概率統(tǒng)計與隨機過程：第二章 隨機變量及其概率分布

第二章隨機變量及其分布隨機變量隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布

從概率的定義我們知道，概率是自變量為集合的特殊的函數(shù)；為了能用變量，函數(shù)及微積分等工具來得出事件發(fā)生的概率、研究隨機現(xiàn)象，引進了概率論中的另一重要概念――隨機變量?！?.1隨機變量例1、拋一枚硬幣1次，觀察正(H)、反(T)面朝上的情況。例2、從含有2個黑球，3個白球的盒子中任取3個球，觀察取出球的情況。若令X表示取出的3個球中黑球的個數(shù)例3、觀察某網(wǎng)站在一段時間內(nèi)被點擊次數(shù)。例4、觀察某廠生產(chǎn)燈泡的使用壽命t.定義：設(shè)E是一個隨機試驗，Ω＝是其樣本空間，如果對每一個，有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，則稱X是E的一個隨機變量。

（1）由定義可知，隨機試驗E的隨機變量不是唯一的。例2中，我們也可以定義隨機變量Y：“3個球中白球的個數(shù)”，則Y也是隨機試驗E的一個隨機變量。說明（2）引進隨機變量后，隨機事件可以用隨機變量在實數(shù)軸上某一個集合中取的值來表示。所以，研究隨機事件的概率就轉(zhuǎn)化為研究隨機變量取值的概率。§2.2隨機變量的分布函數(shù)

對于隨機試驗而言，僅僅知道它可能的出現(xiàn)的隨機事件并不重要，重要的是這些事件出現(xiàn)的可能性有多大。相對于隨機變量X來說，就是X取什么值不重要，重要的是X取這些值的概率有多大。注意（1）分布函數(shù)的定義域為一切實數(shù)；（2）分布函數(shù)在x處的取值所表示的是隨機變量X在上的概率。定義：設(shè)X是一個隨機變量，是一個實數(shù)，函數(shù)就稱為隨機變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)不減，即若，則有（2）且（3）右連續(xù)，即特別需要說明的是：隨機變量的分布函數(shù)具有上述3條性質(zhì)；反之也成立。例1、判斷以下函數(shù)是否為分布函數(shù)：

關(guān)于分布函數(shù)還有一些常用公式：（1）（2）（3）（4）（8）（5）（6）（7）§2.3離散型隨機變量離散型隨機變量：隨機變量的可取值范圍，有的可以排列出來，有的不能排列出來。把可取值能按一定的次序一一列舉出來的隨機變量稱為離散型隨機變量。定義：如果離散型隨機變量X的一切可能取值為，則稱P(X=xk)＝pk為隨機變量X的概率分布列，簡稱分布列或分布律。分布律又常常表示為表格的形式：Xx1x2

…xk…Pp1p2

…pk…一、離散型隨機變量的分布列例1、一射手對某一目標(biāo)進行射擊，一次擊中的概率為0.8（1）求一次射擊的分布列；（2）求到擊中目標(biāo)為止所需的射擊次數(shù)的分布列。解（1）設(shè){X=0}＝{擊不中目標(biāo)}，{X=1}＝{擊中目標(biāo)}，則：

p1＝P(X=0)＝0.2，p2＝P(X=1)＝0.8所以分布列為：X01

pk0.20.8所以Y的分布律為：pk＝P(Y=k)＝0.2k-1×0.8，k=1,2,…或者Y的分布律用表格表示為

Y12…k…

pk0.80.2×0.8…0.2k-1×0.8…

（2）設(shè)射擊到擊中目標(biāo)為止，射擊的次數(shù)是隨機變量Y，則Y∈{1,2,3,…,k,…}。例2、把3個球任意的放到4個盒子中，令X表示落到第1個盒中球的個數(shù)，求X的分布列。解：分布律的性質(zhì)：反之，若數(shù)列滿足這兩條性質(zhì)，則一定是某一離散型隨機變量的分布律。（1）（2）例3、設(shè)離散型隨機變量X的分布列為求正數(shù)a的值。解：根據(jù)性質(zhì)所以，例4、設(shè)離散型隨機變量X的分布列其中，為已知，求常數(shù)C。解：對隨機變量而言，除了要研究其分布列以外，還要研究其分布函數(shù)。根據(jù)上一節(jié)的內(nèi)容可得離散型隨機變量X的分布函數(shù)為

從幾何上來看，這個函數(shù)的圖像應(yīng)是階梯型例5、把3個球任意的放到4個盒子中，令X表示落到第1個盒中球的個數(shù),求X的分布函數(shù)。解：X的分布列為X0123則分布函數(shù)為：

二、常見的離散型隨機變量

（1）（0-1）分布：設(shè)隨機變量X只可能取0和1兩個數(shù)值，它的分布律為

其中，則稱X

服從（0-1）分布。（2）二項分布：若隨機變量X的分布律為

其中，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為，當(dāng)時，就是（0-1）分布。定義：把試驗E在相同的條件下重復(fù)進行n次，各次試驗的結(jié)果有限且互不影響，則稱這n次試驗為n次獨立試驗。

