平面向量全章教案北師大(教案)

平面向量全章授課設計北師大版(授課設計)平面向量全章授課設計北師大版(授課設計)26/26平面向量全章授課設計北師大版(授課設計)平面向量的實質(zhì)背景及基本看法授課目標：要修業(yè)生掌握向量的意義、表示方法以及相關看法，并能作一個向量與已知向量相等，依照圖形判斷向量可否平行、共線、相等。授課重點：向量的相關看法及意義，相等向量及共線向量的理解。授課難點：相等向量與共線向量的理解。授課過程一、新課引入在物理上，重力的方向向哪里？浮力的方向呢？被壓縮或拉長的彈簧的彈力方向二、新課、向量的物理背景與看法力既有大小，又有方向，重力是豎直向下的，物體的質(zhì)量越大，它碰到的重力就越大；物體在液體中碰到的浮力是堅直向上的，物體浸在液體中的體積越大，它碰到到的浮力就越大；被拉長或壓縮的彈簧也有方向和大小。在數(shù)學中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。只有大小、沒有方向的量（年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等），稱為數(shù)量。、向量的幾何表示向量常用帶箭頭的線段來表示，線段按必然比率畫出，（終點）(起點)它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。帶有方向的線段叫有向線段。有向線段的表示：起點寫在終點的前面，如圖，表示為：AB長度：線段的長度也叫有向線段AB的長度，記作AB。有向段的三要素：起點、方向、度。向量AB的大小，也就是向量AB的度（也叫模），作AB。度的向量叫零向量，作，度等于個位的向量叫位向量。向量也能夠用字母，，??來表示。例、依照中的比率尺以及三地的地址，在中分用向量表示地到、兩地的位移，并求出地至、兩地的距離（精確到）。解：AB表示地到地的位移，且AB≈＿＿＿＿AC表示地到地的位移，且AC≈＿＿＿＿方向相同或相反的非零向量叫平行向量，向量、平行，作∥零向量與任向來量平行，即于任意向量，都有∥、相等向量與共向量度相等且方向相同的向量叫相等向量，作：＝。任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向段來表示，并且與有向段的起點沒關。在平面上，兩個度相等且指向一致的有向段表示同一個向量，因向量完好由它的方向和模確定。任一平行向量都能夠移到同素來上，因此，平行向量也叫共向量。例：（）略式一：與向量度相等的向量有多少個？（個）式二：可否存在與向量度相等、方向相反的向量？（存在）式三：與向量共的向量有哪些？（CB,DO,FE）：作：、、、向量加法運算及其幾何意義授課目標：要修業(yè)生掌握向量加法的意義，并能運用三角形法規(guī)和平行四邊形法規(guī)作幾個向量的和。能表述向量加法的交換律和結(jié)合律，并運用它進行向量計算。授課重點：運用三角形法規(guī)和平行四邊形法規(guī)作幾個向量的和的運算。授課難點：三角形法規(guī)和平行四邊形法規(guī)的異同點的理解。授課過程一、復習提問什么叫共線向量？什么是相等向量？二、新課（一）提出課題：向量可否能進行運算？1．某人從到，再從按原方向到，則兩次的位移和：ABBCAC2．若上題改為從到，再從按反方向到，則兩次的位移和：ABBCAC3．某車從到，再從改變方向到，則兩次的位移和：ABBCAC4．船速為AB，水速為BC，則兩速度和：ABBCAC提出課題：向量的加法（二）．定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。注意：兩個向量的和仍舊是向量（簡稱和向量）．三角形法規(guī)：重申：“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點能夠?qū)嵭械絺€向量連加a00aa不共線向量都能夠采用這種法規(guī)——三角形法規(guī)．例一、已知向量a、b，求作向量ab作法：在平面內(nèi)取一點，作OAaABb則OBab．加法的交換律和平行四邊形法規(guī)上題中ba的結(jié)果與ab可否相同考據(jù)結(jié)果相同從而獲得：向量加法的平行四邊形法規(guī)向量加法的交換律：abba5、向量加法的結(jié)合律：

(ab)

ca

(bc)證：如圖：使

AB

a,

BC

b,

CD

c則(ab)

cAC

CD

ADa(bc)

