,t02t2t故零狀態(tài)響應(yīng)為：yf(t)DieD2e為了確定待定系數(shù)，將f(t)u(t)代入原方程，有：yf"(t)3yf'(t)2yf(t) (t)3u⑴根據(jù)奇異函數(shù)匹配法，當(dāng)0t0時(shí)，可設(shè)：yf”(t)a(t)bu(t),貝I］：yf'(t)au(t),yf(t)atu(t)0代入方程，平衡兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)得al,b0故yf(0)yf(0)a011,yf(0)yf(0)0代入表達(dá)式，可解得：DI2,D2"12t故yf(t)(2e12t3e)u(t)2252t3e)u(t),其中：22t(3)全響應(yīng)y(t)yx(t)yf(t)(2e零輸入響應(yīng)為：(4et3e2t)u(t)t零狀態(tài)響應(yīng)為：(2e12t3e)u(t)22自由響應(yīng)為：(2et5e2t)u(t)2強(qiáng)迫響應(yīng)為：u(t)t8.有一系統(tǒng)滿足：當(dāng)激勵(lì)為fl(t)u(t)時(shí)，全響應(yīng)為yl(t)2eu(t)；當(dāng)激勵(lì)為32f2(t) (t)時(shí)，全響應(yīng)為y2(t) (t)o(1)求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)；(2)設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)保持不變，求其對(duì)于激勵(lì)為f3(t)etu(t)的全響應(yīng)y3(t)。解：(1)設(shè)當(dāng)激勵(lì)為fl(t)u(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t),則系統(tǒng)全響應(yīng)為：1yl(t)yx(t)yf(t)2etu(t)O系統(tǒng)的初始狀態(tài)保持不變，根據(jù)LTI系統(tǒng)的性質(zhì)，當(dāng)激勵(lì)為f2(t) (t)時(shí)全響應(yīng)為：y2(t)yx(t)yf'(t) (t)02聯(lián)立式Ol、02,可得：3yf(t)yf(t) (t)2etu(t)O又知yf(O)0,用經(jīng)典法解式03所示的方程，可得yf(t)etu(t)從而，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：’yx(t)yl(t)yf(t)2etu(t)etu(t)etu(t)(2)由(1)不難看出，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)yf'(t) (t)etu(t)所以，根據(jù)卷積積分法，當(dāng)激勵(lì)為f3(t)etu(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)為：yf3(t)f3(t)h(t)etu(t)[(t)etu(t)]etu(t)tetu(t) (1t)etu(t)又由于系統(tǒng)的初始狀態(tài)保持不變，所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍為yx(t)etu(t),故系統(tǒng)的全響應(yīng)為：y3(t)yx(t)yf3(t)etu(t)(1t)etu(t)(2t)etu(t).某LTI系統(tǒng)，無初始儲(chǔ)能，在外界激勵(lì)f(t)2e3tu(t)作用下的響應(yīng)為y(t),即y(t)Tf(t)，又已知：Tf(t) 3y(t)e2tu(t),求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)o解：依題意，對(duì)于初始狀態(tài)為零的LTI系統(tǒng)，在激勵(lì)f(t)2e3tu(t)作用下的響應(yīng)為：y(t)T[f(t)]f(t)h(t)則在激勵(lì)f'(t)6e3tu(t)2(t)作用下的響應(yīng)為:y(t)T[f*(t)]f'(t)h(t)由于f'(t)6e3tu(t)2(t)3f(t)2(t),故有：y'(t)[3h(t)2(t)]h(t)3h(t)h(t)2(t)h(t)3y(t)2h(t)又由已知條件：y'(t)T[f'(t)] 3y(t)e2tu(t),從而得：3y(t)e2tu(t)3y(t)2h(t)故該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：h(t) 12teu(t)2.電路如題10圖所示，t0時(shí)，開關(guān)位于“1”且已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，t0時(shí)刻，開關(guān)自“1”轉(zhuǎn)至“2”。(1)試從物理概念判斷i(0)、i'(0)和1(0)、i'(0)；(2)寫出t0時(shí)間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程表示，求i(t)的全響應(yīng)；(3)寫出一個(gè)方程式，可在時(shí)間 t 內(nèi)描述系統(tǒng)，根據(jù)此式利用奇異函數(shù)匹配法判斷0時(shí)刻和0時(shí)刻狀態(tài)的變化，并與(1)的結(jié)果比較。20V題10圖解：t0時(shí)刻，開關(guān)位于“1”，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，不難得到:uC(0)10V,uL(0)0V,i(0)iL(0)0'從而可知：i(0)iL(0),luL(0)0Lt0時(shí)刻，開關(guān)自“1”轉(zhuǎn)至“2"，電容電壓和電感電流不會(huì)突變，故有:uC(O)uC(O)10V,i(O)iL(O)iL(O)0而電感電壓要發(fā)生變化，有KVL可知：uL(0)201010(V)從而可知：i'(0)if(0)1LuL(O)10A綜上所述，有：i(0)i'(0)i(0)0,i'(0)10At0時(shí)，由KVL可知：uC(t)Lddti(t)Ri(t)20u(t)方程兩邊求導(dǎo)并將i(t)CddtuC(t)代入，可得：d2Ldt(t)Rddti(t)12iCi(t)20(t)由于LRC1,且t0時(shí)，(t)0,所以系統(tǒng)微分方程為：d2dt2i(t)ddti(t)i(t)0其特征方程為：2 10,得特征根：1,2 1232j顯然0是方程的一個(gè)特解，故全響應(yīng)可設(shè)為：i(t)K(lle2j2)tK(12j2e2)t,代入初始條件i(0)0,i'(0)10,解得：K103j,K2103j代入上式，并化簡，得系統(tǒng)的全響應(yīng)為:1i(t)2023et2t)u(t)(3)根據(jù)(2),不難得到，在t時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)微分方程為：d2dt2i(t)ddti(t)i(t)ddtf(t)其中，f(t)10,t0,這可表示為20,t0f(t)1010u(t)代入系統(tǒng)微分方程，得：d2dt2i(t)ddti(t)i(t)10(t)t0根據(jù)奇異函數(shù)匹配法的原理，可設(shè)：i”(t)a(t)bu(t),0t0從而有：i*(t)au(t),i(t)atu(t)0代入原方程可得：a(t)bu(t)au⑴10(t)解得：a10,b10故：i'(0)i'(0)a01010,i(0)i(0)0可見，與(1)的結(jié)果一致。.設(shè)某因果LTI系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系可以用以下方程表示：y'(t)5y(t)f()p(t)df(t)其中p(t)etu(t)3(t),求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)和階躍響應(yīng)s(t)。