小波變換發(fā)展和應(yīng)用課件

小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年Haar提出最簡單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語音識別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語音識別中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形處理等。當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。例如：1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來說是大半個(gè)世紀(jì)“調(diào)和分析”的結(jié)晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用、信號處理、圖象分析、非線性科學(xué)、地球科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)等已有重大突破，預(yù)示著小波分析進(jìn)一步熱潮的到來。

小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)

“小波分析”是分析原始信號各種變化的特性，進(jìn)一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號：是高音還是低音，發(fā)聲時(shí)間長短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對“原始信號”進(jìn)行分解。

“小波分析”是分析原始信號各種變化的特性，進(jìn)一步小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化。時(shí)間：提取信號中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。頻率：提取信號中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時(shí)間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時(shí)間A時(shí)間B小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號中的“指定時(shí)間”

參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11參考：小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級。信號長度為M時(shí)，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：

小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時(shí)間采樣基小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourie信號的時(shí)頻分析：信號時(shí)頻分析的重要性：時(shí)間和頻率是描述信號的兩個(gè)最重要的物理量。信號的時(shí)域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。信號時(shí)頻分析的主要方法：信號的時(shí)頻分析：信號時(shí)頻分析的重要性：反映傅立葉變換缺點(diǎn)的一個(gè)例子：

反映傅立葉變換缺點(diǎn)的一個(gè)例子：傅立葉變換的缺點(diǎn)：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。傅立葉變換的缺點(diǎn)：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全解決傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：

解決傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：假設(shè)f(t)L2(R)，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義為：窗口傅立葉變換的物理意義：若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(,b)給出的是f(t)在局部時(shí)間范圍[b-Dt/2,b+Dt/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度Dt越小，對信號的時(shí)間定位能力越強(qiáng)。窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：窗口窗口傅立葉變換的頻域性質(zhì)：問題的提出：窗口傅立葉變換WFg(,b)=<f(t),g,b(t)>給出的是信號在時(shí)域上的處理信息，一個(gè)很自然的問題是窗口傅立葉變換在頻域上是怎樣處理信號的？假設(shè)f(t)的傅立葉變換為F()，g,b(t)的傅立葉變換為G,b()，則根據(jù)Parseval定理有：WFg(,b)=<F(),G,b()>/(2)窗口傅立葉變換頻域上的物理意義：若G()的有效窗口寬度為D，則WFg(,b)給出的是F()在局部頻率范圍[-D

