數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)解讀教學(xué)課件

對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的

初步認(rèn)識(shí)1

對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的

初步核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在本質(zhì)上與以人為本或以學(xué)生發(fā)展為本的理念是一致的。為了便于理解，我們可以將核心素養(yǎng)抽象為這樣幾句話：核心素養(yǎng)是后天習(xí)得的、與特定情境有關(guān)的，而不是隨時(shí)隨地都可以表達(dá)出來的東西；是通過人的行為表現(xiàn)出來的，因此是可監(jiān)測的知識(shí)、能力和態(tài)度；涉及人與社會(huì)、人與自己、人與工具三個(gè)方面，最終要落實(shí)在人即受教育者身上。2

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在本質(zhì)上與以人為本或以學(xué)生發(fā)展為本的理念是一3

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4全面發(fā)展的人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)健康生活責(zé)任擔(dān)當(dāng)實(shí)踐創(chuàng)新人文底蘊(yùn)科學(xué)精神樂學(xué)善學(xué)勤于反思信息意識(shí)珍愛生命健全人格自我管理人文積淀人文情懷審美情趣社會(huì)責(zé)任國家認(rèn)同國際理解勞動(dòng)意識(shí)問題解決技術(shù)應(yīng)用理性思維批判質(zhì)疑勇于探究自主發(fā)展社會(huì)參與文化基礎(chǔ)5

全面發(fā)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)責(zé)任擔(dān)當(dāng)人文底蘊(yùn)樂學(xué)善學(xué)珍愛生命人文積淀社會(huì)責(zé)具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人思考自學(xué)合作交流創(chuàng)新實(shí)踐數(shù)學(xué)抽象運(yùn)算推理數(shù)學(xué)模型直觀想象數(shù)據(jù)分析轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)規(guī)律數(shù)學(xué)關(guān)系核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手段又是目標(biāo)核心素養(yǎng)從哪里來？核心素養(yǎng)內(nèi)涵是什么？個(gè)人發(fā)展思想能力數(shù)學(xué)認(rèn)知核心素養(yǎng)到哪里去？核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)6

具有數(shù)學(xué)思考自學(xué)數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)概念核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手我所理解的核心素養(yǎng)（獨(dú)立思考）以前：以“雙基”（知識(shí)技能）為載體—→發(fā)展能力以后：以“四基”“四能”為載體—→培養(yǎng)情感態(tài)度價(jià)值觀把“以知識(shí)為導(dǎo)向的教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙院诵乃仞B(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)”，即：從“以知識(shí)為本”—→“以學(xué)生發(fā)展為本”或者說：“知識(shí)核心時(shí)代”—→“素養(yǎng)核心時(shí)代”7

我所理解的核心素養(yǎng)（獨(dú)立思考）以前：以“雙基”（知識(shí)技能）為1.什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為：具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。那么，設(shè)定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn)又是什么呢？我們可以這樣認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。所謂數(shù)學(xué)的眼光，本質(zhì)就是抽象，抽象使得數(shù)學(xué)具有一般性；所謂數(shù)學(xué)的思維，本質(zhì)就是推理，推理使得數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性；所謂數(shù)學(xué)的語言，主要是數(shù)學(xué)模型，模型使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用具有廣泛性。

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1.什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？8數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)秉承這樣的基本理念把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合理的問題；啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流；讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。9

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)秉承這樣的基本理念把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合教師要在學(xué)科教學(xué)中幫助學(xué)生掌握知識(shí)、提高能力、發(fā)展素養(yǎng)

要形成學(xué)科核心素養(yǎng)是終極目標(biāo)，在本質(zhì)上，這樣的目標(biāo)不是教師短時(shí)間“教”出來的，而是學(xué)生領(lǐng)悟出來的，是長期經(jīng)驗(yàn)的積累，是在一個(gè)過程中慢慢形成的。這就需要把常態(tài)教學(xué)與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)結(jié)合在一起，老師們在備課時(shí)可以將核心素養(yǎng)的要求呈現(xiàn)出來。比如：在教學(xué)目標(biāo)中，教師在設(shè)想過程性目標(biāo)時(shí)，不僅要說“經(jīng)歷什么”“探究什么”，還應(yīng)該明確“得到什么”，比如說，形成“幾何直觀”素養(yǎng)。與此同時(shí)，教師備課不能僅局限于某一堂課，而應(yīng)當(dāng)把相對成邏輯體系的知識(shí)整合在一起，思考通過這些課程讓學(xué)生掌握什么樣的知識(shí)和能力，培養(yǎng)什么素養(yǎng)，然后再考慮每堂課怎樣體現(xiàn)。

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教師要在學(xué)科教學(xué)中幫助學(xué)生掌握知識(shí)、提高能力、發(fā)展素養(yǎng)要形如何將學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)貫串于教學(xué)中1.數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”2.邏輯推理：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維想”3.數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語言說”11

如何將學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)貫串于教學(xué)中1.數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的核心詞，如符號(hào)意識(shí)、數(shù)感，甚至幾何直觀和空間想象，都可以歸到數(shù)學(xué)抽象這個(gè)素養(yǎng)中。小學(xué)階段通過抽象得到的是基本概念，還包括關(guān)系和法則。抽象的方法有兩種：對應(yīng)和內(nèi)涵。對應(yīng)的方法就是給研究對象起個(gè)名字，內(nèi)涵的方法就是給研究對象明確定義。我建議老師們在一、二年級的教學(xué)中采用對應(yīng)的方法，重在讓學(xué)生感悟；以后可以逐漸采用內(nèi)涵的方法，重在讓學(xué)生理解.

比如：啟發(fā)學(xué)生理解“數(shù)是什么？數(shù)的本質(zhì)是什么？表示數(shù)的關(guān)鍵是什么？”時(shí)，在讓學(xué)生理解基本概念、關(guān)系和規(guī)律的同時(shí)，教師一定要知道這些內(nèi)容涉及“符號(hào)意識(shí)”和“數(shù)感”這兩個(gè)核心素養(yǎng)。12

數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中邏輯推理：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維想”一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過歸納推理探究成因，比如：探究計(jì)算方法規(guī)定的緣由。在混合運(yùn)算中，為什么要先乘除后加減？對于“3+2×6=3+12=18”這樣的算式，可以舉例說明：“操場上有3名同學(xué)，又來了一隊(duì)同學(xué)，2人一排共6排。問現(xiàn)在操場上有多少名同學(xué)？”其計(jì)算的緣由可以理解為：現(xiàn)在同學(xué)數(shù)=原來同學(xué)數(shù)+后來同學(xué)數(shù)=3+2×6，因此可以得到先乘除后加減的結(jié)論。教師可以讓學(xué)生感悟，混合運(yùn)算是講兩個(gè)或者兩個(gè)以上的故事，先乘除后加減的規(guī)定就是一個(gè)故事、一個(gè)故事地計(jì)算。教師要在引導(dǎo)學(xué)生邏輯推理的過程中，逐漸幫助他們建立數(shù)學(xué)的思維模式，這就是會(huì)用數(shù)學(xué)的思維想。在教學(xué)中，如果學(xué)生討論不清楚或者教師講不明白，那就舉例說明。一個(gè)好老師的頭腦中應(yīng)該有很多例子，甚至能隨時(shí)根據(jù)需要想出一些例子來。但所有的應(yīng)用題必須是在生活中能夠發(fā)生的，不能硬編。13

邏輯推理：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維想”一類是從特殊到一般的推數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語言說”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心詞還有模型思想、數(shù)據(jù)分析觀念等，這都是數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型、解決問題的過程。也就是說，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。因此數(shù)學(xué)模型是一個(gè)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模突出學(xué)生系統(tǒng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型核心素養(yǎng)，能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，使其加深對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，逐步積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)。14

數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語言說”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的如何在教學(xué)評價(jià)中考查學(xué)科核心素養(yǎng)

在基于核心素養(yǎng)的學(xué)科教學(xué)中，評價(jià)與考核很重要，除了考查學(xué)生知識(shí)技能的獲得，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的形成。1.不強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度：重思考深度、輕技巧訓(xùn)練2.監(jiān)測內(nèi)容要指向?qū)W科核心素養(yǎng)：關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)3.采用滿意原則：考查學(xué)生的思維過程15

如何在教學(xué)評價(jià)中考查學(xué)科核心素養(yǎng)

在基于核心素養(yǎng)的學(xué)科教學(xué)中不強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度：重思考深度、輕技巧訓(xùn)練我認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)過分強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度是沒有道理的，速度的訓(xùn)練是導(dǎo)致學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)加重的主要原因。我們在后來的基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中，嘗試減少題量或者是延長測試時(shí)間。素養(yǎng)培養(yǎng)是慢功夫。學(xué)校不能動(dòng)輒考核教師，否則只會(huì)導(dǎo)致教師也要求學(xué)生拼命練習(xí)，通過反復(fù)做題訓(xùn)練速度，培養(yǎng)應(yīng)試技巧。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要思考的，教師的一項(xiàng)重要責(zé)任，就是要引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、敢于思考、善于思考。16

