考研高數(shù)上冊(cè)(李正元)

極限常見的函數(shù)形式（初等函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù),由參數(shù)方程確定的、由變隔積分確定的、由級(jí)數(shù)確定的）［岸常見的函數(shù)魯函數(shù)、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)、邂國-復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①掌握求極限的各種方法.1-連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)q連續(xù)性（初等函數(shù)連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，按定義）判斷連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的方法「定義與性質(zhì)，判別極限存在與不存在的方法（洛必達(dá)法則，階的運(yùn)算性質(zhì)，泰勒公式）無窮小階的比較與確定無窮小的階的方法連續(xù)與間斷的定義L直接用運(yùn)算法則（四則運(yùn)算，幕指數(shù)運(yùn)算，代入法）極限常見的函數(shù)形式（初等函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù),由參數(shù)方程確定的、由變隔積分確定的、由級(jí)數(shù)確定的）［岸常見的函數(shù)魯函數(shù)、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)、邂國-復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①掌握求極限的各種方法.1-連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)q連續(xù)性（初等函數(shù)連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，按定義）判斷連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的方法「定義與性質(zhì)，判別極限存在與不存在的方法（洛必達(dá)法則，階的運(yùn)算性質(zhì)，泰勒公式）無窮小階的比較與確定無窮小的階的方法連續(xù)與間斷的定義L直接用運(yùn)算法則（四則運(yùn)算，幕指數(shù)運(yùn)算，代入法）一極限一」其他未定式（轉(zhuǎn)化為t2項(xiàng)和的數(shù)列I（恒等變形,夾逼法，化為定積分，級(jí)數(shù)求和）T%項(xiàng)積的數(shù)列I（恒等變形,轉(zhuǎn)化為?項(xiàng)和）T一般情版（轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，恒等變形，夾逼法）「概念與性質(zhì)（高階、低價(jià)、同階、階數(shù)）“9”型或“巴”型）0 oo“9”型或“巴”型（恒等變形相消后代入，洛0 oo必達(dá)法則，變量替換與重要極限，泰勒公式，等價(jià)無窮小因子替換）T遞歸數(shù)列（=/*.））第一講極限、無窮小與連續(xù)性一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖--無窮小②掌握無窮小階的比較及確定無窮小階的方法.③判斷函數(shù)是否連續(xù)及確定間斷點(diǎn)的類型(本質(zhì)上是求極限).④復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算.§1極限的重要性質(zhì).不等式性質(zhì)設(shè)limx“=A,limy“=8,且A>B,則存在自然數(shù)N,使得當(dāng)">N時(shí)有x“>y”.設(shè)limx“=A,limy“=8,且存在自然數(shù)N,當(dāng)">N時(shí)有x“Ny“，則n—>oo n—>oo作為上述性質(zhì)的推論，有如下的保號(hào)性質(zhì)：設(shè)limx“=A,且A>0,則存在自然數(shù)N,使〃一?00得當(dāng)〃>N時(shí)有x.>0.設(shè)limx“=4,且存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)有x“20,則A20.〃T8對(duì)各種函數(shù)極限有類似的性質(zhì).例如：設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=3,且A>8,則存在X->Xq X—>Xq0,使得當(dāng)0<上一玉)|v6有/(%)>g(x).設(shè)lim/(x)=4,limg(x)=3,且存在8>0,使得XT/ XT"當(dāng)0<Ix—xoIV6時(shí)/(x)2g(x),則.有界或局部有界性性質(zhì)設(shè)limx“=A,則數(shù)列｛xj有界，即存在M>0,使得Ix“I(〃=1,2,3,???).“T8設(shè)lim/(x)=A,則函數(shù)/(x)在x=xo的某空心鄰域中有界，即存在8>0和用>0,使得XT*。當(dāng)0<Ix-xoIV6時(shí)有"(x)I 對(duì)其他類型的函數(shù)極限也有類似的結(jié)論.§2求極限的方法1.極限的四則運(yùn)算法則及其推廣 設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=8，則lim[/(x)±g(x)]=A±B；lim/(x)g(x)=AB;lim =—(B+0).XTXo XTXo XTXog(x)B只要設(shè)lim/(x),limg(x)存在或是無窮大量，上面的四則運(yùn)算法則可以推廣到除“°”,Xf的 XT與 0“藝”,“0?8”內(nèi)一8"四種未定式以外的各種情形,即：1。設(shè)lim〃x)=8,limg(x)=8,00 XTX0 XTR則lim"(x)±g(x)]=8.lim^^=8(g(x)。。)又B邦,則lim"(x)g(x)]=8.2°設(shè)KT*。 XT&g(X) Xf5lim/(x)=oo,當(dāng)x-Po時(shí)g(x)局部有界，(即 >0,彳蜘0<,一人|<5時(shí)|g(x)|<M),則lim[/(x)4-g(x)]=oo.XT。設(shè)口111/(幻=00,當(dāng)犬一網(wǎng)時(shí)Ig(x)I局部有正下界，(即＞0方＞0使得0＜|x一向XfX。V6時(shí)|g(x)I2b>0),則lim[/(x)g(x)]=oo.

X-^Xn3°設(shè)limf(x)=oo,limg(x)=oo,?f悔則lim(/(x)g(x))=8,又三8>0使得0<|xXTX0即IVb時(shí)f(x)g(x)>0,貝ijlim[/(x)+g(x)]=oo.x?04°設(shè)limf(x)=O,x-^xq時(shí)g(x)局部有界，則lim(/(x)g(x))=O(無窮小量與有界1孫變量之積為無窮小.)2.幕指函數(shù)的極限及其推廣設(shè)lim/(x)=4＞0,limg(x)=8則limf(x)sM=AB.XT/(limf(x)E)=limes,x,ln/<x,=XT.% X—>X0X?0limg(x)\nf(x)e… =*"=4)只要設(shè)lim〃x),limg(x)存在或是無窮大量，上面的結(jié)果可以推廣到除“廣”，“0°”及“8?！盭—X—>10三種未定式以外的各種情形.這是因?yàn)閮H在這三個(gè)情況下limg(x)In/(x)是“0?型未定*-＞工0式.1°設(shè)limf(x)=0(0<XTX。Ix—xGI<5時(shí)f(x)>0),limg(x)=8W0,則

AX。lim/(x)s(x)=XTR

(8>0)+00(8<0)2。設(shè)lim/(x)=A>0,A#l,limg(x)=+ 貝Ulimf(x)g(x)=XTX。I*。XT7)0(0<4<l)+oo(A>1)3。設(shè)lim/(x)=+8,limg(x)=8wO,則limf(x)8(x)=XTXoXTX。+00(BVO)(B>0)【例1】設(shè)lim/^1%g(x)=A,又limg(x)=0,貝ljlimf(x)=XT.%【分析】limf(x)= ?g(x))=Ax0=0.XT與 XTXOg(X)【例2】設(shè){冊(cè)}【例2】設(shè){冊(cè)},{/??},{c“}均為非負(fù)數(shù)列，且lima〃=0,lim/?n=1,limcn=8,則必有n—rt—>oon—>+oo(A)即(A)即Vb“對(duì)任意鹿成立.(B)bn<cn對(duì)任意n成立.(C)極限(C)極限lim%c〃不存在.

n—>ao(D)lim力〃c〃不存在.

n—>oo用相消法求9或2型極限0 00.八,V1+tanx-V1+sinx【例1】求/=hm I。x(l-cosx)【解】作恒等變形，分子、分母同乘Jl+tanx+Jl+sinx得,tanx-sinxI=hm / ——/x(l-cosx)vl+tanx++sinx「tanx(l—cosx)1lim lim］ : /xf°x(l-cosx)J)Jl+tanx+Jl+sinx=1.1=122r/El-t-? 1- >/4x~+X—1+X+1［例2］求/=hm-——/ ——-00 JY+sEx【解】作恒等變形，分子、分母同除肝;一式尤V0)得

1。Ji?sinxVi+o利用洛必達(dá)法則求極限【例1】設(shè)/(x)在x=0有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又/=limf^^+^^]=2“T0(XXJ求/(0)與/(。).2sinx+x2cos-【例2】求lim 匕1。(l+cosx)ln(l+x)【例3】求/=limx->0(l+x)x-e_x?sinxp-e【例4】求/=lim^~~--x-sinx

sinx+sinx+ ,求lim/(x).

