幾何與代數(shù)：lec18 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時分配第四章n維向量教學(xué)內(nèi)容學(xué)時數(shù)§4.1n維向量空間2§4.2向量組的線性相關(guān)性4§4.3子空間的基和維數(shù)2§4.4向量的內(nèi)積2§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)2§4.7用Matlab解題

1問題式預(yù)習(xí)及思考題1.什么是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，其與向量組的極大無關(guān)組、向量空間的基之間的關(guān)系如何？2.齊次方程組的解空間的基和維數(shù)是什么？3.非齊次方程組的通解結(jié)構(gòu)是什么？思考題請以三維空間為例說明其基、正交基、標(biāo)準正交基的幾何含義.請給出R3的一組標(biāo)準正交基，其中有一個向量1=(1,–1,–2)T與共線。思考題請以三維空間為例說明其基、正交基、標(biāo)準正交基的幾何含義.請給出R3的一組標(biāo)準正交基，其中有一個向量1=(1,–1,–2)T與共線。三維空間的基：任意三個不共面的向量，構(gòu)成一個仿射坐標(biāo)系;三維空間的正交基：任意三個兩兩垂直的向量，構(gòu)成一個直角坐標(biāo)系;標(biāo)準正交基：任意三個兩兩垂直的單位向量，構(gòu)成一個直角坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)向量;思考題請給出R3的一組標(biāo)準正交基，其中有一個向量1=(1,–1,–2)T與共線。解：設(shè)21,31,32。一個非零解為2=(0,1,–1/2)T,3=(5,1,2)T,R3的一組標(biāo)準正交基為線性方程組的各種形式：1)一般形式：2)矩陣形式：3)向量形式：第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)第三章線性方程組

線性方程組的相容性定理.

設(shè)ARmn,bRm,則(1)當(dāng)r(A,b)=r(A)+1時,Ax=b無解;

(2)當(dāng)r(A,b)=r(A)=n時,Ax=b有唯一解;(3)當(dāng)r(A,b)=r(A)

<

n時,Ax=b有無窮多解,且通解中含有nr(A)個自由未知量.推論.設(shè)ARmn,則(1)當(dāng)r(A)

=

n時,Ax=只有零解;(2)當(dāng)r(A)

<

n時,Ax=有非零解,且通解中含有nr(A)個自由未知量.§3.1線性方程組和高斯消元法一.線性方程組解的存在性和唯一性定理4.13.

設(shè)ARmn,bRm,則(1)

r(A,b)=r(A)+1

Ax=b無解;

(2)r(A,b)=r(A)=n

Ax=b有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)

<

n

Ax=b有無窮多解,且通解中含有nr(A)個自由未知量.推論.設(shè)ARmn,則(1)r(A)

=

n

Ax=只有零解;(2)r(A)

<

n

Ax=有非零解,且通解中含有nr(A)個自由未知量.第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理4.13.設(shè)ARmn,bRm,則(1)

r(A,b)=r(A)+1

Ax=b無解;

(2)r(A,b)=r(A)=n

Ax=b有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)

<

n

Ax=b有無窮多解,且通解中含有nr(A)個自由未知量.Ax=b

有解b能由列向量組I:A1,…,An線性表示

向量組I:A1,…,An與向量組II:A1,…,An,br(A)=

r(A,b)一.線性方程組解的存在性和唯一性？第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

等價Ax=b

有解b能由列向量組I:A1,…,An線性表示

向量組I:A1,…,An與向量組II:A1,…,An,b等價r(A)=

r(A,b)定理4.13.設(shè)ARmn,bRm,則(1)

r(A,b)=r(A)+1

Ax=b無解;

(2)r(A,b)=r(A)=n

Ax=b有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)

<

n

Ax=b有無窮多解,且通解中含有nr(A)個自由未知量.Ax=b

有唯一解b能由列向量組A1,…,An線性表示,表示方式唯一r(A)=

r(A,b)，且A1,…,An線性無關(guān)r(A)=

r(A,b)=n

一.線性方程組解的存在性和唯一性第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)推論.

設(shè)ARmn,則(1)r(A)

=

n

Ax=只有零解;(2)r(A)

<

n

Ax=有非零解.一.線性方程組解的存在性和唯一性Ax=

只有零解A1,…,An線性無關(guān)r(A)=

r(A1,…,An)=n

只有零解第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)推論.

設(shè)ARmn,則(1)r(A)

=

n

Ax=只有零解;(2)r(A)

<

n

Ax=有非零解.Ax=

有非零解

A1,…,An線性相關(guān)有非零解

r(A)=

r(A1,…,An)<n

Ax=

只有零解A1,…,An線性無關(guān)r(A)=

r(A1,…,An)=n

只有零解第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)推論.

設(shè)ARmn,則(1)r(A)

=

n

Ax=只有零解;(2)r(A)

<

n

Ax=有非零解.若有非零解,這些解具有哪些性質(zhì)?也是Ax=0

的解.由是Ax=0的解,即性質(zhì)1也是Ax=0

的解.性質(zhì)2

由是Ax=0的解,即k,第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)推論.