解：y(t)5y(t)f()p(t)df(t)p(t)f(t)f(t)為了求h(t),將已知條件p(t)etu(t)3(t)及f(t)(t)代入，并化簡得:h'(t)5h(t)etu(t)2(t)易知h(0)0,用“經(jīng)典法”可求得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：17h(t)(ete5t)u(t)44從而進(jìn)一步可以得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：t317s(t)h()d(ete5t)u(t) 544.如題12圖所示電路，以u(píng)s(t)為輸入，u2(t)為輸出，試列出其微分方程，用時(shí)域分析法求出電路的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。u2(t)題12圖解：依題意，不難得到電路的微分方程為：(t)u2(t)u2u2s(t)us(t)us(t) (t)作用于系統(tǒng)時(shí)，對(duì)應(yīng)得到的系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t),從而有：2h'(t)h(t)'(t) (t)特征方程為：2 10,得特征根：可設(shè)齊次解：hh(t)Ae初始狀態(tài)：h(0)0用奇異函數(shù)匹配法，設(shè)h'(t)a'(t)b(t)cu(t),0t0則：h(t)a(t)bu(t)代入方程2h'(t)h(t),(t) (t),得：1t212(t0)a2a2b1b2c0解得：a111,b,c2481till故h(0)bh(0),即h(0)Ae2|t0,從而有A444又因?yàn)闆_激響應(yīng)中含有(t)分量，故所求沖激響應(yīng)為：2th(t) (t)eu(t)24進(jìn)一步可得系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：1111s(t)h()d[()e2u()]d 2411112tu(t)(e)u(t)2222tu(t)eu(t)2tt.題13圖所示系統(tǒng)是由幾個(gè)“子系統(tǒng)”組成，各子系統(tǒng)(積分器、單位延時(shí)器、倒相器)的沖激響應(yīng)分別為：hl(t)u(t),h2(t)(t1),h3(t) (t),試求整個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。題13圖解：根據(jù)串、并聯(lián)系統(tǒng)的特點(diǎn)，不難得到整個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為:h(t)hl(t)h2(t)*hl(t)*h3(t)u(t)(tl)*u(t)*[ (t)]u(t)u(t1).已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)e2tu(t)(1)若激勵(lì)信號(hào)為f(t)etu(t)u(t2) (t2)式中為常數(shù)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)o(2)若激勵(lì)信號(hào)表示為f(t)x(t)u(t)u(t2) (t2)式中x(t)為任意t函數(shù)，若要求系統(tǒng)在t2的零狀態(tài)響應(yīng)為零，試確定值應(yīng)等于多少？解：(1)依題意，可得：yf(t)h(t)*f(t)e2tu(t)*et[u(t)u(t2)]e2tu(t)*(t2)e2tu(t)*et[u(t)u(t2)] e2(t2)u(t2)先計(jì)算：e2tu(t)*eu(t)e2e(t)d(ete2t)u(t)tOt由卷積積分的性質(zhì)，可得：e2tu(t)*etu(t2)e2tu(t)*[e2e(t2)u(t2)]e2[e(t2)e2(t2)]u(t2)(ete2t2)u(t2)故有：yf(t)(ete2t)u(t)(ete2t2)u(t2)e2(t2)u(t2)(ete2t)u(t)(ete2t2e2t4)u(t2)也可以寫作：當(dāng)0 t2時(shí)，yf(t) ete 2t當(dāng)t 2時(shí)，yf(t)e 2t( e4 e2 1)(2)依題意，可得：yf(t)h(t)*f(t)e2tu(t)*x(t)[u(t)u(t2)]e2tu(t)*(t2)e2(t)u(t)x()u()de2(t)u(t)x()u( 2)d0e2(t)u(t)x()u()d2tte2(t2)u(t2)eOt2(t )x()du(t)e2(t)x()du(t2)e2(t2)u(t2)2t當(dāng)t2時(shí)，要yf(t)0,即：e2t故有：2t242 2t2 2(t2)eex()de0ex()deex()de02 0tt2e420e2x()d.一個(gè)乒乓球從h米高處自由下落至地面，每次彈跳起的最高高度是前一次最高高度的2,若以y(n)表示第n次跳起的最高高度，試列出描述此過程的差分方程。若給定h2,3解：依題意，可得此差分方程為：y(n)試解此差分方程。2y(n1)03且y(0)h,n0從而，用“經(jīng)典法'’不難得到方程的解形如：y(n)C()n,n0由y(o)h得Ch,于是有：y(n)h()n,n0所以，當(dāng)h2時(shí)，得y(n)2()n,n0.已知f(n)和h(n)分別表示LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)和單位序列響應(yīng)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。f(n)u(n),h(n) (n)(n3)232323(2)f(n) u(n),h(n)u(n)u(n5) 2n解：(1)利用“卷積和”求LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(n)f(n)*h(n)u(n)*[(n)(n3)]u(n)*(n)u(n)*(n3)u(n)u(n3)(2)利用“卷積和”求LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(n)f(n)*h(n)h(n)*f(n)1[u(n)u(n5)]*[()nu(n)]21[u(m)u(m5)nmu(nm)2mInm1 () ()m02m52nnmIni2nlln252n1()u(n)()u(n5)212212(22n)u(n)[22(n5)]u(n5)17.題17圖所示的系統(tǒng)由兩個(gè)級(jí)聯(lián)的LTI系統(tǒng)組成，它們的單位序列響應(yīng)分別為hl(n)和h2(n)。已知hl(n)6(n) 8(n3),h2(n)(0.8)nu(n),,令f(n)u(n),求y(n)of(n題17圖y(n)解：方法1：y(n)[x(n)*hl(n)]*h2(n){u(n)*[(n)(n3)]}*[(0.8)nu(n)][u(n)u(n3)]*[(0.8)nu(n)]mn(0.8)mmu(m)u(nm)n3mm (0.8)mu(m)u(nm3)0.8u(n) 0.8u(n3)mOm01(0.8)n110.8n2u(n)u(n3)10.810.85[(10.8nl)u(n)(10.8n2)u(n3)]方法2：y(n)f(n)*[hl(n)*h2(n)]u(n)*{[(n)(n3)]*(0.8)nu(n)}u(n)*[0.8nu(n)0.8n3u(n3)]mn0.8mmu(m)u(nm)n3mu(m)0.8nm3u(nm3)0.8u(n) 0.8nm3u(n3)mOm0(n2)10.8n1n310.8u(n)0.8u(n3)110.810.85[(10.8nl)u(n)(10.8n2)u(n3)](1)列出系統(tǒng)的差分方程。(2)求出它的單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)。(3)已知激勵(lì)f(n)3u(n),求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：(1)根據(jù)上圖列出差分方程：ny(n) 3y(n 1) 2y(n 2) f(n) f(n 1)整理后得到：y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) f(n) f(n 1)(2)單位序列響應(yīng)h(n)滿足h(n)3h(n1)2h(n2) (n)(n1)h(1)h(2)0由迭代法，可得初始條件：h(0)3h(1)2h(2) (0) (1)00101h(l)3h(0)2h(1) (1) (0)3-0014特征方程為： 23 20特征根為： 11, 22可設(shè)單位序列響應(yīng)為：h(n)(ClC22)u(n)將初始條件代入，得nh(0)ClC21Cl2,解之，得h(l)Cl2C24C23從而得系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(n) (-232n)u(n)進(jìn)一步得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為s(n)ih(i)(-232)u(i) (232) (2n2iiiiOnnnn1l)u(n)(3)激勵(lì)為f(n)3nu(n),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：yf(t)f(n)*h(n)3nu(n) (-232n)u(n) (162n63n)u(n)7.3習(xí)題精解