xtO]_2+ex【例1】設(shè)/(X)—yl+ex（-1）"【例2】求/=limnT+ool利用函數(shù)極限求數(shù)列極限【例1】 求/=lim—【例2】求/=lim(zitan—.n—>+cc 〃1tan—I=lime"n—>+oo轉(zhuǎn)化為求tanl/1 / ]ntanxlimInnZ =lim—/1 xtO%?/n2tanx]=lim^--(等價(jià)無窮小因子替換)，余下同前.§3無窮小和它的階.無窮小、極限、無窮大及其聯(lián)系(1)無窮小與無窮大的定義(2)極限與無窮小，無窮小與無窮大的關(guān)系lim/(x)=A<=>/(x)=A+a(x)Xf與其中l(wèi)ima(x)=0(f(x)=A+o(l),x—>x0).o(1)表示無窮小量.在同一個(gè)極限過程中，“是無窮小量(“WO)=1是無窮大量.反之若“是無窮大量，則!u u是無窮小量..無窮小階的概念(I)定義同一極限過程中，a(x),p(x)為無窮小，7*0為有限數(shù)，稱改為同躍菰窮小/=1時(shí)，稱蚓為等村而窮小，記為設(shè)lim"')=/<a(x)?/(x)(極限過程)伙” /=0時(shí)，越她高階的施窮小，記為a(x)=o(/7(x))(極限過程)定義設(shè)在同一極限過程中。(x),p(x)均為無窮小，a(x)為基本無窮小，若存在正數(shù)k與常數(shù)I使得lim華)=/#0稱夕(x)是a(x)的左階無窮小，特別有l(wèi)im—>外廣=/w0,a(x) (x-x0)稱xf%)時(shí)R(x)是(x-x0)的k階無窮小.(2)重要的等價(jià)無窮小X-*0時(shí)sinx?式，tanx?x,In(1+x)?x,er-1-x；a~\-xlntz,arcsinxx,arctanx-x；(1+%)"-1?or,1-cosx?—x2.

(3)等價(jià)無窮小的重要性質(zhì)在同?個(gè)極限過程中1。若1~夕，p-y=>a-y.2°a~poa=p+o(夕)3。在求“9”型與“0?8”型極限過程中等價(jià)無窮小因子可以替換0TOC\o"1-5"\h\z47V1 (2+C0SX) .【例1】求/=hm— -12。/I3【例2】 設(shè)lim 血"=5,則lim綽= .XTO3*-1 XT。XL【分析】由已知條件及l(fā)im(3X-l)=0nlimln(l+&D)=0=>lim42=0.又在io 1。sin2x1。sin2xx=0某空心鄰域F(x) 0),又3"—l~xln3.于是sin2xsin2x2xvf(x)/2xr/(x) . ..f(x)ini,hm =limJ=5=>lim=10In3.ioxln3302x~In3刀一°r【例3】設(shè)xf。時(shí)區(qū)刀)，爪x)分別是x—。的〃階與〃邛介無窮小，又lim/?(x)=A工0,x—>a則Xf4時(shí)a(x)h(x)是x—〃的階無窮小.a(x)/3(x)是x—〃的階無窮小.n<m時(shí)，a(x)土夕(x)是x—a的階無窮小.時(shí)是4—〃的 階無窮小.隊(duì)x)&是正整數(shù)時(shí)，〃是x—〃的階無窮小.以上結(jié)論容易按定義證明。例如，已知lim"幻=容」0,I(x-a)n㈣43。句陪器=1隼嚼g(x)(…廣㈣43。句陪器=1隼嚼g(x)(…廣=A,8WO=^f(x)g(x)是x—【例4】設(shè)/(x)連續(xù)，入f〃時(shí)f(x)是X—。的〃階無窮小,求證：￡f⑴dt是“一q的〃+1階無窮小.【例5】xf0時(shí)，是x的 階無窮??；療-丘是x的 階無窮\+x2.3小；S1U?是X的 階無窮小，「sin產(chǎn)力是X的 階無窮小.ln(l+x) 」＞【例6【例6】工一0時(shí)，下列無窮小中()比其他三個(gè)的階高,(A)x2 (B)1—cosx(C)-\j\—X2—(A)x2 (B)1—cosx【例7】當(dāng)尢■*0時(shí)，f(x)=「"sin/力與g(x)=x3+/比較是( )的無窮小.(A)等價(jià) (B)同階非等價(jià)(C)高階 (D)低階§4連續(xù)性及其判斷.連續(xù)性概念(1)連續(xù)的定義：函數(shù)f(x)滿足lim/(x)=/(X。)，貝標(biāo)/(X)在點(diǎn)x=xo處連續(xù);y1(x)滿足lim/(x)=/(x0)(或limf(x)=/(x0)),則稱/(x)在x=xo處右(或左)連續(xù).*?0一若/(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)；若/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)，在點(diǎn)x=b處左連續(xù)，則稱/(x)在［a,回上連續(xù).(2)單雙側(cè)連續(xù)性f(X)在X=XO處連續(xù)<=>/(X)在X=XO處既左連續(xù)，又右連續(xù).(3)間斷點(diǎn)的分類：設(shè)/(X)在點(diǎn)X=Xo的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且沏是/(X)的間斷點(diǎn).若/(x)在點(diǎn)x=xo處的左、右極限/(xo-O)與/(xo+O)存在并相等，但不等于函數(shù)值f(xo)或/(X)在X0無定義，則稱點(diǎn)X0是可去間斷點(diǎn)；若/(X)在點(diǎn)X=X0處的左、右極限/(xo-0)與f(xo+0)存在但不等，則稱點(diǎn)即是跳躍間斷點(diǎn)：它們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).若f(X)在點(diǎn)X=X0處的左、右極限f(xo-0)與f(xo+0)至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)Xo為第二類間斷點(diǎn)..函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型的判斷：若f(x)為初等函數(shù)，則/(X)在其定義域區(qū)間D上連續(xù)，即當(dāng)開區(qū)間(a,6)uD,則/(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)；當(dāng)閉區(qū)間［c,d］uD,則f(x)在匕，田上連續(xù).若/(x)是非初等函數(shù)或不清楚它是否為初等函數(shù)，則用連續(xù)的定義和連續(xù)性運(yùn)算法則(四則運(yùn)算，反函數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算)來判斷.當(dāng)f(x)為分段函數(shù)時(shí)，在其分界點(diǎn)處則需按定義或分別判斷左、右連續(xù)性.判斷了(X)的間斷點(diǎn)的類型，就是求極限limf(x).x->xo±0.有界閉區(qū)間［a,加上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值和最小值定理：設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，則存在4和〃e［a,b］,使得/(O可(x)可(7),有界性定理：設(shè)f(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，則存在M>0,使得If(x)I這M,介值定理：設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且/(a)壬/?"),則對(duì)/(a)與/(b)之間的任意一個(gè)數(shù)c,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&,使得f(4)=c推論1(零值定理)：設(shè)/(x)在閉區(qū)間［a,切上連續(xù)，且/(a)/(b)<0,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f(q)=0推論2：設(shè)/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且機(jī)和M分別是f(x)在［a,句上最小值和最大值，若則/(x)在［a,句上的值域?yàn)椋踡,M］.［例1］函數(shù)/(x)=?"si/*—2］在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.jc(x-1)(x-2)2(A)F1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).【分析一】這里二有界.只須考察g(x)=—(±2),)是初等函數(shù)，它在定義Ixl (x-l)(x-2)2域(x#l,xH2)上連續(xù)，有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界，［-1,0］u定義域，g(x)在［-1,0］有界，選(A).【分析二】設(shè)〃(%)定義在(a,b)上，若lim〃(無)=oo或limh(x)=oo,則〃(x)在(〃,x—>a+0 x—>fe-0TOC\o"1-5"\h\zb)因lim/(x)=oo,lim/(x)=oo=>f(x)在(0,1),(1,2),(2,3)選(A).x-M x-?2rr fx，XW2Y~Y<1【例2】設(shè)/(x)=( ，g(x)=2(x—1) 2VxW5I-XX>1 -L,i [x+3 5<x討論y=/(g(X))的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型?【分析與解法1】先求/(gQ))的表達(dá)式./(g(x))=；]g)(X)(g(x)4)〔l-g(x)(g(x))>l)[%2(x<1)= /(g(x))=<1—X(Kx<2)11—2(x—1)(2<jc.5)[l-(x+3)(5。)在(一8,1),(1,2),(2,5),(5,+B,f(g(x))分別與初等函數(shù)相同，故連續(xù).x=2或5時(shí)可添加等號(hào)，左、右連接起來，即左連續(xù)又右連續(xù)=>/(g(x))在x=2或5連續(xù).x=1時(shí)lim/(g(x))=lim(1-x)=0x->l+0 x->l+0limf(g(x))=limx2=1x->l-0 x->l-0=>x=\是/(g(x))的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn)).【分析與解法2］不必求出/(g(x))的表達(dá)式.g(x)的表達(dá)式中，x=2或5處可添加等號(hào)，左、右連接起來=g(x)在(-8,+OO)處處連續(xù).u=g(x)=lox=1因此，時(shí)由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的"(g(X))連續(xù)/=1時(shí)lim=limf(x)=lim(1-x)=0*->1+0 xtI+0 jt->1+0lim=limf(x)=limx2=1x->l-0 x->l-0 XTl-0=>X=1是f(g(犬))的第一類間斷點(diǎn).第二講一元函數(shù)微分學(xué)的概念、計(jì)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖一元函數(shù)微分學(xué)的概念計(jì)算與簡(jiǎn)單應(yīng)用求導(dǎo)方法微分法則求n階導(dǎo)致表達(dá)式的方法一元函數(shù)微分學(xué)的概念計(jì)算與簡(jiǎn)單應(yīng)用求導(dǎo)方法微分法則求n階導(dǎo)致表達(dá)式的方法二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是①導(dǎo)數(shù)與微分的定義、幾何意義，討論函數(shù)的可導(dǎo)性及導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.②按定義或微分法則求各種類型函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)或微分（包括：初等函數(shù)，基指數(shù)函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，變限積分函數(shù)，參數(shù)式，分段函數(shù)及帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)），求”階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式.③求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變化率.④導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用如“彈性”，“邊際”等（只對(duì)數(shù)三，數(shù)四）.

