勾股定理的論文

.z.摘要：勾股定理是幾何學(xué)中一顆光榮熠熠的明珠，充滿著魅力。它被世人稱為"幾何學(xué)的基石〞，是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。它是我們?nèi)祟惞餐呢敻唬还苁枪虐＜叭?，古巴比倫，亦或是我們中國人最早發(fā)現(xiàn)了它，顯然不是任何一個民族的私有財產(chǎn)。勾股定理在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中有著極為廣泛的應(yīng)用。總之，在勾股定理的探索上，我們走向了數(shù)學(xué)科學(xué)的殿堂。關(guān)鍵詞：勾股定理，應(yīng)用Abstract：Pythagoreantheoremingeometryisagleamingpearl,fullofcharm.Itistheworldknownas"thecornerstoneofgeometry,"ishumanity'sgreatestscientificdiscoveriesoftheten.Itisourmonwealthofmankind,whetherancientEgyptian,Babylonian,orweChinesepeoplehavefirstdiscoveredit,isclearlynottheprivatepropertyofanynation.Pythagoreantheoreminhighermathematicsandotherdisciplineshasaverywiderangeofapplications.Inshort,thee*plorationofthePythagoreantheorem,wewenttothetempleofMathematicalSciences.Keywords:PythagorasTheorem，application目錄1引言……………………42內(nèi)容……………………43證明……………………43.1趙爽弦圖法………53.2*徽面積割補(bǔ)法…………………63.3畢達(dá)哥拉斯面積剖分法…………73.4歐幾里得邏輯推理法……………83.5婆什迦羅相似三角形法…………93.6加菲爾德梯形面積法…………104應(yīng)用…………………104.1中華牌345三角形……………114.2趣味古詩詞……………………124.3螞蟻怎么走最近………………14結(jié)論…………………15參考文獻(xiàn)………………16致謝……………………171引言勾股定理在中國稱為"商高定理〞，在外國又稱為"畢達(dá)哥拉斯定理〞。"周髀算經(jīng)"載商高〔約前十一世紀(jì)〕答周公曰："勾廣三，股俢四，徑隅五。〞相傳大禹治水是左手拿著準(zhǔn)繩，右手拿著規(guī)矩。準(zhǔn)繩、規(guī)矩都是測望山川上下遠(yuǎn)近的工具。人們對勾股定理的認(rèn)識也很早，不過勾股知識的大開展是在西漢，而三國趙爽，*徽方建立起了理論根底。公元前六世紀(jì)，古希臘著名哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在研究了許多直角三角形后，也意識到了這一定理。2內(nèi)容勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方。這個據(jù)說畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱"百牛定理〞。勾股定理在"九章"中的表述是"勾股數(shù)曰：勾股各自乘，并，而開方除之，即弦。〞即c=，又有a=、b=兩種形式。勾股定理的證明勾股定理的證明表達(dá)著不同的文化內(nèi)涵，假設(shè)將不同的證明思想相融合，可使古老的方法迸發(fā)出新的火花。數(shù)學(xué)史上關(guān)于勾股定理的最早證明記載于歐幾里得"幾何原本"，在中國古代數(shù)學(xué)中則是以算法形式呈現(xiàn)的。3.1趙爽弦圖法；三國時期東吳數(shù)學(xué)家趙爽，在給"周髀算經(jīng)"作注釋的時候突發(fā)靈感證明了勾股定理。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課本中對勾股定理的證明就是它的簡化。如圖，連接HB,HDBBGFEAHaaCDCDccb證明：∵S+S=c從而a+b=c∴a+b=c趙爽的證明直觀性強(qiáng)，簡潔明了，直到1150年國外相類似的證明才由印度數(shù)學(xué)家巴斯卡拉給出。3.2*徽面積割補(bǔ)法；在"九章算術(shù)"中，*徽用出入相補(bǔ)法論證了勾股容方，勾股容圓。證明："以勾股和b+a為邊長作正方形，稱為大方，面積〔a+b〕2〞；在其內(nèi)部作一中方，其頂點在大方每邊a,b的分點上，其邊長自然為c，面積為c2；在中方內(nèi)部作四個以a,b,c為邊長的勾股形，每個面積為ab，稱為朱冪。中方除去四個勾股形，余一個以b-a為邊長的正方形，稱為黃方，面積為〔b-a〕2，aabc大方有八個朱冪，一個黃冪，中方有四個朱冪，一個黃冪，因此，中方減去半個黃冪等于半個大方即〔b+a〕2=c2-〔b-a〕2化簡得a+b=c近代數(shù)學(xué)家們比擬趙爽和*徽的證明方法，發(fā)現(xiàn)二人有許多相似之處，由此推斷出他們兩個人有著直接的學(xué)術(shù)淵源，此后我國學(xué)者對勾股定理的證明不下二百種，但都受他們的影響。3.3畢達(dá)哥拉斯面積剖分法；據(jù)說最早證明勾股定理的人是畢達(dá)哥拉斯，可惜原稿已失傳。據(jù)說以下證明方法是他的方法。證明：做八個全等的直角三角形邊長分別為a,b,c，再做三個邊長為a,b,c的正方形，拼成如圖的兩個正方形。aabaaababbbabccbabacabcccba易得兩個正方形面積相等，邊長都為a+b，即a2+b2+4*ab=c2+4*ab整理得a+b=c3.4歐幾里得邏輯推理法；古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明方法在他的著作"幾何原本"中。這個圖形有人稱為新娘的轎椅，也有人稱之為修士的頭巾。證明：做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如下圖形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD.

