自動(dòng)控制原理-第四章根軌跡法

第四章根軌跡法§4-1根軌跡法的基本概念§4-2§4-3繪制系統(tǒng)根軌跡的

則控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)rkdkq

p

t

A

e

B

ek

kik

1i

10

i

ksin(c(t

)

A

t

)

t4-1

根軌跡法的基本概念4.1.1

根軌跡反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律就知道了。但是對(duì)于3階以上的系統(tǒng)求根比較

。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)時(shí)，求根就更

了。qkkkmji

122r

i

)((2k

1

()szj

1Cs()

b0

Rs()

a0sssp)

()s1948年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法——根軌跡法。在已知開環(huán)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點(diǎn)。定義：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0時(shí)，

閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開環(huán)傳遞系數(shù)（根軌跡增益Kg）作為可變參數(shù)。式中，K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。

Kg

=2K稱為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：gK

g

2s

K(s)

s

2

s(0.5s

1)

s(s

2)

s(s

2)K

2KGs

Kg舉例說明：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析0<K<

，閉環(huán)特征根在s平面上的移動(dòng)路徑及其特征。Ks(0.5s+1)+﹣R(s)C(s)解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一定要寫成零極點(diǎn)表達(dá)式系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：s2

+2s

+Kg

=0求得閉環(huán)特征根為：gs1,2

1

1

K(1)Kg=0：s1

=0,s2

=2,是根跡的起點(diǎn)(開環(huán)極點(diǎn)),用“”表示。2j1(2)0<Kg<1

：s1

，s2

均是負(fù)實(shí)數(shù)。Kg

s1

，s2

。s1從坐標(biāo)原點(diǎn)開始沿負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)；s2從（2，j0）點(diǎn)開始沿負(fù)實(shí)軸向右移動(dòng)。(3)Kg=1：s1

=s2

=1，重根。閉環(huán)特征根s1，s2是Kg函數(shù)，隨著Kg的改變而變化。K

g

1(4)

Kg

>1：

s1,2

1

jKg=

00Kg=

0Kg=1KgKgs(s

2)KGs

g

根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得n階系統(tǒng)，會(huì)有如下的結(jié)論：n階系統(tǒng)有n個(gè)根，根軌跡有n條分支；每條分支的起點(diǎn)(Kg=0)位于開環(huán)極點(diǎn)處；各分支的終點(diǎn)(Kg

)或?yàn)殚_環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o限點(diǎn)；2j1Kg=

00Kg=

0Kg=1KgKg（4）重根點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性當(dāng)Kg從0

時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入s右半平面，因此二階系統(tǒng)對(duì)所有的Kg值都是穩(wěn)定的。如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進(jìn)入s

右半平面，此時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的Kg值成為臨界開環(huán)增益。2.穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于1

型系統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的Kg

值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)K

。如果給v定系統(tǒng)對(duì)ess

有要求，則對(duì)Kg有要求，由根跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。2j1Kg=

00Kg=

0Kg=1KgKg2j1Kg=

00Kg=

0Kg=1KgKg3.動(dòng)態(tài)性能由圖可見，當(dāng)0<Kg<1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。當(dāng)Kg

=1時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。當(dāng)Kg>1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。4.1.2根軌跡方程研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。G(s)R(s) 1

G(s)H

(s)(s)

C(s)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+±H(s)該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:D(s)=1

±G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=±1n若將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成如下形式：mg

i

1

(s

pj

)j

1Kg

(s

zi

)M

(s)N

(s)G(s)H

(s)

K一定要寫成零極點(diǎn)表達(dá)式gn式中Kg為系統(tǒng)的根跡增益，zi為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，pj為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。上述方程又可寫為：mK1

(s

p

j

)

(s

zi

)j

1

i

1

“-”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋，“+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋。由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如Kg在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式制約的s在s平面上描畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。根軌跡的幅值方程：gnmK1

s

pj

s

zij

1

i

1

根軌跡的幅角方程：(4

6)m

n(s

zi

)

(s

p

j

)

(2k

1)i

1

j

1（4-6）通常稱為180

根軌跡；（4-7）稱作0

根軌跡。根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定s平面上根軌跡及根軌跡上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg值。幅角條件是確定s平面上根軌跡的充要條件，因此，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才使用幅值條件。(4