§1一元函數(shù)微分學(xué)中的基本概念及其聯(lián)系.可導(dǎo)與可微的定義及其聯(lián)系/（X）在即導(dǎo)：lim'（）'（°）=lim―—-~—=/'（/）?ft）x-x04->oAx/（3+&）_/（%）=a+。（1）（Atf0）,即1無窮小量Ax/'(%)是曲線y=/(x)在點(diǎn)(Xo,/(Xo))/'(%)是曲線y=/(x)在點(diǎn)(Xo,/(Xo))處切線的斜率.力"(》)二=/(/枝是相應(yīng)于醺該切線上縱坐標(biāo)的增量.質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，?時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=x(r),x'(%)是r=，o時(shí)刻的速度.3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)與雙側(cè)導(dǎo)數(shù)f(X)在X=Xo可導(dǎo)=/'+/), 均存在且相等.此時(shí)/，(x0)=/'+(x0)=/'_(x0)/■+(x0)=lim/(%+—)-/(%),/(/)=Hm〃xo+?〃x。),

Ax->0+ Ax 4r->0- Ax【例i】說明下列事實(shí)的幾何意義(1)/u0)=g(x0),f,a0)=g,(x0).(2)於)，g(x)在x=xo處有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，f(x0)=g(x0),/(x0)=g(x0)/"(%)=g〃(x°)￥O.Ax)在x=x0處存在f'+(Xo),/_(x0),但/'+(/)工/_(%).y=fix)在x=x()處連續(xù)且lim*")_=co.*-?■??x-x0- fg(x)xn-d<.【例2】/(x)={ ,6>0為某吊數(shù)?設(shè)g(Xo)=/i(Xo),g_(Xo),〃+(/)h(x)x0<x<x0+o均存在且g_(X。)="+(%).求證：f'(%)存在且/'(Xo)=g_(%)=h+(xQ).【例3】請(qǐng)回答下列問題：(1)設(shè)y=/(x)在x=xo可導(dǎo)，相應(yīng)于Av有Ay=f(x0+Ax)—f(沏)，dy=/r(x0)AxAx-O時(shí)它們均是無窮小.試比較下列無窮?。篈y是Ar的無窮??；^y~dy是Ax的無窮?。籪'(x0)H0時(shí)Ay與dy是無窮小.du與小“是否相等？【例4】設(shè)/(X)連續(xù)，試討論/(%)的存在性與1/(只1'1』的存在性之間的關(guān)系.(1)考察下列兩個(gè)函數(shù)圖形，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義來分析/'(%)存在與存在之【證明】因/(%)力0,由連續(xù)性，n^>0,使得當(dāng)Ix-xoI<5時(shí)有/(x)>0或/(x)<0,于是在戈0該鄰域內(nèi)必有If(x)I=/(x)或I/(X)I=—fix)之一成立，故在點(diǎn)刀=式0處兩個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性是等價(jià)的.(3)/5)=0時(shí)，求證：/'(尤0)=0。"(犬)1(』存在.【證明】設(shè)f(xo)=0.i/a)r存在。lim"(x°+—)lg=Hmi/a)r&to+ Ax 加to- Axo|im必a型(NO)=lim星址出(WO)—+ Ax -— Ax。lim">+嘰。lim">+嘰1而">+M=0axto+Ax右—0-AxTOC\o"1-5"\h\zolim/(一十—)￥%) =o0 , =oAv-o Ax綜合可得，題目中結(jié)論(2)和(3)成立.也可以概括為：點(diǎn)x=xo是可導(dǎo)函數(shù)/(x)的絕對(duì)值函數(shù)I/(x)I的不可導(dǎo)點(diǎn)的充分必要條件是它使得/(X。)=0但/'(/)#0.【評(píng)注】論證中用到顯然的事實(shí)：lim/(x)=0<?liml/(x)1=0.XT。 JC—【例5】設(shè)函數(shù)火x)連續(xù)，且/'(0)>0,則存在5>0,使得(A)/(x)在(0,S')內(nèi)單調(diào)增加. (B)/(x)在(-60)內(nèi)單調(diào)減少.(C)對(duì)任意的xe(0,5)有(0).(D)對(duì)任意的xw(-60)有/(x)>f(0).§2一元函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)/(x)在區(qū)間可導(dǎo)，/'(x)￥0,值域區(qū)間為4，則它的反函數(shù)x=s(y)在4可導(dǎo)且dr_1dy一包dxJI【例】 設(shè)y=y(x)滿足y'=2e',求它的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)dyrAZ,,dr1 1_xd'xdrI2dy4【解】一=——drI2dy4dyy，(x)2dy2變限積分求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)/(x)在M，句上連續(xù)，則F(x)=f/Q)df在⑶句上可導(dǎo)，且F'(x)=f(x),(aQWb)設(shè)/(x)在［c,d］上連續(xù)，當(dāng)xe［a,b］時(shí)函數(shù)"(x),v(x)可導(dǎo)，且“(x)和v(x)的值域不超出[c,d],超出[c,d],貝iJF(x)=I/⑺也在口，切上可導(dǎo)，且心)F'(x)=/(a(x))〃'(x)-/(v(x))Mf(x),(aWxWb)【例1】設(shè)/(%)在(-8,+OO)連續(xù)且