過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.

HGHGcDEcDEABKCFabLM∠FAB

=

∠GAD，∴

ΔFAB

≌

ΔGAD，∵

ΔFAB的面積等于a,ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴

矩形ADLM的面積

=a同理可證，矩形MLEB的面積

=b.∵

正方形ADEB的面積

=

矩形ADLM的面積

+

矩形MLEB的面積

∴c=a+b

，即a+b=c3.5婆什迦邏相似三角形法；古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅給出了勾股定理的另一證法。如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.

BBCACADabc∵∠ADC

=

∠ACB

=

90o，∠CAD

=

∠BAC，∴

ΔADC

∽

ΔACB.AD∶AC

=

AC

∶AB，即

.AC=AD*AB同理，ΔCDB

∽

ΔACB，從而有BC=BD*AB.∴

即a+b=c

.

3.6加菲爾德梯形面積法；1876年加菲爾德在"新英格蘭教育日志"上發(fā)表了他對勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的"總統(tǒng)〞證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。E如圖ECCcbAcbAcacaDDabBabBS=〔a+b〕(a-b)=2*ab+c化簡得a+b=c下面就結(jié)合實例來講解勾股定理的應(yīng)用．4應(yīng)用利用勾股定理解題的一般步驟是：第一步，根據(jù)條件的特征，構(gòu)造直角三角形〔是運(yùn)用勾股定理解決問題的關(guān)鍵〕;第二步，把條件放入所構(gòu)造的直角三角形中;第三步，運(yùn)用勾股定理，對所求的問題作出分析解答．4．1中華牌345三角形〔勾股數(shù)〕例1徒手在正方形紙片上作出24個345三角形只有一張正方形紙片，沒有任何標(biāo)志，如何才能徒手的在這張正方形上顯現(xiàn)出24個345三角形呢？？？解1.先延邊長對折正方形紙片可得到四邊的中點E,M,P,Q2.再延DE,DP,BQ,BM,AQ,AE,CM,CP折疊可以得到如下圖的各條線段及三角形PPDABCEMNHGQF設(shè)正方形邊長為2，則它的面積為4，△CEQ的面積為0.5，△ABE與△ADQ面積和為2，于是△AEQ的面積為4-2-0.5=1.5=0.5*AQ*EF=*EF于是EF=，由勾股定理得AF=，所以△AEF是345三角形又易得證△GHF∽△GMN∽△AEF,且與△GHF全等的三角形有八個，與△GMN全等的三角形有八個，與△AEF全等的三角形有八個，所以得到24個345三角形。常言道，工欲善其事，必先利其器；事實上，人手乃是時間最靈巧的工具，而最聰明者莫過于頭腦，電腦永遠(yuǎn)不及人腦。上面此題就并未用任何工具單靠人手和人腦造出了24個345三角形。4．2趣味古詩詞例2蒲生池中〔源自"九章算術(shù)"〕蒲生池中〔西江月〕今有方池一所，每邊丈二無疑。中心蒲長一根肥，出水過于二尺。斜引蒲稍至岸，釋然與岸方齊。饒公能算更能推，蒲，深各該有幾？