設(shè)ARmn,則(1)r(A)

=

n

Ax=只有零解;(2)r(A)

<

n

Ax=有非零解.若有非零解,這些解具有哪些性質(zhì)?若Ax=0

有非零解,

則這些解的任意線性組合仍是解。K(A)

={xRn|Ax=}齊次線性方程組的解空間即A的核空間或零空間若有非零解,如何找到所有的(無窮多個)解?

只要找到向量空間K(A)的一個基,就能表示所有解.(基礎(chǔ)解系)第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)二.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1.Ax=0的一組解1,2,…,s稱為一個基礎(chǔ)解系:(1)1,2,…,s線性無關(guān);(2)Ax=0的任一解都可由1,2,…,s線性表示.那么該方程組的通解就可表示成x=k11+k22+…+kss,

其中k1,k2,…,ks為常數(shù).這種形式的通解稱為Ax=0的結(jié)構(gòu)式通解.K(A)

={xRn|Ax=}齊次線性方程組的解空間

注1：基礎(chǔ)解系是K(A)的基，是Ax=0解向量組的極大無關(guān)組，所以基礎(chǔ)解系不唯一，且任兩個基礎(chǔ)解系等價.第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)向量組的極大無關(guān)組

(i)I0l.i.;

(ii)I\I0,{I0,}l.d.I可由I0線性表示命題：如果r(1,2,,s)=r,則1,2,,s中任意r個線性無關(guān)的向量均為1,2,,s的極大無關(guān)組.

極大無關(guān)組不唯一，任兩個極大無關(guān)組都等價，且含有相同個數(shù)(秩)的向量.

向量空間V的基為向量組V中的極大無關(guān)組.V的維數(shù)為向量組的秩.齊次線性方程組的解空間K(A)={xRn|Ax=0}的基是基礎(chǔ)解系,K(A)的維數(shù)為nr(A).

向量組極大無關(guān)組向量空間.基解空間基礎(chǔ)解系定理4.14

設(shè)ARmn,r(A)=r<n,則dim(K(A))=nr即Ax=的任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.

x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………nr個自由未知量A初等行變換證明：B為行最簡形矩陣r(B)=

r(A)=rBx=0有nr個自由未知量.第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1線性無關(guān)增維也無關(guān)=xr+11+

xr+2

2+…+

xnn-r

1

,

2

,…,n-r線性無關(guān)任意解x可由其線性表示基礎(chǔ)解系第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理4.14

設(shè)ARmn,r(A)=r<n,則dim(K(A))=nr即Ax=的任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.

為一基礎(chǔ)解系，c1,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

…crn

00…11=,2=,nr=含有nr個解向量.設(shè)1,2,,t為任一基礎(chǔ)解系.則1,2,,t線性無關(guān)，且與1,2,nr等價.t=nr即任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.定理4.14

設(shè)ARmn,r(A)=r<n,則dim(K(A))=nr即Ax=的任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.

性質(zhì)1.與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系.性質(zhì)2.若ARmn,r(A)=

r,則Ax=

的任意nr個線性無關(guān)的解向量都是Ax=的基礎(chǔ)解系.3.解Amnx=的一般步驟A初等行變換

行階梯陣r(A)<n?行最簡形取非主列對應(yīng)的變量為自由未知量;令其為e1,,en-r,求得通解.只有零解N初等行變換

Y注:自由未知量的選取不是唯一，只要取定A中r(A)個線性無關(guān)的列，其余列對應(yīng)變量可為自由變量.第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理4.14設(shè)ARmn,r(A)=r<n,則dim(K(A))=nr例1.

求的基礎(chǔ)解系與通解.解:初等行變換該方程組的基礎(chǔ)解系可取為通解為101/54/5取x2,

x4為自由未知量,自由變量不能取x3,

x4,因不能任意取值，

x1,

x2也不能表示第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)為任意常數(shù).例2.求解齊次線性方程組Ax=0，即Tx=0.若向量Rn,0,A=T,求r(A)=,|A|=.10基礎(chǔ)解系中有n-1個解,設(shè)例2.求解齊次線性方程組Ax=0，即Tx=0.若向量Rn,0,A=T,求r(A)=,|A|=.10基礎(chǔ)解系中有n-1個解,設(shè)所以通解為x=k11+k22+…+kn-1

n-1

其中k1,k2,…,kn-1為任意常數(shù).是Ax=0

的解.證明：

可由Ax=0的基礎(chǔ)解系線性表示.例3.ARsn,

BRnt.