融)=G?￡"-s")d，求0F(X).【例2】設(shè)/(x)在(-8,+8)連續(xù)，又。(x)=gs(x-f)2/(f)ck,求0'(x),0"(x).【例3【例3】設(shè)。(x)=W'普d/)dy,求小).【例4】設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(/)=pyj/(x)dx,則尸(2)等于(A)2f(2). (B)f(2). (C)~f(2). (D)0.【分析一】先用分部積分法將尸(r)化為定積分.尸Q)=[([/(x)dx)dy=(y[/(x)dr)；：；-[yd([/(x)ck)+fW(y)dy=n尸⑴=H-l)/(t),尸'(2)=/(2),選(B).【分析二】轉(zhuǎn)化為可以用變限積分求導(dǎo)公式的情形./⑺=](f/(x)出)dy+[(]/(x)dr)dy=nF'(t)=ff(x)dx+f/(x)dr+(r-l)/(r)=(r-l)/(z)F'(2)=/(2).選(B).【分析三】交換積分順序化為定積分.F(O=ff/(x)dxd^Jdxf/(x)dyD=|(x-l)/(x)dx【分析四】特殊選取法.取/(x)=1(滿足條件)=>/?)=jd)，[/(x)dx=jdy[lck=[?-y)dy=-；(t-y)2 =^(/-l)2F\t)=t-l,尸'(2)=1=/(2).選(B).隱函數(shù)求導(dǎo)法：【例1】y=y(x)由sin(x2+y?)+e*-xy?=0所確定，則崇=【例2】y=y(x)由下列方程確定，求包，咤.dxdr2(l)x+arctany=y；【解】對(duì)X求導(dǎo)=>1+]12y'=y',解出y'得y'=1+J.再對(duì)x求導(dǎo)得y"=-4V=-2(1+/1).xQfW=ey,其中/"(x)存在，/'(x)Hl.【解】對(duì)x求導(dǎo)得0"')+xef(y)fXy)yr=eyyr利用方程化簡(jiǎn)得-+f\y)y'=y'>y'= 1,x x(l-/(y))再將>'的方程對(duì)x求導(dǎo)得+/〃(y)y"+/'(y)y"=y"X解出y",并代入y'表達(dá)式nyJ(?T—'(?)2一(1-八y*若先取對(duì)數(shù)得Inx+f(y)=y然后再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化計(jì)算.【列3】設(shè)y=y(x)由方程y—xe，=1確定，求色巧的值.dxyo【解】原方程中令x=Ony(0)=1.將方程對(duì)x求導(dǎo)得y'-e'-xe'y'=0令x=0ny'(0)=e.將上述方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得y"-2e'/-x(e3)；=0ny〃(0)=2e2分段函數(shù)求導(dǎo)法：【列1】設(shè)/(x)=』|xI,則使尸")(x)處處存在的最高階數(shù)〃為.1 3.1—ln(l+x3)sin—,x>0X X【例2】設(shè)0, x=0,貝lj/(x)在x=0處1N—sinZdA x<0xJ)(A)不連續(xù)(B)連續(xù)，但不可導(dǎo)(C)可導(dǎo)但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)(D)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)【分析】先按定義討論f(x)在x=0的可導(dǎo)性問題.f+(0)=hm =hm—ln(l+x)sin—=0x-?0+ % x->0+r x/小、../(x)-/(0).. 1. sinx2-2x_/_(0)=lim =lim-yIsintdt=hm =0x->o-x xto-x"“) a->o-2x= /+(0)=/'_(0)=0=/'(0)=0.進(jìn)一步考察f'(x)在X=0的連續(xù)性.當(dāng)x>0時(shí)，TOC\o"1-5"\h\z/'(x)=dln(l+x3)sin3'X Xln(l+x3).1 3x2 ,1ln(l+x3) 1= sin—+ -sin cos—X xx(l+x3)XX3X由此可知，1加尸(均不三二>/'。)在戈=0不連續(xù).因此，選(C).【例3】求常數(shù)a,b使函數(shù)/(幻=卜 處處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)數(shù).[ax+b,x<3【分析與求解】對(duì)V常數(shù)a，b,x#3時(shí)/(x)均可導(dǎo).現(xiàn)要確定a,b使/'(3)存在./(x)在x=3必須連續(xù)且，'⑶=/'⑶，由這兩個(gè)條件求出a與瓦由limf(x)=limx2=9,limf(x)=lim(ax+。)=3a+b?3+0 x~^3+0 x—>3—0 >3—0f(x)在x=3連續(xù)，a,b滿足/(3+0)=/(3-0)=/(3)HP3a+b=9在此條件下，/(x)=lx*ax+bx<3nf'(x)=2x(x>3),f'(x)=a(x<3) +(3)=2x| =6J'_⑶=a/'(3月=f+(3)=f_(3)即a=6 代入3a+b=9=b=—9.因此，僅當(dāng)a=6,h=-9時(shí)f(x)處處可導(dǎo)且f'(x)= )【評(píng)注】求解此類問題常犯以下錯(cuò)誤1°沒說明對(duì)V常數(shù)a,b,xW3時(shí)/(x)均可導(dǎo).2°先由x=3處可導(dǎo)求出a值，再由連續(xù)性求出b值.請(qǐng)看以下錯(cuò)誤表達(dá)：“因(+(3)=2尤=6,/'_(3)=(ax+b)‘=a*=3 x=3由/'+(3)=/'_(3)得a=6.再由連續(xù)性 f(3+0)=/(3-0)即9=3a+b,b=~9"錯(cuò)誤在于①當(dāng)3a+bW9時(shí)/'一(3)不存在，也不可能有，'一(3)=(ax+b)'.x=3@f(3+0)=f(3-0)不能保證/(x)在x=3連續(xù).僅當(dāng)/(3+0)=/(3-0)=/(3)時(shí)才能保證x=3連續(xù).必須先由連續(xù)性定出3a+b=9,在此條件下就可得 f_(3)=a高階導(dǎo)數(shù)與〃階導(dǎo)數(shù)的求法常見的五個(gè)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式：(e或+")(")Ma%""(sin(ax+h))<n>=a"sin(ax+b+￡■)(cos(ax+Z?))(n)=a"cos(ax+b+—)(\n\ax+(\n\ax+b\)M=(_1)"T(〃-l)!。"

(ax+b)n（（ax+6），）＜"）=P（夕—1）…+l）a"（ax+6）比“§3一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（微分）概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】設(shè)f（x）=x",在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸的交點(diǎn)為（*0）,則師/?）=【例2】若周期為4的函數(shù)/（X）可導(dǎo)且XT。2x則曲線y=/（x）在點(diǎn)（5,f（5））處的切線斜率％=.【例3】設(shè)y=/（x）由方程?2-cos（xy）=e-l所確定，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,1）處的法線方程為.【例4】已知曲線〃的極坐標(biāo)方程為o=2sin,，點(diǎn)M）的極坐標(biāo)為（1,-）,則點(diǎn)M）處「的切線的直角坐標(biāo)方程為.【分析一】（數(shù)學(xué)一，二）點(diǎn)M,在「上，直角坐標(biāo)為：x0=pcosOTOC\o"1-5"\h\z6x0=pcosO=—?No“sin。(i.i) 2o廠的參數(shù)方程為＜x=2sinffcosO=sin20廠的參數(shù)方程為＜y=2sin。sin0=1—cos20廠在"o點(diǎn)處的切線的斜率：業(yè)=2sin2￡=tan4=Jidr22cos20 36 6〃在M)處的切線方程y=g+y/3(x- 即y=V3x-1.【分析二】廠的方程可化為22sin。，于是"的隱式方程為W+y2=2y.由隱函數(shù)求XTOC\o"1-5"\h\z導(dǎo)法，得2x+2yyr=2y\yf= .l-y(x0,%)=(日，3)代入得/(年)=百，于是切線方程為? ny=—+yJ3(x )即y=V3x-1.2 2第三講一元函數(shù)積分學(xué)一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖不定積分卜|幾何意義與物理意義

