天津市第100中學2022-2023學年數(shù)學高一上期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)在上的最小值為，最大值為2，則的最大值為（）A. B.C. D.22．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．過點與且圓心在直線上的圓的方程為A. B.C. D.4．已知角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)是（）A.奇函數(shù)，且上單調遞增 B.奇函數(shù)，且在上單調遞減C.偶函數(shù)，且在上單調遞增 D.偶函數(shù)，且在上單調遞減6．冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，若.則（）A.2 B.C. D.7．圓：與圓：的位置關系是A.相交 B.相離C.外切 D.內切8．若角(0≤≤2π)的終邊過點，則=(

)A. B.C. D.9．四面體中，各個側面都是邊長為的正三角形，分別是和的中點，則異面直線與所成的角等于（）A.30° B.45°C.60° D.90°10．關于，，下列敘述正確的是（）A.若，則是的整數(shù)倍B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)的圖象關于直線對稱D.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).11．函數(shù)的定義域為（）A.（0，2] B.[0，2]C.[0，2） D.（0，2）12．圓與直線相交所得弦長為（）A.1 B.C.2 D.2二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．若正數(shù)滿足，則的最大值為__________14．若函數(shù)在區(qū)間內為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為___________.15．設向量，，則__________16．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為__________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．在充分競爭的市場環(huán)境中，產品的定價至關重要，它將影響產品的銷量，進而影響生產成本、品牌形象等某公司根據(jù)多年的市場經(jīng)驗，總結得到了其生產的產品A在一個銷售季度的銷量單位：萬件與售價單位：元之間滿足函數(shù)關系，A的單件成本單位：元與銷量y之間滿足函數(shù)關系當產品A的售價在什么范圍內時，能使得其銷量不低于5萬件？當產品A的售價為多少時，總利潤最大？注：總利潤銷量售價單件成本19．已知函數(shù),其中,且.（1）若函數(shù)的圖像過點,且函數(shù)只有一個零點,求函數(shù)的解析式;（2）在（1）的條件下,若,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,求實數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）用定義證明f（x）在（1，＋∞）上單調遞增；（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域21．有一圓與直線相切于點，且經(jīng)過點，求此圓的方程22．在三棱柱中，側棱底面,點是的中點.（1）求證：；（2）求證：；（3）求直線與平面所成的角的正切值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】將寫成分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象數(shù)形結合，即可求得結果.【詳解】當x≥0時，，當＜0時，，作出函數(shù)的圖象如圖：當時，由=，解得=2當時，當＜0時，由,即，解得=，∴此時=，∵[]上的最小值為，最大值為2，∴2，，∴的最大值為，故選：B【點睛】本題考查含絕對值的二次型函數(shù)的最值，涉及圖象的繪制，以及數(shù)形結合，屬綜合基礎題.2、A【解析】函數(shù)有三個零點，轉化為函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，畫出的圖象，結合圖象求解即可【詳解】因為函數(shù)有三個零點，所以函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，，故選：A3、B【解析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點A的距離為半徑，可得圓的方程.【詳解】因為過點與，所以線段AB的中點坐標為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因為圓心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：B【點睛】本題主要考查圓的方程的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4、D【解析】先利用三角函數(shù)的恒等變換確定點P的坐標，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得答案.【詳解】,,即，則，故選：D.5、A【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的定義判定函數(shù)的性質即可.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，有，所以是奇函數(shù)，選項C，D錯誤；設，則有，又由，則，，則，則在上單調遞增，選項A正確，選項B錯誤.故選：A．6、D【解析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再求時的值詳解】解：設冪函數(shù)，其圖象經(jīng)過點，，解得，；若，則，解得故選：D7、A【解析】求出兩圓的圓心和半徑,用圓心距與半徑和、差作比較,得出結論.【詳解】圓的圓心為(1,0),半徑為1,圓的圓心為(0,2),半徑為2,故兩圓圓心距為,兩半徑之和為3,兩半徑之差為1,其中,故兩圓相交,故選:A.【點睛】本題主要考查兩圓的位置關系,需要學生熟悉兩圓位置的五種情形及其判定方法,屬于基礎題.8、D【解析】由題意可得：，由可知點位于第一象限，則.據(jù)此可得：.本題選擇D選項.9、B【解析】利用中位線定理可得GE∥SA，則∠GEF為異面直線EF與SA所成的角，判斷三角形為等腰直角三角形即可.