9年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編之導數(shù)及其應用第七講導數(shù)的幾何意義定積分與微積分基本定理及答案

,若Pl,yyB.D.在點,若Pl,yyB.D.在點處的切線方程為,則=與曲線x119年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編之導數(shù)及其應用第七講導數(shù)的幾何意義定積分與微積分基本定理及答案專題三導數(shù)及其應用第七講

導數(shù)的幾何意義、定積分與微積分基本定理一、選擇題1.(2018全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)

32

為奇函數(shù),則曲線

yf(x)

在點(0,0)

處的切線方程為A.

y2x

B.

yx

C.

y2x

D.

yxlnx,0x年四川)設(shè)直線,2分別是函數(shù)=

圖象上點1,2處切線,12

垂直相交于,

12

分別與軸相交于點,B,則的面積的取值范圍是A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+D.(1,+∞)3.(2016年山東)若函數(shù)

的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱

具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是A.

y

B.

ylnx

C.

ex

D.

34.(2015福建)若定義上的函數(shù)

fx

滿足

f1

,其導函數(shù)

fx

滿足fxk1

,則下列結(jié)論中一定錯誤的是A.C.

11))kkk1111kf(k1k1115.(2014新課標Ⅰ)設(shè)曲線

yx(0,0)y2xaA.0B.1C.2D.36.(2014山東)直線

y4xyx

在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為A.

2

B.

2

C.2D.47.(2013江西)若

S1

222

1x

3

21

ex則

123

的大小關(guān)系為A.

1

2

3

B.

2

1

3

C.

2

3

1

D.

3

2

18.(2012福建)如圖所示,在邊長為的正方形

OABC

中任取一,則恰好取自陰影部分第1頁，共18xyxxyxxx是曲線的概率為11A.

B.

C.

D.

9.(2011新課標)由曲線,直線及軸所圍成的圖形的面積為1016A.

3

B.4C.

3

D.6(x)dx10.(2011福建)A.1B.

等于

C.

D.

11.(2010湖南)

42

1x

dx

等于A.

2

B.

2

C.

ln2

D.

12.(2010新課標)曲線

3

在點處的切線方程為A.

y

B.

C.

D.

413.(2010遼寧)已知點P在曲線e上為曲線在P處的切線的傾斜角,的取值范圍是A.[0,)B.

[)42

C.

(]2

D.

[4

二、填空題14.(2018全國卷Ⅱ)曲線

在點處的切線方程為__________.15.(2018全國卷Ⅲ)曲線ye在(0,1)處的切線的斜率則a16.(2016年全國Ⅱ)若直線則.

kx

的切線,也是曲線

ln(

的切線,17.(2016年全國Ⅲ)已知

f)

為偶函數(shù),當x時,

f())

,則曲線第2頁，共18yfyf在點xOy在點在點在點fx

,在點處的切線方程是_________.18.(2015湖南)

(

=.19.(2015陜西)設(shè)曲線在點(0,1)處的切線與曲線

1y(0)x

上點

處的切線垂直,則

的坐標為.20.(2015福建)如圖,點的坐標為,點的坐標為,函數(shù),若在矩形ABCD

內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于.(第15題)(第17題)21.(2014廣東)曲線

y

x

(0,3)

處的切線方程為.22.(2014建)如圖,在邊長(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆則他落到陰影部分的概率為______.23.(2014江蘇)在平面直角坐標系中,若曲線

2

(a,b為常數(shù))過點

P(2,

,且該曲線在點P處的切線與直線

7y0

平行,則a的是.24.(2014安徽)若直l與曲C足下列兩個條件:(i

直l點

00

處與曲相切；(ii)曲C在P近位于直l的兩側(cè),則稱直線

l在點處“切過”曲C下列命題正確的是_________(出所有正確命題的編號①直l在曲:

yx

3②直線

l:x

在點

P

處“切過”曲C:

yx

2直線直線

l:Pl:P

處“切過”曲C:處“切過”曲C:

ysinxyx⑤直線

l:xP

處“切過”曲C:

yx

.第3頁，共1811111nnnny(3ln(1,1)[0,1][0,1]()2,則f()11111nnnny(3ln(1,1)[0,1][0,1]()2,則f()xfx(0,f25.(2013江西)若曲線

yx

(R在(1,2)的切線經(jīng)過坐標原點,.26.(2013湖南)若

2dx則常數(shù)T的值為

.27.(2013福建)當

R,

時,有如下表達式:

1x

x

11

兩邊同時積分得:

0

1dx

0

0

xdx

0

x

n

dx

0

.從而得到如下等式:

111111)))222

2.請根據(jù)以下材料所蘊含的數(shù)學思想方法計算:111111C0C))3n)2232n

n

=.28.(2012江西)計算定積分

(x

sin)

___________.29.(2012山東)設(shè)a,若曲線x與直線x

所圍成封閉圖形的面積為,則

.30.(2012新課標)曲線

在點處的切線方程為________.31.(2011陜西)設(shè)

(x)

32

,若

f(f

,則

a

.32.(2010新課標)設(shè)

fx

為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且恒有

0()

,可以用隨機模擬方法近似計算積分

f(x

,先產(chǎn)生兩組(每組個)區(qū)間上的均勻隨機數(shù)

xx,…x12N

和y,y…y1

,由此得到N個點

(x)(i,Nii

,再數(shù)出其中滿足

y)(i…)ii

的點數(shù),那么由隨機模擬方案可得積分0的近似值為.33.(2010江蘇)函數(shù)yx()的圖像在點

(aa

)

處的切線與軸交點的橫坐標為

k

,其kN*若

1135

=.三、解答題34.(2017北京)已知函數(shù).(Ⅰ)求曲線

在點處的切線方程；第4頁，共18f(x,曲線在點處的切線f(x,曲線在點處的切線方程為bxfx(1,(1)),討論yf()fa,(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間

[0,]2

上的最大值和最小值.35.(2016年北京)設(shè)函數(shù)yx,

f()

a

()f(I)求,的值；(II)求

fx)

的單調(diào)區(qū)間.x2axf()()36.(2015重慶)設(shè)函數(shù)e.(Ⅰ)若

f)

在x處取得極值,確的值,并求此時曲線

在點處的切線方程；(Ⅱ)若

f)[3,為減函數(shù),a的取值范圍1f)37.(2015新課標Ⅰ)已知函數(shù)4().(Ⅰ)a為何值時為曲線

yf()

的切線；(Ⅱ)用

min

表,n中最小值,設(shè)函數(shù)

h)minxg(x0)h(

零點的個數(shù).38.(2014新課標Ⅰ)設(shè)函數(shù)

f()lnx

bex

,曲線

在點處的切線為(

.(Ⅰ)求；f(x)(Ⅱ)證明:.39.(2013新課標Ⅱ)已知函數(shù)

f

(Ι)設(shè)x是

f

的極值點,求,并討論

f

的單調(diào)性；(Ⅱ)時,證明

f

.40.(2012遼寧)設(shè)

fb,a,為常數(shù)

,曲線

y=f

與直線

3yx2第5頁，共18a9xxS32a9xxS32fx(0,0)x,所以yf()(0,0)yx,所以,所以yf()(0,0)在

點相切.(1)求的值；f(2)證明:,x41.(2010福建)(1)已知函數(shù)

f()=3

,其圖象記為曲C.(i)求函數(shù)

f(x)

的單調(diào)區(qū)間；(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)1,曲線C與其在點

(,f(x))11

處的切線交于另一點x,f(222

,曲線C與其在點

x,x222

處的切線交于另一點

(,(x33

,線段

12

與曲線C

所圍成封閉圖形的面積分別記為2

S,則為定值；(2)對于一般的三次函數(shù)

)ax

3

2

(0)

,請給出類似于(1)(ii)的正確命題,并予以證明.專題三導數(shù)及其應用第七講導數(shù)的幾何意義、定積分與微積分基本定理答案部分1.D【解析】通解因為函數(shù)

f(x

3

a

2

為奇函數(shù),所以

f(x)

,所以

(

3

a)

2

()

3

x

2

]

,所以

x

2

,因為xR,所a,所以f(x)x所以fx,所以f在點處的切線方程為.故選D.

