幾何與代數(shù)：lec5-矩陣的代數(shù)運(yùn)算

1問題式預(yù)習(xí)、思考題2.矩陣的乘法與數(shù)的乘法之間有什么不同性質(zhì)？1.矩陣的乘法除定義外還有其他運(yùn)算方法嗎？2x

y=0

x+2y

=

3思考題：(1)的矩陣形式(2)向量形式(3)請(qǐng)?jiān)谄矫嫔戏謩e作圖描述(1)和(3)的幾何含義。(1)和(3)中哪種形式的解更容易通過幾何圖形得到？對(duì)任意向量b,都有解嗎？2思考題2x

y=0

x+2y

=

3(1)的矩陣形式(2)向量形式(3)請(qǐng)?jiān)谄矫嫔戏謩e作圖描述(1)和(3)的幾何含義。(1)和(3)中哪種形式的解更容易通過幾何圖形得到？對(duì)任意向量b,都有解嗎？√√第一章行列式和線性方程組的求解3問題1：2元線性方程組的Cramer法則能否推廣到n元？問題2：n階行列式的定義和計(jì)算？第二章矩陣1.矩陣的乘法與數(shù)的乘法之間有什么不同性質(zhì)？2.方陣A可逆的充要條件有哪些？3.矩陣的秩反應(yīng)了矩陣的什么本質(zhì)特征？4.初等陣與初等變換有什么關(guān)系？教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配

第二章矩陣教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算

2§2.2可逆矩陣2§2.3分塊矩陣1§2.4矩陣的秩1§2.5初等矩陣2§2.6用Matlab解題

1矩陣的基本概念幾種特殊的方陣一.矩陣的線性運(yùn)算三.矩陣的轉(zhuǎn)置§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算二.矩陣的乘法Amn

=(aij)mn1.三角形矩陣

2.對(duì)角矩陣

=diag(1,2,…,n)

3.數(shù)量矩陣4.單位矩陣En

=

(ij)=

(ij)=

(iij)5.行階梯矩陣6.行簡化階梯陣主元全為1,主列為單位列向量.

0行最下方;主元列標(biāo)隨行標(biāo)遞增1.加法注1:A,B同型.C=A+B=(aij+bij)mn注2:負(fù)矩陣

A=(aij)mn注3:減法：2.數(shù)乘kA=(kaij)mn=

向量:kl

=(kailbi)(A,B是同型矩陣)kA

lB

=(kaij

lbij)mn第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算

一.矩陣的線性運(yùn)算A

B=A+(B)3.性質(zhì)

設(shè)A,B,C,O是同型矩陣,k,l是數(shù),則(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.(9)kA=0

k=0或A=O.(10)A+X=B

X=B

A.第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算

單價(jià)

(元/箱)重量

(Kg/箱)數(shù)量(箱)南京蘇州常州瓶裝啤酒2016200180190易拉罐5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150總價(jià)(元)總重(Kg)A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020200+50100+30150+251801800018000二.矩陣的乘法

第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150

單價(jià)

(元/箱)重量

(Kg/箱)數(shù)量(箱)南京蘇州常州瓶裝啤酒2016200180190易拉罐5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150總價(jià)(元)18000總重(Kg)C

=

AB181501675010480102409680例2.四個(gè)城市間的單向航線如圖所示.

若aij表示從i市直達(dá)j市航線的條數(shù),

則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=01111000010010101234ijbij=

ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到達(dá)j市航線的條數(shù)=?=AA第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算B=(bij)=2110011110000211第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算1.設(shè)A=(aij)ms,

B=(bij)sn

,則A與B的乘積是C=AB

=(cij)mn

=(Ai*B*j)=,其中cij

=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s注1:時(shí)才有意義，且.計(jì)算C=AB.例3.設(shè)1

23301B=,解:第二章矩陣

A=1

234,§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算C=AB=1

233011

2342515613=,C1=(A1,A2)

13C=(A1,A2)=A1+3A2715=1

23301=(A1+3A2,2A1,

3A1+A2)2515613=第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算2.設(shè)A=(aij)ms,

B=(bij)sn

,則A與B的乘積是C=AB

=(C1,C2,…,Cn),其中A1A2AsBjCj計(jì)算C=AB.例3.設(shè)1

23301B=,解:第二章矩陣

A=1

234,§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算C=AB=1

233011

2342515613=,C=12C=(A1+3A2,2A1,

3A1+A2)2515613=1

2341+2231+42=2515613=第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算3.設(shè)A=(aij)ms,

B=(bij)sn

,則A與B的乘積是C=AB,

其中1.設(shè)A=(aij)ms,B=(bij)sn,則A與B的乘積是C=AB=(cij)mn=(Ai*B*j)=(1)(kA)B=k(AB),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(AB)C=A(BC).注2:第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算2.C=AB

=(C1,C2,…,Cn),其中注1:時(shí)才有意義，且.3.C=AB,

第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算結(jié)合律的妙用之一(還有“妙用之二”喔~~~!)第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算例4.設(shè)A=BC,其中B=,C=(123),則

