南昌大學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

復(fù)習(xí)要點(diǎn)第一部分：計(jì)算題（大題）四階行列式的計(jì)算方法：1、化三角法；2、先按行（或列）展開(kāi)，再用性質(zhì)化簡(jiǎn)；3、先用性質(zhì)化簡(jiǎn)，再按行（或列）展開(kāi)（此法常用！）；4、觀察法：是否每行（列）元素之和相等，相加到某一行（列），再提出公因式，再用性質(zhì)化簡(jiǎn)。例題：計(jì)算下列行列式的值1111123 4D=136101410201111=1解：原式=0123=1013601410二、向量組線性相關(guān)性的判定及極大（最大）無(wú)關(guān)組、其余向量的線性表出式方法：以已知向量組為列向量組作成矩陣，對(duì)矩陣施行（只施行初等行變換），將矩陣化成行階梯形矩陣，然后再化為最簡(jiǎn)形式的行階梯形矩陣（每個(gè)非零行的第一個(gè)不為零的元素所在的列是單位向量即可！）。根據(jù)最簡(jiǎn)形式的行階梯形矩陣來(lái)確定：非零行的行數(shù)為向量組的秩；（秩與向量的個(gè)數(shù)比較后，得出線

性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)）每個(gè)非零行的第一個(gè)不為零的元素所在的列對(duì)應(yīng)的那些向量構(gòu)成向量組的一個(gè)極大（最大）無(wú)關(guān)組；其余向量的表出系數(shù)即為其對(duì)應(yīng)的分量。例題：判定下面向量組的線性相關(guān)性，并求出它的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組及其余向量的線性表出式。■GW)。已知：向量組3=(1,2—1,—2),%=(4,121),4=(2,5,4,—1■GW)。解：作TTTTA二(二1,二2，:3「4「1-2TTTTA二(二1,二2，:3「4「1-2-1「24121254-111111000496929631323」-610130;11300>0<031300Vr(A)-3441,4,%,%線性相關(guān)，且2P3為一最大線性無(wú)關(guān)組。且：4三、判定矩陣可逆，并且求其逆方法：1、 用待定系數(shù)法先計(jì)算該矩陣的行列式，其值不等于零來(lái)判定可逆！已知A=Sj）,設(shè)B=（Xj）,禾?J用AB=E,來(lái)計(jì)算各Xj。（此

法一般不用，比較麻煩?。?2、32、3、逆，再計(jì)算A*（注意其定義不能記錯(cuò)！），然后利用公式A」=」AA來(lái)求出A，；初等行變換法：用初等行變換將A化為E的同時(shí)E經(jīng)過(guò)同樣的初等行變換就得到A」（AEp（EA」）（此過(guò)程只能進(jìn)行初等行變換!例題：設(shè)矩陣A=5,求A的逆矩陣A解:A，E=「33,32-1例題：設(shè)矩陣A=5,求A的逆矩陣A解:A，E=「33,32-101-1-1A46-1123-13）12-2176-11223-1四、方陣A的特征值和特征向量的計(jì)算方法：先算特征多項(xiàng)式,E-A,令其值為零，即,E-A=0,求出所有的特征值Mi=1,211n,;）再檢驗(yàn)特征值的計(jì)算是否正確：

