高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)習(xí)題 專題訓(xùn)練 立體幾何 (含解析)

升級(jí)增分訓(xùn)練立體幾何1．某四面體的三視圖如圖，則其四個(gè)面中最大的面積是()A．2 B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：選D在正方體ABCD-A1B1C1D1中還原出三視圖的直觀圖，其是一個(gè)三個(gè)頂點(diǎn)在正方體的右側(cè)面、一個(gè)頂點(diǎn)在左側(cè)面的三棱錐，即為D1-BCB1，如圖所示，其四個(gè)面的面積分別為2,2eq\r(2)，2eq\r(2)，2eq\r(3)，故選D．2．(2016·廣東茂名二模)若幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()A．34π B．35πC．36π D．17π解析：選A由幾何體的三視圖知它是底面為正方形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，可把它補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為3,3,4的長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的外接球即為原四棱錐的外接球，所以4R2＝32＋32＋42＝34(其中R為外接球的半徑)，外接球表面積為S＝4πR2＝34π．3．(2017·湖南長(zhǎng)沙三校聯(lián)考)已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N，Q，P分別在線段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P為頂點(diǎn)的三棱錐P-MNQ解析：選C當(dāng)M與F重合、N與G重合、Q與E重合、P與B1重合時(shí)，三棱錐P-MNQ的俯視圖為A；當(dāng)M，N，Q，P是所在線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-MNQ的俯視圖為B；當(dāng)M，N，Q，P位于所在線段的非端點(diǎn)位置時(shí)，存在三棱錐P-MNQ，使其俯視圖為D．4．(2017·河南中原名校聯(lián)考)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，四棱錐S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1A．eq\f(9,16)π B．eq\f(25,16)πC．eq\f(49,16)π D．eq\f(81,16)π解析：選D作如圖所示的輔助線，其中O為球心，設(shè)OG1＝x，則OB1＝SO＝2－x，由正方體的性質(zhì)知B1G1＝eq\f(\r(2),2)，則在Rt△OB1G1OBeq\o\al(2,1)＝G1Beq\o\al(2,1)＋OGeq\o\al(2,1)，即(2－x)2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，解得x＝eq\f(7,8)，所以球的半徑R＝OB1＝eq\f(9,8)，所以球的表面積為S＝4πR2＝eq\f(81,16)π．5．(2016·湖南長(zhǎng)沙四校一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(11\r(3),6) B．eq\r(3)C．eq\f(5\r(3),3) D．eq\f(4\r(3),3)解析：選B由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，其直觀圖如圖所示，△PAD為正三角形，四棱錐的底面是直角梯形，四棱錐的高為eq\r(3)，∴所求體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1＋2×2))×eq\r(3)＝eq\r(3)．6．(2016·湖南郴州模擬)一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是()A．①② B．①③C．③④ D．②④解析：選D由點(diǎn)A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達(dá)頂點(diǎn)C1的位置，共有6種路線(對(duì)應(yīng)6種不同的展開方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會(huì)經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會(huì)經(jīng)過CD的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的正視圖為7．(2016·福建省質(zhì)檢)在三棱錐P-ABC中，PA＝2eq\r(3)，PC＝2，AB＝eq\r(7)，BC＝3，∠ABC＝eq\f(π,2)，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A．4π B．eq\f(16,3)πC．eq\f(32,3)π D．16π解析：選D設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R，在△ABC中，因?yàn)锳B＝eq\r(7)，BC＝3，∠ABC＝eq\f(π,2)，所以AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝4．在△PAC中，因?yàn)镻A＝2eq\r(3)，PC＝2，AC＝4，所以PA2＋PC2＝AC2，所以∠APC＝eq\f(π,2)，所以AC為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，所以R＝2，所以此三棱錐的外接球的表面積S＝4πR2＝4π×22＝16π．8．(2016·南寧模擬)設(shè)點(diǎn)A，B，C為球O的球面上三點(diǎn)，O為球心．球O的表面積為100π，且△ABC是邊長(zhǎng)為4eq\r(3)的正三角形，則三棱錐O-ABC的體積為()A．12 B．12eq\r(3)C．24eq\r(3) D．36eq\r(3)解析：選B∵球O的表面積為100π＝4πr2，∴球O的半徑為5．