【詳解】取AC中點G，連接EG，GF，F(xiàn)C設棱長為2，則CF=，而CE=1∴EF=，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF為異面直線EF與SA所成的角∵EF=，GE=1，GF=1∴△GEF為等腰直角三角形，故∠GEF=45°故選：B.【點睛】求異面直線所成的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.10、B【解析】由題意利用余弦函數(shù)的圖象和性質，逐一判斷各個結論是否正確，從而得出結論.【詳解】對于A，的周期為,若，則是的整數(shù)倍,故A錯誤；對于B,當時，，則函數(shù)的圖象關于點中心對稱，B正確；對于C,當時，，不是函數(shù)最值，函數(shù)的圖象不關于直線對稱，C錯誤；對于D，，，則不單調，D錯誤故選：B.11、A【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，結合二次根式的性質進行求解即可.【詳解】由題意可知：，故選：A12、D【解析】利用垂徑定理可求弦長.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，故弦長為：，故選：D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】對分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和，代入，解出的范圍，即可得解.【詳解】當，即時，，，因為，所以不成立；當，即時，，，不滿足；當，即時，，，由得，得，得；當，即時，，，由得，得，得，得；當，即時，，，不滿足；當，即時，，，不滿足.綜上所述：.所以得最大值為故答案為：【點睛】關鍵點點睛：對分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和是解題關鍵.14、【解析】由復合函數(shù)單調性的判斷法則及對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0恒成立，列出不等式組求解即可得答案.【詳解】解：因為，函數(shù)在區(qū)間內為減函數(shù)，所以有，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：.15、【解析】，故，故填.16、3【解析】由，得，作出y＝f(x)，的圖象，由圖象可知共有3個交點，故函數(shù)的零點個數(shù)為3故答案為：3三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域及單調性求解即可；（2）由題意原問題轉化為在上恒成立，分與兩種情況分類討論，求出最值解不等式即可.【詳解】(1)時，函數(shù)定義域為解得不等式的解集為(2)設，由題意知，解得，在上恒成立在上恒成立令，的圖象是開口向下，對稱軸方程為的拋物線.①時，上恒成立等價于解得，這與矛盾.②當時，在上恒成立等價于解得或又綜上所述，實數(shù)的取值范圍是【點睛】關鍵點點睛：由題意轉化為在上恒成立，分類討論去掉對數(shù)符號，轉化為二次函數(shù)在上最大值或最小值，是解題的關鍵所在，屬于中檔題.18、（1）（2）14元【解析】（1）根據(jù)題中所給的解析式，分情況列出其滿足的不等式組，求得結果；（2）根據(jù)題意，列出利潤對應的解析式，分段求最值，最后比較求得結果.【詳解】（1）由得，或解得，或.即.答：當產品A的售價時，其銷量y不低于5萬件（2）由題意，總利潤①當時，，當且僅當時等號成立.②當時，單調遞減，所以，時，利潤最大.答：當產品A的售價為14元時，總利潤最大【點睛】該題考查的是有關函數(shù)的應用問題，涉及到的知識點有根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的最值，注意認真分析題意，最后求得結果.19、（1）或（2）【解析】（1）因為,根據(jù)函數(shù)的圖像過點,且函數(shù)只有一個零點,聯(lián)立方程即可求得答案;（2）因為,由（1）可知:,可得,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)的圖像過點,且函數(shù)只有一個零點可得,整理可得,消去得,解得或當時,,當時,,綜上所述,函數(shù)的解析式為:或（2）當,由（1）可知:要使函數(shù)在區(qū)間上單調遞增則須滿足解得,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了求解二次函數(shù)解析式和已知復合函數(shù)單調區(qū)間求參數(shù)范圍.掌握復合函數(shù)單調性同增異減是解題關鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.20、（1）f（x）為奇函數(shù)，理由見解析（2）證明見解析（3）[－，－2]【解析】（1）根據(jù)奇偶性的定義判斷；（2）由單調性的定義證明；（3）由單調性得值域【小問1詳解】f（x）為奇函數(shù)由于f（x）的定義域為，關于原點對稱，且，所以f（x）為在上的奇函數(shù)（畫圖正確，由圖得出正確結論，也可以得分）【小問2詳解】證明：設任意，，有由，得，，即，所以函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上單調遞增【小問3詳解】由（1），（2）得函數(shù)f（x）在[－2，－1]上單調遞增，故f（x）的最大值為，最小值為，所以f（x）在[－2，－1]的值域為[－，－2]21、x2＋y2－10x－9y＋39＝0【解析】法一:設出圓的方程,代入B點坐標,計算參數(shù),即可.法二:設出圓的方程，結合題意，建立方程，計算參數(shù)，即可．法三：設出圓的一般方程，代入A,B坐標，建立方程，計算參數(shù)，即可．法四：計算CA直線方程，計算BP方程，計算點P坐標，計算半徑和圓心坐標，建立圓方程，即可【詳解】法一：由題意可設所求的方程為，又因為此圓過點，將坐標代入圓的方程求得，所以所求圓的方程為.法二：設圓的方程為，則圓心為，由，,，解得，所以所求圓的方程為.法三：設圓的方程為，由，，在圓上，得，解得，所以所求圓的方程為.法四：設圓心為，則，又設與圓的另一交點為，則的方程為，即.又因為，所以，所以直線的方程為.解方程組，得，所以所以圓心為的中點，半徑為.所以所求圓的方程為.【點睛】考查了圓方程的計算方法，關鍵在于結合題意建立方程組，計算參數(shù)，即可，難度中等22、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設運用線面平行的判定定理進行分析推證；（2）借助題設條件先證明線面垂直，再運用線面垂直的性質定理進行推證；（3）先運用線面角的定義找出線面角，再運用解三角形求其正切值：（1）如圖，令分別為的中點，又∵（2）證明：∠⊥在直三棱柱中,⊥又⊥平