7)m

n(s

zi

)

(s

p

j

)

2ki

1

j

1式中，k=0，±1，±2，…（全部整數(shù)）。gnjmK1

(s

p

)

(s

zi

)j

1

i

1

“-”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋“+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和幅角條件繪制p2p3j0p1z1s11123系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。已知負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖示。在s平面找一點(diǎn)s1，畫出各開環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量。檢驗(yàn)s1是否滿足幅角條件：(s1

z1)

[(s1

p1)

+

(s1

p2)

+

(s1

p3)]=

1

1

2

3

=

(2k+1)

？？如果s1點(diǎn)滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。尋找在s平面內(nèi)滿足幅角條件的所有s1

點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用圖解法繪制根跡的一些 則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用幅角條件使其精確化，從而使整個(gè)根規(guī)跡的繪制過程大為簡(jiǎn)化。4-2

繪制系統(tǒng)根軌跡的則180o根軌跡的幅值方程：gnmK1

s

p

j

s

zij

1

i

1

根軌跡的幅角方程：(4

6)m

ni

1(s

zi

)

(s

p

j

)

(2k

1)在下面的j

1中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開環(huán)根軌跡增益Kg，這種根軌跡

上稱之為常規(guī)根軌跡。繪制常規(guī)根軌跡的基本方法如下：4.2.1 繪制180o根軌跡的

則法則1

根軌跡的連續(xù)性由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫出幾個(gè)特征點(diǎn)，描點(diǎn)連線即可畫出整個(gè)根軌跡。法則2

根軌跡的對(duì)稱性由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部的根軌跡，實(shí)軸下部的根軌跡可由對(duì)稱性繪出。法則3

根軌跡的條數(shù)n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個(gè)根。當(dāng)Kg

從0連續(xù)變化時(shí)，n個(gè)根將繪出有n條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。jK=

00K=

0KK0j0j

KgKgKg0jj1-

-2j10法則4

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)n根軌跡起始于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)，終止于系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)。根軌跡上Kg=0的點(diǎn)為起點(diǎn)，Kg時(shí)的點(diǎn)為終點(diǎn)。mg

i

1

(s

pj

)j

1Kg

(s

zi

)M

(s)N

(s)G(s)H

(s)

K證明：1

+

G(s)H(s)

=

0n

m(s

pj

)

Kg

(s

zi

)

0j

1

i

1當(dāng)

Kg=

0

時(shí)，有

s

=

pj

(

j

=1,2,

…,

n)上式說明Kg=0時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)

Kg

時(shí)，有s

=zi

(

i

=1,

2,

…

,m)所以根軌跡必終止于開環(huán)零點(diǎn)。在實(shí)際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中

m

n

，有m

條根軌跡終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)處，另有nm條根軌跡的終點(diǎn)將在無窮遠(yuǎn)處可以認(rèn)為有nm

個(gè)無窮遠(yuǎn)處的開環(huán)零點(diǎn)。1gn

m

(s

pj

)

(s

zi

)

0j

1

i

1K將特征方程改寫為：法則5

根軌跡的漸近線根據(jù)法則4，當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中m

<n時(shí)，將有n

m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a，交點(diǎn)為a的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，且有：n

ma

pj

zii

1n

mj

1

an

m

(2k

1)(k

=

0,1,

…

,

n

m

1)法則6

實(shí)軸上的根軌跡分布實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。“奇是偶不是”證明：設(shè)零、極點(diǎn)分布如圖示：p2p3j0z1s111

=02p13在實(shí)軸上取一測(cè)試點(diǎn)s1

。由圖可見，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸s1

點(diǎn)的向量幅角和為2，復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)如此。因此在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。s1點(diǎn)左邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角均為零，也不影響實(shí)軸上根軌跡的幅角條件。而s1

點(diǎn)右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角為。如果s1

是根軌跡，則只有當(dāng)零極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足幅角條件：j

i

=

(2k

+

1)即如果s1

所在的區(qū)域?yàn)?/p>

根軌跡，其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和必須為奇數(shù)。p2p3j0z1s111

=02p13例4-1設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s(s

1)(s

5)G(s)H

(s)