AB

BD

AD(ab)ca(bc)從而，多個向量的加法運算能夠依照任意的次序、任意的組合來進行。練習：作業(yè)：、、向量減法運算及其幾何意義授課目標：要修業(yè)生掌握向量減法的意義與幾何運算，并清楚向量減法與加法的關系。會求作兩個向量相減的圖。授課重點：向量減法運算的幾何意義，求作兩個向量相減的向量圖。授課難點：向量加法與減法的關系與畫法。授課過程一、復習提問向量加法的法規(guī)：三角形法規(guī)與平行四邊形法規(guī)向量加法的運算定律：例：在四邊形中，CBBAADCD解：CBBAADCAADCD二、新課1．用“相反向量”定義向量的減法“相反向量”的定義：與長度相同、方向相反的向量。記作規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。()任向來量與它的相反向量的和是零向量。()若是、互為相反向量，則,,向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差。即：()求兩個向量差的運算叫做向量的減法。2．用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：若，則叫做與的差，記作3．求作差向量：已知向量、，求作向量∵()()作法：在平面內(nèi)取一點，作OA,OB則BA即能夠表示為從向量的終點指向向量的終點的向量。注意：AB表示。重申：差向量“箭頭”指向被減數(shù)用“相反向量”定義法作差向量，()，顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可一致。’()4．∥∥()’例一、（例）已知向量、、、，求作向量、。解：在平面上取一點，作OA,OB,OC,OD,作BA,DC,則BA,DC例二、平行四邊形中，，用表示向量，解：由平行四邊形法規(guī)得：AC,DBABAD變式一：當,滿足什么條件時，與垂直？（）變式二：當,滿足什么條件時，？（,互相垂直）變式三：與可能是相當向量嗎？（不能能，∵對角線方向不相同）練習：作業(yè)：、向量數(shù)乘運算及其幾何意義()授課目標：要修業(yè)生掌握實數(shù)與向量的積的定義、數(shù)乘運算的三個運算律，理解向量共線的充要條件。授課重點：向量數(shù)乘運算的意義及運算律，向量共線的條件。授課難點：向量共線的條件。授課過程一、復習提問什么叫共線向量？向量的加法、減法的定義、運算法規(guī)（三角形法規(guī)、平行四邊形法規(guī)）。二、新課．引入新課：已知非零向量a作出aaa和(a)(a)(a)aaaaaaaaOCOAABBCaaaaPNPQQMMN(a)(a)(a)a談論：a與a方向相同且aaa與a方向相反且aa．從而提出課題：實數(shù)與向量的積實數(shù)λ與向量a的積，記作：λa定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λaaλaλ>時λa與a方向相同；λ<時λa與a方向相反；λ時λa0、運算定律：結(jié)合律：λ(μa)(λμ)a①第一分配律：(λμ)aλaμa②第二分配律：λ(ab)λaλb③特別地，（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）λ（a－b）＝λa－λb、例題例、計算：（）(－)a；（）（a＋b）－（a－b）－a；（）（a＋b－c）－（a－b＋c）。解：（）原式＝(－)a＝－a；（）原式＝a＋b－a＋b－a＝b；（）原式＝a＋b－c－a＋b－c＝－a＋b－c。對于向量a(a≠)、b，若是有一個實數(shù)λ，使b＝λa，由向量的數(shù)乘定義知，a與b共線。反過來，向量a(a≠)與b共線，且向量b的長度是向量a的μ倍，即b＝μ，那么當a與b同方向時，有b＝μa，當與b反方向時，有b＝－μ。綜上所述，有向量a(a≠)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λ，a例、已知任意兩個非零向量a、b，試作OA＝a＋b，OB＝a＋b，OC＝a＋b，你能判斷、、三點的地址關系嗎？為什么？練習：、、、作業(yè)：、、向量數(shù)乘運算及其幾何意義()授課目標：要修業(yè)生進一步掌握實數(shù)與向量的積的定義、數(shù)乘運算的三個運算律，熟練掌握向量共線的充要條件。授課重點：例的授課。授課難點：例的授課。授課過程一、復習提問、什么是向量的數(shù)乘？、向量數(shù)乘的三個運算定律是什么？結(jié)合律：λ(μa)(λμ)a①第一分配律：(λμ)aλaμa②第二分配律：λ(ab)λaλb③、向量共線的條件是什么？