幾何與代數(shù)：lec8-分塊矩陣和矩陣的秩

教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時分配

第二章矩陣教學(xué)內(nèi)容學(xué)時數(shù)§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算

2§2.2可逆矩陣2§2.3分塊矩陣1§2.4矩陣的秩1§2.5初等矩陣2§2.6用Matlab解題

1思考題：（學(xué)會歸納總結(jié)）矩陣上的哪些運(yùn)算是只定義在方陣上的？矩陣乘積的交換律一般情況下不成立，但有一些特殊情況是成立的，此時稱A,B是可交換的。請列舉出矩陣乘積可交換的情況。方陣A可逆的充要條件有哪些？1.方陣的正整數(shù)冪只定義在n階方陣上的運(yùn)算A可逆|A|04.伴隨矩陣5.可逆矩陣A2=AA,Ak+1=AkA3.行列式2.對稱矩陣AT=A

數(shù)量矩陣En單位矩陣En

|A|:Rn×n

R對角矩陣(iij)1.方陣的正整數(shù)冪乘積可交換的運(yùn)算4.伴隨矩陣5.可逆矩陣AkAl=AlAk3.行列式數(shù)量矩陣En單位矩陣En

(aEm)Am×n=

Am×n(aEn)2.對角矩陣(iij)=

(A,B為方陣.)(方陣A可逆)A為非奇異陣、非退化陣思考題：（學(xué)會歸納總結(jié)）方陣A可逆的充要條件有哪些？問題式預(yù)習(xí)1.分塊乘積、分塊轉(zhuǎn)置需要注意什么？2.如何求解矩陣方程AX=B？3.矩陣的秩反應(yīng)了矩陣的什么本質(zhì)特征？§2.3分塊矩陣一.矩陣的分塊在矩陣的某些行之間插一些橫線，在某些列之間插一些豎線，將矩陣分成一些子塊。A21B11§2.3分塊矩陣一.矩陣的分塊在矩陣的某些行之間插一些橫線，在某些列之間插一些豎線，將矩陣分成一些子塊。A1A2122

處理有特點(diǎn)的大矩陣時需要進(jìn)行分塊

分法:

將矩陣用縱線和橫線分成若干小矩陣,每個小矩陣稱為原矩陣的子塊.

定義

以子塊為元素的矩陣稱為分塊陣.

矩陣分塊的三個原則:

體現(xiàn)原矩陣特點(diǎn).

根據(jù)問題需要.

能夠把子塊看作元素進(jìn)行運(yùn)算.

§2.3分塊矩陣一.矩陣的分塊第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

三種特殊的分塊方法設(shè)A為m×n矩陣,記Aj為A的第j列,i為A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),則有如下兩種重要的分塊方法A=(A1,A2,…,An),12…mA=其中A1,A2,…,As都是方陣,則稱A為分塊對角陣(或準(zhǔn)對角矩陣).A=A1

O…OO

A2…O

…………

O

O…As,二.分塊矩陣的運(yùn)算分塊加法設(shè)矩陣A與B是同型的,采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=二.分塊矩陣的運(yùn)算分塊加法設(shè)矩陣A與B是同型的,采用相同的分塊法分塊將A與B分塊如下第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

2.分塊數(shù)乘第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

設(shè)矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,為常數(shù).A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.則A=3.分塊乘法設(shè)A為ml矩陣,B為l

n矩陣,將它們分塊如下A的列的分法與B的行的分法相同.

(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,則AB=k=1t例1求AB:解1：60直接運(yùn)算量：分塊運(yùn)算量：子塊運(yùn)算量：

將矩陣分塊作乘法其分法不是唯一的.只要前一矩陣列的分法與后一矩陣行的分法一致在例1中例1求AB:解2：不是分塊對角陣分塊運(yùn)算量：子塊運(yùn)算量：其中Ai,Bi

都是同階方陣，i=1,2,…,s.

分塊對角矩陣的乘法第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

設(shè)A=A10…00A2…0

…………00…As,B=B10…00B2…0

…………00…Bs,則AB=A1B10…00A2

B2…0

………………00……As

Bs.4.分塊轉(zhuǎn)置4.分塊轉(zhuǎn)置4.分塊轉(zhuǎn)置分外層內(nèi)層雙重轉(zhuǎn)置

AT

=(A1,A2,…,An)T=(1T,2T,…,mT).=T注意!

第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

設(shè)矩陣A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.則AT=A1T

A2T…AnT12…mAT=三.分塊矩陣的應(yīng)用線性方程組的表示形式三.分塊矩陣的應(yīng)用線性方程組的表示形式之一如何解多個系數(shù)矩陣都為A的方程組？AX1=B1AX2=B2AXs=Bs(AX1,,AXs)=(B1,,Bs)A(X1,,Xs)=(B1,,Bs)矩陣方程AX=BARmn,Bj

Rm,Xj

Rn,j=1,2,,s.用初等行變換求解矩陣方程：(AB)初等行變換行階梯陣r(A)=r(AB)?行最簡形無解N初等行變換Y矩陣方程的求解如何解多個系數(shù)矩陣都為A的方程組？XB例5.求解BY=A,AX=B.