.已知某LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)eatu(t),a0,系統(tǒng)的輸入為f(t)ebtu(t),b0,求該系統(tǒng)的輸出。解：輸入信號(hào)的頻譜為：F(j)1bj系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：H(j)則輸出信號(hào)的頻譜為：lajY(j)F(j)H(j)(bj)(aj)1111 (ba)(aj)(ab)(bj)輸出信號(hào)y(t)為：(eatebt)u(t)aby(t)bateatu(t) ab.已知某LTI系統(tǒng)由微分方程y(t)3y(t)2y(t)f(t)描述，求該系統(tǒng)對(duì)信號(hào)f(t)e3tu(t)的響應(yīng)。解：輸入信號(hào)的頻譜為：F(j)1j3系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：H(j)則輸出信號(hào)的頻譜為：12(j)3(j)2Y(j)F(j)H(j)11 (j3)(j)23(j)21111jIj3j2輸出信號(hào)y(t)為：lly(t)(ete2te3t)u(t)22.已知系統(tǒng)的微分方程為y (t)3y(t)2y(t)f(t),用傅里葉變換法求在周期信號(hào)f(t)FmcosOt(t )激勵(lì)下的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y(t)。解：由于激勵(lì)是在t時(shí)刻接入系統(tǒng)的，故不存在零輸入響應(yīng)，即全響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)，且是正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。F(j)FmF(j)Fm0)0)H(j)Ij()H(j)e2(j)3j2, ()arctan式中，, ()arctan式中，H(j)1(2 2)2(3)23 22Y(j)H(j)F(j)FmH(jO)ej( 0)(0)又由于H(j0)H(j0), ( 0)ejOt(0)ejOt(0)y(t)FmH(j0)FmH(j0)cos4.已知LTI系統(tǒng)的微分方程為yH(j)和沖激響應(yīng)h(t)o解：對(duì)微分方程兩邊作傅里葉變換(j)得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：24(j)0)FmH(j0)ej(0)((0)可得：Ot(0) 2(t)4y(t)3y(t)f(t),求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3Y(j)F(j)H(j)單位沖激響應(yīng)為：Y(j)11111F(j)(j3)(j1)2j12j3h(t)1t(ee3t)u(t)25.已知LTI系統(tǒng)的輸入信號(hào)為f(t)sin6tcos2t,當(dāng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)Sa(4t)時(shí)，求其輸出y(t)。解：對(duì)輸入信號(hào)求傅里葉變換F(j)j( 6) ( 6) ( 2) ( 2)對(duì)單位沖激響應(yīng)求傅里葉變換得到該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)輸出信號(hào)的頻譜為：1G8()4Y(j)F(j)H(j)j( 6) ( 6) ( 2)2) 44y(t)llsin6tcos2t44對(duì)其求傅里葉反變換得輸出信號(hào).因果線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為y (t)3y(t)2y(t)f(t)3f(t),(1)求頻率響應(yīng)；(2)求單位沖激響應(yīng);(3)求f(t)etu(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：(1)對(duì)瓶分方程兩邊作傅里葉變換(j)23(j)2Y(j)(j3)F(j)可得頻率響應(yīng)H(j)Y(j)j321F(j)(j 2)(jl)jIj2(2)單位沖激響應(yīng)為：h(t) (2ete2t)u(t)(3)當(dāng)輸入為f(t)etu(t)時(shí)，F(xiàn)(j)1,則輸出信號(hào)的頻譜為：j1Y(j)F(j)H(j)輸出信號(hào)為：j3(jl)2(j 2)y(t)(2tetete2t)u(t).有一因果LTI系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)為H(j)其輸出為y(t)e3tu(t)e4tu(t),求f(t)。解：輸出y(t)的傅里葉變換為：1,對(duì)于某一特定的輸入f(t),j3Y(j)則輸入f(t)的傅里葉變換為：11j3j4對(duì)F(j)求傅里葉反變換，得：丫(j)1H(j)j4f(t)e4tu(t)8.如題8圖所示，以u(píng)(t)為輸出，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j),欲使系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)，RI,R2應(yīng)為何值。與u小?，LSC：i(tu(t)題8圖解：由電路圖可得：1(RIj ) R 2j I(j )U(j)1RIR2j系統(tǒng)函數(shù)為：R(R1R2 1) j R2 1U(j)H(j)II(j)(RIR2)j欲使系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)，應(yīng)滿足如下條件：H(j)K()td可見，當(dāng)RIR21時(shí)，可滿足此條件，有H(j)1, ()0所以RIR219.如題9圖所示，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jRi\ r2LJ-□ ————o)及系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件。Lf(t(t)題9圖解：由電路圖可得：jL2R2jL2R2Y(j)F(j)jLlRljL2R2jLIRljL2R2系統(tǒng)函數(shù)為：R2L2jL2R2Y(j)H(j)LlRlL2R2F(j)jLIRljL2R2欲使系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)，應(yīng)滿足如下條件：H(j)K()td可見，當(dāng)RIR21時(shí)，可滿足此條件，有H(j)1, ()0所以RIR21.低通濾波器的頻率特性如題10圖所示，輸入f(t)2sin(10t)sin(30t),求輸出y(t).