不強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度：重思考深度、輕技巧訓(xùn)練我認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)過分強(qiáng)監(jiān)測內(nèi)容要指向?qū)W科核心素養(yǎng)：關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)以前的測試主要考查學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)了解、理解、掌握的程度，在基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中，我們要求監(jiān)測內(nèi)容中要蘊(yùn)含數(shù)學(xué)素養(yǎng)，比如：考查學(xué)生對概念的理解，以及學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象力等，尤其是要關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)，考查學(xué)生的思維能力。有這樣一道題目。五年一班和五年二班舉行跳繩比賽，每班派10人參加比賽。已經(jīng)賽完9人，將派最后1名同學(xué)上場。五年一班可以在甲、乙兩名同學(xué)中選出。這兩名同學(xué)最近成績是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），這兩名同學(xué)的平均分差不多，你建議讓哪位同學(xué)上場比賽？理由是什么？學(xué)生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因?yàn)橐业某煽儽容^穩(wěn)定；但是郊區(qū)有一些孩子生活經(jīng)驗(yàn)豐富，認(rèn)為得看賽完九次之后的成績，如果五年一班輸了，那就可以讓甲參加比賽，因?yàn)榧椎某煽兲S比較大，沖一沖沒準(zhǔn)這次就贏了。這時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維能力是與生活閱歷有關(guān)的。

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監(jiān)測內(nèi)容要指向?qū)W科核心素養(yǎng)：關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)以前的測試主要采用滿意原則：考查學(xué)生的思維過程我們可以通過開放題來考查學(xué)生的思維過程，開放題應(yīng)當(dāng)采用加分原則。我曾經(jīng)給小學(xué)四年級出過這樣一道題：有兩個(gè)居民區(qū)，中間有一條道路連接，現(xiàn)在要在路邊建一個(gè)超市，你建議建在哪里？為什么？大部分學(xué)生答應(yīng)該建在中間位置，因?yàn)榇蠹易叩靡粯舆h(yuǎn)，這樣的回答有道理，可得滿分；有的學(xué)生答要看居民區(qū)人的多少，應(yīng)該離人多的居民區(qū)近一點(diǎn)，這樣的回答更好了，可以多加兩分；還有的學(xué)生答需調(diào)查哪個(gè)居民區(qū)去超市的人多，按比例來建，這樣的回答可以再多加兩分。只要學(xué)生答得更好，就可以給他加分。在這樣的測試中，我們不能僅僅通過結(jié)果判斷學(xué)生答案的對和錯(cuò)，重要的是判斷學(xué)生的思維過程是否有道理，是否合乎邏輯；只要學(xué)生的思維過程與得到的結(jié)論是一致的就應(yīng)該滿意，這就是“滿意原則”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于開放題的答案是不確定的，這就對我們的老師提出了更高的要求，教師不僅要能出題，還要有判斷思維是否有邏輯的能力。因此，教師在日常教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生們思考問題，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識(shí)技能的同時(shí)，積累思維的和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。18

采用滿意原則：考查學(xué)生的思維過程我們可以通過開放題來考查學(xué)生例子——三角形內(nèi)角和知識(shí)：三角形內(nèi)角和是180°。能力：測量、剪拼、折疊——結(jié)論；為什么？證明。情感態(tài)度：求真求美真的是180°嗎？各種各樣的三角形，所有三角形的內(nèi)角和都是180°？——有意思！真美！欣賞：三角形外角和、三線分別交于一點(diǎn)……——神奇課例：《神奇的三角形》（王開杰，2015.11期）引發(fā)自主探究：四邊形、圓……（興趣、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)）19

例子——三角形內(nèi)角和知識(shí)：三角形內(nèi)角和是180°。19二、主動(dòng)探索、實(shí)施20

實(shí)施核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是——把“以知識(shí)為導(dǎo)向的教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙院诵乃仞B(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)”“數(shù)學(xué)好玩”——

你感覺到了嗎？二、主動(dòng)探索、實(shí)施20實(shí)施核心素養(yǎng)的（一）好的呈現(xiàn)形式

喚醒學(xué)生的最好辦法是：向他們提供有吸引力的數(shù)學(xué)游戲、智力題、魔術(shù)、笑話、悖論、打油詩，或那些呆板的教師認(rèn)為無意義而避開的其他東西。

——[美]馬丁.加德納（M.Gardner）21

（一）好的呈現(xiàn)形式喚醒學(xué)生的最好辦法是：向幾個(gè)案例：1.風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；（王俊，2006.06期）2.字母表示數(shù)（李培芳，2015.04期）3.神奇三角形（王開杰，2015.11期）4.七橋問題（一筆畫，萬里春，2014.03期）5.24點(diǎn)與角谷猜想（數(shù)學(xué)黑洞，姚新付，2009.11期）6.實(shí)踐性作業(yè)（榮玲，2008.12）22

幾個(gè)案例：1.風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；（王俊，2006.06期）221.數(shù)學(xué)游戲——“24點(diǎn)”（比賽；車牌號(hào)），搶30，明7暗7；幻方；3階、4階、5階；欣賞（2014.期）數(shù)獨(dú)：規(guī)則簡單，入門容易；但是難度不一，分很多級。網(wǎng)上有很多介紹、題目，甚至有在線軟件。電腦游戲：挖地雷，俄羅斯方塊……七巧板（2014.期）（北師新教材一下）；折紙（北師新教材一下，折飛機(jī)）魔方23

1.數(shù)學(xué)游戲——“24點(diǎn)”（比賽；車牌號(hào)），搶30，明7暗72.智力題——偵查員過橋；……3.活潑的、多樣的形式——數(shù)學(xué)魔術(shù)、謎語、相聲、笑話……數(shù)學(xué)詩?！吧綆p一寺一壺酒，爾樂苦煞吾。把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂爾樂?！保?？）數(shù)學(xué)故事：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；阿凡提分馬（北師版實(shí)驗(yàn)教材六上）《哲思數(shù)學(xué)課》深入思考P46快樂數(shù)學(xué)節(jié)（孔凡哲，2014.06期）24

2.智力題——244.猜想、悖論——回文數(shù)與猜想，數(shù)學(xué)黑洞猜想：哥德巴赫猜想；四色定理……悖論：理發(fā)師悖論；世界是不存在的5.數(shù)學(xué)美——比例美（構(gòu)圖美）：對稱；0.618與高跟鞋，數(shù)學(xué)與建筑。邏輯美、懸念美、組合美、奇異美、抽象美、簡潔美、創(chuàng)新美……（和諧美：e-iπ+1=0

）25

4.猜想、悖論——256.數(shù)學(xué)文化——鄭毓信、李鐵安等專家的闡釋；張齊華、姚新付、邵漢民等的研究與實(shí)踐

（2009.03、7-8、11期；2010.04期；2017.03期……）7.綜合與實(shí)踐——一周、一個(gè)月甚至一學(xué)期才能完成的“長作業(yè)”。

（榮玲，2008.12期）；大樹有多高（2014.05期）美國一二年級學(xué)生就能研究鯨魚、寫報(bào)告，我們的學(xué)生就不能做研究嗎？這是大的問題——?jiǎng)?chuàng)新！26

6.數(shù)學(xué)文化——268.數(shù)學(xué)閱讀。科普類的書。（是否適合小學(xué)生閱讀？）27

8.數(shù)學(xué)閱讀。2728

28（二）數(shù)學(xué)自身的魅力1.數(shù)學(xué)化：情境—數(shù)學(xué)化—應(yīng)用，抽象化、數(shù)量化訪談?lì)惞?jié)目：你幸福嗎？——幸福指數(shù)（量化）；收入分配是否公平：基尼系數(shù)生活水平狀況：恩格爾系數(shù)29

（二）數(shù)學(xué)自身的魅力1.數(shù)學(xué)化：29數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。這個(gè)體育場比那個(gè)體育場大?！^察（物理）

大多少呢？——數(shù)量化（精確度量）“呀，這個(gè)電視塔真高?。　眴枺骸坝卸喔哐?？”

估測——不能瞎估——尋找參照物（標(biāo)準(zhǔn)）——個(gè)性化標(biāo)準(zhǔn)——統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)?！Ｐ偷慕ⅲＰ退枷耄┘臃ǎp法、乘法、除法）模型。如乘法模型：幾個(gè)幾，倍，面積，組合。30

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。302.三大特性：（1）高度的抽象性：例：減法的初步認(rèn)識(shí)（劉加霞）分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)：一張正方形紙，橫著對折、豎著對折、斜著對折……——1/2定義另一種運(yùn)算，如⊕：a⊕b=a2+b2質(zhì)數(shù)與合數(shù)；分解質(zhì)因數(shù)（唯一性）31