Kg試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及根軌跡在實(shí)軸上的分布。解：開環(huán)極點(diǎn)

p1=

0、p2=

1、p3=

5。系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個(gè)有限的開環(huán)極點(diǎn)，由于不存在有限的開環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)Kg時(shí)，沿著三條漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處；三條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)3

00

1

5n

mm

zii

1n

pjj

1a

20j3

3k

0，1，253，，2k

1a

實(shí)軸上的根軌跡分布在(0，1)和(5，

)的實(shí)軸段上。60s(s

1)(s

5)G(s)H

(s)

Kg三條漸近線與正實(shí)軸上間的夾角：-20z1Ap2KgKg法則7

根軌跡分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)兩條或兩條以上的根軌跡在s平面上相遇后立即分開的

點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。jKg=0p1j1Kg=04）在一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，該段無分離點(diǎn)或分離點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。分離點(diǎn)的性質(zhì)：分離點(diǎn)是系統(tǒng)閉環(huán)重根；由于根軌跡是對(duì)稱的，所以分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上；實(shí)軸上相鄰兩個(gè)開環(huán)零（極）點(diǎn)之間（其中之一可為無窮零（極）點(diǎn)）若為根軌跡，則必有一個(gè)分離點(diǎn)；j0設(shè)s

=d

處為分離點(diǎn)。nmj

1

d

p

ji

1

d

zi

1

1

式中，z

i

、p

j是系統(tǒng)的有限開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)。證明：根軌跡在s

平面上相遇，說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)，分離點(diǎn)上，根軌跡的切線與正實(shí)軸的夾角稱為根軌跡的分離角，k為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。

180

/

k用下式計(jì)算：ddD(s)

d

[1

K

M

(s)]

0g確定分離點(diǎn)位置的方法（均需驗(yàn)證）：法一：重根法（極值法）ds

ds

N

(s)法二：公式法設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則d

滿足如下公式：牢記！dsD(s)

0且dD(s)

0[證畢]mminnjdsddsdi

1j

1

(s

zi

)i

1(s

z

)

(s

pj

)j

1(s

p

)dsdsmnd

ln

(s

zi

)i

1d

ln

(s

pj

)j

1dsdsi

1nj

1d

ln(

s

zi

)d

ln(

s

p

j

)

mn

mj

1

s

pji

1

s

zi11VV

(lnV

)

n

mj

1

i

1(s

pj

)

Kg

(s

zi

)

0j

1n

mig

i

1j(s

z

)

0ds(s

p

)

Kdsd

dnjmi

d

z

d

pi

1

j

1

1

1

解：根據(jù)例4-1，系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡段（1，0），位于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間，該軌跡段上必然存在根軌跡的分離點(diǎn)。設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則11

1

0d

0

d

1

d

53d

2

+

12d

+5

=0d1

=

0.472

d2

=

3.53(不在根軌跡上，0j如果方程的階次高時(shí)，可用試探法確定分離點(diǎn)。d1

=

0.472s(s

1)(s

5)例4-2

求例4-1系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。G

(s)

Kgk舍去，也可代入幅值方程看Kg>0否？)分離點(diǎn)上根軌跡的分離角為±90°。d

180

/

k例4-3

已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為s(s

2)(s

3)K

(s

1)G(s)

試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：0j

23

10

2

3

(1)n

mm

zii

1n

pjj

1a

2

2

2k

1

a111

1

d

1

d d

2

d

3d

=

2.5

左=

0.67

右=0.4d

=2.01

左=0.99d

=2.25

左=0.8右=99.49右=3.11d

=2.47

左=0.68

右=0.65d=2.47法則8

根軌跡與虛軸交點(diǎn)若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)），則交點(diǎn)上的坐標(biāo)（包括閉環(huán)極點(diǎn)和臨界增益）可按下述兩種方法求出：方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)=0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。例4-5

求例4-1系統(tǒng)的根軌跡與s平面虛軸的交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：

0s(s

1)(s

5)D(s)

1

G(s)H

(s)

1

Kgs3

+

6s

2

+

5s

+Kg

=

0方法一：令s=jω，則(jω)3

+

6(jω)2

+

5

(jω)