卒附卒附(加)|230-3030題io圖解：已知f(t)2sin(10t)sin(30t)cos(20t)cos(40t)由于f(t)是由2個(gè)頻率的正弦分量組成。頻率為20的分量能通過該低通濾波器，頻率為40的分量不能通過。故輸出為：y(t)2cos(20t).證明LTI系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)仍是周期信號(hào)且不會(huì)產(chǎn)生新的諧波分量或新的頻率分量量。解：分別討論正弦信號(hào)和非正弦周期信號(hào)的情況。(1)正弦信號(hào)若有激勵(lì)f(t)Acost系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：Ajt(eejt) t2yf(t)AH(j)(ejtejt)AH(j)cost() 2由此可得，LTI系統(tǒng)對(duì)正弦激勵(lì)的響應(yīng)為與激勵(lì)同頻率的正弦量，其振幅為激勵(lì)的振幅與H(j)模值的乘積，其相位為激勵(lì)的初相位與H(j)相位的和。(2)非正弦周期信號(hào)若有激勵(lì)f(t)nFenjntIT式中，F(xiàn)nTf(t)ejntdt,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：Tyf(t)nFH(jn)enn1jnt FO2FnH(jn)cosnt(n)(n)式中，F(xiàn)nFnej(n),H(jn)H(jn)ej(n)?？梢钥闯?，當(dāng)周期信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)仍為周期信號(hào)，周期和f(t)相同，且不會(huì)產(chǎn)生新的諧波分量或新的頻率分量。.某一信號(hào)處理系統(tǒng)，已知f(t)20cos(理想低通濾波器的頻率響100t)cos2(104t),應(yīng)為H(j)G240(),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。解：對(duì)■輸入信號(hào)化簡得：f(t) 20cosl00tcos2104tlOcoslOOt10costcos2104tlOcoslOOt5cos(1002104)t5cos(2104100)t即輸入信號(hào)包含了三個(gè)頻率成分，0100, 11002104以及22104100。由于系統(tǒng)傳輸函數(shù)是截止頻率為120的理想低通濾波器，則只能讓0100的頻率分量通過，而1和2無法通過，故y(t)10cos(100t)?13.若系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)2,激勵(lì)為周期信號(hào)f(t)sintsin(3t)時(shí)，求j3響應(yīng)y(t),并討論經(jīng)傳輸是否引起失真。解：對(duì)輸入信號(hào)求傅里葉變換得：.01)3)3)F(j)j.01)3)3)由于H(j)可得：2j3Y(j)F(j)H(j)2 222j( 1) (1) (3) ( 3)3j33j33j3j對(duì)其求傅里葉反變換得：jtIlly(t)jeejte3jte3jt3j33j33j3j可見，經(jīng)過傳輸信號(hào)引起了失真。8.1習(xí)題精解1試用拉普拉斯變換分析法求下列系統(tǒng)的響應(yīng)。(l)y'(t)3y(t)f(t),且y(0_)2,f(t)etu(t)。(2)y”(t)4y'(t)3y(t)f(t),且y'(0_)y(0_)0,f(t)e2tu(t),解：(1)對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換sY(s)y(0_)3Y(s)F(s)即Y(s)2s31131 (s1)(s3)2s12s31233te)u(t)2t系統(tǒng)響應(yīng)為y(t)(e(2)對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換s2Y(s)4sY(s)3Y(s)F(s)即Y(s)F(s)lllll 2s4s32sIs22s3系統(tǒng)響應(yīng)為y(t)1tiee2te3t22(t0)2已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)可用下列微分方程描述y''(t)3y'(t)2y(t)2f(t)若f(t)e3tu(t),y'(0_)l,y(O_) 1,試求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t),零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)以及全響應(yīng)y(t)o解：對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換s2Y(s)sy(0_)y'(0_)3sY(s)3y(0_)2Y(s)2sF(s)即(s23s2)Y(s)[sy(0_)y'(0_)3y(0_)]2sF(s)sy(O_)y'(0_)3y(0_)2sY(s)Yx(s)Yf(s) F(s)s23s2s23s2Yx(s)(s2)1(s1)(s2)s1則yx(t)etu(t)Yf(s)2s2sl43F(s) s23s2(s1)(s2)(s3)sIs2s3則yf(t) (et4e2t3e3t)u(t)全響應(yīng)為y(t)yx(t)yf(t) (2et4e2t3e3t)u(t)3電路如題3圖所示，激勵(lì)為e(t),響應(yīng)為i(t),求沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)。e(t)L1HR23題圖8-3解：由圖列寫回路方程

Llsl(s)Rl[I(s)12(s)]E(s)L2sI2(s)R2I2(s)Rl[I(s)12(s)]0Llsl(s)Rl[I(s)12(s)]E(s)(LisRl)I(s)R112(s)E(s)整理得RI(s)(RRLs)I(s)012221將條件代入得(s2)I(s)2I2(s)E(s)21(s)(s5)I(s)02(1)當(dāng)e(t)(t)時(shí)，E(s)1,所以I(s)120s5s22s5 22s5s7s641115s15s6h(t)L-1I(s)ete6tu(t)(2)當(dāng)e(t)(t)時(shí)，E(s)4515 1,所以s1I(s)sO2s5s22s52s5s(s27s6)5141116s5s130s6154s(t)L-1I(s) ete6tu(t)30654已知一線性時(shí)不變系統(tǒng)激勵(lì)為f(t)e3tu(t),零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)(ete2te3t)u(t)(1)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t);(2)若狀態(tài)y(0_)2,y'(0_)1,求零輸入響應(yīng)及全響應(yīng)。解：1111 ,F(s)sIs2s3s3111Yf(s)s321系統(tǒng)函數(shù)為H(s) 1 1lF(s)(s1)(s2)sIs2s3(1)Yf(s)所以h(t) (2ete2t)u(t) (t)(2)由H(s)Yf(s)F(s)31(s1)(s2)F(s)31(s1)(s2)所以，(s23s2)Yf(s)(s24s5)F(s)把初始狀態(tài)代入得s2Y(s)sy(O)y'(0)3[sY(s)y(0)]2Y(s)(s24s5)F(s)即(s23s2)Y(s)(s24s5)F(s)2s7將F(s) 1代入得s3s24s52s711153Y(s)22 (s3s2)(s3)s3s2sIs2s3sIs2t2t3ttt全響應(yīng)為y(t)(e(t)ee5e32e)u即y(t) (6et4e2te3t)u(t)5如題5圖所示電路，已知iL(0)2A,yc(0)IV,ys(t)u(t)V求電壓y(t)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t),零輸入響應(yīng)yx(t)和全響應(yīng)y(t)?1.5H(t)y(t)題圖8-5解：零狀態(tài)響應(yīng)的電路s域模型如題5解圖(a)所示。