向量a(≠)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使＝λ，aba判斷、、三點可否共線，能夠經(jīng)過判斷向量AB、AC可否共線，即可否存在實數(shù)λ，使得AB＝λAC成立。二、新課例、如圖，平行四邊形的兩條對角線訂交于點，且AB＝a，AD＝b，你能用a、b表示MA、MB、MC、MD嗎？解：在平行四邊形中，∵ACABAD＝a＋b，DBABabAD＝－又∵平行四邊形的兩條對角線互相均分，∴MA＝－1AC＝－1（a＋b）＝－1a－1b2222MB＝1DB＝1（a－b）＝1a＋1b22221AC＝1（a＋b）＝1a＋1bMC＝2222MD＝－1DB＝－1ab）＝－1a＋12222練習：、第題用平行四邊形來解決。向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、μ、μ，恒有：λ（μa±μb）λμa±λμb作業(yè)：、、、組平面向量的基本定理授課目標：要修業(yè)生掌握平面向量的基本定理，能用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。授課重點：平面向量的基本定理及其應用。授課難點：平面向量的基本定理。授課過程一、復習提問、向量的加法運算（平行四邊形法規(guī)）；、向量的減法運算；、實數(shù)與向量的積；、向量共線定理。二、新課、提出問題：由平行四邊形想到：（）可否是每一個向量都能夠分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（）對于平面上兩個不共線向量e1，e2可否是平面上的所有向量都能夠用它們來表示？、新課e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任向來量ae1e2OAe1OMλe1OCaOMONλe1λe2OBe2ONλe2得平面向量基本定理：若是e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任向來量a，有且只有一對實數(shù)λ，λ使a＝λe1λe2注意幾個問題：e1、e2必定不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底這個定理也叫共面向量定理λ，λ是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量例、已知向量e1，e2求作向量e1e2。作法：取點，作OAeOBee212作，OC即為所求。e1已知兩個非零向量a、b，作OAa，OBb，則∠＝θ（°θ°），叫做向量a與b的夾角。當θ＝°，a與b同向；當θ＝°時，a與b反向。若是a與b的夾角為°，我們說a與b垂直，記作：a⊥b。小結(jié)：平面向量基本定理，其實質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任向來量都能夠表示為兩個不共線向量的線性組合。練習：世紀金榜、作業(yè)：世紀金榜、平面向量的正交分解、坐標表示及運算授課目標：掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減及數(shù)乘運算。授課重點：向量的坐標表示及坐標運算。授課難點：坐標表示及運算意義的理解。授課過程一、復習提問．復習向量相等的看法相等向量OABC，方向相同，大小相等。a．平面向量的基本定理（基底）aλe1λe2其實質(zhì)：同一平面內(nèi)任向來量都能夠表示為兩個不共線向量的線性組合。二、新課、正交分解的物理背景及其看法圖－（），圓滑斜面上一個木塊碰到重力的作用，產(chǎn)生兩個收效，一是木塊受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力，＝＋，叫做把重力分解。由平面向量的基本定理，對平面上任意向量a，均能夠分解為不共線的兩個向量aλe1λe2把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。、平面向量的坐標表示取軸、軸上兩個單位向量i,j作基底，則平面內(nèi)作向來量aij，記作：a(,)稱作向量a的坐標，這就叫做向量的坐標表示。i＝（），j＝（），0＝（）例、如圖，分別用基底i,j表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標。解：由圖可知：aAA1AA2＝i＋j因此，a＝（）同理，有：b＝－i＋j＝（－）c＝－i－j＝（－,－）d＝i－j＝（,－）、平面向量的坐標運算（）已知a(,)