八U原函數(shù)的存在前［-1^1r定積分冗荷意義與警意義-1函數(shù)的可積性?不定積分卜|幾何意義與物理意義

八U原函數(shù)的存在前［-1^1r定積分冗荷意義與警意義-1函數(shù)的可積性?■反常積分卜質(zhì)積分與暇積分（收斂與發(fā)散的定反/一「-一元函甄積分考等式表不的與不等式表不的I,分癱翔",奇函數(shù)與周期函數(shù)的積分性質(zhì)I?非負(fù)連續(xù)函數(shù)的積分性質(zhì)|心八才頓―萊布尼茨公式］'~~變限積分所定義的函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性及求導(dǎo)公式|H基本積分表一積分一計(jì)苴一. .」積分法則+極限運(yùn)直鋼U反常積分的計(jì)闈—I, ,.若干基本的反常積分的斂散性I簡(jiǎn)式積>最分的分平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體的體積IH1S}-平面曲線的孤長(zhǎng)與曲率,曲率圓，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，平面截面積已知的立體體積（只對(duì)數(shù)一、數(shù)二）H1S}-|物理應(yīng)用（只對(duì)數(shù)一、敵二）|■度力作功、引力、壓力、質(zhì)心、函數(shù)平均倒T簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用（只對(duì)數(shù)三、數(shù)函二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①不定積分、原函數(shù)及定積分概念，特別是定積分的主要性質(zhì).②兩個(gè)基本公式：牛頓―萊布尼茲公式，變限積分及其導(dǎo)數(shù)公式.③熟記基本積分表，掌握分項(xiàng)積分法、分段積分法、換元積分法和分部積分法計(jì)算各類積分.④反常積分?jǐn)可⑿愿拍钆c計(jì)算.⑤定積分的應(yīng)用.一元函數(shù)積分學(xué)的基本概念與基本定理.原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)：(1)定義.若尸(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=/(x)在某區(qū)間上成立，則稱尸(X)是八X)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)：f(x)的全體原函數(shù)稱為/(x)的不定積分，記為j/(x)ck.(2)原函數(shù)與不定積分的關(guān)系.若已知尸(x)是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則j/(x)ch=F(x)+C其中C是任意常數(shù).(3)求不定積分與求導(dǎo)是互為逆運(yùn)算的關(guān)素，即(]7(尤)(1?=/(x)或dj/(x)dx=f(x)dxJ/(x)dr=F(x)+C或JdF(x)=F(x)+C其中C也是任意常數(shù).(4)不定積分的基本性質(zhì)：J好'(x)dx=k (x)dx (常數(shù)k豐0)J[/(x)+g(x)]dr=j/(x)dx+Jg(x)dr.定積分的概念與性質(zhì)：(1)定義.設(shè)a=XoVX]Vx2V…Vx0=b,令必=x：-演_1,2=max{Ax(.},若對(duì)任何。6[4],七]有!吧百/?)田存在，則稱/(X)在M，句上可積，并稱此極限值為f(X)在[。，句上的定積分，記為f/(x)dx=lim?/?)M定積分的值與積分變量的名稱無關(guān)，即把積分變量x換為r或“等其他字母時(shí)，有f/(x)ck=￡/(z)dr=￡/(M)d?另外，約定［/(x)dr=O,//(x)dr=—［/(x)dr.(2)可積性條件.可積的必要條件：若f(x)在［a,加上可積，則f(x)在［a,句上有界.可積函數(shù)類(可積的充分但非必要的條件)：1°f(x)在［a,句上連續(xù)，則/(X)在［a,句上可積：2°/(x)在［a,句上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則/(x)在［a,b］上可積.(3)定積分的幾何意義：設(shè)/(X)在［a,b］上連續(xù)，則j/(x)dx表示界于x軸、曲線y=/(x)以及直線x=a,x=b之間的平面圖形面積的代數(shù)和，其中在x軸上方部分取正號(hào)，在x軸下方部分取負(fù)號(hào).特別，若/'(x)在⑶句上連續(xù)且非負(fù)，則//(元)dx表示x軸，曲線y4(x)以及直線》=a,x=b圍成的曲邊梯形的面積.(4)定積分有以下性質(zhì)：1°線性性質(zhì)：若f(x),g(x)在［a,句上可積，且A、8為兩個(gè)常數(shù)，則Af(x)+Bg(x)也在［a,b］上可積，且j［A/(x)+8g(x)dr=4 +8jg(x)dr.20對(duì)積分區(qū)間的可加性：若/(x)在由a、b、c三數(shù)構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則￡/(x)dr=［/(x)dr+f/(x)dx3°改變有限個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值不改變可積性與積分值.4°比較性質(zhì)：若/(x),g(x)在［a,切上可積，且/(x)Wg(x)在［〃，匕］上成立，貝IJ進(jìn)一步又有：若f(x),g(x)在［〃，句上連續(xù)，且f(x)Wg(x),f(x)Wg(x)在［a,句上成立，貝I」j/(x)cbVjg(x)dx若在［a,句可積，貝IJ"(x)I在［a,句可積且 Wp/(x)ldx.5°積分中值定理:若/U)在［a,句上連續(xù)，則存在&G(a,b),懈f/(x)dx=/C)3-a).變限積分，原函數(shù)存在定理，牛頓―萊布尼茲公式：(1)變限積分的連續(xù)性：若函數(shù)/(X)在［a,句上可積，則函數(shù)。(x)=f力在［a,b］上連續(xù).(2)變限積分的可導(dǎo)性，原函數(shù)存在定理：若函數(shù)/(x)在［a,句上連續(xù)，則函數(shù)O(x)=，/?)力就是f(x)在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)，即。'(X)=/(x),Vxe［a,b］.(3)不定積分與變限積分的關(guān)系.由原函數(shù)存在定理可得.若/(x)在［a,b］上連續(xù)，則不定積分\f(x)dx=f(t)dt+C,其中xoeM，句為一個(gè)定值，C為任意常數(shù).(4)牛頓―萊布尼茲公式：設(shè)/(x)在修上連續(xù)，/⑴是/(x)在功上的任一原函數(shù)，則「/(x)dx=b(x)"=/(切-尸(a).這個(gè)公式又稱微積分基本公式.推廣形式：設(shè)函數(shù)f(x)在口，用上連續(xù)，F(xiàn)(x)是/(X)在(〃，b)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，又極限尸(4+0)和尸(6—0)存在，則￡f(x)dx= -Q=F(b-°)-F(a+°)-(5)初等函數(shù)的原函數(shù).周期函數(shù)與奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：(1)周期函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)/(x)在(-8,+8)連續(xù)，以r為周期，則1。/(x)dx=￡/(x)dr(a為任意實(shí)數(shù))2°ff(r)dr以T為周期。f/(x)dx=O3°j/(x)dx(BP/(x)的全體原函數(shù))為7■周期的。j/(x)ck=O【證明】10證法哈「〃x)d*/(a+T)-f(a)=0nfa+T ?+r fT［f(x)dx=￡f(x)dx4_0=￡f(x)dx.證法2JTf(x)dx=J/(x)dx+Jf(x)dx+^af(x)dx,其中(T+a pT+a 《=丫一/pci fiijf(x)dx=f/(x-r)dx.ff(s)d手￡/(x)dx代入上式得j”f(x)dx=ff(x)dx+￡/(x)dr+￡f(x)dx=￡f(x)dx。(此種證法不必假定/(x)連續(xù)，只須假定/(x)在［0,T］)可積).2°f/⑺也以T為周期o『/⑺山一口⑴山=『7/⑴山鷺［〃。也=03°只須注意j/(x)dx=Jr/(r)dr+C,J'/(f)df是f(x)的一個(gè)原函數(shù).例(08,數(shù)三，數(shù)四)設(shè)/(戈)是周期為2的連續(xù)函數(shù).(I)證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)t,有f(x)dx=ff(x)dx;

(U)證明G(x)=f2/(，)-「2/(s)ds力是周期為2的周期函數(shù)?！痉治雠c證明】(I)(它是結(jié)論1°的特例，a=2,見證明1°)(II)由題(I)的結(jié)論，=>G(x)=f2/?)力-xf/(s)ds由于對(duì)Dx,G(x+2)—G(x)=f~2/(f)dr-(工+2)f/(s)ds-(f2/Q)力-xf/(s)dsnG(x)是周期為2的周期函數(shù).(2)奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)：設(shè)f(x)在［—a,a］連續(xù)，且為奇函數(shù)或偶函數(shù)［0 (/(x)為奇函數(shù))1°ff(x)dx=\L12Jf(x)dx(/(x)為偶函數(shù))令F(x)=［：/(x)d令F(x)=［：/(x)d，則=F(x)<'為偶函數(shù)若為奇潮苗)

為奇函數(shù)若為偶附數(shù)c)3°若f(x)為奇函數(shù)，則在［—a,a］上/(x)的全體原函數(shù)為偶函數(shù).若f(x)為偶函數(shù)，則在［—a,a］上/(x)只有惟一的一個(gè)原函數(shù)為奇函數(shù)【證明】2。設(shè)/(x)為奇函數(shù).證法1.考察0(x)=F(x)-F(-x),則。'(x)=F'(x)+F'(-x)=f(x)+f(-x)=0(xe［-a,a］=>0(》)=常數(shù)=。(0)=0=>尸6)=/(一工)(乂€［—。，a］),即尸(x)為偶函數(shù).證法2.F(-x)=￡f(Z)dr=￡-f(-t)dt———f(s)ds=F(x),xe［—a,a］),即F(x)為偶函數(shù).(此種證法只須假設(shè)f(x)在［-a,a］可積)3。只須注意］7(x)dx=1/(r)dr+C,并利用2。的結(jié)論.【例1】^xf(x)dx=arcsinx+C,則J,：)dr【分析】【例2】f\ex)=xe-x,且>⑴=0,則/(尤)【分析】【例3】設(shè)/(%)的導(dǎo)數(shù)是sinx,則/(x)的原函數(shù)是【分析】【例4】設(shè)/(x)連續(xù)，f(x)=x+2j/(x)dx,則/G)=【分析】【例5】下列命題中有一個(gè)正確的是.(A)設(shè)/(x)在［a,b］可積，f(x)20,至0,則￡f(x)dx>0.(B)設(shè)/(X)在［a,bl可積，［a,￡］u［a,b］,則 |/U)dx.(C)設(shè)在［a,句可積,則/(x)在［a,一可積.(D)設(shè)於)在［a,Z>］可積，g(x)在［a,刈不可積，則/)+g(x)在［a,/?］不可積,【分析1】/(x)在［a,b］可積，g(x)在［a,b］不可積=>/(x)+g(x)在［a,b］不可積.反證法.若不然，則/)+g(x)在［a,刈可積，由線性性質(zhì)ng(x)=［/(x)+g(x)］—f(x)在