+

Kg=

0

0,

5Kg=0(起點(diǎn)，舍去)，Kg=30方法二：s3

+

6s

2

+

5s

+Kg=

0勞斯表為5Kgs3s2s1s016(30

Kg)/6Kg當(dāng)Kg=30時(shí)，s1行全零，勞斯表第一列不變號(hào)，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出：6s

2+

Kg=

0s

j

5(jω)3

+

6(jω)2

+

5

(jω)

+

Kg

=

0

ω3

+

5ω

=

0

6ω2

+

Kg=

0jKg=

30j

5KgKg0d

=

0.472j2.24

Kg=

30Kgs(s

1)(s

5)G

(s)

Kgknmxj

1,

j

xi

1(

px

pj

)(

px

zi

)

p

180

mixnjxz

xi

1,i

xj

1

z

)

p

)

(z

180

(zx射角(終止角)，用z法則9

根軌跡的出射角與入射角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為出射角(起始角)，用

p

表示；x根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為入求出這些角度可按如下關(guān)系表示。“π加零去余極”

px1

pxzx1

zx證明：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)px,x+1

。在十分靠近待求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)px

的根軌跡上取一點(diǎn)s1

?！唉屑訕O去余零”pxPx+1j0s1px由于s1無限接近px，因此，除px

外，所有其它開環(huán)零、極點(diǎn)到s

點(diǎn)的向量幅角，都可以用它們1到px

的向量幅角來代替，而px到s1點(diǎn)的向量幅角即為起始角。根據(jù)s1點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有移項(xiàng)后，立即得到法則中的公式。[證畢]

180nmi

1

j

1,

j

xi

xx

z

)

(

p(

p

pj

)

px1xj

1,

j

x1

j

1m

ni

1i(s

p

)

(s

p

)

180

z

)

(s0jj1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：例4-4

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s(s

2.5)(s

0.5

j1.5)(s

0.5

j1.5)K

(s

1.5)(s

2

j)(s

2

j)G(s)H

(s)

12-1313-22nmi

1

j

1,

j

x

zi

)

(

px

pj

)起始角與終止角x

x

p

180

(

p=

180

+

1

+

2

+

3

1

2

3=180

+

56.5

+

19

+

59

108.5

37

90

=

790-1-2j1mnx

j

x

izxj

1

i1,i

x

p

)

(z

z

)

180

(z=180

117

90

+

153

+

63.5

+

119

+

121

=149.5j試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2,3

=1

±j漸近線：3條2333

p1

p2

pn

mnm

zii

1a

3

3n

m

pjj

1

2k

1

，，

5a0j例4-6

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s(s2

2s

2)G(s)H

(s)

Kg

p

2根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3

+

2s2

+

2s

+Kg=

0勞斯表2Kgs3s2s1s012(4

Kg)/2Kg令s1系數(shù)為0，得代入輔助方程Kg

=42s2

+

Kg=

0s

j

2實(shí)軸上根軌跡：(，0)，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。

180

(

p

p

)

(

p

p

)

452

1

2

3p2出射角：s(s2

2s

2)KG

(s)

gk繪制出系統(tǒng)根軌跡。0j12KgKgs(s2

2s

2)G

(s)

Kgkj1.414

Kg

=

4-45°Kgig

(s

p

)N

(s)法則10

閉環(huán)極點(diǎn)的和與積繪制根軌跡，或利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)性能分析時(shí)，可利用該法則。若開環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即n

m

2則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。證明：M

(s)

K

g

(s

z

j

)G(s)H

(s)

Knmsnn11g

1

m

1s

b

)

a

sn1

a s

aK

(sm

b

sm

1

bnin

ni

1p

(1)n

a

p

ai

1i

1式中(韋達(dá)定理)mmjmj1

z

(1)m

bj

1

z

bj

1根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若n

m

2

，則1ms

b

)

0

b

sm

1

a

sn1(snD(s)

1

G(s)H

(s)

a s

a

)

K

(sm

bn1

n

g

1

m

1n

n

si

a1

pii

1

i

1[證畢]-a1稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)或開環(huán)極點(diǎn)的重心。表明當(dāng)Kg變化時(shí)，一些根增大時(shí)，另一些必然減小；即一些根軌跡右行，一些必然左行，重心保持不變。根的分量之和是一個(gè)與Kg