如果每次試驗只有兩個結(jié)果，則n次獨立試驗又稱為n重伯努利(Bernoulli)試驗。定理：設(shè)X是n重伯努利實驗中成功（A發(fā)生）的次數(shù)，則X~B(n,p)，其中p=P(A)例6、在正常情況下，家禽感染某種疾病的概率為0.2，現(xiàn)發(fā)明了一種新藥，把它注射到25只健康的家禽身上，結(jié)果有1只家禽感染了這種疾病，試評價這種藥物的療效。定理：X~B(n,p)，則此時X的取值即為事件A最可能成功的次數(shù)，當(dāng)k為最可能成功的次數(shù)時，稱P(X=k)為二項分布的中心項。例7、為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人?，F(xiàn)有同類設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率為0.001，在通常情況下，一臺設(shè)備的故障由一個工人來處理。問至少要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障后但不能及時維修的概率小于0.01？解：設(shè)需要配備N名工人。記同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則。問題的實質(zhì)是求最小的N，使此時我們用二項分布公式來計算，很難得出結(jié)果，因此必須找另外的方法。查表得:N+1=3,即N=2。因此，為滿足要求，至少需配備2名工人。定理：（3）泊松（Poisson）分布：設(shè)隨機變量X可能取的一切值為0，1，2，…，而取各個值的概率為，其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松（Poisson）分布，記為X～P（）。定理：

，則①當(dāng)是整數(shù)時，②當(dāng)不是整數(shù)時，（4）超幾何分布：若X的分布律為則稱隨機變量X服從超幾何分布，記為（5）幾何分布：若隨機變量X的分布律為則稱X服從幾何分布，記為。（6）負二項分布：若隨機變量X的分布律為其中0<p<1已知，則稱隨機變量X服從負二項分布，記為。一、連續(xù)型隨機變量的概念

如果隨機變量的取值能充滿實數(shù)軸上的某個區(qū)間，甚至于整個實數(shù)軸。這樣的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量?！?-4連續(xù)型隨機變量定義：設(shè)隨機變量X

的分布函數(shù)為。若存在非負可積函數(shù)，使得對于任一實數(shù)x

有①則稱X

是連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度。概率密度的性質(zhì)：（1）（2）反之，任何一個函數(shù)滿足了（1），（2），則由①定義的也一定是某個連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。例1：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為：

，－∞<x<+∞，求常數(shù)C。例2、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)A及其概率密度函數(shù)。（3）若在x處連續(xù)，則注意：一般的，同一個連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)可以有許多，但它們除了在有限個點或可數(shù)個點上不相等外，其它點都相等。也即連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)是“幾乎處處”唯一的。

所以對連續(xù)型隨機變量X而言，概率為0的事件未必是不可能事件；概率為1的事件也未必是必然事件。（4）連續(xù)型隨機變量X在一個點上取值的概率恒為0。二、幾個重要的連續(xù)型隨機變量

1、均勻分布記為。設(shè)有連續(xù)型隨機變量X，其概率密度為則稱X在區(qū)間上服從均勻分布，分布函數(shù)：

例3、設(shè)隨機變量X在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布，現(xiàn)對其進行4次獨立觀察，求至少有一次觀察值大于2/3的概率。2、指數(shù)分布若隨機變量X具有密度：其中，是常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為λ

的指數(shù)分布。記為：X～。（指數(shù)分布又常被稱為壽命分布）分布函數(shù)：指數(shù)分布有一個特性：無記憶性。我們看下面的例子：例6、某種電器元件的使用壽命X服從參數(shù)為λ＝1/2000的指數(shù)分布（單位：小時）（1）任取一個元件，求能正常使用1000小時以上的概率。（2）求其正常使用1000小時后還能使用1000小時的概率。由本題可見，指數(shù)分布的無記憶性；其實，不僅是指數(shù)分布有這樣的性質(zhì)，幾何分布也同樣具有這樣的性質(zhì)。一般的，有3.正態(tài)分布定義：連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為：其中μ、σ都是常數(shù)(－∞<μ<+∞，σ>0)，則稱X服從參數(shù)為μ、σ的正態(tài)分布，記為：X～N(μ,σ2)。正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）曲線位于x軸的上方，以直線x=μ為對稱軸，它向左向右對稱地?zé)o限延伸，并且以x軸為漸近線；（2）當(dāng)x=μ時曲線處于最高點，當(dāng)x向左右遠離μ時，曲線逐漸降低，整條曲線呈現(xiàn)“中間高、兩邊低”的形狀；

（3）參數(shù)σ決定了正態(tài)曲線的形狀，σ愈大，曲線愈“矮胖”(即分布愈分散)，σ愈小，曲線愈“高瘦”(即分布愈集中于μ的附近)。

參數(shù)μ確定曲線的位置，反映了分布的集中點，由于曲線關(guān)于直線x=μ對稱，所以稱μ為正態(tài)分布的分布中心。σ反映了分布的分散程度。注特殊的：當(dāng)μ＝0、σ＝1時的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1)，則其密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的聯(lián)系：重要公式：定理：設(shè)X～，則服從。例7、某科統(tǒng)考成績近似服從正態(tài)分布在參加統(tǒng)考的人中，及格者100人，（及格分數(shù)為60分）計算：（1）不及格人數(shù)。（2）估計第10名的成績。例8、測量某一目標(biāo)的距離時，測量誤差X(cm)～N(50,1002)，求：（1）測量誤差的絕對值不超過150厘米的概率。（2）在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過150厘米的概率。α分位點：給定常數(shù)α

，若存在數(shù)