2.三大特性：31（2）嚴(yán)密的邏輯性：三角形內(nèi)角和（量、折、拼——證明）；計(jì)算的步驟（每一步都有根有據(jù)——有根據(jù)思考的習(xí)慣）數(shù)學(xué)的確定性。如0不能作除數(shù)。確定性的喪失：估算、估測、估計(jì)；概率。（3）廣泛的應(yīng)用性：華羅庚：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！?2

（2）嚴(yán)密的邏輯性：323.數(shù)學(xué)思想方法：基本數(shù)學(xué)思想：抽象、推理、模型、審美。由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的有：分類思想，集合思想，“變中有不變”思想，符號(hào)表示思想，對應(yīng)思想，有限與無限的思想，等等。由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，普遍聯(lián)系的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等。33

3.數(shù)學(xué)思想方法：33由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來的有：簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機(jī)的思想，統(tǒng)計(jì)的思想，等等。由“數(shù)學(xué)審美的思想”派生出來的有：簡潔的思想，對稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡馭繁的思想，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等?！櫯妗缎W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也要注重滲透數(shù)學(xué)思想》，2012.7-8期）34

由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來的有：簡化的思想，量化的思想，函4.數(shù)學(xué)的發(fā)展和規(guī)律：（1）數(shù)域的擴(kuò)充。朱樂平教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”：用1、2寫算式：1+2，2-1……1-2，1÷2。（2）優(yōu)化——優(yōu)勝劣汰。如，記數(shù)法。9+幾：數(shù)小棒、扳指頭數(shù)數(shù)，特殊方法（5+7），湊十法，規(guī)律法。進(jìn)位加法（乘法）。運(yùn)算律——探索與發(fā)現(xiàn)（除法有分配律嗎？）注重過程、體驗(yàn)。如用古羅馬數(shù)字記數(shù)。35

4.數(shù)學(xué)的發(fā)展和規(guī)律：35（3）量的發(fā)展：古代量的規(guī)定的隨意性——小范圍的統(tǒng)一（秦始皇）——國際上的統(tǒng)一——逐步精確化：光速——原子（2015.06期）（4）三角形中的規(guī)律：穩(wěn)定性（唯一性）；三邊關(guān)系；內(nèi)角和；三線各自交于一點(diǎn)（高、中線、角平分線）；內(nèi)角和與外角和都是常數(shù)……（5）數(shù)學(xué)發(fā)展中的困惑：三次數(shù)學(xué)危機(jī)（無理數(shù)、無窮小量、理發(fā)師悖論），尺規(guī)作圖三大難題；芝諾悖論（神行太保追烏龜不及）。（6）數(shù)學(xué)中的奧妙：風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；數(shù)學(xué)黑洞……36

（3）量的發(fā)展：古代量的規(guī)定的隨意性——小范圍的統(tǒng)一（秦始皇5.其他（1）三角形分形結(jié)構(gòu)“科赫雪花”。此雪花曲線的周長是無限的，而其面積是有限的（為原三角形的8/5倍）。37

5.其他37（2）“謝爾賓斯基三角形”。在正三角形中不斷挖去“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）后剩下的圖形。它的神奇在于：該三角形的面積越趨近于零，而它的周長越趨近于無限大。

38

（2）“謝爾賓斯基三角形”。38（3）哥尼斯堡七橋問題；（一筆畫）《一筆畫的起源、發(fā)展及其價(jià)值》（2013.01期）課堂教學(xué)實(shí)錄：《趣味與文化相融合…》（萬里春，2014.03期）39

（3）哥尼斯堡七橋問題；（一筆畫）3940增設(shè)實(shí)踐問題，更新作業(yè)模式

——

一次數(shù)學(xué)作業(yè)模式改革的實(shí)驗(yàn)

（榮玲，2008.12）布置周末家庭作業(yè)：在家長陪同下，認(rèn)真觀察交叉路口的狀況，尋找數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行解答。學(xué)生全部按時(shí)完成。學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題及解答情況與平時(shí)課堂表現(xiàn)大致吻合，展現(xiàn)出的優(yōu)點(diǎn)和暴露出的不足較之以往的作業(yè)更明顯。典型作業(yè)主要有以下幾種:

40增設(shè)實(shí)踐問題，更新作業(yè)模式

——一次數(shù)學(xué)作業(yè)模式改革的41作業(yè)一：松齡路的寬度為30米，每次綠燈的時(shí)間為50秒，要想順利通過馬路，行人的最低速度是多少？學(xué)生的解答是：30÷50=0.6（米/秒）。分析：有2/3以上的學(xué)生提出此類問題。他們設(shè)計(jì)的問題有機(jī)械模仿書本的痕跡，雖無創(chuàng)意，但亦無錯(cuò)誤。老師只需稍加引導(dǎo)，將學(xué)生的思維打開，其綜合能力將會(huì)普遍提升。

41作業(yè)一：松齡路的寬度為30米，每次綠燈的時(shí)間為50秒，要42作業(yè)二：松齡路南側(cè)非機(jī)動(dòng)車道的寬度是5米，機(jī)動(dòng)車道的寬度是20米，那么松齡路上非機(jī)動(dòng)車道的寬度是機(jī)動(dòng)車道的幾分之幾？學(xué)生的答案為1／2。分析：可取之處在于，學(xué)生突破了總是圍繞“路程、速度與時(shí)間”設(shè)計(jì)問題的思維定勢。還設(shè)計(jì)了一個(gè)思維陷阱：因?yàn)榉菣C(jī)動(dòng)車道有兩條，而這一點(diǎn)學(xué)生在讀題目時(shí)很容易忽視，以致得出5÷20=1/4的錯(cuò)誤答案。然而，兩條非機(jī)動(dòng)車道的寬度相同嗎？題目中并未給出，這是該生思維不嚴(yán)密之處。

42作業(yè)二：松齡路南側(cè)非機(jī)動(dòng)車道的寬度是5米，機(jī)動(dòng)車道的寬度43作業(yè)三：每當(dāng)綠燈變成紅燈前都要閃爍兩次。每次閃爍間隔1秒，馬路的寬度是30米，市區(qū)限速是30千米/小時(shí)。當(dāng)汽車在綠燈開始閃爍時(shí)到達(dá)路口，司機(jī)是否應(yīng)當(dāng)停車？答：應(yīng)當(dāng)停車。因?yàn)槠囈趦擅雰?nèi)通過30米寬的路口，速度最小為30÷2=15(米/秒)，即54千米/小時(shí)。54>30，因此不停車就必然會(huì)超速。分析：本題設(shè)計(jì)得絲絲入扣、條理清晰。更為難得的是：學(xué)生能將這道信息量豐富的題目用精練的語言描述出來。從題目的構(gòu)思可知，該生在設(shè)計(jì)時(shí)傾注了不少心血。如“閃爍兩次”的時(shí)間究竟是多少，不能憑空設(shè)想，而是要做調(diào)查，無形中增加了設(shè)計(jì)的難度。

43作業(yè)三：每當(dāng)綠燈變成紅燈前都要閃爍兩次。每次閃爍間隔1秒44作業(yè)四：松齡路的寬度是30米，一位老奶奶要在十字路口處通過松齡路。（1）老奶奶步行的速度是0.5米/秒，綠燈的時(shí)間是50秒，老奶奶能否順利通過路口（2）如果有人扶老奶奶過馬路，速度最小應(yīng)當(dāng)是多少？（3）如果你遇到老奶奶過馬路的情況，會(huì)選擇以怎樣的方式幫老奶奶通過路口？

44作業(yè)四：松齡路的寬度是30米，一位老奶奶要在十字路口處通45答：（1）50×0.5=25（米），25<30，因此老奶奶自己不能順利通過馬路。（2）要想扶老奶奶順利通過馬路，速度最小為30÷50=0.6（米/秒）。（3）選擇幫老奶奶通過路口的方式，該生想法很有趣，他說，可以背老奶奶過去或者用車推老奶奶過去，因?yàn)檫@兩種方式都比扶老奶奶過馬路的速度快。分析：獨(dú)到之處在于：①將尊老愛幼的傳統(tǒng)美德融于題目之中；②最后一問是開放性問題，既打破了數(shù)學(xué)問題的思維方式，又提高了題目檢測的范圍。

45答：（1）50×0.5=25（米），25<30，因此老奶46作業(yè)五：松齡路和文化路的寬度均為30米，南北和東西走向的紅綠燈時(shí)間始終都是50秒，你認(rèn)為這種設(shè)計(jì)方式合理嗎？如果合理，說明你的理由；如果不合理，請說出你的理由和設(shè)計(jì)方案。答：不合理。原因是兩條路的寬度相同不代表車流量相同。該生認(rèn)為紅綠燈時(shí)間的長短應(yīng)根據(jù)車流量而不是路面寬度來設(shè)計(jì)。他通過觀察發(fā)現(xiàn)，松齡路的車流量明顯要高于文化路。