b(,)

求a

b，a

b的坐標（）已知

a(,)和實數(shù)λ,

求λa的坐標解：

ab

(i

j)(

ij)()

i

()

j即：

ab

(,

)同理：

a

b(

,

)，練習：

、作業(yè)：

、平面向量的坐標運算授課目標：讓學生掌握平面向量的和、差、積的運算，理解向量的坐標與端點的坐標換算，會用向量的運算求多邊形在平面直角坐標系中的坐標。授課重點：平面向量的和、差、積的運算。授課難點：用向量的運算求坐標系中的坐標。授課過程一、復習提問在平面直角坐標中，向量怎樣用坐標來表示？二、新課、平面向量和與差的運算已知a(,)b(,)求ab，ab的坐標解：ab(ij)(ij)()i()j即：ab(,)同理：ab(,)兩個向量和（差）的坐標分別等于這丙個向量相應坐標的和（差）、平面向量的數(shù)乘已知a＝(,)和實數(shù)λ,求λa的坐標a＝λ(ij)＝λiλj＝（λ，λ）實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。、向量的坐標與端點的坐標換算例、已知（,)，(,)，求AB的坐標。解：ABOBOA()＝(,)－（,)()＝(－,－)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標。、例題例、已知a＝（），b＝（－），求a＋b，a－b，a＋b。應用向量的加、減、積運算可解。例、已知平行四邊形的三個極點的坐標分別為(,),(,),(,)，試求極點的坐標。解法一：設極點的坐標為（，），AB＝（－－（－），－）＝（）DC＝（－，－）由AB＝DC，得：（）＝（－，－）13x，解得：＝，＝，因此極點的坐標為（）。24y解法二：課本補充例題：已知三個力F1(,),F2(,),F3(,)的合力F1F2F30求F3的坐標。解：由題設F1F2F30得：(,)(,)(,)(,)即：32x0∴x5∴F3()45y0y1、練習：、、作業(yè)：、、平面向量共線的坐標表示授課目標：復習牢固平面向量坐標的看法，掌握共線向量充要條件的坐標表示，并且能用它解決向量平行（共線）的相關問題。授課重點：向量共線的坐標表示及直線上點的坐標的求解。授課難點：定比分點的理解和應用（例）。授課過程一、復習提問．向量的坐標表示(重申基底不共線)．平面向量的坐標運算法規(guī)二、新課．提出問題：共線向量的條件是當且僅當有一個實數(shù)λ使得bλa，那么這個條件怎樣用坐標來表示呢？．推導：設a(,)b(,)（b0）其中ba由aλb，(,)λ(,)x1x2消去λ：－y1y2結(jié)論：a∥b(b0)注意：消去λ時不能夠兩式相除，∵,有可能為，∵b0，∴,中最少有一個不為充要條件不能夠?qū)懗蓎1y2∵,有可能為x1x2從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(bab0)x1y2x2y10、應用舉例例、已知a＝（），b＝（，），且a∥b，求。解：∵a∥b∴－＝，解得：＝例、已知(,)()()，試判斷、、三點之間的地址關系。解：∵AB((),())(,)又：AC((),())()××＝∴AC∥AB又直線、有公共點，∴，，三點共線例、設點是線段上的點，、的坐標分別是（，），（，）。（）當點是線段的中點時，求點的坐標；（）當點是線段的一個三均分點時，求點的坐標。1(x1x2y1y2解：（）OPOP1OP2)＝2,22因此，點的坐標為x1x2,y1y222略解（）當P1P1PP2時，可求得：點的坐標為：2x1x2,2y1y2233當P1PPP2時，可求得：點的坐標為：x12x2,y12y233練習：、、作業(yè)：、、、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義授課目標：經(jīng)過物理中功等實例，理解平面向量的數(shù)量積的定義及其物理意義，領悟向量數(shù)量積與向量投影的關系，掌握向量數(shù)量積的應用。授課重點：平面向量數(shù)量積的看法、幾何意義、性質(zhì)、運算律。授課難點：平面向量數(shù)量積看法的理解及運算律的應用。授課過程一、復習提問向量加法、減法、實數(shù)與向量的乘法。它們有一個共同的特點，即運算的結(jié)果還是向量。這種運算與實數(shù)的運算有了很大的差異。二、新課、力做的功：是與的夾角2、定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，，并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為。3、向量夾角的看法：范圍≤≤4、注意的幾個問題；——兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大差異兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定。兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學到兩個向量的外積×，而是兩個數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分。在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出。由于其中有可能為。這就得性質(zhì)。已知實數(shù)、、()，則。但是如右圖：但在實數(shù)中，有()()，但是()()顯然，這是由于左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線。是一個數(shù)量。、例題例、已知｜a，b,a與b的夾角θ＝°，求a?b、向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影的乘積。、兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設、為兩個非零向量（）（）當與同向時，；當與反向時，。特其余或|a|aa（）≤、平面向量的運算律交換律：結(jié)合律：()()()分配律：()、例題例、已知｜a，b,a與b夾角為°，求（a＋b）（a－b）。例、已知｜a，b,且a與b不共線，為什么值時，向量（a＋b）與（a－b）互相垂直？練習：作業(yè)：、、、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角授課目標：、掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量只的運算；、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系。授課重難點：應用平面向量數(shù)量積的坐標表示去解決兩點間的距離、兩向量的夾角等相關問題。授課過程一、復習提問平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）：，二、新課設(,)，(,)，怎樣用a與b的坐標表示?？ab∵,∴()()軸上單位向量，軸上單位向量，則：