,所以曲線優(yōu)解一

因為函數(shù)

f(x

3

a

2

為奇函數(shù),所以

f(f(1)

,所以)

,解a所以

f)x

,所以

fx

2

f

,所以曲線

在點處的切線方程為.故選D.優(yōu)解二

易知

f)x

3

ax

2

[x

2

a]

,因為

f(x)

為奇函數(shù),所以函數(shù))x

為偶函數(shù),所以

a0,解a,所以f)xff.故選D.

,所以曲線

在點處的切線方程為第6頁，共18,.又切線:,,,2x1x(0,1),,====--,.又切線:,,,2x1x(0,1),,====--2.A【解析】不妨設(shè)

(,lnx)x,lnx)11122

,由于

ll12

,所以

)x

,則

x

11yx(x)l:ylnx(xx)xlxx2于是

A(0,lnxBlnx)11

,所以

,聯(lián)立

1()1ln(x)

,解得

x

2x1

1x1

,所以

1PAB1

1x1

,因為

x1

1x,所以,所以

S

的取值范圍是,故選A.3.A【解析】設(shè)函數(shù)

yf()

的圖象上兩點

(x,),y)12

,則由導數(shù)的幾何意義可知,點P,Q切線的斜率分別為

kfk)1122

若函數(shù)具有T性質(zhì),則

kf)f)1

=對于A選項,

fx

,顯然

kxcosx11

=無數(shù)組解,所以該函數(shù)具有性質(zhì)；對于B選項,kxx1212

1fx0)x,顯然=解,故該函數(shù)不具有T性質(zhì)；對于C選項,

f

x

>0,顯然

k12

=

=

1無解,故該函數(shù)不具有T性質(zhì)；對于D選項,f

x

2

≥0,顯然

kx21212

=

1無解,故該函數(shù)不具有T性質(zhì).故選4.C【解析】取滿足題意得函數(shù)

f()=2x-

,若取

k=

3121f()=f()=2則k3321<==3k,所以排除A.若取,則

1f()=f()=f=19==k

kk

,所以排除D；取滿足題意的函數(shù)

f(x=10x-1

,若k2,則

11f()=f()=4>1==k21k

,所以排除B,第7頁，共184x322dxdxln2,,2113114(ln)dxkx4x322dxdxln2,,2113114(ln)dxkxy'x2xx(0,0),即與和故結(jié)論一定錯誤的是C.5.D【解析】

y

1x

,由題意得

y

,6.D【解析】由x3x得、x2

(舍去),直線

與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積

x3)dx(220

14

x0

.7.B【解析】

S1

1

x

2

x7212311S3

x

2

.顯然

23

,故選B.8.C【解析】∵1=6.∴

S陰影

311)22)032

,正方形的面積為1,9.C【解析】用定積分求解

40

1(x22x2

40

,選C10.C【解析】

(

)dx

2)0

,選C.lnxln411.D【解析】∵x,∴=.12.A【解析】點處的切線斜率為,

x

,由點斜式可得切線方程為A.13.D【解析】因為(e,即tan≥－1,所以.14.

yx

【解析】∵

yx

,∴

y

2x.當x0時,

y

,∴曲線

在點處的切線方程為

2(

.【解析】

y

e

x

,由曲線在點處的切線的斜率為,得

y

x

ax

x

x

,所以

.16.