用分壓公式，則象函數(shù)為Yf(s)(s3)1211211.5s(s3)ss3s2sssIs2t所以yf(t) (1e2e2tu)t()零輸入響應(yīng)的s域模型如題5解圖(b)所示。用節(jié)點(diǎn)法，有Yx(s)1.s5136s542s13s3s2sIs2t2t所以yx(t)(e5e4u)t()全響應(yīng)為y(t)yxt()yft()(let3e2t3ut)()1.5SYs(sl(s)(b)6如題6圖所示電路，開關(guān)動(dòng)作前電路已穩(wěn)定。t0時(shí)，斷開開關(guān)S,當(dāng)t0時(shí)，試求電路中的電流i(t)。解圖解：電路初始值il(O)(25201251201)A1A,i(0)()A算電路圖如題解圖8-6所示。根據(jù)運(yùn)算電路圖計(jì)算得I(s)s31s5s252s0.250.1510103s2s205s5s(s4)ss4即i(t)[0.250.15e4t]u(t)A7試?yán)L出下列算子方程所描述的系統(tǒng)直接模擬框圖。(p33p2)y(t)x(t)(p33p23p2)y(t) (p22p)x(t)解:(1)系統(tǒng)直接模擬框圖如題7解圖(a)所示。(2)系統(tǒng)直接模擬框圖如題7解圖(b)所示。x(ty(t)y⑴題7解圖

H(s)5(s1)s(s2)(s5)H(s)解：2s3(s2)2(s3)5s5s37s210s(1)i)H(s)直接模擬框圖如題8解圖(a)所示。ii)H(s)5s11s2s5s串聯(lián)(級(jí)聯(lián))模擬框圖如題8解圖(b)所示。iii)H(s)ss2s5并聯(lián)模擬框圖如題8解圖(c)所示。(2) i) H(s) 2s 332s7s16s12112s 3s 2s 2s3直接模擬框圖如題8解圖(d)所示。ii)H(s)串聯(lián)（級(jí)聯(lián)）模擬框圖如題8解圖（e）所示。iii）H（s）313s2（s2）2s3并聯(lián)模擬框圖如題8解圖（f）所示。X(s(s)(a)X(s)Y(s)X(sY(s)(c)題8解圖X((s)(d)X(sY(s)(e)X(s)Y(s)(f)9某連續(xù)系統(tǒng)的s域信號(hào)流圖如題9圖所示，求其系統(tǒng)函數(shù)H(s)oF(s)Y(s)題9圖解：用梅森公式求解。(1)求特征行列式。先求回路，共4個(gè)，分別是LIs1,L23s1,L32s2,L44s3再求兩兩不接觸的回路，有2組，分別是L1L23s2,L3L46s3沒有3個(gè)以上互不接觸的回路。由此得出1(LIL2L3L4)(L1L2L3L4)12s15s22s3(2)前向通路共有2條。第一條：G1s3,沒有與第一條通路不接觸的回路，所以11；第二條：G122s1,與第二條通路不接觸的回路是L2,故213s1。(3)用梅森公式求解。由梅森公式得系統(tǒng)函數(shù)為Gl1G222s26sIH(s)32s2s5s210求題10圖所示電路的系統(tǒng)函數(shù)，并粗略繪其頻響曲線。TOC\o"1-5"\h\z0 O(/) 氏0 OuLo o(0 &O Ou2(t)uu2(t)題10圖(b)解：(a)由電路圖(a)所示得電壓傳輸函數(shù)Ha(s)R11R1CssisRIC令sj得Ha(j)jljRICa()arctan arctanRIC當(dāng)。時(shí)，Ha(j)0,a()90當(dāng)11,a()45時(shí)，Ha(j)R1C2當(dāng)0時(shí)，Ha(j)1,a()0圖(a)所示電路的頻響曲線如題解圖(a)所示。(b)由電路圖圖(b)所示得電壓傳輸函數(shù)R2R2Hb(s)LR2LsS2L令sj得Hb(j)R2Rj2Lb()LR2當(dāng)0時(shí)，Hb(j)1,b()0當(dāng)R21,b() 45時(shí)，Hb(j)L2當(dāng)時(shí)，Hb(j)0,b() 90圖(b)所示的曲線如題解圖(b)所示。㈤RIC幅頻響應(yīng)曲線90相頻響應(yīng)曲線(a)相頻響應(yīng)曲線題10解圖11指出下列系統(tǒng)函數(shù)中，哪些是作為BIB0穩(wěn)定的線性非時(shí)變系統(tǒng)，并分析原因。(a)H(s)SS1(b)H(s)s24(s1)29s2ls31(c)H(s)2(d)H(s)2s2sIs2s1解：(a)由于在虛軸上有單極點(diǎn)s2j,所以系統(tǒng)不穩(wěn)地。(b)系統(tǒng)函數(shù)為真分式，極點(diǎn)都在左半平面，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(c)系統(tǒng)函數(shù)分子分母的階數(shù)相同，極點(diǎn)都在左半平面，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(d)因?yàn)镠(s)分子的階數(shù)大于分母的階數(shù)，沖激響應(yīng)中必含有(t)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。12系統(tǒng)特征方程如下，試判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。并確定具有正實(shí)部的特征根及負(fù)實(shí)部的特征根的個(gè)數(shù)。(l)s47s317s217s60(2)4s56s42s34s2Ils100解：(l)s47s317s217s6017R-H（羅斯-霍維茨）陣為s41s3s267sis01026724001760陣列中第一列元素符號(hào)無變化，由羅斯-霍維茨判據(jù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定，具有4個(gè)負(fù)實(shí)部特征根。（2）4s56s42s34s2Ils100R-H陣為s5S446241110s3s2siS0213334310193043100陣列中第一列元素的符號(hào)有改變，且變化了兩次（從6變到22,又從變到43）,33故由羅斯-霍維茨判據(jù)可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)正實(shí)部特征根，有3個(gè)負(fù)實(shí)部特征根。13如題13圖所示反饋系統(tǒng)，為使其穩(wěn)定，試確定k值。F(sY(s)題圖8-13解：系統(tǒng)函數(shù)為sksks(s1)(s2)H(s) 32sks(s1)(s2)sks3s3skls(s1)(s2)由羅斯陣列可知，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有0k9。9.3習(xí)題精解.用z變換法解下列差分方程：y(n)0.9y(n1)0.05u(n),y(n)0,n1y(n)0.9y(n1)0.05u(n),y(1)1,y(n)0,n1y(n)3y(n1)2y(n2)u(n),y(1)0,y(2)1,y(n)0,n32y(n)0.8y(n1)0.15y(n2) (n),y(1)0.2,y(2)0.5,y(n)0,n 3解：(1)對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換得Y(z)0.9Y(z)z10.051z1Y(z)運(yùn)用部分分式法得0.05 11(10.9z)(1z)Y(z)0.050.450.5111(10.9z)(1z)10.9zlz由y(n)0,n1知，y(n)是因果序列，查教材表4-1得y(n)(0.450.9n0.5)u(n)(2)對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換得TOC\o"1-5"\h\zY(z)0.9z[Y(z) 1ky(k)zk]10.05 11z0.05 11z0.05Y(z)0.9zlY(z)0.9 