［a,b］可積，得矛盾，選(D).【分析2】舉例說明(A),(B),(C)不正確.由(A)的條件只能得j/(x)dr20.［a,b］可積，得矛盾，選(D).【分析2】舉例說明(A),(B),(C)不正確.由(A)的條件只能得j/(x)dr20.如，(a,b)Q1.xw[a,b],x^xQ,

x=x0=>/*(x)20,W0(xe[a,/?]),但j/(x)dx=0.(A)不正確.關(guān)于(B),請(qǐng)看右圖，由定積分的幾何意義知f/(x)dx<0,，/(x)ck>0,(B)不正確.這里［a,c［a,h］,但，/(x)dx>f/(x)ck.關(guān)于(C),是f(x)與|/(x)|的可積性的關(guān)系.f(x)在［a,切可積總|/(刈在⑶句可積如f(x)=<I尤為有壬里數(shù)''乂 =1在［人刃可積，但/(x)在［a,力不可積，(C)不-1,x為無理數(shù)正確，因此選(D).【例6】判斷積分值的大小:_r2 2i *ecos-xdx,J-F”-x2 2Aecosxdx【分析】【例7】把積分值①f"(a)(x-a)]dr②(f(x)dx③f/(a)dx按大小排序，其中1 b-a 衛(wèi)f(x)在[a,b]上滿足:/(x)>0,fr(x)>0,fn(x)<0.【分析】【例8】設(shè)尸(x)=『2"戶皿sind則尸a)(A)為正數(shù). (B)為負(fù)數(shù).(C)為0. (D)不為常數(shù)-(x2+l),若OWxVl【例9】設(shè)g(x)=￡f(u)du,其中/(x)=「 則g(x)在區(qū)間(0,-(x-1),若2)內(nèi)(A)無界.(B)遞減.(C)不連續(xù). (D)連續(xù).【分析】這是討論變限積分的性質(zhì).已知結(jié)論可以用：若/(x)在［a,b］可積，則g(x)=f/(“)d”在［a,b］噬，9/(x)在［0,2］可積(有界，只有一個(gè)間斷點(diǎn))，則g(x)=在［0，2］連續(xù).選(D)..利用定積分求某些〃項(xiàng)和式的極限［例10］limIn"(1+-)2(1+-)2.-(1+-)2= .\nn n§2基本積分表與積分計(jì)算法則§3積分計(jì)算技巧【例1］求/=『|sinx-cosx|dx.【例3】求/=【例3】求/=psin°xdx,n為自然數(shù).【例5】求/=￡|sinx\arctanexdx.2n【解】/==二，sin"arctane'ck22/=j^|sinx|[arctaner+arctane-t]dx=^,2psinxdx=n,/ .§4反常(廣義)積分1.基本概念(1)若limf/(x)dx3,稱「/(幻dx收斂，并記

「"(x)dr=lim『f(x)dx 否則稱「"(x)dr發(fā)散.TOC\o"1-5"\h\zJ/ At+co4/ Ji若Jimp(x)ck3,稱,/(x)dr收斂，并記f/(x)dr=Jimj/(x)dx 否則稱//(x)dx發(fā)散.fll 什8 #8若f/(x)dr,［/(x)dx均收斂，稱「/(x)dx收斂J-X all j-oo且r7(x)dr=r/(x)dx+r/(x)dx.否則稱「/(x)dx發(fā)散.J-00 J-00 J/ J-00(2)設(shè)/(x)在(a,b］內(nèi)V閉子區(qū)間可積，在。點(diǎn)右鄰域無界，若m極限limf/(x)dx,￡T0+L+￡稱f/(x)dx收斂，并記f/(jr)dr=limf/(x)dr 否則稱f/(x)dr發(fā)散.這里x=a稱為瑕點(diǎn).若b為瑕點(diǎn)，類似定義//(x)dr.設(shè)/(x)在［a,c)(c,b］內(nèi)V閉子區(qū)間可積，在x=c?鄰域無界.若［/(x)dx,f/(x)dx均收斂，稱，/(x)dx收斂.且￡f(x)dx=_［/(x)ck+j"f(x)dx. 否則稱f/(x)dr發(fā)散.(3)幾個(gè)重要的反常積分.收斂。＞1)發(fā)散(4W1)2°a>l,3°dr收斂(4V1)［發(fā)散(％3°dr收斂(4V1)［發(fā)散(％21)5°sinxdx,Icosxdx,sinxdx,cosxdx均發(fā)散【例1]反常積分( )發(fā)散.(A)f旦(B) (C)Fe-2dx(D)r-l-dxLsinx -J12 上xln2x【例2】下列命題中正確的有個(gè).(1)設(shè)/(X)在(-8,+8)連續(xù)為奇函數(shù)，則r/(x)dx=0.J-8(2)設(shè)/(x)在(—8,+oo)連續(xù)，limI*/(x)dr存在，貝ij「/(x)dx收斂.Rf+ooJ-/?(3)若「/(x)dx與「g(x)dr均發(fā)散，則不能確定「"(x)+g(x)]dr是否收斂.(4)若f,/(x)dx與「/(x)dx均發(fā)散，則不能確定「/(x)ck是否收斂.【分析】要逐一分析./(x)在(-8,+oo)連續(xù)，Mr/(x)dx收斂.例如f(x)=sinx在(-8,+oo)J-co連續(xù)，為奇函數(shù)，但「sinxck發(fā)散.(1)是錯(cuò)的.f(X)在(-8,+oo)連續(xù)，「/(x)dr收斂3Mp￡/(x)dx存在如/(x)=sinx,lim/?—>-HXsinxdx=0,但如/(x)=sinx,lim/?—>-HXR J-x故(2)是錯(cuò)誤的.(3)正如兩個(gè)函數(shù)的極限均不存在，但它們相加后的極限可能存在，也可能不存在一樣,若[/(X)心，￡g(x)dr均發(fā)散，則不能確定，"(x)+g(x)]dx是否收斂.如/(x)=二+，，g(x)=—,則「f(x)dx,fg(x)dx均發(fā)散,但「"(x)+g(x)]ck=「當(dāng)TOC\o"1-5"\h\zxxx』 J J 4x收斂.若取g(x)=-JlJ「"(x)+g(x)]ck=「[±+2](k發(fā)散.因此(3)是正確的.XJ JXX(4)按r7(x)dx斂散性的定義，僅當(dāng)ff(x)dx,「"。)心均收斂時(shí)，「7(x)dx才J-00 J-X J) J-00是收斂的，否則為發(fā)散.因此，f 均發(fā)散時(shí)「/(x)dx是發(fā)散的.(4)也不正確.共有1個(gè)是正確的.2.廣義積分的計(jì)算【例3】求/=dxx(l+x2)-【例3】求/=dxx(l+x2)-【例4】求/=b(1+婷)2【例5】求/=fXy/X-\【例6】求/=*(l+xn)Vl+x§5一元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用1.?元函數(shù)積分學(xué)的幾何應(yīng)用【例1】曲線L?:y=l-x2 x軸和y軸所圍區(qū)域被L2:y=ax2(a>0)分成面積相等的兩部分，確定。的值.

【解】先求L］與L?的交點(diǎn)(%o*yo)：被分成的兩部分面積分別記為4,S2，SI=r，［(l-x【解】先求L］與L?的交點(diǎn)(%o*yo)：被分成的兩部分面積分別記為4,S2，SI=r，［(l-x2)-av2］dx=--rl=□ 9S,+S2=J(l-A：2)(k=-由S1=S2nS|=§na=3,【例2】求由i+y2《2r與y2x確定的平面圖形繞直線X=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解一】該平面圖形可表示為O={(x,y)IOWyWl,l-J——Wy},在此平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體中縱坐標(biāo)滿足y^y+dy的一層形狀為圓環(huán)形薄片，其外半徑為l-Jl-y?-2=l+Jl-y2,內(nèi)半徑為卜一2|=2-y,從而，這個(gè)圓環(huán)形薄片的體積為dV=n[(l+J]_y2)2_(2-y)2]dy.故旋轉(zhuǎn)體的體積為卜=兀1[(l+71-y2)2-(2-y)2]dy=無'[(25/1-y2+4y-2y2-2]dy=7t(^-1).【解二】該平面圖形可表為。={(x,y)I。Wx<1,x<yWJ2x-x：}作垂直分割，［x,x+dx］u［0,1］相應(yīng)的小豎條繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的體積微元dV=2n(2-x)yl2x-x2dx-2n(2-x)xdx于是，整個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積丫=2兀(.Tndx?atfx2--xxx 4y0【例3】求曲線r=4sii?—的全長(zhǎng)(a>0).(只對(duì)數(shù)一，數(shù)二)3TOC\o"1-5"\h\zQ n n【解】r=asin3—以6兀為周期.在［0,6兀］中，r20<=>0g［0,3k］.r'(6)=asin2—cos—,3 3 3nnn nr2(0)+rt2(0)=a2［sin6y+sin4ycos2不］=〃2sin4§于是，曲線的全長(zhǎng)L=f"J/(e)+r'2(e)d。=asin2gde=T兀。.曲線C是光滑，選定一端點(diǎn)作為度量弧S的基點(diǎn)。曲線C上每一點(diǎn)M對(duì)應(yīng)有弧長(zhǎng)S,點(diǎn)M