，，從而獲得公式：兩個向量的數(shù)量積等于他們對應坐標的乘積和。長度、角度、垂直的坐標表示(,)x2y2若(,)，(,)，則|AB|(x1x2)2(y1y2)2abx1x2y1y2|a||b|2222x1y1x2y2∵即（注意與向量共線的坐標表示不相同）。例、已知(,)，(,)，(,)，求證：△是直角三角形。證：∵AB(,)(,),AC(,)(,)ABAC×()×ABAC∴△是直角三角形例、設a＝（，－），b＝（－，－），求a?b及a、b間的夾角θ（精確到°）。解：a?b＝×（－）＋（－）×（－）＝－＋＝－｜a｜＝527274｜b｜＝(6)2(4)2＝52θ＝25274利用計算器中的－鍵，可解得：θ°練習：、、證明習題。(

)

()

(

)證法一：若

>，(

)

，()()若()()

，，<，(，(

))

(

(

)

)

(。

)

，證法二：設、的坐標，用數(shù)量積的坐標表示來證明。作業(yè)：、、、、(評講第題)平面幾何中的向量方法授課目標：讓學生經(jīng)歷用向量方法解決幾何問題的過程，領悟向量是一種辦理幾何問題的工具，發(fā)展運算能力和解決本責問題的能力。授課重點：向量方法在幾何問題中的應用。授課難點：例的授課及其方法是本課的難點。授課過程一、復習提問平面向量的坐標表示、模、夾角公式是什么？二、新課例、平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖，AC＝AB＋AD，DB＝AB－AD，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？解：設AB＝a，AD＝b，則AC＝a＋b，DB＝a－b｜AC｜＝（a＋b）＝｜a｜＋a?b＋｜b｜｜DB｜＝（a－b）＝｜a｜－a?b＋｜b｜｜AC｜＋｜DB｜＝（｜a｜＋｜b｜）＝（｜AB｜＋｜AD｜）即平行四邊形的兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的倍。注意：在解決相關長度的問題時，我們常常要考慮向量的數(shù)量積。平面幾何中的好多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都能夠用向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，困此，能夠用向量的方法解決平面幾何中的一些問題。例、如圖，平行四邊形中，點、分別為、的中點，、分別與交于、兩點，你能發(fā)現(xiàn)、、之間的關系嗎？解析：由、是對角線上的兩點，要判斷、、之間的關系，只要判斷、、與之間的關系即可。解：設AB＝a，AD＝b，則AC＝a＋b，EB＝a－1b2設AR＝AC，ER＝EB由于ARAEER因此AC＝1b＋EB2即（a＋b）＝1b＋（a－1b）22整理，得：（－）a＋（＋m1）b＝2由于a、b不共線，故有nm01nm1，解得：31n02m31因此，設AR＝AC同理，TC＝1AC，于是，RT＝1AC33因此，有＝＝作業(yè)：、、向量在物理中的應用舉例授課目標：讓學生經(jīng)歷用向量方法解決物理問題的過程，領悟向量在本責問題中的應用，培養(yǎng)學習數(shù)學的舉，發(fā)展運算能力和解決本責問題的能力。授課重點：向量在物理問題中的應用。授課難點：將物理問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學問題的建模過程