如圖，取△ABC的中心H，連接OH，連接并延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)M，則AM＝eq\r(4\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))2)＝6，AH＝eq\f(2,3)AM＝4，∴OH＝eq\r(OA2－AH2)＝eq\r(52－42)＝3，∴三棱錐O-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×3＝12eq\r(3)．9．如圖，三棱錐V-ABC的底面為正三角形，側(cè)面VAC與底面垂直且VA＝VC，已知其正視圖的面積為eq\f(2,3)，則其側(cè)視圖的面積為________．解析：設(shè)三棱錐V-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面VAC的邊AC上的高為h，則ah＝eq\f(4,3)，其側(cè)視圖是由底面三角形ABC邊AC上的高與側(cè)面三角形VAC邊AC上的高組成的直角三角形，其面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a×h＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,3)＝eq\f(\r(3),3)．答案：eq\f(\r(3),3)10．(2016·南昌一模)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為eq\r(2)，此時(shí)四面體ABCD外接球的表面積為________．解析：由題知，求四面體ABCD的外接球的表面積可轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)、寬、高分別為1,1，eq\r(3)的長(zhǎng)方體的外接球的表面積，其半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\f(\r(5),2)，所以S＝4πR2＝5π．答案：5π11．(2016·江西師大附中模擬)已知邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C的大小為120°的四面體，則四面體的外接球的表面積為________．解析：如圖1，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE．由已知條件可知，平面ACE⊥平面BCD．易知外接球球心在平面ACE內(nèi)，如圖2，在CE上取點(diǎn)G，使CG＝2GE，過點(diǎn)G作l1垂直于CE，過點(diǎn)E作l2垂直于AC，設(shè)l1與l2交于點(diǎn)O，連接OA，OC，則OA＝OC，易知O即為球心．分別解△OCG，△EGO可得R＝OC＝eq\r(7)，∴外接球的表面積為28π．答案：28π12．(2017·貴州適應(yīng)性考試)已知正三棱柱(底面是正三角形，側(cè)棱與底面垂直)的體積為3eq\r(3)cm3，其所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為________cm2．解析：球O的表面積最小等價(jià)于球O的半徑R最?。O(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為b，則正三棱柱的體積V＝eq\f(\r(3),4)a2b＝3eq\r(3)，所以a2b＝12．底面正三角形所在截面圓的半徑r＝eq\f(\r(3),3)a，則R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\f(b2,4)＝eq\f(1,3)×eq\f(12,b)＋eq\f(b2,4)＝eq\f(4,b)＋eq\f(b2,4)，令f(b)＝eq\f(4,b)＋eq\f(b2,4)，0＜b＜2R，則f′(b)＝eq\f(b3－8,2b2)．令f′(b)＝0，解得b＝2，當(dāng)0＜b＜2時(shí)f′(b)＜0，函數(shù)f(b)單調(diào)遞減，當(dāng)b＞2時(shí)，f′(b)＞0，函數(shù)f(b)單調(diào)遞增，所以當(dāng)b＝2時(shí)，f(b)取得最小值3，即(R2)min＝3，故球O的表面積的最小值為4π(R2)min＝12π．答案：12π13．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖2．(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD的夾角的余弦值．解：(1)證明：在題圖1中，因?yàn)锳B＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中點(diǎn)，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC．即在題圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，從而BE⊥平面A1OC，又BC∥DE，DE＝1＝BC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC為二面角A1-BE-C的平面角，所以∠A1OC＝eq\f(π,2)．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，0))，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(2),2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，0))，得eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，eq\o(A1C,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BE,\s\up7(→))＝(－eq\r(2)，0,0)．設(shè)平面A1BC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC與平面A1CD的夾角為θ，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，,n1·eq\o(A1C,\s\up7(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＋y1＝0，,y1－z1＝0，))取y1＝1，得平面A1BC的一個(gè)法向量為n1＝(1,1,1)；由eq\b