/2,+D

/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度D越小，對信號的頻率定位能力越強(qiáng)。窗口傅立葉變換的頻域性質(zhì)：問題的提出：窗口傅立葉變換的性能分析：問題的提出：窗口傅立葉變換是否既具有強(qiáng)的時(shí)間定位能力，又具有強(qiáng)的頻率定位能力？選擇什么樣的窗函數(shù)才能使得窗口傅立葉變換具有好的性能？解決問題的思想：從物理意義上來看Dt和D是矛盾的，因此先定義Dt和D后，再計(jì)算Dt和D的乘積用以作為判斷窗口傅立葉變換性能的依據(jù)。窗口傅立葉變換的性能分析：問題的提出：窗口傅立葉變換的性能分析：具體分析過程：假設(shè)：定義：窗口傅立葉變換的性能分析：具體分析過程：定義：窗口傅立葉變換的性能分析：計(jì)算Dt2×D2：海森堡測不準(zhǔn)原理窗口傅立葉變換的性能分析：計(jì)算Dt2×D2：海森堡測不準(zhǔn)原窗口傅立葉變換的性能分析：等號成立條件：結(jié)論：窗口傅立葉變換的時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)提高，只能以一種分辨率的降低來換取另一種分辨率的提高。以高斯函數(shù)作為窗函數(shù)相對來說綜合效果最好。窗口傅立葉變換的性能分析：等號成立條件：結(jié)論：解決窗口傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：問題的提出：窗口傅立葉變換窗口沒有自適應(yīng)性，只適合分析所有特征尺度大致相同的信號，不適于分析多尺度信號和突變過程。解決方法：引入窗口變化機(jī)制，同時(shí)求各種窗口大小下的變換，這樣變換系數(shù)中就同時(shí)包含各種特征尺度下信號的信息。解決窗口傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：問題的提出：小波變換的分類：連續(xù)小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換時(shí)間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都離散的小波變換。小波變換的分類：連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：假設(shè)信號f(t)L2(R)，則它的連續(xù)小波變換定義為：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸一化因子連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的物理意義：時(shí)域上的意義：數(shù)學(xué)顯微鏡（一組有效寬度不同的窗口傅立葉變換的匯集）連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的物理意義：連續(xù)小波變換：頻域上的意義：若f(t)的傅立葉變換為F()，a,b(t)的傅立葉變換為a,b()，則根據(jù)Parseval定理，有：連續(xù)小波變換：頻域上的意義：連續(xù)小波變換：“恒Q性質(zhì)”：假設(shè)(t)的中心為t0，有效寬度為Dt；()的中心為0，有效寬度為D；則a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2,b+at0+aDt/2]|中的性質(zhì)，相應(yīng)地從頻域上說a,b()提取地是F()在窗口[0/a-D/(2a),0/a+D/(2a)]中的性質(zhì)，因此對于小波來說時(shí)域窗口寬度和頻域窗口寬度的乘積始終為DtD。連續(xù)小波變換：“恒Q性質(zhì)”：母小波的例子：Harr小波：母小波的例子：Harr小波：母小波的例子：Mexico草帽小波：母小波的例子：Mexico草帽小波：母小波的例子：Morlet小波：母小波的例子：Morlet小波：連續(xù)小波變換的逆變換：連續(xù)小波變換逆變換存在的可能性：窗口寬度任意調(diào)節(jié)，在時(shí)域上或頻域上能完全恢復(fù)出信號的信息。連續(xù)小波變換結(jié)果有很大的冗余度。以a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：假設(shè)f(t)、(t)L2(R)：連續(xù)小波變換的逆變換：連續(xù)小波變換逆變換存在的可能性：連續(xù)小波變換的逆變換：證明思路：連續(xù)小波變換的逆變換：證明思路：母小波的容許條件：從逆變換公式可以看出母小波的容許條件為：母小波的容許條件：從逆變換公式可以看出母小波的容許條件為：連續(xù)小波變換的逆變換的其他形式：以不等于a,b(t)的小波函數(shù)a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：互為對偶關(guān)系連續(xù)小波變換的逆變換的其他形式：以不等于a,b(t)的小波小波變換的分類：連續(xù)小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換時(shí)間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都離散的小波變換。小波變換的分類：連續(xù)小波變換尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：問題的提出：連續(xù)小波變換中含有很多冗余信息，冗余信息不利于對信號的分析和處理。連續(xù)小波變換的計(jì)算量也大。由于連續(xù)小波變換中有冗余信息，可能對尺度和時(shí)移參數(shù)進(jìn)行離散化后仍可重構(gòu)信號。尺度和時(shí)移參數(shù)離散化要解決的問題：尺度和時(shí)移參數(shù)要怎樣離散化？尺度和時(shí)移參數(shù)離散化后要想重構(gòu)信號對小波函數(shù)應(yīng)有什么樣的要求？尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：問題的提出：尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：尺度和時(shí)移參數(shù)離散化的方法：尺度參數(shù)的離散化：

a=a0j,jZ（通常取a0的值為2，稱為二進(jìn)小波）時(shí)移參數(shù)的離散化：取決于尺度參數(shù)