46作業(yè)五：松齡路和文化路的寬度均為30米，南北和東西走向的47車流量大小也和時(shí)間段有關(guān)，一般上下班高峰期車流量較大，其余時(shí)間較小。但紅綠燈全天都按50秒的間隔交替變換，所以不合理。該生認(rèn)為：設(shè)置紅綠燈的時(shí)間間隔應(yīng)事先進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別對兩條路的紅綠燈程序按時(shí)間段進(jìn)行設(shè)置。分析：可取之處在于，跳出了數(shù)學(xué)題就是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維定勢，將數(shù)學(xué)的運(yùn)算與運(yùn)籌、抽象與具體統(tǒng)一起來，并且將統(tǒng)計(jì)分析、統(tǒng)籌安排、規(guī)劃設(shè)計(jì)等數(shù)學(xué)觀念與具體實(shí)際結(jié)合起來。盡管學(xué)生的認(rèn)識(shí)還比較淺顯，但仍不失為一次飛躍。

47車流量大小也和時(shí)間段有關(guān)，一般上下班高峰期車流量較大，其48總結(jié)：通過以上展示的學(xué)生作業(yè)來看，我認(rèn)為本次實(shí)驗(yàn)總體上是成功的。學(xué)生通過實(shí)際考察設(shè)計(jì)的問題，比老師在課堂上根據(jù)教學(xué)需要而設(shè)計(jì)的問題更加豐富多彩。學(xué)生在思維、知識(shí)、能力等方面都表現(xiàn)的淋漓盡致，教師能比較全面地把握學(xué)生的共性及個(gè)性，方便在教學(xué)中因材施教和因勢利導(dǎo)。家長的參與既有美中不足之處，也有無心插柳之得。

48總結(jié)：49出于安全考慮，我讓家長陪同。因此，作業(yè)中未出現(xiàn)一例學(xué)生設(shè)計(jì)問題帶有認(rèn)知錯(cuò)誤的情況，這與學(xué)生的真實(shí)情況不符。作業(yè)中的閃光之處不可避免地出現(xiàn)了家長指導(dǎo)的痕跡，或多或少超出了學(xué)生的實(shí)際能力。值得欣慰的是，通過事后和學(xué)生交流，學(xué)生的不足之處大部分得以糾正，閃光之處也被逐步內(nèi)化吸收，學(xué)生的實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得以全面提升。

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49出于安全考慮，我讓家長陪同。因此，作業(yè)中未出現(xiàn)一例學(xué)生設(shè)50一次不期而遇的探究

（王俊，2006.06期）學(xué)習(xí)三位數(shù)加減法，學(xué)生經(jīng)常抄錯(cuò)數(shù)。于是，用心編了“471-174+417”，放在一組練習(xí)題之首。沒想到，這道題的結(jié)果是——714！想尋個(gè)究竟，但轉(zhuǎn)念一想：為什么不把探究的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生呢？這不是一個(gè)絕佳的教學(xué)資源嗎？一、特征的發(fā)現(xiàn)師：這道題有趣在哪里？師：誰來給這種題目起個(gè)名字？生：就叫它“風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”吧?！?/p>

50一次不期而遇的探究

（王俊，2006.06期）學(xué)習(xí)三位數(shù)51師：“在數(shù)學(xué)王國里，像這樣的‘風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)’的算式還有哪些呢？王老師給大家三天的時(shí)間，看誰能寫出這樣的算式。”

二、算例的搜舉學(xué)生馬上行動(dòng)，甚至放棄課間玩耍時(shí)間。半天不到，一大堆算式：624-426+264=462321-213+123=231876-768+678=786735-537+375=573915-519+195=591……每發(fā)現(xiàn)一個(gè)算式，學(xué)生都是一次歡呼雀躍，那種激動(dòng)與快樂絕不亞于哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸。

51師：“在數(shù)學(xué)王國里，像這樣的‘風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)’的算式還有哪些52感到驚喜的同時(shí)（我也不知共有多少個(gè)這樣的算式），還有“陰謀”得逞的竊喜——這些小家伙，平時(shí)多練幾道題，他們總是一副無辜受難的樣子，現(xiàn)在好了，一個(gè)個(gè)都搶著做題了。要知道，他們要找到一個(gè)正確的“風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”，那得做多少道計(jì)算題呀？其實(shí)很多時(shí)候，教師只要轉(zhuǎn)換一下思維方式，就可以讓學(xué)生把消極被動(dòng)的學(xué)習(xí)變成積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)。三、規(guī)律的總結(jié)三天后，一共匯報(bào)了近20道算式。繼續(xù)引導(dǎo)：那么多的算式，到底有沒有內(nèi)在的規(guī)律？除了這些算式，還有沒有其他的算式？怎樣利用規(guī)律找全所有的算式呢？

52感到驚喜的同時(shí)（我也不知共有多少個(gè)這樣的算式），還有“陰53為了鼓勵(lì)探究積極性，設(shè)立了“探索榮譽(yù)獎(jiǎng)”；由于問題有難度，建議自由組成合作小組課外探究。沒想到，他們還真的總結(jié)出規(guī)律，而且還是本質(zhì)規(guī)律——三個(gè)數(shù)字是等差關(guān)系，公差是1、2、3、4的三個(gè)數(shù)字都可以組成“風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”的算式。當(dāng)學(xué)生為拿到“探索榮譽(yù)獎(jiǎng)”而歡欣鼓舞時(shí)，又提出下一個(gè)探索目標(biāo)：為什么會(huì)有這樣的規(guī)律呢？有沒有不符合這個(gè)規(guī)律的算式呢？于是，孩子們又開始了下一輪的探索……

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53為了鼓勵(lì)探究積極性，設(shè)立了“探索榮譽(yù)獎(jiǎng)”；由于問題有難度隨便想一個(gè)自然數(shù)（非0），如果它是偶數(shù)，把它除以2；如果它是奇數(shù)，把它先乘3再加1。按照這樣的方法一直算下去。數(shù)學(xué)游戲計(jì)算過程結(jié)果一定是？54

隨便想一個(gè)自然數(shù)（非0），數(shù)學(xué)游戲計(jì)算過程結(jié)果一定是？54邀你閱讀55

邀你閱讀55猜想56

猜想56一起來算24點(diǎn)吧！

——一次快樂的班級數(shù)學(xué)活動(dòng)（姚新付）一、必答題1.比誰算的題數(shù)多。對象：全班。時(shí)間：5分鐘。形式：筆試，每題只需寫一種方法，綜合式、分步列式均可。共10題，依次是（6666）（25610）（2399）（56JQ）（4567）（5555）（457K）（A235）（4699）（A277）。計(jì)分：每題1分，計(jì)算每隊(duì)7人的總分，計(jì)入團(tuán)隊(duì)分。題目由觀看活動(dòng)的班主任現(xiàn)場批閱。57

一起來算24點(diǎn)吧！

——一次快樂的班級數(shù)學(xué)活動(dòng)（姚新付）一、2.比誰算的方法多。對象：每隊(duì)5人，每人1題。時(shí)間：每題限時(shí)2分鐘。形式：在答題板上答題，題目是（2468）（2346）（3457）（1234）（3579）。用撲克牌在實(shí)物投影儀上出題，下同。計(jì)分：每題算對1種方法即得1分，計(jì)算每隊(duì)5人的總分，計(jì)入團(tuán)隊(duì)分。知識(shí)問答：算24點(diǎn)有哪些基本方法？每隊(duì)集體商量，派代表口答，答案最佳者加1分。58

2.比誰算的方法多。58三、搶答題對象：每隊(duì)派1名代表。時(shí)間：每題限時(shí)1分鐘。形式：現(xiàn)場搶答，共10題。前5題由教師提供，后5題由每隊(duì)派一人上臺(tái)抽牌誕生。前5題：（3333）（4444）（571010）（Q555）（Q777）。知識(shí)問答：從一副撲克牌中（不包括大、小王）任意抽出四張牌算24點(diǎn)，一共有多少種不同的情況？有多少種情況不能算出24點(diǎn)？四、選答題對象：每隊(duì)2人，每人1題。時(shí)間：每題限時(shí)30秒。形式：選擇口答一道4分題或2分題，也可選擇不答題。題目由各隊(duì)代表抽簽確定，4分題是（101044）（10883）（13910）（1233），2分題是（910QK）（37JJ）（6710K）（1119）。計(jì)分：答對加分，答錯(cuò)扣分，不答題者不得分。59

三、搶答題59五、風(fēng)險(xiǎn)題對象：每隊(duì)派1名代表。時(shí)間：限時(shí)15秒。形式：每隊(duì)出1道題（須能算出24點(diǎn)）選擇讓一個(gè)隊(duì)回答，答題的隊(duì)的任何一人都可在規(guī)定時(shí)間內(nèi)答題，但不能商量。計(jì)分：答題的隊(duì)答對加5分，答錯(cuò)扣5分，出題的隊(duì)不得分也不扣分。知識(shí)問答：為什么是算24點(diǎn)，而不算23點(diǎn)、25點(diǎn)或其它的點(diǎn)數(shù)？每隊(duì)集體商量后再回答，答案最佳者加1分。六、評比頒獎(jiǎng)（略）60