1zlY(z)0.9zl[Y(z)y(l)z]0.950.9z1Y(z)11(10.9z)(1z)當(dāng)n0時(shí)，運(yùn)用部分分式法得0.950.9z10.450.5Y(z)(10.9z1)(1z1)10.9z11z1查教材表4-1得y(n)(0.450.9n0.5)u(n)總結(jié)得到y(tǒng)(n) (0.450.9n0.5)u(n)(n1)(3)對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換得Y(z)3z1[Y(z)y(l)z]2z2[Y(z)y(l)zy(2)z2]當(dāng)n0時(shí)，運(yùn)用部分分式法得1 11zzlz1Y(z)(13z12z2)(1z1)(1z1)(1z1)(12z1)121 1 11zlzl2z1查教材表4-1得112y(n) ((l)n(2)n)u(n)623總結(jié)得到y(tǒng)(n)(16121(l)n(2)n)u(n)(n2)232(4)對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換得Y(z)0.8z1[Y(z)y(1)z]0.15z2[Y(z)y(l)zy(2)z2]1Y(z)0.8zl[Y(z)0.2z]0.15z2[Y(z)0.2z0.5z2]11.0850.03z1Y(z)(10.3z1)(10.5z1)當(dāng)n0時(shí)，運(yùn)用部分分式法得1.0850.03z11.47752.5625Y(z) 1111(10.3z)(10.5z)10.3zl0.5z查教材表4-1得y(n) ( 1.4775 0.3n 2.5625 0.5n)u(n)總結(jié)得到y(tǒng)(n) ( 1.4775 0.3n 2.5625 0.5n)u(n) 0.2(n1)0.5(n2).設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為alz1H(z),a為實(shí)數(shù)11az(1)在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)，即|H(ej)|常數(shù)。(2)參數(shù)a如何取值，才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？并畫出其零-極點(diǎn)分布圖及收斂域。解：alzlza1H(z),極點(diǎn)：a,零點(diǎn)：a1lzalaz設(shè)a0.6,零極點(diǎn)分布圖如題2解圖(a)所示。已知|H(ej)|等于極點(diǎn)矢量的長度除以零點(diǎn)矢量的長度，由題2解圖(a)得到zalejalAB|H(e)；H(z)|zej|zejj|zaACeaj因?yàn)锳OBAOC,所以|H(ej0A0B1AB1,所以AOB~AOC,故。OCOAaACa)|ABI,故H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)。ACa(2)只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。設(shè)a0.6,極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題2解圖(b)所示。

(a) (b)題2解圖3.設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述y(n)y(n1)y(n2)x(n1)(1)求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z),并畫出零-極點(diǎn)分布圖。(2)限定系統(tǒng)是因果的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位響應(yīng)h(n)。(3)限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位響應(yīng)h(n)。解:(1)y(n)y(n1)y(n2)x(n1)對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換，得Y(z)Y(z)z1Y(z)z2X(z)z1Y(z)z1因此H(z)X(z)lz1z2零點(diǎn):zO=O極點(diǎn)：令1z1z2=0,求出極點(diǎn)，zl=圖所示。115,z2=,零極點(diǎn)分布圖如題3解22題3解圖(2)限定系統(tǒng)是因果的，H(z)的收斂域必須包含，即|z|15“阿二］,求出其單位2脈沖響應(yīng)h(n),h(n)IZT[H(z)]0z1H(z)121zzAl1151z2z2Al(1z1151151z)(1z)22z1(11 1151z)(1z)22(1111z)11z221511z)115z252A2(1因?yàn)閔(n)是因果的，查教材表4T得到h(n)115nl5n225115，|z|22(3)限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，H(z)的收斂域必須包含單位圓，即求出其單位脈沖響應(yīng)h(n),h(n)IZT[H(z)]o由(2)的結(jié)論，1z1XI(z)X2(z)H(z)1z1z21151z2511z1由收斂域得XI(z)對(duì)應(yīng)的原序列為左邊序列，X2(z)對(duì)應(yīng)的原序列為右邊序列，查教材表4-1得到h(n)()u(n1) ()u(n)224.已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)(1)求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位響應(yīng)h(n)。(2)寫出頻率響應(yīng)H(ej)表達(dá)式，并定性畫出其幅頻特性曲線。(3)設(shè)輸入x(n)ejOn,求輸出y(n)。解：y(n)0.9y(n1)x(n)0.9x(n1)對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換，得Y(z)0.9Y(z)z1X(z)0.9X(z)z1Y(z)l0.9z1因此H(z)X(z)l0.9z1h(n)IZT[H(z)]10.9z12H(z) 1 1110.9zl0.9z因?yàn)閱挝幻}沖響應(yīng)h(n)為因果序列，查教材表4-1得h(n)(n)20.9nu(n)10.9ejH(e)H(z)|zejj10.9ej極點(diǎn)zl=0.9,零點(diǎn)z2=-0.9,零極點(diǎn)圖如題4解圖(a)所示，根據(jù)極零點(diǎn)分布定性畫出的幅度特性如題4解圖(b)所示。x(n)ejOny(n)ejOnH(ej0)ejOnl0.9ej0j010.9e(a) (b)題4(a) (b)題4解圖5.已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位響應(yīng)分別為x(n)anu(n),h(n)0b1,試求(1)用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。bnu(n),0a1,(2)用z變換法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n).解：(1)用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)y(n)x(n)h(n)nm bmu(m)anmu(nm)m0bmanmn0,y(n)m0bnmanmanm0bnmamlanlbnlan1bn1aablalbnn0,y(n)=0綜上得到an1bn1u(n)y(n)ab(2)用z變換法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)X(z)HH(z), 111azlbzY(z)X(z)H(z)利用部分分式法展開得1 11(1az)(lbz)ab1Y(z) (1az1)(1bz1)1az11bz1由題意知，該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以系統(tǒng)在n0之后才有輸出，查教材表4T得an1bn1y(n)u(n)ab6.設(shè)計(jì)一個(gè)梳狀濾波器，用于濾出心電圖信號(hào)中的50Hz及其諧波100Hz的干擾，設(shè)采樣頻率為200Hzo解：梳狀濾波器系統(tǒng)函數(shù)的?