若AB=0,則r(A)+r(B)n.第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.構(gòu)造AlbrechtDürer的數(shù)字魔方=16321351011896712415141=第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)Q1,Q2,…,Q8能否構(gòu)成D空間的一組基？Q1,…,Q7構(gòu)成D空間的一組基，任意Dürer魔方都可由其線性表示.隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=？？？？？？？？？？？？？？？？=dij所得的線性方程組有

個方程？

個變量？1623如何求解該線性方程組呢？第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)1100000000001000001010011000001010000010011000010010000000010100100100001000010000010000001101000001010000000110A=

Ar

D

=

016維變量y

(A,

E)

=

0ry第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%變量r對應(yīng)的系數(shù)矩陣>>C=[A,-eye(16)];

%系數(shù)矩陣(A,E)>>C1=rref(C)%求行最簡形C1=100000000000000000-1

1

0

0

001000000000000-10000

00000010000000000000001

-1

-1

0

0

000100000

0000010000

00-100000100000000010-100

0000000001000

00000-10100

000-1000000100000000000

0-100000000001000000-1000-1100000000000100000

-10100000-10000000001000010-100-100000000000001000

10001-1

-1

-1

0

0000000000010010-101-1

-1

0

0

0000000000001010000-10-1000000000000001-1010-1100-1000000000000000110000-1-10000000000000000011-1

-1

0

0

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方=(dij)

Ar

D

=

016維變量y

(A,

E)

=

0ry自由變量可取為d24,d32,d34,d41,d42,d43,d4416321351011896712415141第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)8417141615

-416-11319122011111%程序mymagic.m%輸入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整個Dürer魔方>>d=input('pleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:')>>A=[1

100000;0000010;0000101;0011000;0010100;0001001;1000010;0100000;0001010;0100100;…0000110];%變量r對應(yīng)的系數(shù)矩陣>>C=[A,-eye(16)];

%系數(shù)矩陣(A,E)>>x=null(C,‘r’);%求齊次方程組的基礎(chǔ)解系>>y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4)

+d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7);

%基礎(chǔ)解系的線性組合>>y=y(8:23,:);

%y為16維魔方向量>>D=vec2mat(y,4,4)%將y轉(zhuǎn)化為4階魔方陣>>mymagicpleaseinputavector[d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:[1613122011111]隨心所欲構(gòu)造Dürer魔方第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)8417141615

-416-11319122011111任給d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44的一組值，就可唯一確定Dürer魔方.Dürer魔方空間是7維的.(1)轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性自由變量如何選??？只要選取系數(shù)矩陣23列中16個線性無關(guān)的列，其余7列對應(yīng)的變量就可取為自由變量.培養(yǎng)發(fā)散思維16還不夠隨心所欲？自由變量的選取不唯一賦予魔方更大的威力吧！67985971258611467108417141615

-416-11319122011111Dürer魔方空間是7維的.(1)轉(zhuǎn)換思考角度，訓(xùn)練思維的求異性只要選取系數(shù)矩陣23列中16個線性無關(guān)的列，其余7列對應(yīng)的變量就可取為自由變量.3.培養(yǎng)發(fā)散思維17還不夠隨心所欲？6798597125861146710賦予魔方更大的威力吧！x32xx+4x117xx523x26x16314152009127若給定的自由變量取值少于7個，則魔方不唯一.小學(xué)生水平中學(xué)生水平隨意構(gòu)造魔方：大學(xué)生水平三.

非齊次線性方程組的一般解

1.齊次線性方程組Ax=0

稱為非齊次線性方程組Ax=b

的導(dǎo)出組.性質(zhì)1.

設(shè)1,2都是Ax=b

的解,則1–2是

Ax=0的解.性質(zhì)2.

是Ax=b的解,是Ax=0

的解,則

+是Ax=b的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)A(1–2)=A1–A2=b–b=0A(+)=A+A=b+0

=b第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理4.15.設(shè)0是Ax=b的一個解,1,…,nr是Ax=0

的基礎(chǔ)解系,則Ax=b的結(jié)構(gòu)式通解為

x=0

+k11

+…+knrnr

.稱

0為Ax=b的一個特解.證明:Ax=A(0+k11

+…+knrnr

)=A0=b.對任意Ax=b的解x,k1,…,knr,s.t.x0

=k11

+…+knrnr,x

=

0

+k11

+…+knrnr.x0為Ax=0

的解,第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)3.解非齊次線性方程組Amnx=b的一般步驟(Ab)初等行變換行階梯陣r(A)=r(Ab)?行最簡形無解N初等行變換Y令非主列變量為e1,,en-r,求得基解;令其為0,求得特解.定理4.15.設(shè)0是Ax=b的一個解,1,…,nr是Ax=0

的基礎(chǔ)解系,則Ax=b的結(jié)構(gòu)式通解為

x=0

+k11

+…+knrnr

.稱

0為Ax=b的一個特解.第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)解:初行方程組的通解為例5.

求方程組的通解.10121/21/2注:求基礎(chǔ)解系時右端向量為0

第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)為任意常數(shù).第四章n維向量§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)例6.證明r(ATA)=r(A).證明:設(shè)A為sn的矩陣,x為n維列向量.進而得r(ATA)=r(A).一方面Ax

=(ATA)x

=,xT(ATA)x

=0||Ax||2=(Ax)T(Ax)

=0Ax

=.可見Ax

=解必為(ATA)x

=的解.另一方面(ATA)x

=故Ax

=與(ATA)x

=

同解,因此n–r(ATA)=n–r(A).四.線性方程組在解析幾何中的應(yīng)用1.兩直線的相對位置A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0r2=r1+1平行或異面

r2=r1=3交于一點

r2=r1=2<3重合

記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3A4

B4

C4,A=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3A4

B4

C