無關(guān)的常數(shù)；各分支要保持總和平衡，

左右對(duì)稱。利用上述

則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對(duì)需要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，靠近虛軸或原點(diǎn)附件的根軌跡對(duì)分析系統(tǒng)的性能至關(guān)重要，應(yīng)盡可能的準(zhǔn)確繪制。解：例4-7

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H

(s)

Kg

(0.5s

1)0.5s2

s

1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。s2

2s

2G(s)H

(s)

Kg

(s

2)一定要寫成零極點(diǎn)表達(dá)式0j-1-2j1d

1

j1d

2

d

1

j1

1d

=

0.59(舍去)d

=

3.41結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)K從0

時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零

點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。ds2

2s

2K

(s

2)G(s)H

(s)

g0j-1-4-2j1例4-8

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s(s

4)(s2

4s

20)G(s)H

(s)

Kg試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：漸近線：a

=2a

=

45,

135分離點(diǎn)：d

=2d

=2

j2.45與虛軸交點(diǎn)：Kg=260

s

=

j3.164.2.2 0根軌跡的則nmg

i

1

(s

pj

)Kg

(s

zi

)M

(s)N

(s)G(s)H

(s)

Kj

1此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為D(s)

=

1

G(s)H(s)

=0或gnmK1

(s

zi

)

i

1

(s

p

j

)j

1此時(shí)的根軌跡稱為0根軌跡。根軌跡的幅角方程：gnmK1

s

pj

s

zij

1

i

1

根軌跡的幅值方程：法則1根軌跡的連續(xù)性同根軌跡。法則根軌跡的對(duì)稱性同根軌跡。法則根軌跡的條數(shù)同根軌跡。法則4

根軌跡的起點(diǎn)(Kg=

0)和終點(diǎn)(Kg)

同180根軌跡。m

n(s

zi

)

(s

i

1

j

1顯然0根軌跡的幅值方程與180根軌跡的完全相同，只是幅角相差一個(gè)π，因此只要把180根軌跡法則中，與幅角相關(guān)的項(xiàng)進(jìn)行修正，即可獲得繪制0根軌跡的則。繪制0根軌跡的

則如下：法則5

根軌跡的漸近線。當(dāng)開環(huán)傳函中m<n時(shí)，有n

m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a

，交點(diǎn)為a

的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，且有：mnan

m

zii

1

pjj

1

an

m

2k(k

=0,1,…,n

m

1)法則6

實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡?！芭际瞧娌皇恰眒j

1

d

p

ji

1

d

zin

1

1

法則7

根軌跡分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)同180根軌跡。法則8

根軌跡與虛軸交點(diǎn)的確定方法同180根軌。但要注意：D(s)=1-G(s)H(s)=0若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的坐標(biāo)可按下述兩種方法求出：方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)=0中，令s

=jω，D(jω)=0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。法則10

閉環(huán)極點(diǎn)的和與積若開環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即n

m

2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。根的分量之和是一個(gè)與Kg

無關(guān)的常數(shù)；各分支要保持總和平衡，

左右對(duì)稱。法則9

根軌跡的出射角與入射角m

nx

ixj

1,

j

xi

1(

px

pj

)(

p

z

)

p

mnxi1,i

xj

1(zx

zi

)(zx

p

j

)

z

“0加零去余極”“0加極去余零”例4－5

設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡。(s

2)(s

4)G(s)

Kg

(s

1)解：按0根軌跡的法則繪制。有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：-2，-4；1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-1。m=1,n=2根據(jù)法則1和2：根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的連續(xù)曲線。根據(jù)法則3和4：根軌跡有2條分支，起始于2個(gè)極點(diǎn)，1條終止于開環(huán)零點(diǎn)，1條終止于無窮遠(yuǎn)處。根據(jù)法則5，根軌跡有1條漸近線。

52

1

2

4

1n

mn

m

p

j

zij

1

i

1a

0n

ma

2k0j-1-2Aj1.414-4d2d11

1

1

d

1

d

2

d

4根據(jù)法則6和7，實(shí)軸上的根軌跡為存在2個(gè)分離點(diǎn)，由下式求得d1,2

1

3分離角＝±90°s

2B

:

kg

6,

s

j

26

kg

0

A

:

kg

6,

s

j

2

,

(6

kg

)s

8

kg

0根據(jù)法則8，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)(s

2)(s

4)

kg

(s

1)