般形式為：1zNH(z)N1az其零點(diǎn)為：zkej2kN,k0,1,,N1,k0,1,,N1極點(diǎn)為：pkae由題意知，要濾出的諧波頻率為：lNj2kNfh50mIlz,m1,2,相應(yīng)的數(shù)字頻率點(diǎn)為：mh2fhT1001m2002根據(jù)梳狀濾波器原理，h應(yīng)為II(z)的零點(diǎn)頻率，所以h2m2kNN4km當(dāng)m1時(shí)，N4k；當(dāng)m2時(shí)，N2k。要同時(shí)濾出50Hz及其諧波100Hz的干擾，那么N最小取4,所以所設(shè)計(jì)梳狀濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：1z4H(z)1az4其中a的值決定極點(diǎn)的模值pk|a,a值越接近1,極點(diǎn)pk越靠近單位圓，梳狀濾波器通帶越平坦，過渡帶越窄。題6解圖(a)、(b)、(c)分別給出了a=0.5、a=0.8和a=0.95時(shí)的幅頻特性。1Na=0.50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.a)l兀a=0.950 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.￡題6解圖7.確定下面系統(tǒng)的零點(diǎn)，并指出系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)、最大相位系統(tǒng)還是混合相位系統(tǒng)？(3)H3(z)1解：(1)零點(diǎn)zO513252zz(4)114(z)1z1z2223311,zl,全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，所以為最小相位系統(tǒng)；23(2)零點(diǎn)zO2,zl3,全部零點(diǎn)在單位圓外，所以為最大相位系統(tǒng)；(3)零點(diǎn)zO1,zl3,一個(gè)零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在單位圓外，所以為混21,一個(gè)零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在單位圓外，所以為混3合相位系統(tǒng)；(4)零點(diǎn)zO2,zl合相位系統(tǒng)。8.一個(gè)因果線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(12z2)(10.4zl)H(z)10.85z1求H(z)的形如H(z)=Hmin(z)Hap(z)的因式分解。解：(12z2)(10.4z1)已知H(z),其極點(diǎn)p0.85,零點(diǎn)zO0.4,zl2,10.85z1z22,所以p0.85,zO 0.4可以構(gòu)成最小相位系統(tǒng)，zl2,z22只能作為全通系統(tǒng)的零點(diǎn)，所以全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：12z2Hap(z) 121z2為了滿足H(z)=Hmin(z)Hap(z),所以(10.4z1)(10.5z2)Hmin(z)110.85z10.2精選例題例1已知HR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：12z12z2z3H(z)12z1z3

試分別畫出宜接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。解(1)直接型x(nn)x(nn)例1解圖(a)(2)級(jí)聯(lián)型(1z1(1z1z2)z1(1z1z2)z3H(z)12z1z3(n)(n)(1z1)z1(1z1)(1z2)x(乂(例1解圖(0(n)(3)并聯(lián)型將H(z)展開成部分分式，得1 2z 1 2z2z 3H(z) 12z1z3TOC\o"1-5"\h\z1 2z 1 z34z 12z21 2z 1 z 31 24z 2z 1 1 2z1z366 4z 11 1 z 11 z 1z2x(n(n)例1解圖(c)例2設(shè)ha(t)表示一個(gè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，e0.9ttOha(t)0t0(1)用沖激響應(yīng)不變法，將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(2)證明：T為任何值時(shí)，數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的。解(1)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:Ha(s)1s0.9Ha(s)的極點(diǎn)為si 0.9,數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為:11(z)TT1eslTz11e0.9Tz12)H(z)的極點(diǎn)為：zle0.9T,zle0.9T所以，T0時(shí)，zl1,H(z)滿足穩(wěn)定條件。例3設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求幅頻特性單調(diào)下降。3dB截止頻率pc阻帶截止頻率s3rad,4rad,阻帶最小衰減s15dB,采樣頻率fs30kHz,分別用5沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)。解(1)用沖激響應(yīng)不變換法設(shè)計(jì)①確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)P4srads15dB5②將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在沖激響應(yīng)不變法中，T(Tradp3dBll),所以有：fs30103PPT3ss3010324000rad/sT5③求模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 3010310000rad/sp3dB15dBa.根據(jù)題意，選擇巴特沃斯類型，計(jì)算階數(shù)N

ksp0.180324000sp2.4plOOOOksp0.180324000sp2.4plOOOONIgksp1gspIgO.1803L95691g2.4取N2b.查表得2階歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)p-+ +1G(p)c.將G(p)去歸一化，得到實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)Ha/+10)5+⑹/(S)Ha(s)G(p)|psc282 ④用沖激響應(yīng)不變法將模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)Hl(z)0.4265z1Hl(z)10.7040z10.2274z2Hl(z)的結(jié)果是調(diào)用MATLAB中的函數(shù)impinvar求出的，這樣就不用將Ha(s)展開成部分分式。(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)①確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：與(1)的①相同。②將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在雙線性變換法中， 2tano所以，這里要進(jìn)行頻率預(yù)畸變校正。T2Ps2tanp6104tan3.4641104rad/sp3dBT2622tans6104tan18.466104rad/ss15dBT25這樣才能在雙線性變換引起的頻率非線性畸變后，保持?jǐn)?shù)字濾波器原來的邊界頻率不變。③求模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)a.