等差數(shù)列的前n項和 省賽獲獎

等差數(shù)列的前n項和（1）題型一：已知求【例題1】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，求證：是等差數(shù)列；求通項的表達(dá)式.【解析】（1)證:,即,,得是以為首項,以2為公差的等差數(shù)列；（2)由1)得當(dāng)時,故通項的表達(dá)式為【訓(xùn)練1】若數(shù)列的前項和為，則通項為（ ）A． B． C． D．【答案】A；【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，故得【訓(xùn)練2】數(shù)列中的前項和，則當(dāng)時，的大小關(guān)系為__________.【答案】；【解析】為遞減等差數(shù)列，，則【訓(xùn)練3】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5<ak<8，則k＝_______.【答案】8；【解析】由Sn＝n2－9n，得此數(shù)列為等差數(shù)列，計算得an＝2n－10，由5<2k－10<8，得<k<9，故k＝8.【訓(xùn)練4】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n－1，則它的通項公式為an＝________；【答案】2·3n－1.；【解析】（1）當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2也滿足an＝2·3n－1，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2·3n－1.【訓(xùn)練5】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則其通項公式為________；【答案】＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))【解析】當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時，不滿足上式．故數(shù)列的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))題型二：等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用【例題2】（1）等差數(shù)列中，，求；（2）已知等差數(shù)列的前4項和為25，后4項和為63，前項和為286，求項數(shù)．【解析】（1）∵，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴=，∴．【訓(xùn)練1】若一個等差數(shù)列的前4項和為40，最后4項和為80，且所有項的和為720，則這個數(shù)列有項.【答案】48；【解析】依題意得，，，即【訓(xùn)練2】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．【解析】(1)方法一：，∴a60＝a1＋59d＝130．方法二：，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．(2)不妨設(shè)Sn＝An2＋Bn，∴，∴Sn＝2n2－17n，∴S28＝2×282－17×28＝1092(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝∴15＝即a1＝－5而d＝，∴a8＝a6＋2d＝16，S8＝【訓(xùn)練3】若是等差數(shù)列，首項則使前項和成立的最大自然數(shù)為（）A．4009B．4010C．4011D．4012【答案】B；【解析】則，，故【訓(xùn)練4】在等差數(shù)列共有18項,已知前6項和為36,后6項和為180,求.【解析】在等差數(shù)列中,有相加得.所以,所以,,所以【訓(xùn)練5】已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則數(shù)列{an}的前10項和S10＝()A．138 B．135C．95 D．23【答案】C【解析】方法一：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得2a1＋4d＝4,2a1＋6d＝10，從而可得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10a1＋45d＝95.故選C.方法二：(a3＋a5)－(a2＋a4)＝(a3－a2)＋(a5－a4)＝2d＝6，從而d＝3；又a2＋a4＝2a3＝4，從而a3＝2，所以S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10a3＋a3＋5d,2)＝95.故選C.方法三：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得a4＋a6＝16，a5＋a7＝22，于是a4＋a7＝eq\f(a4＋a6＋a5＋a7,2)＝19，所以S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a4＋a7,2)＝95.方法四：注意到a2＋a4＝2a3＝4，a3＋a5＝2a4＝10，∴a3＝2，a4＝5.又Sn＝an2＋bn，所以a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝2，a4＝S4－S3＝16a＋4b－(9a＋3b)＝5，從而a＝eq\f(3,2)，b＝－eq\f(11,2)，即Sn＝eq\f(3,2)n2－eq\f(11,2)n，所以S10＝95.故選C.題型三：等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用【例題3】已知{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列{}前n項和。求Tn．【解析】設(shè){an}首項為a1公差為d，由∴Sn＝，∴∴Tn＝【訓(xùn)練1】等差數(shù)列的前項和為，，且，,求數(shù)列的通項公式【解析】由，即得=1\*GB3①，又由得=2\*GB3②，由=1\*GB3①=2\*GB3②得，故，，得【訓(xùn)練2】已知數(shù)列中，，令，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求【解析】由得，數(shù)列是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，得，得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即【訓(xùn)練3】數(shù)列____【答案】765；【解析】【訓(xùn)練4】已知在等差數(shù)列{}中，=14，前10項和．（1）求；（2）將{}中的第2項，第5項，…，第項按原來的順序排成一個新數(shù)列，求此數(shù)列的前項和．【解析】(1)由∴由(2)設(shè)新數(shù)列為{}，由已知，【訓(xùn)練5】若數(shù)列成等差數(shù)列,且有,求.【解析】方法1:設(shè),兩式相減得,因為,所以,==.①②方法2:設(shè),則 ,①②①-②得,因為,所以,【訓(xùn)練6】已知等差數(shù)列的前項和為，，求．【解析】方法一：若等差數(shù)列的公差為0，由易得，則；若公差不為0時，由題意得，又，可得．方法二：若等差數(shù)列的公差為0，由易得，則；當(dāng)公差不為0時，為關(guān)于的二次函數(shù)，由得對應(yīng)函數(shù)的對稱軸為，由關(guān)于對稱，且對應(yīng)二次函數(shù)過原點，則有故．綜上．題型四：等差數(shù)列前n項和的最值問題【例題4】等差數(shù)列{an}中，a1＞0，公差d＜0，如果S7=S12，求數(shù)列{an}前n項和Sn的最大值?！窘馕觥糠椒ㄒ唬河蒘7=S12，得d=-a1，∴Sn=na1+n（n-1）d=-a1（n-）2+a1。故當(dāng)n=9，n=10時，（9-）2=（10-）2，所以S9=S10并且最大。方法二：由S7=S12，得d=-a1，由得9≤n≤10，故當(dāng)n=9，n=10時，（9-）2=（10-）2，所以S9=S10并且最大。方法三：由S7=S12，得d=-a1＜0，知{an}是遞減的等差數(shù)列?！逽7=S12，∴a8+a9+…+a12=0∴5a10=0，由此必有a1＞a2＞…＞a10=0＞a11＞…，故S9=S10并且最大?！居?xùn)練1】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若。則當(dāng)取得最大值時，的值為() （B）6 （C）7 （D）8【答案】B；【解析】,有即，，故前6項和為最大?！居?xùn)練2】已知等差數(shù)列的前項和為，，，當(dāng)為何值時，取得最大值．【解析】由題意得，為關(guān)于的二次函數(shù)，且開口向下，由得對應(yīng)函數(shù)的對稱軸為，故當(dāng)或的時候取得最大值．【訓(xùn)練3】等差數(shù)列｛｝的前項和為，已知求公差的取值范圍．（2）指出中哪個最大，并說明理由．【解析】（１）設(shè)＝Ａ＋Ｂ，∵，∴Ｂ＝12－5Ａ，＝Ａ＋，由題意得，∴，即∴（２）∵＝Ａ＋且，又對稱，對稱軸∴當(dāng)＝６時，最大．【訓(xùn)練4】已知等差數(shù)列，且滿足，則前多少項和最大？最大值為多少？【解析】方法1：∵，∴，∴=，令，則，且，∴當(dāng)或時，最大．的最大值為．方法2：∵，∴，，∴，，點在二次函數(shù)的圖象上，有最大值，其對稱軸，當(dāng)或時，最大．的最大值為．【訓(xùn)練5】設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項公式；(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值．【解析】(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n.(2)方法一：由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因為Sn＝－(n－5)2＋25，所以當(dāng)n＝5時