2

【解析】設(shè)

ykxln(x

的切點分別為

(x2)11

和(,ln(x2

.第8頁，共18,,(1,,即2120(1,1)yy,,(1,,即2120(1,1)yyyxx2kx2,因為,所以,所以,即2則切線分別為

yx

()yln(x()xx1xxylnx化簡得,,依題意,

1xln

,解得

,從而

xln21

.17.

y

【解析】由題意可得當x時

f()ln

,則

1fx

,

f

,則在點處的切線方程為

.(xdxx20【解析】.【解析】因為,所以,所以曲線在點

處的切線的斜率1

0

,的坐標為

0

(),則

y

x

11yy,因為,所以x2,所以曲線

y

1x

在點P處的切線的斜率

k

1,因為1,所以0,即

20

,解得

xxy00

,即P的坐標是,所以答案應填:.520.【解析由已知得陰影部分面積為

4

21

x

2

75dx33

.所以此點取自陰影部分的概率等于412.21.y解析】y,在的切線的斜率,切線方程為2

y

.22.【解析】根據(jù)對稱性,兩個陰影部分面積相等第9頁，共182yl:y:x2yl:y:xP在點x22在點,令在點l11111∴

陰

dx)ee1

,由幾何概型的概率計算公式,得所求的概率為

陰=正

2e2

.23.－【解析由題意可得

b2

①

又

f

ax

bx

,過點

P

的切線的斜率b74a4

②,由①②解得

,所以

.24.①③④【解析】對于①,,所以是曲線在點處的切線,畫圖可知曲Cx3在點附近位于直l的兩側(cè),①正確；對于②因為y

x

,所以

l:x

不是曲C:

yxP

處的切線,②錯誤對于③,

y

cosy

,在點

處的切線為

l:

,畫圖可知曲:

ysinx

在點

附近位于直l的兩側(cè)③正確；對于④,

1yy,cos

,在點

處的切線為

l:

,畫圖可知曲C:

yP

附近位于直l的兩側(cè),④正確；對于⑤y

1x

,

y

x

,在點

P

處的切線為

l:xh(xx

,可得h

1xx

,所以

()min

,故

x≥ln

,可知曲C:

yx

附近位于直線的下側(cè),⑤錯誤.25.2【解析】y故切線方程

過2.26.3【解析】

0

2dx

3

0

T3T

.3[()n27.【解析】

由

C02nn

n

(1)

n兩邊同時積分得:

0

n

0

n

0

2dxn

0

xndxn

0

.從而得到如下等式:第10，共18頁nnnn331y2,所以在點處的切線方程為.,即nnnn331y2,所以在點處的切線方程為.,即1111113C0C))3n)[()2232n=2

.28.3解析】

(x

sinx)dxx1cos111233

.929.4解析】

S

a0

32

a0

a2

,解得4.30.

y4

【解析】∵

y

,∴切線斜率為4,則切線方程為:

4xy

.31.1【解析】因為

x

,所以

f(1)lg1

,又因為

fx)32dt

,所以f(0),所.132.【解析】由題意可知

0

f(x)dx

得

10

f(x)1

f(x),故積分0的近似值為.33.21【解析】在點

(aa2)k

處的切線方程為:

y(x),kkk

當時,解得

axk2

,所以

aakk35

.34.【解析】(Ⅰ)因為

f()xcosxf

x(cosxsinx)

.又因為

f(0)

,所以曲線

fx(0,fy(Ⅱ)設(shè)

()x)

,則h

x

sinsinxx)

x

sinx

.當

πx)2

時,

,所以

()

在區(qū)間

π[0,]2

上單調(diào)遞減.所以對任意

πx]2

有

(x(0)f

.所以函數(shù)

f(x

在區(qū)間

π[0,]2

上單調(diào)遞減.第11，共18頁,∴f,fx)ex,∴f,fx)exf2令,∴fx因此

f(x

在區(qū)間

ππ[0,]f()2上的最大值為(0),最小值為

.35.【解析】(I)

f()efaa∵曲線

f()

在點處的切線方程為

x∴

f(2)f

即

f2ea2(e

①f

(12)e

a

②由①②解得:a,b(II)由(I)可知:,

)e

2

(x)(1)e2x2)e

2

0

(x)

極小值∴

)

