高等代數(shù)課件(北大版)第五章二次型§51

第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小結(jié)與習(xí)題11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§51一、n元二次型二、非退化線性替換三、矩陣的合同四、小結(jié)§5.1二次型的矩陣表示11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、n元二次型二、非退化線性替換三、矩陣的合同四、小結(jié)§5.2解析幾何中選擇適當(dāng)角度θ,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸

(標(biāo)準(zhǔn)方程)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線

問(wèn)題的引入:11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解析幾何中選擇適當(dāng)角度θ,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸(標(biāo)準(zhǔn)方程)中3代數(shù)觀點(diǎn)下作適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換

只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式

(標(biāo)準(zhǔn)形)11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院代數(shù)觀點(diǎn)下作適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式二次齊次4一、n元二次型1、定義：設(shè)P為數(shù)域，稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型．①n個(gè)文字的二次齊次多項(xiàng)式11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、n元二次型1、定義：設(shè)P為數(shù)域，稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二5注意2)式①也可寫(xiě)成1)為了計(jì)算和討論的方便,式①中的系數(shù)寫(xiě)成11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院注意2)式①也可寫(xiě)成1)為了計(jì)算和討論的方便,式①中61）約定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjxi，有②2、二次型的矩陣表示11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1）約定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjx7則矩陣A稱為二次型的矩陣.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院則矩陣A稱為二次型的矩陣.811/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11/23/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9于是有11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院于是有11/23/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因?yàn)槿绱?，討論二次型時(shí)矩陣是一個(gè)有力的工具.

若且，則1）二次型的矩陣總是對(duì)稱矩陣,即（這表明在選定文字下，二次型完全由對(duì)稱矩陣A決定.)11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因?yàn)槿绱?，討論?1例11）實(shí)數(shù)域R上的2元二次型

3）復(fù)數(shù)域C上的4元二次型它們的矩陣分別是：2）實(shí)數(shù)域R上的3元二次型11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例11）實(shí)數(shù)域R上的2元二次型3）復(fù)數(shù)域C上的4元二次型12二、非退化線性替換1、定義：是兩組文字,，關(guān)系式③稱為由的一個(gè)線性替換;若系數(shù)行列式|cij|≠0,則稱③為非退化線性替換.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、非退化線性替換1、定義：是兩組文字,，關(guān)系式③稱為由13.0它是非退化的.∵系數(shù)行列式

例2解析幾何中的坐標(biāo)軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)解角度即變換11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院.0它是非退化的.∵系數(shù)行列式例2解析幾何中的坐標(biāo)142、線性替換的矩陣表示則③可表示為X=CY

④若|C|≠0，則④為非退化線性替換.注1）③或④為非退化的為可逆矩陣.2）若X＝CY為非退化線性替換，則有非退化線性替換.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2、線性替換的矩陣表示則③可表示為X=CY④注15即，B為對(duì)稱矩陣.

3、二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換仍為二次型————

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事實(shí)上，是一個(gè)二次型.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院即，B為對(duì)稱矩陣.3、二次型經(jīng)過(guò)16三、矩陣的合同1）合同具有對(duì)稱性：傳遞性:即C1C2可逆.反身性:注:

1、定義：設(shè)，若存在可逆矩陣使，則稱A與B合同.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院三、矩陣的合同1）合同具有對(duì)稱性：傳遞性:即C1C2可逆.反173）與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是對(duì)稱矩陣.

2）合同矩陣具有相同的秩.

2、經(jīng)過(guò)非退化線性替換，新二次型矩陣與A與B合同.二次型X′AX可經(jīng)非退化線性替換化為二次型Y′BY進(jìn)而，有:C可逆原二次型矩陣是合同的.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3）與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是對(duì)稱矩陣.2）合同矩陣具有相同的18例2證明：矩陣A與B合同，其中一個(gè)排列.證：作二次型11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例2證明：矩陣A與B合同，其中一個(gè)排列.證：作二次型11/19故矩陣A與B合同.對(duì)作非退化線性替換則二次型化為（注意

的系數(shù)為）11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院故矩陣A與B合同.對(duì)作非退化線性替換則二次型化20練習(xí)

寫(xiě)出下列二次型的矩陣其中11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院練習(xí)寫(xiě)出下列二次型的矩陣其中11/23/2022數(shù)學(xué)與計(jì)21答案11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院答案11/23/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院22-