b=k×a0j,j,kZ尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：尺度和時(shí)移參數(shù)離散化的方法：尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：離散化后的小波變換：怎樣選擇小波函數(shù)才能夠重構(gòu)信號：小波函數(shù)仍應(yīng)滿足連續(xù)小波變換中的容許條件。小波函數(shù)的選擇與離散化的程度有關(guān)系，離散化參數(shù)取樣間隔很小時(shí)對小波函數(shù)的限制也小，而離散化參數(shù)的取樣間隔很大是對小波函數(shù)的限制也會很大。尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：離散化后的小波變換：怎樣選擇小波函數(shù)尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：重構(gòu)信號小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件（框架理論）：對任意的f(t)L2(R)，稱{j,k}為一個(gè)框架，如果存在正參數(shù)A和B（0AB<），使得：分析小波合成小波尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：重構(gòu)信號小波函數(shù)應(yīng)滿足的條件（框架理尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：框架的一種特殊情況－－緊框架：定義：A=B的框架稱為緊框架。性質(zhì)：分析小波的對偶是它本身，類似于正交變換。尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：框架的一種特殊情況－－緊框架：分析小尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：緊框架不是標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個(gè)例子：在二維實(shí)空間中有三個(gè)矢量：尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：緊框架不是標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個(gè)例子：尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：緊框架成為標(biāo)準(zhǔn)正交基的條件：若{j,k}為緊框架，框架界A=B=1，且對所有的j,k有：||j,k||=1，則{j,k}構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基。證明：尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：緊框架成為標(biāo)準(zhǔn)正交基的條件：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的優(yōu)點(diǎn)：變換系數(shù)沒有冗余，能夠很好地反映信號的性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)正交小波基與它的對偶相同。計(jì)算簡單：假設(shè)：以下使用的都是二進(jìn)小波，即小波函數(shù)的形式為：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的優(yōu)點(diǎn)：假設(shè)：小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年Haar提出最簡單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語音識別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語音識別中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形處理等。當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。例如：1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)合。從數(shù)學(xué)來說是大半個(gè)世紀(jì)“調(diào)和分析”的結(jié)晶（包括傅里葉分析、函數(shù)空間等）。小波變換是20世紀(jì)最輝煌科學(xué)成就之一。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用、信號處理、圖象分析、非線性科學(xué)、地球科學(xué)和應(yīng)用技術(shù)等已有重大突破，預(yù)示著小波分析進(jìn)一步熱潮的到來。

小波分析是純數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的完美結(jié)

“小波分析”是分析原始信號各種變化的特性，進(jìn)一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號：是高音還是低音，發(fā)聲時(shí)間長短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對“原始信號”進(jìn)行分解。

“小波分析”是分析原始信號各種變化的特性，進(jìn)一步小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化。時(shí)間：提取信號中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。頻率：提取信號中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時(shí)間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時(shí)間A時(shí)間B小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號中的“指定時(shí)間”

參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11參考：小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級。信號長度為M時(shí)，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：

小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時(shí)間采樣基小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourie信號的時(shí)頻分析：信號時(shí)頻分析的重要性：時(shí)間和頻率是描述信號的兩個(gè)最重要的物理量。信號的時(shí)域和頻域之間具有緊密的聯(lián)系。信號時(shí)頻分析的主要方法：信號的時(shí)頻分析：信號時(shí)頻分析的重要性：反映傅立葉變換缺點(diǎn)的一個(gè)例子：

反映傅立葉變換缺點(diǎn)的一個(gè)例子：傅立葉變換的缺點(diǎn)：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒有反映出隨著時(shí)間的變化信號頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號的突變成分。傅立葉變換的缺點(diǎn)：用傅立葉變換提取信號的頻譜需要利用信號的全解決傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：

解決傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：假設(shè)f(t)L2(R)，則以g(t)作為窗函數(shù)的窗口傅立葉變換定義為：窗口傅立葉變換的物理意義：若g(t)的有效窗口寬度為Dt，則WFg(,b)給出的是f(t)在局部時(shí)間范圍[b-Dt/2,b+Dt/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度Dt越小，對信號的時(shí)間定位能力越強(qiáng)。窗口傅立葉變換（Gabor變換）：窗口傅立葉變換的定義：窗口窗口傅立葉變換的頻域性質(zhì)：問題的提出：窗口傅立葉變換WFg(,b)=<f(t),g,b(t)>給出的是信號在時(shí)域上的處理信息，一個(gè)很自然的問題是窗口傅立葉變換在頻域上是怎樣處理信號的？假設(shè)f(t)的傅立葉變換為F()，g,b(t)的傅立葉變換為G,b()，則根據(jù)Parseval定理有：WFg(,b)=<F(),G,b()>/(2)窗口傅立葉變換頻域上的物理意義：若G()的有效窗口寬度為D，則WFg(,b)給出的是F()在局部頻率范圍[-D