解：

第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

尤其要注意AB=0時的特殊情況:說明B

的每一列都是齊次線性方程組Ax=0的一個解.

*例6第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

AB的列向量尤其要注意AB=0時的特殊情況:*例6第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

AB的列向量例7.設(shè)A是二階方陣，x是二維非零列向量，若，求一矩陣C，使得AB=BC.注意：不能提公因子B*例6第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

AB的列向量例7.設(shè)A是二階方陣，x是二維非零列向量，若，求一矩陣C，使得AB=BC.BC的列向量BC的列是B1,B2的線性組合線性方程組的表示形式之二即稱b是向量組A1,A2,…,An

的線性組合。x1,x2,…,xn

稱為線性組合的組合系數(shù)。第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

(AB)的列向量是A的列向量組A1,A2,…,An

的線性組合設(shè)若把A,C按列分塊，則AB的列向量2.矩陣AB的列向量若把矩陣B,C按行分塊，則設(shè)矩陣于是有(AB)的行向量是B的行向量組1,2,…,n的線性組合.第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

3.矩陣AB的行向量第二章矩陣

§2.3分塊矩陣

§2.3分塊矩陣

一.矩陣的分塊三.分塊矩陣的應(yīng)用AX=B的求解轉(zhuǎn)置乘法二.分塊矩陣的運(yùn)算2.矩陣AB的列向量3.矩陣AB的行向量行問題：不同的初等行變換所得到的階梯陣的階梯數(shù)會不會不同呢？

階梯陣的階梯數(shù)反映了矩陣的什么本質(zhì)信息？第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

問題的提出:初等行變換(階梯陣)A=2041

1

0132

20082

20000

00=0(階梯數(shù)=3)(存在一個非零的3階子式，任意4階子式都為0.)第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

1.k階子式：在Amn中,任取k行與k列(km,kn),位于這些行列交叉處的k2個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式.

這樣的子式共有

個.2階子式2001201

012402=23階子式=0一.秩的概念A(yù)的所有3階子式都為0A中非零子式的最高階數(shù)為2.例.

A=2041

01324082A=2041

1

0132

20082

20000

0注2.矩陣r(A)=r

A中至少有一個r階子式而當(dāng)k>r時,A的任一k階子式都為0.2.

矩陣A的秩

(rank)A中非零子式的最高階數(shù),記為r(A).注1.

0r(Amn)min{m,n}而A的所有4階子式都等于0,中有一個3階子式不等于0;所以r(A)=3.注3.

階梯陣的秩等于其階梯數(shù),即主元的個數(shù).

第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

不等于0,注2.矩陣r(A)=r

A中至少有一個r階子式不等于0,而當(dāng)k>r時,A的任一k階子式都為0.2.

矩陣A的秩r(A)：A中非零子式的最高階數(shù).注1.

0r(Amn)min{m,n}注3.

階梯陣的秩等于其階梯數(shù),即非0行行數(shù).

注4.設(shè)A為n階方陣，|A|0

r(A)=n？3.若|A|0，方陣A稱為非奇異(非退化)矩陣.注5.若r(A)=n，方陣A稱為滿秩矩陣.方陣A非奇異(非退化),滿秩,可逆r(A)=n|A|0第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

問題：不同的初等行變換所得到的階梯陣的階梯數(shù)會不會不同呢？階梯陣的階梯數(shù)到底反映了矩陣的什么本質(zhì)信息？第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

問題的提出:初等行變換(階梯陣)非零子式的最高階數(shù).階梯陣

的秩問題：初等行變換是否會改變矩陣的秩呢？引理1.

r(A)=r(AT).證明:設(shè)AO.AT的子式等于A的某個子式的轉(zhuǎn)置,因此AT與A的非零子式的最高階數(shù)相等.一次初等行變換引理2.

r(A)=r(B).A的(非)零子式與B的(非)零子式一致.因此A與B的非零子式的最高階數(shù)相等.即r(A)=r(B).二.初等變換和矩陣的秩第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

一次初等行變換引理2.

r(A)=r(B).記B=

a11a12…a1n

…………ai1+kaj1

ai2+kaj2…ain+kajn…………aj1aj2…ajn

…………

an1

an2…ann先證r(B)

r(A)=r.即證B的任意l(>r)階子式D=0.(1)D不含Bi:BiBjD=DA=0(2)D含Bi,Bj:D=DA=0(3)D含Bi,不含Bj:D=DA1kDA2ri+krjABri

krjBAr(A)

r(B)r(A)=

r(B).第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

=0初等列變換引理4.

r(A)=r(B).引理1.

r(A)=r(AT).一次初等行變換引理2.

r(A)=r(B).初等行變換引理3.

r(A)=r(B).證明:初等列變換初等行變換r(A)=r(AT)=r(BT)=r(B).初等變換命題2.3.

r(A)=r(B).二.初等變換和矩陣的秩第二章矩陣

§2.4矩陣的秩

初等行變