處切線的傾角為a=cr(s),稱長(zhǎng)=da

ds為平面曲線C在點(diǎn)M處切線的傾角為a=cr(s),稱長(zhǎng)=da

ds為平面曲線C在點(diǎn)M的曲率，P=!為C點(diǎn)M的曲率半徑，過點(diǎn)M作曲線C的法線，在曲線凹的一側(cè)，在法線上取一點(diǎn)D,便麗=P，以。為圓心，。為半徑作一個(gè)圓，稱它為曲線C在點(diǎn)M處的曲率圓，圓心。稱為曲率中心。設(shè)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=y(x),y(x)二階可導(dǎo)，則曲率K=—=—ds (1+嚴(yán)嚴(yán)曲線C上點(diǎn)M(x,y(x))的曲率中心(a,萬)是a一…)

y"【例4】設(shè)在很大的池中放有兩種液體，上層是油，比重")<1,厚度為hi，下層是水，厚度為〃2(>2滅)，現(xiàn)有半徑為R,比重夕(p>l)的球沉入池底，如將球從液體中取出需作多少功？(設(shè)移動(dòng)過程中兩種液體厚度均不變).(只對(duì)數(shù)一，數(shù)二)【解】設(shè)球心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸正向垂直向匕建立坐標(biāo)系如圖，可把球上xfx+dx的一個(gè)薄片看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)把球從池底完全取出液體的過程中，該薄片在水中移動(dòng)的距離是后一(R+x),這時(shí)外力的大小是重力減去浮力即(夕一1)兀(/?2-/)心，該薄片在油中移動(dòng)的距離是陽,這時(shí)外力的大小是(p-paW2-x2)dx；該薄片在空氣中移動(dòng)的距離是R+x,這時(shí)外力的大小是a(R2_x2)(k,故出取出該薄片的過程中需作功：dW=[(p-l)(/i2-/?-x)+/j,(p-p0)+(/?+x)p]n(R2-x2)dr從一/?到R積分dW,并利用奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零的性質(zhì)和球體積公式可得到將球從液體中取出需作的功：w=fdW=[(p-l)(/i2-/?)+(p-+pR]￡7T(R2-x2)dx4 ,=-7i/?[(p-l)(/i2-/?)+(p-p0)/i,+pR].平面曲線的質(zhì)心(形心)公式(數(shù)一，數(shù)二)：設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面曲線福，其線密度為常數(shù)p，參數(shù)方程x= 夕)，其中夕⑺，材⑴在[a,夕]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則筋的質(zhì)心p，參數(shù)方程7=^(0平面圖形的質(zhì)心(形心)公式(數(shù)一，數(shù)二)：設(shè)有平面圖形：g(x)勺(x),其中/(x),g(x)在團(tuán)，封連續(xù)，質(zhì)量均勻分布，面密度為常數(shù)，則它的質(zhì)心&J)：-fx"(x)-g(x)]dr_J]，*)—，。)比TOC\o"1-5"\h\zx=% ，y=-^—7 .f"(x)-g(x)]<k f"(x)-g(x)]dx【例5】(數(shù)一，數(shù)二)質(zhì)量均勻分布的平面光滑曲線筋，全長(zhǎng)/,以A點(diǎn)作為計(jì)算弧長(zhǎng)的起點(diǎn)，取弧長(zhǎng)s為自變量，參數(shù)方程為x=x(s),y=y(s)(O&</).(I)寫出窗的質(zhì)心&J)的積分表達(dá)式.(H)筋在x軸上方，證明篇繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè) ，[面積等于曲線府的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長(zhǎng)乘以曲線后的弧長(zhǎng)/.(III) /人求圓周x2+(y-a)2=R2(a>R>o)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的圓環(huán)體的側(cè)面積a. (卜)【解】(I)用微元法可導(dǎo)出府的質(zhì)心G5)的表達(dá)式x=1/x(s)ds,y=lfy(s)dj.(H)由題(I)得2兀亍?/=2兀jy(s)ds等式右端即筋繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，左端正是府的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長(zhǎng)與/之積，因此結(jié)論成立.(III)由題(II),又質(zhì)心丘,亍)=(0,。)，圓周長(zhǎng)為/=2兀R,于是圓環(huán)體的側(cè)面積A-2ityl-2na-2tiR-4it2aR.§6積分等式與不等式的證明【例1】設(shè)f(X)在[。，村有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(a)=f'(a)=0,求證明:【分析與證明】【證】用分部積分法￡f(x)dx=1/(x)d(x-h)= f'(x)(x-b)(\x=--b)d(x-b)-1,)bl(h. ,=—fW(x-b)2+-\f(x)(x-bydx2 a2A

【例2】0VaVb,f(x)在[4,b]連續(xù)，并滿足：/(——)=/(x)(Vxg[6Z,h]),求證f/(x)—dr=UX【證】用換元積分法.令乂=也,貝IJ得Xarbctbra,M—,故I=f/U)—dr=-")釁+ff/(OlnW-lnfd/=ln(^)f^dx-/t x于是/=；ln(ab)f/Wx.【例3】設(shè)/(x),g(x)在口，切連續(xù)且滿足f/(r)dr2fg(1)df,x￡[a,/?]f/(r)dr=fg(r)dr求證：J#(x)<k<Jxg(x)dr.【分析與證明】已知f"(r)-g(r)W20，xe[a,b](*)j"(f)-g(f)ldf=O要證：jx[g(x)-/(x)]dx20.因 ￡x[g(x)-/(x)]dx=-fxd(f"(r)-ga)d〃)^S(-x/[/(/)-g(r)dd)"+f(r[/(O-g(r)]dr)cU=『(1"(，)-g?)由心所以將(*)式從。到b積分即得證.元函數(shù)微分學(xué)中的基本定理及其應(yīng)用（條件，結(jié)論與幾何意義）函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)I柯西中值定理它們之間的關(guān)系函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化羅爾定理與拉格朗日中值定理微分中值定理第四講、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖費(fèi)馬定理導(dǎo)致定義微分學(xué)中的基本定理及其應(yīng)用羅爾定理曲線凹凸性與曲線的切線的關(guān)系利用二階導(dǎo)數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、重點(diǎn)考核點(diǎn)這部分的重點(diǎn)是：①羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其應(yīng)用.②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（函數(shù)為常數(shù)，單調(diào)性與極值點(diǎn)，凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線）.③最值問題及應(yīng)用題.④利用微分學(xué)方法證明函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)零點(diǎn)的存在性并確定個(gè)數(shù)，證明函數(shù)不等式等.§1一元函數(shù)微分學(xué)中的基本定理一中值定理費(fèi)馬定理：設(shè)f(X)在X=XO取極值，/(%)存在=>/'(/)=0羅爾定理：設(shè)/(x)在［a,b］費(fèi)馬定理：設(shè)f(X)在X=XO取極值，/(%)存在=>/'(/)=0羅爾定理：設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且/(。)=/@)=存在。€(4,b),使徼<C)=0.拉格朗日中值定理設(shè)/(x)在［a,h］連續(xù)，在(①可導(dǎo)=存在。€(a,i)使得吟耳分)