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4.解：11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院--4.解：11/23/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院23四、小結(jié)

n元二次型：非退化線性替換：，或X=CY，|C|≠0.基本概念矩陣的合同：11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院四、小結(jié)n元二次型：非退化線性替換：，或X=CY，|C24

基本結(jié)論1、二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換仍為二次型.3、矩陣的合同關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性.2、二次型X′AX可經(jīng)非退化線性替換化為二型Y′BY11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院基本結(jié)論1、二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換仍為二次型.3、矩陣的25第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小結(jié)與習(xí)題11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§526一、n元二次型二、非退化線性替換三、矩陣的合同四、小結(jié)§5.1二次型的矩陣表示11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、n元二次型二、非退化線性替換三、矩陣的合同四、小結(jié)§5.27解析幾何中選擇適當(dāng)角度θ,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸

(標(biāo)準(zhǔn)方程)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線

問(wèn)題的引入:11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解析幾何中選擇適當(dāng)角度θ,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸(標(biāo)準(zhǔn)方程)中28代數(shù)觀點(diǎn)下作適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換

只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式

(標(biāo)準(zhǔn)形)11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院代數(shù)觀點(diǎn)下作適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式二次齊次29一、n元二次型1、定義：設(shè)P為數(shù)域，稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型．①n個(gè)文字的二次齊次多項(xiàng)式11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、n元二次型1、定義：設(shè)P為數(shù)域，稱為數(shù)域P上的一個(gè)n元二30注意2)式①也可寫(xiě)成1)為了計(jì)算和討論的方便,式①中的系數(shù)寫(xiě)成11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院注意2)式①也可寫(xiě)成1)為了計(jì)算和討論的方便,式①中311）約定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjxi，有②2、二次型的矩陣表示11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1）約定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjx32則矩陣A稱為二次型的矩陣.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院則矩陣A稱為二次型的矩陣.3311/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11/23/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院34于是有11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院于是有11/23/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院35注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因?yàn)槿绱?，討論二次型時(shí)矩陣是一個(gè)有力的工具.

若且，則1）二次型的矩陣總是對(duì)稱矩陣,即（這表明在選定文字下，二次型完全由對(duì)稱矩陣A決定.)11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因?yàn)槿绱?，討論?6例11）實(shí)數(shù)域R上的2元二次型

3）復(fù)數(shù)域C上的4元二次型它們的矩陣分別是：2）實(shí)數(shù)域R上的3元二次型11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例11）實(shí)數(shù)域R上的2元二次型3）復(fù)數(shù)域C上的4元二次型37二、非退化線性替換1、定義：是兩組文字,，關(guān)系式③稱為由的一個(gè)線性替換;若系數(shù)行列式|cij|≠0,則稱③為非退化線性替換.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、非退化線性替換1、定義：是兩組文字,，關(guān)系式③稱為由38.0它是非退化的.∵系數(shù)行列式

例2解析幾何中的坐標(biāo)軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)解角度即變換11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院.0它是非退化的.∵系數(shù)行列式例2解析幾何中的坐標(biāo)392、線性替換的矩陣表示則③可表示為X=CY

④若|C|≠0，則④為非退化線性替換.注1）③或④為非退化的為可逆矩陣.2）若X＝CY為非退化線性替換，則有非退化線性替換.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2、線性替換的矩陣表示則③可表示為X=CY④注40即，B為對(duì)稱矩陣.

3、二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換仍為二次型————

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事實(shí)上，是一個(gè)二次型.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院即，B為對(duì)稱矩陣.3、二次型經(jīng)過(guò)41三、矩陣的合同1）合同具有對(duì)稱性：傳遞性:即C1C2可逆.反身性:注:

1、定義：設(shè)，若存在可逆矩陣使，則稱A與B合同.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院三、矩陣的合同1）合同具有對(duì)稱性：傳遞性:即C1C2可逆.反423）與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是對(duì)稱矩陣.

2）合同矩陣具有相同的秩.

2、經(jīng)過(guò)非退化線性替換，新二次型矩陣與A與B合同.二次型X′AX可經(jīng)非退化線性替換化為二次型Y′BY進(jìn)而，有:C可逆原二次型矩陣是合同的.11/24/2022數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3）與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是對(duì)稱矩陣.2）合同矩陣具有相同的43例2證明：矩陣A與B合同，其中一個(gè)排列.證：作二次型11/24/2