五、風(fēng)險(xiǎn)題6061

【返回】61【返回】體驗(yàn)價(jià)值

感悟思想

——“字母表示數(shù)”教學(xué)思考與實(shí)踐

（李培芳，2015.04期）二、經(jīng)歷一般到特殊，感受取值范圍師：剛才咱們用x代表李明的歲數(shù)，用（x+5）代表李勇的歲數(shù)。想一想，當(dāng)李明1歲時(shí)，李勇是6歲；李明2歲時(shí)，李勇就是7歲……有幾種情況？生：無數(shù)種。師：好像有道理??！咱們來看看，當(dāng)李明100歲時(shí)，李勇就是105歲，李明1000歲時(shí)，李勇是1005歲，李明10000歲時(shí)……生：不可能1000歲，10000歲。62

體驗(yàn)價(jià)值感悟思想

——“字母表示數(shù)”教學(xué)思考與實(shí)踐

（李生：如果x代表人的年齡，不可能有無數(shù)種的。生：x最多只能是100多歲。師：真好！x是自由的，它可以代表任何數(shù)。不過，如果用它代表年齡，就不能是任何數(shù)了。三、走進(jìn)代數(shù)世界，感受代數(shù)思維師：還有一個(gè)人叫做小剛……他幾歲呢？生：x×2歲師：想一想，這三個(gè)人，誰的年齡最??？生：李明。師：誰的年齡最大？生：李剛。63

生：如果x代表人的年齡，不可能有無數(shù)種的。63生：不一定。生：有的時(shí)候李明大，有的時(shí)候李剛大。師：把你的想法和同伴討論一下。生：如果李明是1歲，李勇就是6歲，李剛就是2歲，李勇大；如果李明是6歲，李勇11歲，李剛12歲，就是李剛大。生：還有可能是一樣大，如果李明5歲，李剛和李勇就一樣大了。師：哎呀，真是這樣啊!同學(xué)們，你們感受到了嗎？用字母表示數(shù)讓數(shù)學(xué)變得更有變化了，你們喜歡這種充滿變化的數(shù)學(xué)嗎？64

生：不一定。64五、應(yīng)用字母表示，感悟代數(shù)魅力1、“青蛙歌”。課件出示青蛙歌：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……師：你能用一句話將這首兒歌說完嗎？生：n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿。師：可以嗎？生調(diào)整：n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿。師：其實(shí)還有一首歌叫做“小貓歌”。課件出示：（

）只小貓（

）張嘴，（

）只眼睛（

）條腿。生：n只小貓n張嘴，2n只眼睛4n條腿。65

五、應(yīng)用字母表示，感悟代數(shù)魅力65師：還有一首歌是“同學(xué)歌”。生：（n）只同學(xué)（n）張嘴……師：n只？同學(xué)們笑著讀：（n）個(gè)同學(xué)（n）張嘴，（2n）只眼睛（4n）條腿。師：哈哈……同學(xué)們笑著讀：是（2n）條腿！3、魔術(shù)。師：下面給大家變個(gè)魔術(shù)好嗎？這是魔術(shù)中最難的，叫做讀心術(shù)。先請大家在心中想好一個(gè)數(shù)。想好了嗎？教師課件出示右圖。66

師：還有一首歌是“同學(xué)歌”。66師：算算看，結(jié)果不要告訴任何人。教師在算好的學(xué)生耳旁輕聲地說出答案。師：被老師猜中答案的同學(xué)請舉手。老師都猜中了。通過交流發(fā)現(xiàn)：答案都是1。師：為什么會(huì)這樣呢？下面我們來揭秘。因?yàn)槊總€(gè)人所選的數(shù)大多不一樣，可以用字母x來表示。首先（x+4）×2……結(jié)果當(dāng)然就只剩下1了。師：有了字母的幫忙，我們發(fā)現(xiàn)，任何數(shù)通過這樣的計(jì)算，最后都會(huì)等于1。是用字母表示數(shù)幫我們揭開了這個(gè)魔術(shù)的神秘面紗，看來用字母表示數(shù)有著神奇的作用。

【返回】67

師：算算看，結(jié)果不要告訴任何人。67關(guān)于視導(dǎo)大部分學(xué)校老師都重視視導(dǎo)，拿出最好的一面展示涌現(xiàn)出一批年輕有為的骨干教師。存在的問題：教師駕馭課堂能力有待提高教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式還有待于進(jìn)一步加大轉(zhuǎn)變力度教師對教材的挖掘力度不夠青年教師的教學(xué)基本功有待于加強(qiáng)68

關(guān)于視導(dǎo)大部分學(xué)校老師都重視視導(dǎo)，拿出最好的一面展示68經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫69感謝聆聽不足之處請大家批評指導(dǎo)PleaseCriticizeAndGuideTheShortcomings結(jié)束語講師：XXXXXXXX年XX月XX日

感謝聆聽結(jié)束語講師：XXXXXX70

對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的

初步認(rèn)識(shí)71

對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的

初步核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在本質(zhì)上與以人為本或以學(xué)生發(fā)展為本的理念是一致的。為了便于理解，我們可以將核心素養(yǎng)抽象為這樣幾句話：核心素養(yǎng)是后天習(xí)得的、與特定情境有關(guān)的，而不是隨時(shí)隨地都可以表達(dá)出來的東西；是通過人的行為表現(xiàn)出來的，因此是可監(jiān)測的知識(shí)、能力和態(tài)度；涉及人與社會(huì)、人與自己、人與工具三個(gè)方面，最終要落實(shí)在人即受教育者身上。72

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在本質(zhì)上與以人為本或以學(xué)生發(fā)展為本的理念是一73

374

4全面發(fā)展的人學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)健康生活責(zé)任擔(dān)當(dāng)實(shí)踐創(chuàng)新人文底蘊(yùn)科學(xué)精神樂學(xué)善學(xué)勤于反思信息意識(shí)珍愛生命健全人格自我管理人文積淀人文情懷審美情趣社會(huì)責(zé)任國家認(rèn)同國際理解勞動(dòng)意識(shí)問題解決技術(shù)應(yīng)用理性思維批判質(zhì)疑勇于探究自主發(fā)展社會(huì)參與文化基礎(chǔ)75

全面發(fā)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)責(zé)任擔(dān)當(dāng)人文底蘊(yùn)樂學(xué)善學(xué)珍愛生命人文積淀社會(huì)責(zé)具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人思考自學(xué)合作交流創(chuàng)新實(shí)踐數(shù)學(xué)抽象運(yùn)算推理數(shù)學(xué)模型直觀想象數(shù)據(jù)分析轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)規(guī)律數(shù)學(xué)關(guān)系核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手段又是目標(biāo)核心素養(yǎng)從哪里來？核心素養(yǎng)內(nèi)涵是什么？個(gè)人發(fā)展思想能力數(shù)學(xué)認(rèn)知核心素養(yǎng)到哪里去？核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)76

具有數(shù)學(xué)思考自學(xué)數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)概念核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手我所理解的核心素養(yǎng)（獨(dú)立思考）以前：以“雙基”（知識(shí)技能）為載體—→發(fā)展能力以后：以“四基”“四能”為載體—→培養(yǎng)情感態(tài)度價(jià)值觀把“以知識(shí)為導(dǎo)向的教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙院诵乃仞B(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)”，即：從“以知識(shí)為本”—→“以學(xué)生發(fā)展為本”或者說：“知識(shí)核心時(shí)代”—→“素養(yǎng)核心時(shí)代”77

我所理解的核心素養(yǎng)（獨(dú)立思考）以前：以“雙基”（知識(shí)技能）為1.什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為：具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。那么，設(shè)定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn)又是什么呢？我們可以這樣認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。所謂數(shù)學(xué)的眼光，本質(zhì)就是抽象，抽象使得數(shù)學(xué)具有一般性；所謂數(shù)學(xué)的思維，本質(zhì)就是推理，推理使得數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性；所謂數(shù)學(xué)的語言，主要是數(shù)學(xué)模型，模型使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用具有廣泛性。

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1.什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？8數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)秉承這樣的基本理念把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合理的問題；啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生與他人交流；讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。79

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)秉承這樣的基本理念把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合教師要在學(xué)科教學(xué)中幫助學(xué)生掌握知識(shí)、提高能力、發(fā)展素養(yǎng)