計(jì)算階數(shù)Nksp0.1803(與(1)的③相同)spsl8.4661 5.3276p3.4661IgksplgspIgO.18031.02401g5.3276N工程上允許時(shí)，為簡化，可取N1b.查表得1階歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)G(p)1s1c.將G(p)去歸一化，得到實(shí)際系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)Ha(s)G(p)|pscc3.46411044scs3.464110④用雙線性變換法將模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H2(z)3.46411040.366(1zl)H2(z)Ha(s)121z1 1Is1zl0.26795zTlz61043.464110411z例4設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p0.8rad,通帶衰減不大于3dB,阻帶截止頻率s0.5rad,阻帶衰減不小于18dB,希望采用Butterworth型濾波器。解：1、設(shè)計(jì)歸一化Butterworth低通濾波器(1)確定數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。p0.8 rad p3dBs0.5 rad s18dB(2)確定相應(yīng)模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，由于設(shè)計(jì)的是數(shù)字高通濾波器，所以應(yīng)選用雙線性變換法(取T2s)。p2tanO.4 3.077rad/sp3dBptanT2s2tanstanO.25Irad/ss18dBT2(3)將高通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成低通濾波器指標(biāo)，歸一化參考頻率cpoppl cs s0.3249c低通指標(biāo)為：p1/p1p3dBs1/s3.077 s18dB(4)設(shè)計(jì)歸一化Butterworth低通濾波器。0.1lOpIksp0.12660.1slO1sps3.077pIgksp1gsp1.84,取N2N得歸一化系統(tǒng)函數(shù)：G(p)1p2p122、頻率變換，求模擬高通Ha(s)。Ha(s)G(p)|pcss2s22csc2s22s4.351s59.46793、用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通。12z1z2H(z)Ha(s)|1z1 12s14.819416.9358z6.U64zlz1例5用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器在時(shí)域上模仿了模擬濾波器的ha(t)的特性。實(shí)際工作中有時(shí)需要數(shù)字濾波器模仿模擬濾波器的單位階躍響應(yīng)波形。試推導(dǎo)出單位階躍響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)公式。階躍響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n)模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)ga(t),即將模擬濾波器的階躍響應(yīng)加以等間隔采樣，使g(n)正好等于ga(t)的采樣值，即滿足g(n)ga(t)tnTga(nT)其中，T是采樣周期。設(shè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)(H(z)ZTh(n)),如果其輸入端作用一個(gè)階躍函數(shù)u(n),則其輸出端即為階躍響應(yīng)g(n),因而滿足)g(n)u(n將上式兩端取Z變換，可得h(n)zH(z)zIG(z)ZT[g(n)]所以H(z)zIG(z)z對(duì)于模擬濾波器，設(shè)其系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s),如果其輸入端作用一個(gè)階躍函數(shù)u(t),則其輸出端即為階躍響應(yīng)ga(t),因而滿足ga(t)ut()hat()將上式兩端取拉普拉斯變換，可得Ga(s)即IHa(s)sga(t)LT1Ha(s)s要滿足階躍響應(yīng)不變法，應(yīng)有g(shù)(n)ga(nt)LT1Ha(s)stnT數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為zlz1 11H(z)G(z)ZTLTHa(s)zzstnT這就是階躍響應(yīng)不變法由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)映射成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)H(z)的公式。例6一個(gè)線性時(shí)不變因果系統(tǒng)由下列差分方程描述：y(n)x(n)x(n1)0.5y(n1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z),并判斷系統(tǒng)屬于FIR和HR中的哪一類以及它的濾波特性。解對(duì)差分方程兩邊求Z變換，得：Y(z)X(z)zIX(z)0.5zlY(z)系統(tǒng)函數(shù)為：Y(z)lz1H(z)lX(z)l0.5z因?yàn)镠(z)有非零極點(diǎn)，所以它是IIR。易畫出幅頻特性H(ej),判斷為高通濾波器。10.3習(xí)題精解1設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述：y(n)311y(n1)y(n2)x(n)x(n1)483試畫出系統(tǒng)的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行Z變換，得：Y(z)3lllzY(z)z2Y(z)X(z)zIX(z)483所以，系統(tǒng)函數(shù)為：11z1H(z)31121zz48(1)直接型1,-? *yi-3/4 ''<?—<I~?11-1/8~x(nn)題1解圖(a)(2)級(jí)聯(lián)型將H(z)的零、極點(diǎn)進(jìn)行因式分解，得

Illz11z1H(z)12111zz(lz)(1z)4824按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：.x((n)或*((1))題1解圖0))(3)并聯(lián)型將H(z)展開成部分分式，得107242411zlx(n(n)題1解圖(c)2設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：4(1z1)(11.414z1z2)H(z)112(10.5z)(10.9z0.81z)試畫出各種可能的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個(gè)因式，可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。4(1z1)11.414z1z2(1)Hl(z),H2(z) 11210.5zl0.9z0.81zx((n)題2解圖(a)4(1z1)11.414z1z2x((n)題2解圖(b)3設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯高通濾波器，要求其通帶截止頻率fp20kHz,阻帶截止頻率fs10kHz,fp處最大衰減為3dB,阻帶最小衰減為15dB。求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)。解(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)fp20kHzfs10kHz易知3dB截止頻率為： p3dBs15dBfcfp20kHz歸一化邊界頻率為:20103p13fc20lOfpsfslO10 0.53fc2