的最小值是

g(2)2)e

∴

f

的最小值為

f

g

.即

f

對

R

恒成立.∴

f

在上單調(diào)遞增,無減區(qū)間.36.【解析】(Ⅰ)對

f(x

求導得

f'(x)

x)ex(3x2)ex(6)x(x

因為

f(x

在x處取得極值所以

f

即0a時,f(x)

x22,f'(),xx

故

33ff'(1),ee

從而

f(x

在點(1,)處的切線方程為

3y(e

化簡得

x

.2)xf'(x(Ⅱ)由(Ⅰ)知e.第12，共18頁12,即,故,即,故,即,故f(x3,,則,43x2時12,即,故,即,故,即,故f(x3,,則,43x2時,,從而h(x(1,xxx當時,fx在無零點,故f(x)f)f(x)令

))

,66a36x由()得6,.當

x1

時,

()fx)fx)

為減函數(shù)；當

xx12

時,

()f'()f(x

為增函數(shù)；當

xx2

時,

()fx)f)

為減函數(shù)；由在上為減函數(shù)知

x2

626

解得

9a29a的取值范圍37.【解析】(Ⅰ)設(shè)曲線

yf()

與軸相切于點

(x,0)f(x)f00

,即,解得

13x2

.因此,當

a

時,是曲線

yf()

的切線.(Ⅱ)當∴

(1,g(x)xhx)min{f(xg(x)}≤(x)在無零點.

,當=1時,若

5a≥(1)≥4,則,

(1),(1)}g(1)

,故=1是

()

的零點；若

55af(1)4,則4,

(1)f(1),g(1)}f

,故=1不是

h(x

的零點.x(x)x

,所以只需考慮

在的零點個數(shù).(ⅰ)若a≤≥0,則

fx

在單調(diào),而

15f(0)f(1)4所以當≤

時,

在有一個零點；當a≥0時,

在無零點.第13，共18頁3=f)f)fx)f)2,.,則3=f)f)fx)f)2,.,則(x)(ⅱ)若

,則

fx)

在(0,

a3

a)單調(diào)遞減,在(,1)單調(diào)遞增,故當=

時,

f(x)

取的最小值,最小值為

aa1f(334

.若若

af(3f()

3＞0,即4＜a＜0,3a=0,即,則

在無零點.在有唯一零點；③若

f()

315f(0)f＜0,即4,由于4

,所以當

534

時,

在有兩個零點；當

54

時,

在有一個零點.綜上,當

a

35a4或時,

x)

由一個零點；當

a

353a4或時h(x有兩個點；當4時,

x)

有三個零點.38.【解析】(1)函數(shù)

f(x

abbf()xlnxe的定義域(0,xx.由題意可得

ff

故b2.22f()lnx(2)由(1)知x,從而fx等價于e設(shè)函數(shù)所以當

g()nxgx).11x),e時,g當時,

.故

(x)

在

1)(,e單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,從而

子啊的最小值為

11g()ee

.第14，共18頁xh；當時,故在單調(diào)遞增,(1,()(0,設(shè)xh；當時,故在單調(diào)遞增,(1,()(0,設(shè),則,所以在,即,所以在上是減函數(shù)；在,上是增函數(shù).=0設(shè)函數(shù)

h)

2e

,則

x)

.所以當時

h

()在單調(diào)遞減,從而

在的最大值為

h(1)

1e

.39.【解析】(Ι)因為

f

(x

x

1x

,x=0是

f

1f'的極值點,所以m,解所以函數(shù)

f

=ex-ln(+1),其定義域為

(

,1x(xf'()x因為x=,)xg'(x(x

x

gx)

上是增函數(shù),又因為(0)

,所以當x0時,

()f

()

；x時,(),f

()f(x((Ⅱ),

x

時,

ln

,故只需證明2時,

f

.m時,函數(shù)

f

1x

在

單調(diào)遞增.又

f

,故

f

在

有唯一實根

x0

x,且

.當

x0

時,

f

；當0

時,

f

,從而當

xx0

時,f

取得最小值.由

f

得

e

x

,ln

,故

1ffxxx

綜上,時,

f

.40.【解析】(1)由

y=

的圖像過

點,代入得

b

,由

yf

在

處的切線斜率為,又

11y'=a

=0

3+2

,第15，共18頁>022x>0>03>022x>0>030.x2x+2+1<+1(2)(證法一)由均值不等式當時,