要形成學(xué)科核心素養(yǎng)是終極目標(biāo)，在本質(zhì)上，這樣的目標(biāo)不是教師短時(shí)間“教”出來的，而是學(xué)生領(lǐng)悟出來的，是長期經(jīng)驗(yàn)的積累，是在一個(gè)過程中慢慢形成的。這就需要把常態(tài)教學(xué)與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)結(jié)合在一起，老師們在備課時(shí)可以將核心素養(yǎng)的要求呈現(xiàn)出來。比如：在教學(xué)目標(biāo)中，教師在設(shè)想過程性目標(biāo)時(shí)，不僅要說“經(jīng)歷什么”“探究什么”，還應(yīng)該明確“得到什么”，比如說，形成“幾何直觀”素養(yǎng)。與此同時(shí)，教師備課不能僅局限于某一堂課，而應(yīng)當(dāng)把相對成邏輯體系的知識(shí)整合在一起，思考通過這些課程讓學(xué)生掌握什么樣的知識(shí)和能力，培養(yǎng)什么素養(yǎng)，然后再考慮每堂課怎樣體現(xiàn)。

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教師要在學(xué)科教學(xué)中幫助學(xué)生掌握知識(shí)、提高能力、發(fā)展素養(yǎng)要形如何將學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)貫串于教學(xué)中1.數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”2.邏輯推理：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維想”3.數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語言說”81

如何將學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)貫串于教學(xué)中1.數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的核心詞，如符號(hào)意識(shí)、數(shù)感，甚至幾何直觀和空間想象，都可以歸到數(shù)學(xué)抽象這個(gè)素養(yǎng)中。小學(xué)階段通過抽象得到的是基本概念，還包括關(guān)系和法則。抽象的方法有兩種：對應(yīng)和內(nèi)涵。對應(yīng)的方法就是給研究對象起個(gè)名字，內(nèi)涵的方法就是給研究對象明確定義。我建議老師們在一、二年級的教學(xué)中采用對應(yīng)的方法，重在讓學(xué)生感悟；以后可以逐漸采用內(nèi)涵的方法，重在讓學(xué)生理解.

比如：啟發(fā)學(xué)生理解“數(shù)是什么？數(shù)的本質(zhì)是什么？表示數(shù)的關(guān)鍵是什么？”時(shí)，在讓學(xué)生理解基本概念、關(guān)系和規(guī)律的同時(shí)，教師一定要知道這些內(nèi)容涉及“符號(hào)意識(shí)”和“數(shù)感”這兩個(gè)核心素養(yǎng)。82

數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中邏輯推理：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維想”一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過歸納推理探究成因，比如：探究計(jì)算方法規(guī)定的緣由。在混合運(yùn)算中，為什么要先乘除后加減？對于“3+2×6=3+12=18”這樣的算式，可以舉例說明：“操場上有3名同學(xué)，又來了一隊(duì)同學(xué)，2人一排共6排。問現(xiàn)在操場上有多少名同學(xué)？”其計(jì)算的緣由可以理解為：現(xiàn)在同學(xué)數(shù)=原來同學(xué)數(shù)+后來同學(xué)數(shù)=3+2×6，因此可以得到先乘除后加減的結(jié)論。教師可以讓學(xué)生感悟，混合運(yùn)算是講兩個(gè)或者兩個(gè)以上的故事，先乘除后加減的規(guī)定就是一個(gè)故事、一個(gè)故事地計(jì)算。教師要在引導(dǎo)學(xué)生邏輯推理的過程中，逐漸幫助他們建立數(shù)學(xué)的思維模式，這就是會(huì)用數(shù)學(xué)的思維想。在教學(xué)中，如果學(xué)生討論不清楚或者教師講不明白，那就舉例說明。一個(gè)好老師的頭腦中應(yīng)該有很多例子，甚至能隨時(shí)根據(jù)需要想出一些例子來。但所有的應(yīng)用題必須是在生活中能夠發(fā)生的，不能硬編。83

邏輯推理：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維想”一類是從特殊到一般的推數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語言說”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心詞還有模型思想、數(shù)據(jù)分析觀念等，這都是數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型、解決問題的過程。也就是說，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。因此數(shù)學(xué)模型是一個(gè)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模突出學(xué)生系統(tǒng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型核心素養(yǎng)，能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，使其加深對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，逐步積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)。84

數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語言說”義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的如何在教學(xué)評價(jià)中考查學(xué)科核心素養(yǎng)

在基于核心素養(yǎng)的學(xué)科教學(xué)中，評價(jià)與考核很重要，除了考查學(xué)生知識(shí)技能的獲得，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的形成。1.不強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度：重思考深度、輕技巧訓(xùn)練2.監(jiān)測內(nèi)容要指向?qū)W科核心素養(yǎng)：關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)3.采用滿意原則：考查學(xué)生的思維過程85

如何在教學(xué)評價(jià)中考查學(xué)科核心素養(yǎng)

在基于核心素養(yǎng)的學(xué)科教學(xué)中不強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度：重思考深度、輕技巧訓(xùn)練我認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)過分強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度是沒有道理的，速度的訓(xùn)練是導(dǎo)致學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)加重的主要原因。我們在后來的基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中，嘗試減少題量或者是延長測試時(shí)間。素養(yǎng)培養(yǎng)是慢功夫。學(xué)校不能動(dòng)輒考核教師，否則只會(huì)導(dǎo)致教師也要求學(xué)生拼命練習(xí)，通過反復(fù)做題訓(xùn)練速度，培養(yǎng)應(yīng)試技巧。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要思考的，教師的一項(xiàng)重要責(zé)任，就是要引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、敢于思考、善于思考。86

不強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度：重思考深度、輕技巧訓(xùn)練我認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)過分強(qiáng)監(jiān)測內(nèi)容要指向?qū)W科核心素養(yǎng)：關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)以前的測試主要考查學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)了解、理解、掌握的程度，在基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中，我們要求監(jiān)測內(nèi)容中要蘊(yùn)含數(shù)學(xué)素養(yǎng)，比如：考查學(xué)生對概念的理解，以及學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象力等，尤其是要關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)，考查學(xué)生的思維能力。有這樣一道題目。五年一班和五年二班舉行跳繩比賽，每班派10人參加比賽。已經(jīng)賽完9人，將派最后1名同學(xué)上場。五年一班可以在甲、乙兩名同學(xué)中選出。這兩名同學(xué)最近成績是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），這兩名同學(xué)的平均分差不多，你建議讓哪位同學(xué)上場比賽？理由是什么？學(xué)生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因?yàn)橐业某煽儽容^穩(wěn)定；但是郊區(qū)有一些孩子生活經(jīng)驗(yàn)豐富，認(rèn)為得看賽完九次之后的成績，如果五年一班輸了，那就可以讓甲參加比賽，因?yàn)榧椎某煽兲S比較大，沖一沖沒準(zhǔn)這次就贏了。這時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維能力是與生活閱歷有關(guān)的。

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監(jiān)測內(nèi)容要指向?qū)W科核心素養(yǎng)：關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)以前的測試主要采用滿意原則：考查學(xué)生的思維過程我們可以通過開放題來考查學(xué)生的思維過程，開放題應(yīng)當(dāng)采用加分原則。我曾經(jīng)給小學(xué)四年級出過這樣一道題：有兩個(gè)居民區(qū)，中間有一條道路連接，現(xiàn)在要在路邊建一個(gè)超市，你建議建在哪里？為什么？大部分學(xué)生答應(yīng)該建在中間位置，因?yàn)榇蠹易叩靡粯舆h(yuǎn)，這樣的回答有道理，可得滿分；有的學(xué)生答要看居民區(qū)人的多少，應(yīng)該離人多的居民區(qū)近一點(diǎn)，這樣的回答更好了，可以多加兩分；還有的學(xué)生答需調(diào)查哪個(gè)居民區(qū)去超市的人多，按比例來建，這樣的回答可以再多加兩分。只要學(xué)生答得更好，就可以給他加分。在這樣的測試中，我們不能僅僅通過結(jié)果判斷學(xué)生答案的對和錯(cuò)，重要的是判斷學(xué)生的思維過程是否有道理，是否合乎邏輯；只要學(xué)生的思維過程與得到的結(jié)論是一致的就應(yīng)該滿意，這就是“滿意原則”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于開放題的答案是不確定的，這就對我們的老師提出了更高的要求，教師不僅要能出題，還要有判斷思維是否有邏輯的能力。因此，教師在日常教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生們思考問題，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識(shí)技能的同時(shí)，積累思維的和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。88

采用滿意原則：考查學(xué)生的思維過程我們可以通過開放題來考查學(xué)生例子——三角形內(nèi)角和知識(shí)：三角形內(nèi)角和是180°。能力：測量、剪拼、折疊——結(jié)論；為什么？證明。情感態(tài)度：求真求美真的是180°嗎？各種各樣的三角形，所有三角形的內(nèi)角和都是180°？——有意思！真美！欣賞：三角形外角和、三線分別交于一點(diǎn)……——神奇課例：《神奇的三角形》（王開杰，2015.11期）引發(fā)自主探究：四邊形、圓……（興趣、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)）89

例子——三角形內(nèi)角和知識(shí)：三角形內(nèi)角和是180°。19二、主動(dòng)探索、實(shí)施90

實(shí)施核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是——把“以知識(shí)為導(dǎo)向的教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙院诵乃仞B(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)”“數(shù)學(xué)好玩”——