0令s

j

2

8

k

0g0-1-2jAj1.414-4d2d1，箭頭為根據(jù)上述結(jié)論，可繪制出根軌跡kg增大的方向。4.2.3

參變量系統(tǒng)的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)

=GH(s

,

X)X為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=

1

±

G(s)H(s)

=

1

±

GH(s,

X)=0可整理為Q(s)式中，GH’(s)為等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡化為常規(guī)根軌跡或0根軌跡。1

GH

(s)

1

X

P(s)例4-9

已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H

(s)

0.25(s

a)s2

(s

1)試?yán)L制參數(shù)a從零變化到正無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解:

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3

+ s2

+

0.25s

+

0.25a

=

0于是，等效系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為0.25as3

s2

0.25s1

GH

(s)

1

0.25as3

s2

0.25sGH

(s)

把a(bǔ)視為根跡增益，可繪制出a

變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。0j0.51根軌跡與虛軸的交點(diǎn):a

=1

s

=j/2s(s

0.5)20.25a

s2

0.25ss30.25aGH

(s)

j0.5

a

=

1漸近線：σa=

1/3a=π/3，5π/3，π。分離點(diǎn)：a

d1=1/6,

d2=1/2。as(s

1)(s

2)(2)G(s)H

(s)

(1)G(s)H

(s)

s(s

1)(s

2)Kg

(1

s)Kg

(s

1)試確定系統(tǒng)根軌跡的類型。解：系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)都在s平面右半部具有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z=1。所以，系統(tǒng)均屬非最小相位系統(tǒng)。4.2.4非最小相位系統(tǒng)的根軌跡在s平面右半部具有開環(huán)零點(diǎn)和（或）極點(diǎn)的反饋系統(tǒng)稱為非最

小相位系統(tǒng)。繪制方法同最小相位系統(tǒng)，但必須將開環(huán)傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后才能確定按180根軌跡還是0根軌跡的法則繪制。例4-10

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其根軌跡方程為

1s(s

1)(s

2)可按180o根軌跡的

則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對(duì)系統(tǒng)(2)，其閉環(huán)特征方程為1)(s(ss2)

s)(1

0D

s

G

s

H

s

((1(1)))

Kg

1s(s

1)(s

2)Kg

(s

1)此時(shí)按0o根軌跡的則繪制系統(tǒng)的根軌跡。

01

s(s

1)(s

2)Kg

(s

1)Kg

(s

1)對(duì)系統(tǒng)(1)，其閉環(huán)特征方程為4.3.1閉環(huán)零點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)的確定只要求出系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)，就知道系統(tǒng)的響應(yīng)，就可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的性能分析。+-G(s)H(s)R(s)C(s)圖4-6

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖n1m1

(s

p

j

)j

1KGg

(s

zi

)G(s)

i

1

n2m

2

(s

pl

)l

1KHg

(s

zk

)H

(s)

k

1

1.由開環(huán)傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)考查圖4-6所示的反饋控制系統(tǒng)。設(shè)4-3控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法首先繪制出根軌跡，然后在根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，也可進(jìn)行系統(tǒng)綜合或校

節(jié)只在根軌跡分析中應(yīng)注意的問題。zi、pj、KGg分別是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。zk、pl、KHg分別是系統(tǒng)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。于是，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為n1

n2

m1

m

2

(s

pj

)

(s

pl

)

KGg

KHg

(s

zi

)

(s

zk

)j

1

l

1

i

1

k

1m1

n2KGg

(s

zi

)

(s

pl

)i

1

l

1

(s)

n1m1

(s

p

j

)j

1KGg

(s

zi

)G(s)

i

1

n2m

2

(s

pl)l

1KHg

(s

zk

)H

(s)

k

1

G(s)1

G(s)H

(s)(s)

n1

n2

m1

m

2

(s

pj

)

(s

pl

)

KGg

KHg

(s

zi

)

(s

zk

)j

1

l

1

i

1

k

1m1

n2KGg

(s

zi

)