b-a柯西中值定理b)設(shè)/(x),g(r)在La,g'(x)H0,=存在c€/(i)-/(?)/⑹2?］連續(xù)，在(a,b)(a,6)使得g。)-g(a)gf(c)(A)(B)(C)(A)(B)(C)(D)【例1】設(shè)/(x)在(a,b)可導(dǎo)且a〈Xi〈X2<b,則至少存在一點(diǎn)c使( )成立.f(b)-f(a)=f'(c)(b-a\a<c<b)f(b)-f(x,)=f'(c)(b-x,)(x,<c<b)f(x2)-f(xl)=f，(c)(x2-xt)(x)<c<x2)f(x2)-f(a)=f'(c)(x2-a)(a<c<x2)【例2】回答問題：設(shè)f(x)在［a,句有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)且/'(a)=/'(b),又f(x)在(a,b)二階可導(dǎo)，是否存在ce(a,b)使得U(c)=O,為什么？【分析】【例3】設(shè)f(x)在x=xo磔，在(/一反生+S)除xo點(diǎn)可導(dǎo)且limf'(x)=A,求證f'(xo)=A-【分析與證明】§2微分中值定理的應(yīng)用——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化.函數(shù)為常數(shù)的條件與函數(shù)恒等式的證明.函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)(1)函數(shù)的單調(diào)性的充要判別法.設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則f(x)在［a,句單調(diào)不減(單調(diào)不增)u>/'(x)20(〈0),Vxe(a,b).f(x)在［a,句單調(diào)增加(單調(diào)減少)=r_f(x)mO(WO),Vxe(a,h),2°在(a,b)的V子區(qū)間上f'(x)W0.(2)函數(shù)取極值的充分判別法.設(shè)/(x)在x=xo連續(xù)，在(X。-萬X。+S)\{x()}可導(dǎo)，當(dāng)尤e(x()-b,/)時(shí)/'(x)>0(<0).xe(x0,%+5)時(shí)/'(x)<0(>0),則x=xo是f(x)的極大(小)值點(diǎn).設(shè)/(x0)=0,f(xn)>0(<0),則x=x0是f(x)的極小(大)值點(diǎn)..函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)(1)函數(shù)的凹凸性的充要判別法.設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，f(x)在［a,切是凸(凹)的：f(x)<f(x0)+f(x0)(x-x0)(Vx,x0G(a,b),x^x0)(>)(曲線y=/(x)(a<x<b)在V點(diǎn)處的切線除該點(diǎn)外總在曲線的上方(下方)).=f'(x)在(a,b)是單調(diào)減(增)函數(shù).設(shè)f(x)在［a,b］連續(xù),在(.a,b)二階可導(dǎo)，則f(x)在［a,句是凸(凹)的U>f(x)W0(20),xe(a,b),又在(a,b)的V子區(qū)間上f"(x)=0.(2)拐點(diǎn)的充分判別法與必要條件.設(shè)/(x)在xo鄰域連續(xù)，在x=x()兩側(cè)凹凸性相反，稱(x0,f(x0))是曲線y=/(x)的拐充分判別法1°設(shè)/(X)在X=X0鄰域連續(xù)，在X=Xo空心鄰域二階可導(dǎo)，且/"(X)在x=Xo兩側(cè)變號(hào)，則(xo，f(xo))為y=/(x)的拐點(diǎn).2。/"(幻=0,r3)(與)#0,則(即，f(%0))為y=f(x)的拐點(diǎn).必要條件設(shè)(xo,/(xo?為y=/(x)的拐點(diǎn)，則/"(x)=0或/〃(與)不存在.【例1】設(shè)/(x)在［0,1］上/"(x)>0,則()成立.(A)尸⑴>((0)>/(1)-/(0) (B)/⑴>/(1)-/(0)>尸(0)(C)/(D-/(0)>r⑴>/(0) (D)(⑴>/(0)-/(I)>廣(0)【例2】設(shè)/(x),g(x)恒正可導(dǎo)且/'(x)g(x)-/(x)g'(x)<0,則當(dāng)aVx<1時(shí)有(A)f(x)g(b)>f(b)g(x) (B)/(x)g(a)>/(a)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b) (D)f(x)g(x)>f(a)g(a)44【例3】設(shè)/(x)在x=0某鄰域連續(xù)且/(O)=0,limn工2-=2,則/(x)在x=0101-cos).(A)不可導(dǎo) (B)可導(dǎo)且((0)工0(C)有極大值 (D)有極小值【例4】設(shè)/(X)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/'(0)=0,lim岑2=1，則( )成立…。\x\f(0)不是/(x)的極值，(0,/(0))不是y=/(x)的拐點(diǎn)f(0)是/(x)的極大值f(0)是/(x)的極小值(0,f(0))是y=/(x)的拐點(diǎn)【例5】設(shè)/G)滿足f"(X)+夕(X)?=x且/'(0)=0則f(0)是/(x)的極大值f(0)是/(x)的極小值(C)點(diǎn)(0,f(0))是y=/(x)的拐點(diǎn)(D)/(0)不是/(x)的極值，(0,f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)【例6】設(shè)f(x)在(a,b)可導(dǎo)，求證：/'(X)在(a,b)為減函數(shù)of(x)<f(%o)+fr(x)(x—xo),Vx,x0g(a,b),x^x0.【分析與證明】(1)設(shè)/'(x)在(a,b)為減函數(shù),nf(x)—\f(x0)+/r(x0)(x-x0)]=[f'^)-fXxo)Yx-xo)<O(Vx,x0e(a,b),x#/),其中由微分中值定理知，亞在X與沏之間，/(X)-/?(即)=f'(^)(x-x0).(2)設(shè)對(duì)Vx,x0e(a,b),xa,f(x)<f(x0)+f\xQ)(x-x0).現(xiàn)對(duì)Vx〕<x2xi，Me(a,b)-有f(X1)<f(x2)+f'(x2)(xl-x2)f(X2)<f(X,) +/，(X1)(X2-X])雨式相加得(/'(斗)一/'(%2))(*2一%1)>°n/'區(qū))>/'(》2)，即/'(x)在(a，b)為減函數(shù).【例7】 求>=(x+6)9的單調(diào)性區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性區(qū)間，拐點(diǎn)與漸近線.【解】1)定義域x#0,間斷點(diǎn)x=0.,；(x+2)(x-3) 〃 ；13x+6TOC\o"1-5"\h\z2)y=ex z ，y=ev t—x x由y'=。得x(-8,-2)=-2,/一2r=3,由y〃=0；(-2,--)13歌=W(--,0)130(0,3)3(3,+03)+0不m0+yH0+不m+++y月調(diào)增區(qū)間：及大值點(diǎn)x=極大值（-8,—2,相-2],[3,+00)Z小值x=3.拐點(diǎn)單調(diào)減區(qū)間［—2,0),(0,3].極小值7TOC\o"1-5"\h\z6 6 6 72--凹區(qū)間：（一8,一一］,凸區(qū)間［一一，0）,（0,+oo）,拐點(diǎn)（一一，一e6）.13 13 13 133)只有間斷點(diǎn)x=0,limy=+8=>x=0是垂直漸近線.XT0+vx+6- 1 Llim-=lim---ex=1lim(y-x)=lim[(x+6)ex-x]=limx[er-l]+6=l+6=7XT8xXT8x IS XT8 XT8還有斜漸近線y=x+7.§3一元函數(shù)的最值問題Jl. .【例1】求/(x)=x+2cosx在[0,一]上的最大值.【例2】某公園在?高為a米的雕塑，其基高為b米，試問觀賞者離基座底部多遠(yuǎn)處，使得其視線對(duì)塑像張成的夾角最大，設(shè)觀賞者高為h米.§4微分中值定理的應(yīng)用——證明不等式【例1】試證：x>0,工#1時(shí)(f—1)\nx>(x—1)2.【例2】設(shè)f(x)在[0,1]可導(dǎo)，f(0)=0,0</r(x)<L求證：(p(x)dx)2>p3(x)d.r【分析與證明1】引進(jìn)輔助函數(shù)尸(x)=(f/(r)dr)2-f/3(/)dr要證：F(x)>0(xe(0,1]).由條件知，f(x)在[0,1]單調(diào)上升，f(x)>/(0)=0(xe(0,1]).從而F'(x)=/(x)[2p(Odr-/2(x)]與g(x)=21/Q)d-r(x)同號(hào).又因g(0)=0,g'(x)=2f(x)[\-f'(x)]>0(xe(0,1)])ng(x)在[0,1]單調(diào)上升，g(x)>g(0)=0(xe(0,1]),=>F\x)>0(xg(0,1])=>F(x)>F(0)=0(xe(0,1]).因此尸(1)>0,即結(jié)論成立.【分析與證明2】要證/(r⑴口〉](由條件知,J)>o,XG(0,1])令廣(x) G(x)=則由柯西中值定理(。⑴")=(⑴一“))=2」(皿⑴dr=2f/(r)dr,3⑺出=G(l)-G(0)=GW=fX^)=「(J=就黑T木⑺出與八x)用柯西中值定理)I1Ian+lan-an+}an

【例3】設(shè)〃>1,〃21,證明：—~-<-—--v—.

(n+l)Ina§5微分中值定理的應(yīng)用——討論函數(shù)的零點(diǎn)【例1】 設(shè)有方程/+內(nèi)一1=0,其中也為正整數(shù)，證明此方程存在惟一正根x“，并求limxn.【例2】設(shè)/(x)在［a,bl要導(dǎo)，/；(?)/：(/?)<0,求證：存在ce(a,b),尸(c)=0【例3】設(shè)/(x)在［a,b］連續(xù)，在(a,b)二階可導(dǎo)，并在(a,b)內(nèi)曲線y=/G)與弦A8相交，其中4(〃，/(a)),B(b,f(b)),求證：存在Je(〃，6)使得了"(J)【例4】設(shè)/(x)在(-oo,+00)可導(dǎo),limf(x)=A9求證：存在(一oo,+8)使得((4)X—>±ao0.【例5】設(shè)/(x),g(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)且g(a)=0,/(b)=0,b)時(shí)/(x)WO,g(x)WO,求證：存在《e(a,b)使得/垃=一旦也./《)g@【例6】設(shè)函數(shù)/(x),g(x)在口，句上連續(xù)，在(mb)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，/(a)=g(a),f(fe)=g(h),證明：存在Je(a,b),使得了"(J)=g"C).【分析與證明一】令F(x)=f(x)-g(x)=>F(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，在題設(shè)條件下，要證存在Je(a,b),F"(J)=0.已知尸(a)=F(b)=0,只須由題設(shè)再證3cg(a,b),F(c)=0.設(shè)三1]￡(a,b)M=max/(x)=/(xj,*2w(〃，材=maxg(x)=鼠/).若[a.b