123CB=？A=BC=？

A2011=？注3:方陣的正整數(shù)冪：A2=AA,Ak+1=AkA

=AAk,結(jié)合律的妙用之一(還有“妙用之二”喔~~~!)A2011=?123246369則A=BC=,=11+22+33

=14.A2011=(BC)(BC)(BC)…(BC)(BC)(BC)=B(CB)(BC)…(CB)(CB)C第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算=142010

BC=142010ABC

CB例4.設(shè)A=BC,其中B=,C=(123),則

123CB=(1

2

3)1

2

3

AB=(Ai*B*j)=二.矩陣的乘法注4:注5:不一定都有意義

同型但不相等

當(dāng)AB

=

BA時(shí)，

稱A,B可交換.有意義但不同型

第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算(AB)kAkBk(A+B)2

A2

+B2+2AB

,只有AB=BA時(shí)等式成立

(AB)k=ABAB

AB(A+B)2

=(A+B)

(A+B)

=A2

+B2+AB+BA

(A+B)(AB)=A2B2AB+BA

A2B2第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算AkBk注意!

注5:注6：對(duì)角矩陣的性質(zhì)

==

(iij)(ti

ij)=

(i

ti

ij)=

(ti

ij)(i

ij)=

t10…00t2…0

…

…

…

…00…tn10…002…0

…

…

…

…00…n1t10…002t2…0

…

…

…

…00…ntn==

(ti

iij)第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算注6：對(duì)角矩陣的性質(zhì)

==

t10…00t2…0

…

…

…

…00…tn10…002…0

…

…

…

…00…n1t10…002t2…0

…

…

…

…00…ntn=第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算Em

Am×n=

Am×n=Am×n

En

(aEm)Am×n=

aAm×n=Am×n(aEn)10…001…000…1mm……

……b11

b12…b1nb21

b22…b2n

…………bm1

bm2…bmn=b11

b12…b1nb21

b22…b2n

…………bm1

bm2…bmn設(shè)則注意:

(1)

AB與BA是同階方陣，但AB不等于BA.

(2)雖然A,B都是非零矩陣,但是

AB=0.例5第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算設(shè)求

AB及

AC.解注意:

雖然A不是零矩陣,而且AB=AC,

但是B不等于C.這說明消去律不成立!例6第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算注7:消去律一般不成立.比如:第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算注意!

注意:

(1)雖然A,B都是非零矩陣,但AB=0.(2)雖然A不是零矩陣,而且AB=AC,

但是B不等于C.這說明消去律不成立!注8：方陣的多項(xiàng)式設(shè)A為一個(gè)方陣,f(x)為一個(gè)多項(xiàng)式稱之為方陣A的一個(gè)多項(xiàng)式.f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

例6：

注意!

第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算第二章矩陣§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算

一.矩陣的線性運(yùn)算

二.矩陣的乘法三.矩陣的轉(zhuǎn)置kAlB=(kaij

lbij)mnAB=(Ai*B*j)=

矩陣乘法是否有意義，乘積矩陣的行數(shù)列數(shù)

交換律一般不成立=

消去律一般不成立f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

(A+B)2

A2

+B2+2AB

,三.矩陣的轉(zhuǎn)置

1.設(shè)矩陣A=(aij)m×n,則矩陣A的轉(zhuǎn)置為2.性質(zhì)：

(1)(AT)T=A,n×m(2)(A+B)T=AT+BT,(4)(AB)T=BTAT.(3)(kA)T=kAT,=第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算穿脫原理3.對(duì)稱矩陣

滿足

AT=A.A=(aij)mn為對(duì)稱矩陣

m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n).反對(duì)稱矩陣A

：滿足AT=A.A=(aij)mn為反對(duì)稱矩陣

A為方陣且aij=

aji(i,j=1,2,…,n).比如：為對(duì)稱矩陣；為反對(duì)稱矩陣.反對(duì)稱矩陣對(duì)角線元素全為0第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運(yùn)算D=a11…a1m

am1…amm

……b11…

b1n

bn1…

bnn……a11…

a1m0…0……………………=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1n

cn1…

cnmbn1…

bnnA0CB0ABC=|A||B|=(1)mn|A||B|A,B為m,n階矩陣AC

0B==C

AB0思考：能否利用這些結(jié)果證明|AB|

=

|A|

|B|？(其中A,B為n階矩陣)

(可先考慮n=2的情況)第二章矩陣

證.

設(shè)D=a11a1200a21

a22

00

c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

分析：|AB|

=|A||B|(以A,B為2階方陣為例證明)A

O

CB==|A||B|0

00

0c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22O

AB

CB==

|AB|=(1)22|AB|

|C|第二章矩陣

==|AB|

(1)22|C|證.

設(shè)D=a11a1200a21

a22

00

c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

分析：|AB|

=|A||B|(以A,B為2階方陣為例證明)AO

CB==|A||B|0

00

0c11

c12

b11

b12

c21

c22

b21

b22

a11b11+a12b21a11b12+a12b22a21b11+a22b21a21b12+a22b22

OAB

CB==

|AB|=(1)22|AB|

|C|第二章矩陣

==|AB|

(