譯文現(xiàn)在有方形水池一個，每邊邊長1.2丈，中心長出一根香蒲，露出水面兩尺，斜著引香蒲到岸邊，剛好到岸邊。盡管先生能夠推算，請問蒲長，池水深多少？BBAB1C解：由題意作圖設(shè)AC=*尺，由勾股定理，得*2+62=〔*+2〕2*=8答：池水深8尺，蒲長10尺。例3折竹抵地〔源自"九章算術(shù)"〕折竹抵地〔西江月〕今有竹高一丈，園中出眾高強(qiáng)。只因有病被蟲傷，節(jié)節(jié)相連不長。風(fēng)折枯梢在地，離根三尺曾量?？萆艺壑駭?shù)明彰，激惱先生一晌。譯文：一根竹子，高度是一丈，現(xiàn)在被蟲蛀了，每個竹節(jié)都相連不長，一陣風(fēng)吹過，枯梢折斷了，現(xiàn)在竹梢離根有三尺，問你現(xiàn)在竹高多少？惱怒的先生算了一晌。AABCB解：由題意作圖設(shè)AC=*尺，則BC=〔10-*〕尺，由勾股定理，得*2+32=〔10-*〕2*=4.55答：現(xiàn)在竹高4.55尺勾股定理在中國古代數(shù)學(xué)中占有重要地位，從古代經(jīng)典之作"九章算術(shù)"可以看出，起源于實際需要，它以社會生活與生產(chǎn)實際為研究對象，以解決實際需要為目標(biāo)。4．3螞蟻怎么走最近例4如圖，一個密封的長方體盒子ABCD-EFGH,長寬高分別為27cm,9cm,15cm.E處有食物。甲螞蟻從C處出發(fā)沿長方體外表爬行。同時乙螞蟻從B處沿B-A-E的方向爬行，問兩只螞蟻哪知能夠先吃到食物？〔假設(shè)他們爬行的速度是一樣的〕AABCGDEFH解：由題意可知，甲螞蟻并沒有確定路線方向所以說可以有選擇余地但是乙螞蟻已經(jīng)確定了路線。故甲螞蟻可以尋求尋求到最短路線甲螞蟻：將底面ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到ABFE所在平面同一平面上，連接CE,則甲螞蟻沿CE爬行路線最短。CCFEDBA∵AE=15cm,AB=27cm,BC=9cm,∠EDC=90°，∴ED=24cm,由勾股定理得，CE=3cm乙螞蟻：AB+AE=27+15=42cm答：甲螞蟻能夠先吃到食物。數(shù)學(xué)本身就是一種文化，一門博大精深的學(xué)問，學(xué)習(xí)他的最好方法是自己去發(fā)現(xiàn)她的美.結(jié)論通過本文我們看到勾股定理在解題方法中的作用,但是它的重要作用并不僅限于此．運(yùn)用勾股定理解題的一般方法:關(guān)鍵在于制造直角三角形,從待求的結(jié)論中找出制造直角三角形的規(guī)則,造出合規(guī)則的所有直角三角形．總之,勾股定理的應(yīng)用多種多樣,要依據(jù)問題特點決定．參考文獻(xiàn)[1]任繼愈.中國古代數(shù)學(xué)[M].：商務(wù)印書館，1997〔1〕：66.[2]孔凡茹孔凡偉熊昌雄.勾股定理的早期記載和證明[J].**學(xué)院學(xué)報，2007〔12〕：28.[3]王樹禾.數(shù)學(xué)聊齋[M].科學(xué),2004(2)：100.[4]潘有發(fā).幾個與勾股定理有關(guān)的趣味詩詞古算題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2007(1):23.[5]張彩明.螞蟻怎樣走最近[J].中學(xué)生數(shù)理化，2006〔7〕：45.致在此，衷心感謝殷建連教師對本文的指導(dǎo)，她傾注了大量的心血，從選題到開題報告，從寫作提