(s

pl

)i

1

l

1

(s)

nm

(s

si

)i

1Kg

(s

z

j

)j

1比較上兩式，即有如下結(jié)論：系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)由其前向通道G(s)的零點(diǎn)(m1個(gè))和其反饋通道H(s)的極點(diǎn)(n2個(gè))兩部分組成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1,閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其前向通道的根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其開環(huán)根軌跡增益設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益分別為zj、si和KΦg，則系統(tǒng)的閉

(s)環(huán)傳遞函數(shù)可表示為2.應(yīng)用試探法確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)，沒有固定的規(guī)律求出閉環(huán)極點(diǎn)，在某一確定的Kg下的閉環(huán)極點(diǎn)，可以由幅值方程試探確定：在根軌跡上取一試探

s1

代入已知增益下的幅值方程，成立則是，得到幾個(gè)后，可以根據(jù)法則10求出另

外一些。過程中可以根據(jù)特征點(diǎn)確定搜索范圍。比較麻煩，精度受限制，往往需借助于

等仿真工具。例4－8

P1724.3.2.閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響只要利用根軌跡得到閉環(huán)系統(tǒng)在某一確定的Kg下的零極點(diǎn)，就可以寫出此時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，就可以對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。下面以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為例，考查閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：nmm

(s

si

)C(s)R(s)Kg

(s

z

j

)j

1

(s)

a

sn

a

sn1

a

a0

1

n1

nb

sm

b

sm

1

b

b0

1

m

1i

1式中，zj，si和KΦg分別為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。于是單位階躍作用下系統(tǒng)輸出的相函數(shù)為：nm1sC(s)

(s)R(s)

(s

si

)j

1Kg

(s

z

j

)n

Ais

i

1

s

sii

1

A0經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為ns

tiiA

ei

10

c(t

)

A

上式表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由Ai、si決定，即與系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布有關(guān)。分析上述各式，閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律如下：)(a

0,

b

0)s2

(s

a)s

bG(s)H

(s)

Kg試?yán)L制如下幾種情況下Kg從零連續(xù)變化到無窮大時(shí)系統(tǒng)的根軌跡：（1）b→∞,a為有限量；（2）b>a；（3）b=a

（4）b<a;

（5）b=0，a為有限量。穩(wěn)定性：根據(jù)si分布左右平面（存在3條及以上的漸近線，是什么情形？）運(yùn)動(dòng)形態(tài)：根據(jù)si是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)（單調(diào)、衰減振蕩）平穩(wěn)性：阻尼比大（阻尼角小）0.707快速性：遠(yuǎn)離虛軸，或存在閉環(huán)偶極子4.3.3利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)例4－9

P174三.開環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響決定形狀，若不如意，改造之1.開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響例4-8

設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：（1）b→∞,a為有限量時(shí)，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為bKgggs

2

(s

a)

s

2

(s

a)s

/

b

1

K

1s

2

(s

a)s

bG(s)H

(s)

K起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡始終位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。0jaa/3（2）b>a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。gs

2

(s

a)s

bG(s)H

(s)

Ka(ba)/20

0jb1s

2gg

Ks

2

(s

a)s

bG(s)H

(s)

K0（3）b=a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。P=-a和z=-b構(gòu)成開環(huán)偶極子。jb=-a（4）b<a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于左半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。a(ba)/20

0jbs

2

(s

a)s

bG(s)H

(s)

K

g（5）b=0，a為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒有開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。1gs(s

a)

Ks

2

(s

a)s

bG(s)H

(s)

K

g0j-a-a/2從上例可以看出，增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開環(huán)偶極子,抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的不利影響。2.開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響分析例4-10的根軌跡圖可以看出，增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：（1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應(yīng)的快速性變差。開環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響開環(huán)偶極子(零極點(diǎn)重合或相近)，提供相同的幅角和幅值，根據(jù)根軌跡方程，對(duì)根軌跡的影響為：開環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀；開環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡增益值，但可能影響根軌跡上各點(diǎn)開環(huán)比例系數(shù)的值；合理配置偶極子中的開環(huán)零極點(diǎn)，可以在不影響動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。P126，式3-111；p153,式4-2mjsv

nvKj

1

(Tis

1)i

1G(s)H

(s)

(

s

1)nmnm

(

pj

)i

v

1

(s