相似三角形基本模型及證明

.PAGE.相似三角形基本模型與證明一、基本圖形回顧經(jīng)典模型構(gòu)造相似輔助線——雙垂直模型1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為<2,1>,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°,求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

2.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線段CD的長(zhǎng)．

3.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn),點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn),沿著直線MN折疊,使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)．求證：MC：NC=AP：PB．

4.如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形ABCO的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1,3,將矩形沿對(duì)角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置,且AD交y軸于點(diǎn)E．那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為〔A.B.C.D.5.已知,如圖,直線y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

構(gòu)造相似輔助線——A、X字型6.如圖：△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F。

求證：7.四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項(xiàng),且AC平分∠DAB。

求證：8.已知：如圖,在△ABC中,M是AC的中點(diǎn),E、F是BC上的兩點(diǎn),且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

相似之共線線段的比例問(wèn)題9.〔1如圖1,點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上,一直線過(guò)點(diǎn)P分別交BA,BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,S,交于點(diǎn)．求證：〔2如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或的延長(zhǎng)線上時(shí),是否仍然成立？若成立,試給出證明；若不成立,試說(shuō)明理由〔要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明；

10.已知：如圖,△ABC中,AB＝AC,AD是中線,P是AD上一點(diǎn),過(guò)C作CF∥AB,延長(zhǎng)BP交AC于E,交CF于F．求證：BP2＝PE·PF．11.如圖,已知ΔABC中,AD,BF分別為BC,AC邊上的高,過(guò)D作AB的垂線交AB于E,交BF于G,交AC延長(zhǎng)線于H。求證：DE2=EG?EH12.已知如圖,P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn),過(guò)P的直線與AD、BC、CD的延長(zhǎng)線、AB的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.

求證：13.已知,如圖,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,H為垂心〔三角形三條高線的交點(diǎn)；在AD上有一點(diǎn)P,且∠BPC為直角．求證：PD2＝AD·DH。相似之等積式類型綜合14.已知如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線交CA于F。

求證：15.如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,點(diǎn)M在CD上,DH⊥BM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

求證：〔1△AED∽△CBM；〔216.如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

〔1求證：.

〔2若G是BC的中點(diǎn),連接GD,GD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由.

17.如圖,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M,CG與AD相交于點(diǎn)N．求證：．

18.如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過(guò)D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H。求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH相似基本模型應(yīng)用19.△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．

〔1如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,求證：△BEM∽△CNE；

〔2如圖2,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,于是,除〔1中的一對(duì)相似三角形外,能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．

20.如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),BR分別交AC、C