n n n￡%=￡aiE%=A,然后將特征值帶入齊次線性方程組i1 i1i1KE-A)X=0,解其基礎(chǔ)解系，即為此特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。’10例題：求A=021、0的特征值和特征向量b■E1、0的特征值和特征向量b■E■-1 00 ■-2-1 02= -2解得特征值為：％=0,%=%=2。(0+2+2=1+2+1=4,0*2*=|A=0)對(duì)應(yīng)于％=0,求解(九1E—A)X=0,TOC\o"1-5"\h\z卜1 0 -1 1 0 1(-E-A產(chǎn)0 -2 0T 0 1 0-1 0 -1_ _0 0 0_于是得方程組"二一"X2=0取X3=1,則易求得X1=-1,X2=0。即關(guān)于％=0的特征向量口1=(-1,0,1:其全部特征向量為：k1al (其中k1#0)一1 0-1］「41-01對(duì)應(yīng)于%=%=2,有000 x2=0「101JLX3j-0」于是得方程X1=X3,取X2=1,X3=0,得%=(0,1,0)'取X2=0,X3=1,得％=(1,0,1)“嚴(yán)3均為矩陣A的九=2的特征向量。其全部特征向量為：k其全部特征向量為：k2：2k3：3(其中k2,k3不全為零。)五、非齊次線性方程組(含待定參數(shù))的判定及求解方法：先將此方程組的增廣矩陣 A=(Ab)寫(xiě)出來(lái)，對(duì)增廣矩陣A=(Ab)施行(只施行初等行變換)，將矩陣化成行階梯形矩陣，然后再化為最簡(jiǎn)形式的行階梯形矩陣(每個(gè)非零行的第一個(gè)不為零的元素所在的列是單位向量即可！)。系數(shù)矩陣和增廣矩陣的非零行的行數(shù)(即二者的秩！)，進(jìn)行比較來(lái)判定解的情形：當(dāng)r(A)=r(A)=r=n(未知量的個(gè)數(shù))時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)r(A)=r(A)=r<n(未知量的個(gè)數(shù))時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解；當(dāng)r(A)=r(A)時(shí)，方程組無(wú)解。在有解的情形下，寫(xiě)出以最簡(jiǎn)形式的行階梯形矩陣為增廣矩陣的非齊次線性方程組，并移項(xiàng)，根據(jù)秩來(lái)求解！例題：非齊次線性方程組2xi+X2-x3+x4=1x1一X2+&+x4=27x1+2x2—2x3+4x4=a7xi-x2+x3+5x4=b當(dāng)a、b為何值時(shí)有解？在有解的情況下，求其全部解'：A=Ab=-111-24a1 5 b1-111 203-3-1 -309-9a-14.06-6-2b-14_1-111'：A=Ab=-111-24a1 5 b1-111 203-3-1 -309-9a-14.06-6-2b-14_1-11103^-10 0 0 0_0 0 0 021-3a-5b-8100-001000-1002313001-1a-5b-8-111 1-11121-11172-247-115二當(dāng)a—5=0且b—8=0即a=5,b=8時(shí)，R(A)=R(A)=2<4這時(shí)方程組有無(wú)窮多個(gè)解。2dx1 x41當(dāng)a=5,b=8時(shí)，原方程組為:當(dāng)a=5,b=8時(shí)，原方程組為:1 ,X2=X3 二X4-13它的特解為：0=1,-1,0,0T導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：”1=(0,1,1,0)T,”2=(-2,1,0,3:(G,c2為任意常數(shù))原方程組的通解為：X=0?C11(G,c2為任意常數(shù))六、判定二次型的正定性方法：先寫(xiě)出此二次型的矩陣，再分別求各階順序主子式；根據(jù)其全部大于零，來(lái)判定其是正定的，從而二次型也是正定的。例題：t為何值日寸，二次型f(x1,x2,x3)=2x2+2xx2+x；+tx2x3十X2是正定的？

解：二A解：二A二t_20工2A=0工221又A?= =1A021A3=1 10-20t21A3=1 10-20t2111-t工2t2 - -=1-一0=-,2;t：二-.22?.t的取值范圍為：—J2<t<72第二部分：基本概念（填空、選擇題）一、行列式行列式的性質(zhì)（8條）、行列式的展開(kāi)定理的內(nèi)容（定理及推論）二、矩陣矩陣的運(yùn)算（特別是乘法、逆、轉(zhuǎn)置、方哥等及其運(yùn)算性質(zhì)） 、矩陣乘法不滿(mǎn)足交換率、消去律及非零矩陣的乘積可能為零矩陣、矩陣的秩、矩陣方程的求解、矩陣的初等變換、方程組齊次：基礎(chǔ)解系（自由未知量一般的選取原則及通常的賦值方法） ；非齊次