你感覺到了嗎？二、主動(dòng)探索、實(shí)施20實(shí)施核心素養(yǎng)的（一）好的呈現(xiàn)形式

喚醒學(xué)生的最好辦法是：向他們提供有吸引力的數(shù)學(xué)游戲、智力題、魔術(shù)、笑話、悖論、打油詩，或那些呆板的教師認(rèn)為無意義而避開的其他東西。

——[美]馬丁.加德納（M.Gardner）91

（一）好的呈現(xiàn)形式喚醒學(xué)生的最好辦法是：向幾個(gè)案例：1.風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；（王俊，2006.06期）2.字母表示數(shù)（李培芳，2015.04期）3.神奇三角形（王開杰，2015.11期）4.七橋問題（一筆畫，萬里春，2014.03期）5.24點(diǎn)與角谷猜想（數(shù)學(xué)黑洞，姚新付，2009.11期）6.實(shí)踐性作業(yè)（榮玲，2008.12）92

幾個(gè)案例：1.風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；（王俊，2006.06期）221.數(shù)學(xué)游戲——“24點(diǎn)”（比賽；車牌號(hào)），搶30，明7暗7；幻方；3階、4階、5階；欣賞（2014.期）數(shù)獨(dú)：規(guī)則簡單，入門容易；但是難度不一，分很多級。網(wǎng)上有很多介紹、題目，甚至有在線軟件。電腦游戲：挖地雷，俄羅斯方塊……七巧板（2014.期）（北師新教材一下）；折紙（北師新教材一下，折飛機(jī)）魔方93

1.數(shù)學(xué)游戲——“24點(diǎn)”（比賽；車牌號(hào)），搶30，明7暗72.智力題——偵查員過橋；……3.活潑的、多樣的形式——數(shù)學(xué)魔術(shù)、謎語、相聲、笑話……數(shù)學(xué)詩?！吧綆p一寺一壺酒，爾樂苦煞吾。把酒吃，酒殺爾，殺不死，樂爾樂?！保?？）數(shù)學(xué)故事：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；阿凡提分馬（北師版實(shí)驗(yàn)教材六上）《哲思數(shù)學(xué)課》深入思考P46快樂數(shù)學(xué)節(jié)（孔凡哲，2014.06期）94

2.智力題——244.猜想、悖論——回文數(shù)與猜想，數(shù)學(xué)黑洞猜想：哥德巴赫猜想；四色定理……悖論：理發(fā)師悖論；世界是不存在的5.數(shù)學(xué)美——比例美（構(gòu)圖美）：對稱；0.618與高跟鞋，數(shù)學(xué)與建筑。邏輯美、懸念美、組合美、奇異美、抽象美、簡潔美、創(chuàng)新美……（和諧美：e-iπ+1=0

）95

4.猜想、悖論——256.數(shù)學(xué)文化——鄭毓信、李鐵安等專家的闡釋；張齊華、姚新付、邵漢民等的研究與實(shí)踐

（2009.03、7-8、11期；2010.04期；2017.03期……）7.綜合與實(shí)踐——一周、一個(gè)月甚至一學(xué)期才能完成的“長作業(yè)”。

（榮玲，2008.12期）；大樹有多高（2014.05期）美國一二年級學(xué)生就能研究鯨魚、寫報(bào)告，我們的學(xué)生就不能做研究嗎？這是大的問題——?jiǎng)?chuàng)新！96

6.數(shù)學(xué)文化——268.數(shù)學(xué)閱讀。科普類的書。（是否適合小學(xué)生閱讀？）97

8.數(shù)學(xué)閱讀。2798

28（二）數(shù)學(xué)自身的魅力1.數(shù)學(xué)化：情境—數(shù)學(xué)化—應(yīng)用，抽象化、數(shù)量化訪談?lì)惞?jié)目：你幸福嗎？——幸福指數(shù)（量化）；收入分配是否公平：基尼系數(shù)生活水平狀況：恩格爾系數(shù)99

（二）數(shù)學(xué)自身的魅力1.數(shù)學(xué)化：29數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。這個(gè)體育場比那個(gè)體育場大。——觀察（物理）

大多少呢？——數(shù)量化（精確度量）“呀，這個(gè)電視塔真高?。　眴枺骸坝卸喔哐?？”

估測——不能瞎估——尋找參照物（標(biāo)準(zhǔn)）——個(gè)性化標(biāo)準(zhǔn)——統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。——模型的建立（模型思想）加法（減法、乘法、除法）模型。如乘法模型：幾個(gè)幾，倍，面積，組合。100

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。302.三大特性：（1）高度的抽象性：例：減法的初步認(rèn)識(shí)（劉加霞）分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)：一張正方形紙，橫著對折、豎著對折、斜著對折……——1/2定義另一種運(yùn)算，如⊕：a⊕b=a2+b2質(zhì)數(shù)與合數(shù)；分解質(zhì)因數(shù)（唯一性）101

2.三大特性：31（2）嚴(yán)密的邏輯性：三角形內(nèi)角和（量、折、拼——證明）；計(jì)算的步驟（每一步都有根有據(jù)——有根據(jù)思考的習(xí)慣）數(shù)學(xué)的確定性。如0不能作除數(shù)。確定性的喪失：估算、估測、估計(jì)；概率。（3）廣泛的應(yīng)用性：華羅庚：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。”102

（2）嚴(yán)密的邏輯性：323.數(shù)學(xué)思想方法：基本數(shù)學(xué)思想：抽象、推理、模型、審美。由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來的有：分類思想，集合思想，“變中有不變”思想，符號(hào)表示思想，對應(yīng)思想，有限與無限的思想，等等。由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來的有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類比的思想，普遍聯(lián)系的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等。103

3.數(shù)學(xué)思想方法：33由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來的有：簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機(jī)的思想，統(tǒng)計(jì)的思想，等等。由“數(shù)學(xué)審美的思想”派生出來的有：簡潔的思想，對稱的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡馭繁的思想，“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等?！櫯妗缎W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也要注重滲透數(shù)學(xué)思想》，2012.7-8期）104

由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來的有：簡化的思想，量化的思想，函4.數(shù)學(xué)的發(fā)展和規(guī)律：（1）數(shù)域的擴(kuò)充。朱樂平教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”：用1、2寫算式：1+2，2-1……1-2，1÷2。（2）優(yōu)化——優(yōu)勝劣汰。如，記數(shù)法。9+幾：數(shù)小棒、扳指頭數(shù)數(shù)，特殊方法（5+7），湊十法，規(guī)律法。進(jìn)位加法（乘法）。運(yùn)算律——探索與發(fā)現(xiàn)（除法有分配律嗎？）注重過程、體驗(yàn)。如用古羅馬數(shù)字記數(shù)。105

4.數(shù)學(xué)的發(fā)展和規(guī)律：35（3）量的發(fā)展：古代量的規(guī)定的隨意性——小范圍的統(tǒng)一（秦始皇）——國際上的統(tǒng)一——逐步精確化：光速——原子（2015.06期）（4）三角形中的規(guī)律：穩(wěn)定性（唯一性）；三邊關(guān)系；內(nèi)角和；三線各自交于一點(diǎn)（高、中線、角平分線）；內(nèi)角和與外角和都是常數(shù)……（5）數(shù)學(xué)發(fā)展中的困惑：三次數(shù)學(xué)危機(jī)（無理數(shù)、無窮小量、理發(fā)師悖論），尺規(guī)作圖三大難題；芝諾悖論（神行太保追烏龜不及）。（6）數(shù)學(xué)中的奧妙：風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)；數(shù)學(xué)黑洞……106

（3）量的發(fā)展：古代量的規(guī)定的隨意性——小范圍的統(tǒng)一（秦始皇5.其他（1）三角形分形結(jié)構(gòu)“科赫雪花”。此雪花曲線的周長是無限的，而其面積是有限的（為原三角形的8/5倍）。107

5.其他37（2）“謝爾賓斯基三角形”。在正三角形中不斷挖去“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）后剩下的圖形。它的神奇在于：該三角形的面積越趨近于零，而它的周長越趨近于無限大。

108

（2）“謝爾賓斯基三角形”。38（3）哥尼斯堡七橋問題；（一筆畫）《一筆畫的起源、發(fā)展及其價(jià)值》（2013.01期）課堂教學(xué)實(shí)錄：《趣味與文化相融合…》（萬里春，2014.03期）109

（3）哥尼斯堡七橋問題；（一筆畫）39110增設(shè)實(shí)踐問題，更新作業(yè)模式

——

一次數(shù)學(xué)作業(yè)模式改革的實(shí)驗(yàn)

（榮玲，2008.12）布置周末家庭作業(yè)：在家長陪同下，認(rèn)真觀察交叉路口的狀況，尋找數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行解答。學(xué)生全部按時(shí)完成。學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題及解答情況與平時(shí)課堂表現(xiàn)大致吻合，展現(xiàn)出的優(yōu)點(diǎn)和暴露出的不足較之以往的作業(yè)更明顯。典型作業(yè)主要有以下幾種:

40增設(shè)實(shí)踐問題，更新作業(yè)模式

——一次數(shù)學(xué)作業(yè)模式改革的111作業(yè)一：松齡路的寬度為30米，每次綠燈的時(shí)間為50秒，要想順利通過馬路，行人的最低速度是多少？學(xué)生的解答是：30÷50=0.6（米/秒）。分析：有2/3以上的學(xué)生提出此類問題。他們設(shè)計(jì)的問題有機(jī)械模仿書本的痕跡，雖無創(chuàng)意，但亦無錯(cuò)誤。老師只需稍加引導(dǎo)，將學(xué)生的思維打開，其綜合能力將會(huì)普遍提升。

41作業(yè)一：松齡路的寬度為30米，每次綠燈的時(shí)間為50秒，要112作業(yè)二：松齡路南側(cè)非機(jī)動(dòng)車道的寬度是5米，機(jī)動(dòng)車道的寬度是20米，那么松齡路上非機(jī)動(dòng)車道的寬度是機(jī)動(dòng)車道的幾分之幾？學(xué)生的答案為1／2。分析：可取之處在于，學(xué)生突破了總是圍繞“路程、速度與時(shí)間”設(shè)計(jì)問題的思維定勢。還設(shè)計(jì)了一個(gè)思維陷阱：因?yàn)榉菣C(jī)動(dòng)車道有兩條，而這一點(diǎn)學(xué)生在讀題目時(shí)很容易忽視，以致得出5÷20=1/4的錯(cuò)誤答案。然而，兩條非機(jī)動(dòng)車道的寬度相同嗎？題目中并未給出，這是該生思維不嚴(yán)密之處。

42作業(yè)二：松齡路南側(cè)非機(jī)動(dòng)車道的寬度是5米，機(jī)動(dòng)車道的寬度113作業(yè)三：每當(dāng)綠燈變成紅燈前都要閃爍兩次。每次閃爍間隔1秒，馬路的寬度是30米，市區(qū)限速是30千米/小時(shí)。當(dāng)汽車在綠燈開始閃爍時(shí)到達(dá)路口，司機(jī)是否應(yīng)當(dāng)停車？答：應(yīng)當(dāng)停車。因?yàn)槠囈趦擅雰?nèi)通過30米寬的路口，速度最小為30÷2=15(米/秒)，即54千米/小時(shí)。54>30，因此不停車就必然會(huì)超速。分析：本題設(shè)計(jì)得絲絲入扣、條理清晰。更為難得的是：學(xué)生能將這道信息量豐富的題目用精練的語言描述出來。從題目的構(gòu)思可知，該生在設(shè)計(jì)時(shí)傾注了不少心血。如“閃爍兩次”的時(shí)間究竟是多少，不能憑空設(shè)想，而是要做調(diào)查，無形中增加了設(shè)計(jì)的難度。

43作業(yè)三：每當(dāng)綠燈變成紅燈前都要閃爍兩次。每次閃爍間隔1秒114作業(yè)四：松齡路的寬度是30米，一位老奶奶要在十字路口處通過松齡路。（1）老奶奶步行的速度是0.5米/秒，綠燈的時(shí)間是50秒，老奶奶能否順利通過路口（2）如果有人扶老奶奶過馬路，速度最小應(yīng)當(dāng)是多少？（3）如果你遇到老奶奶過馬路的情況，會(huì)選擇以怎樣的方式幫老奶奶通過路口？

44作業(yè)四：松齡路的寬度是30米，一位老奶奶要在十字路口處通115答：（1）50×0.5=25（米），25<30，因此老奶奶自己不能順利通過馬路。（2）要想扶老奶奶順利通過馬路，速度最小為30÷50=0.6（米/秒）。（3）選擇幫老奶奶通過路口的方式，該生想法很有趣，他說，可以背老奶奶過去或者用車推老奶奶過去，因?yàn)檫@兩種方式都比扶老奶奶過馬路的速度快。分析：獨(dú)到之處在于：①將尊老愛幼的傳統(tǒng)美德融于題目之中；②最后一問是開放性問題，既打破了數(shù)學(xué)問題的思維方式，又提高了題目檢測的范圍。

45答：（1）50×0.5=25（米），25<30，因此老奶116作業(yè)五：松齡路和文化路的寬度均為30米，南北和東西走向的紅綠燈時(shí)間始終都是50秒，你認(rèn)為這種設(shè)計(jì)方式合理嗎？如果合理，說明你的理由；如果不合理，請說出你的理由和設(shè)計(jì)方案。答：不合理。原因是兩條路的寬度相同不代表車流量相同。該生認(rèn)為紅綠燈時(shí)間的長短應(yīng)根據(jù)車流量而不是路面寬度來設(shè)計(jì)。他通過觀察發(fā)現(xiàn)，松齡路的車流量明顯要高于文化路。

46作業(yè)五：松齡路和文化路的寬度均為30米，南北和東西走向的117車流量大小也和時(shí)間段有關(guān)，一般上下班高峰期車流量較大，其余時(shí)間較小。但紅綠燈全天都按50秒的間隔交替變換，所以不合理。該生認(rèn)為：設(shè)置紅綠燈的時(shí)間間隔應(yīng)事先進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別對兩條路的紅綠燈程序按時(shí)間段進(jìn)行設(shè)置。分析：可取之處在于，跳出了數(shù)學(xué)題就是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維定勢，將數(shù)學(xué)的運(yùn)算與運(yùn)籌、抽象與具體統(tǒng)一起來，并且將統(tǒng)計(jì)分析、統(tǒng)籌安排、規(guī)劃設(shè)計(jì)等數(shù)學(xué)觀念與具體實(shí)際結(jié)合起來。盡管學(xué)生的認(rèn)識(shí)還比較淺顯，但仍不失為一次飛躍。

47車流量大小也和時(shí)間段有關(guān)，一般上下班高峰期車流量較大，其118總結(jié)：通過以上展示的學(xué)生作業(yè)來看，我認(rèn)為本次實(shí)驗(yàn)總體上是成功的。學(xué)生通過實(shí)際考察設(shè)計(jì)的問題，比老師在課堂上根據(jù)教學(xué)需要而設(shè)計(jì)的問題更加豐富多彩。學(xué)生在思維、知識(shí)、能力等方面都表現(xiàn)的淋漓盡致，教師能比較全面地把握學(xué)生的共性及個(gè)性，方便在教學(xué)中因材施教和因勢利導(dǎo)。家長的參與既有美中不足之處，也有無心插柳之得。

48總結(jié)：119出于安全考慮，我讓家長陪同。因此，作業(yè)中未出現(xiàn)一例學(xué)生設(shè)計(jì)問題帶有認(rèn)知錯(cuò)誤的情況，這與學(xué)生的真實(shí)情況不符。作業(yè)中的閃光之處不可避免地出現(xiàn)了家長指導(dǎo)的痕跡，或多或少超出了學(xué)生的實(shí)際能力。值得欣慰的是，通過事后和學(xué)生交流，學(xué)生的不足之處大部分得以糾正，閃光之處也被逐步內(nèi)化吸收，學(xué)生的實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都得以全面提升。

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49出于安全考慮，我讓家長陪同。因此，作業(yè)中未出現(xiàn)一例學(xué)生設(shè)120一次不期而遇的探究

（王俊，2006.06期）學(xué)習(xí)三位數(shù)加減法，學(xué)生經(jīng)常抄錯(cuò)數(shù)。于是，用心編了“471-174+417”，放在一組練習(xí)題之首。沒想到，這道題的結(jié)果是——714！想尋個(gè)究竟，但轉(zhuǎn)念一想：為什么不把探究的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生呢？這不是一個(gè)絕佳的教學(xué)資源嗎？一、特征的發(fā)現(xiàn)師：這道題有趣在哪里？師：誰來給這種題目起個(gè)名字？生：就叫它“風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)”吧?！?/p>

50一次不期而遇的探究

（王俊，2006.06期）學(xué)習(xí)三位數(shù)121師：“在數(shù)學(xué)王國里，像這樣的‘風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)’的算式還有哪些呢？王老師給大家三天的時(shí)間，看誰能寫出這樣的算式。”

二、算例的搜舉學(xué)生馬上行動(dòng)，甚至放棄課間玩耍時(shí)間。半天不到，一大堆算式：624-426+264=462321-213+123=231876-768+678=786735-537+375=573915-519+195=591……每發(fā)現(xiàn)一個(gè)算式，學(xué)生都是一次歡呼雀躍，那種激動(dòng)與快樂絕不亞于哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸。

51師：“在數(shù)學(xué)王國里，像這樣的‘風(fēng)車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)’的算式還有哪些122感到驚喜的同時(shí)（我也不知共有多少