/2,+D

/2]內(nèi)的頻譜信息。有效窗口寬度D越小，對信號的頻率定位能力越強(qiáng)。窗口傅立葉變換的頻域性質(zhì)：問題的提出：窗口傅立葉變換的性能分析：問題的提出：窗口傅立葉變換是否既具有強(qiáng)的時(shí)間定位能力，又具有強(qiáng)的頻率定位能力？選擇什么樣的窗函數(shù)才能使得窗口傅立葉變換具有好的性能？解決問題的思想：從物理意義上來看Dt和D是矛盾的，因此先定義Dt和D后，再計(jì)算Dt和D的乘積用以作為判斷窗口傅立葉變換性能的依據(jù)。窗口傅立葉變換的性能分析：問題的提出：窗口傅立葉變換的性能分析：具體分析過程：假設(shè)：定義：窗口傅立葉變換的性能分析：具體分析過程：定義：窗口傅立葉變換的性能分析：計(jì)算Dt2×D2：海森堡測不準(zhǔn)原理窗口傅立葉變換的性能分析：計(jì)算Dt2×D2：海森堡測不準(zhǔn)原窗口傅立葉變換的性能分析：等號成立條件：結(jié)論：窗口傅立葉變換的時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)提高，只能以一種分辨率的降低來換取另一種分辨率的提高。以高斯函數(shù)作為窗函數(shù)相對來說綜合效果最好。窗口傅立葉變換的性能分析：等號成立條件：結(jié)論：解決窗口傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：問題的提出：窗口傅立葉變換窗口沒有自適應(yīng)性，只適合分析所有特征尺度大致相同的信號，不適于分析多尺度信號和突變過程。解決方法：引入窗口變化機(jī)制，同時(shí)求各種窗口大小下的變換，這樣變換系數(shù)中就同時(shí)包含各種特征尺度下信號的信息。解決窗口傅立葉變換缺點(diǎn)的方法：問題的提出：小波變換的分類：連續(xù)小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換時(shí)間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都離散的小波變換。小波變換的分類：連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：假設(shè)信號f(t)L2(R)，則它的連續(xù)小波變換定義為：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸一化因子連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的物理意義：時(shí)域上的意義：數(shù)學(xué)顯微鏡（一組有效寬度不同的窗口傅立葉變換的匯集）連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的物理意義：連續(xù)小波變換：頻域上的意義：若f(t)的傅立葉變換為F()，a,b(t)的傅立葉變換為a,b()，則根據(jù)Parseval定理，有：連續(xù)小波變換：頻域上的意義：連續(xù)小波變換：“恒Q性質(zhì)”：假設(shè)(t)的中心為t0，有效寬度為Dt；()的中心為0，有效寬度為D；則a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2,b+at0+aDt/2]|中的性質(zhì)，相應(yīng)地從頻域上說a,b()提取地是F()在窗口[0/a-D/(2a),0/a+D/(2a)]中的性質(zhì)，因此對于小波來說時(shí)域窗口寬度和頻域窗口寬度的乘積始終為DtD。連續(xù)小波變換：“恒Q性質(zhì)”：母小波的例子：Harr小波：母小波的例子：Harr小波：母小波的例子：Mexico草帽小波：母小波的例子：Mexico草帽小波：母小波的例子：Morlet小波：母小波的例子：Morlet小波：連續(xù)小波變換的逆變換：連續(xù)小波變換逆變換存在的可能性：窗口寬度任意調(diào)節(jié)，在時(shí)域上或頻域上能完全恢復(fù)出信號的信息。連續(xù)小波變換結(jié)果有很大的冗余度。以a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：假設(shè)f(t)、(t)L2(R)：連續(xù)小波變換的逆變換：連續(xù)小波變換逆變換存在的可能性：連續(xù)小波變換的逆變換：證明思路：連續(xù)小波變換的逆變換：證明思路：母小波的容許條件：從逆變換公式可以看出母小波的容許條件為：母小波的容許條件：從逆變換公式可以看出母小波的容許條件為：連續(xù)小波變換的逆變換的其他形式：以不等于a,b(t)的小波函數(shù)a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：互為對偶關(guān)系連續(xù)小波變換的逆變換的其他形式：以不等于a,b(t)的小波小波變換的分類：連續(xù)小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換時(shí)間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時(shí)間、控制窗口大小的參數(shù)和時(shí)移參數(shù)都離散的小波變換。小波變換的分類：連續(xù)小波變換尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：問題的提出：連續(xù)小波變換中含有很多冗余信息，冗余信息不利于對信號的分析和