矩形、菱形與正方形(課堂)課件

第四章基本圖形(一)第20講矩形、菱形與正方形(學(xué)P72)第二篇圖形與幾何1．矩形性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)①對稱性：矩形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；矩形是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點(diǎn)；②矩形的四個角都是

角；③矩形的對角線互相平分并且

．直相等12022/11/24第四章基本圖形(一)第20講矩形、菱形與正方形(學(xué)P72(2)判定①有三個角是

的四邊形；②是平行四邊形且有一個角是

；③

的平行四邊形；④

的四邊形．2．菱形性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)①菱形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；菱形是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點(diǎn)；②菱形的四條邊都

；③對角線

，且每一條對角線

．互相垂直平分相等平分一組對角對角線相等且互相平分對角線相等直角直角22022/11/24(2)判定互相垂直平分相等平分一組對角對角線相等且互相平分對(2)判定①四條邊都

的四邊形；②有一組

的平行四邊形；③對角線

的平行四邊形；④對角線

的四邊形．3．正方形(1)性質(zhì)①正方形是一個軸對稱圖形，它有四條對稱軸；又是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點(diǎn)；②正方形的四個角都是

，四條邊都

；③兩條對角線

，并且

．每一條對角線

．相等鄰邊相等互相垂直互相垂直平分直角相等相等互相垂直平分平分一組對角32022/11/24(2)判定相等鄰邊相等互相垂直互相垂直平分直角相等相等互相垂(2)判定①鄰邊相等的

；②有一角是直角的

．4．平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系矩形菱形42022/11/24(2)判定矩形菱形42022/11/22正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)．52022/11/24正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：1．(2013·德州)下列命題中，真命題是()A．對角線相等的四邊形是等腰梯形B．對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．四個角相等的四邊形是矩形2．(2013·涼山州)如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為()A．14B．15C．16D．17DC62022/11/241．(2013·德州)下列命題中，真命題是()2．(203．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于O，若AC＝6，BD＝4，則菱形ABCD的周長是()CA．24B．16C．4D．272022/11/243．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于O，CA．247204．(2013·臺灣)如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點(diǎn)不重合，并連結(jié)BG.根據(jù)圖中標(biāo)示的角判斷下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小關(guān)系為()A．∠1＜∠2B．∠1＞∠2C．∠3＜∠4D．∠3＞∠4D82022/11/244．(2013·臺灣)如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方5．(2013·遵義)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB＝6cm，BC＝8cm，則△AEF的周長＝

cm.992022/11/245．(2013·遵義)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、9(學(xué)P73)【問題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來研究正方形的有關(guān)問題，回答下列問題：(1)將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關(guān)系圖中：102022/11/24(學(xué)P73)【問題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們(2)要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個矩形的________相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個菱形有一角是________．(3)如圖菱形ABCD，某同學(xué)根據(jù)菱形面積計(jì)算公式推導(dǎo)出對角線長為a的正方形面積是S＝a2，對此結(jié)論，你認(rèn)為是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，舉出一個反例來說明．112022/11/24(2)要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四(3)如圖菱形A【解析】(1)根據(jù)在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據(jù)此關(guān)系來畫圖．如圖(2)根據(jù)正方形的判定方法進(jìn)行解答即可．即兩種常見的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個角是直角的菱形是正方形．∴填：一組鄰邊，直角．122022/11/24【解析】(1)根據(jù)在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直(3)本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等，將正方形分成兩個直角三角形的面積和來求證，也可通過對角線求出正方形的邊長來求證．∴結(jié)論正確．證明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×

×

a×

a＝

a2.【歸納】復(fù)習(xí)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，以及性質(zhì)與判定．132022/11/24(3)本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分類型一矩形的性質(zhì)與判定例1(2013·銅山)如圖，已知E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)連結(jié)AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．【思路分析】(1)利用AAS可得出三角形ABE與三角形FCE全等；(2)利用對角線相等的平行四邊形為矩形可得出四邊形ABFC為矩形．142022/11/24類型一矩形的性質(zhì)與判定例1(2013·銅山)如圖，已知E【答案】證明：(1)∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE.∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.在△ABE與△FCE中，∴△ABE≌△FCE(AAS)．(2)∵∠AEC＝∠ABE＋∠BAE，又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE.由(1)△ABE≌△FCE，得AE＝EF.∴CE＝FE，∴AE＝EF＝BE＝CE，則AF＝BC，∠BAE＝∠CFE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE152022/11/24【答案】證明：(1)∵E是BC中點(diǎn)，∠BAE＝∠CFE，15【解后感悟】矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，同時也具有特殊的性質(zhì)；同時，判定矩形的方法也是多樣的，可以先判定這個四邊形是平行四邊形，然后判斷是矩形．故四邊形ABFC為矩形(對角線相等且平分的四邊形是矩形)．162022/11/24【解后感悟】矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性1．(2013·聊城)如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝CE.【答案】略．172022/11/241．(2013·聊城)如圖，四邊形ABCD中，【答案】略．1類型二菱形的性質(zhì)與判定例2(2013·黃岡)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連結(jié)OH，求證：∠DHO＝∠DCO.【思路分析】根據(jù)菱形的對角線互相平分可得OD＝OB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH＝OB，然后根據(jù)等邊對等角求出∠OHB＝∠OBH，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠OBH＝∠ODC，然后根據(jù)等角的余角相等證明即可．182022/11/24類型二菱形的性質(zhì)與判定例2(2013·黃岡)如圖，四邊形【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∵DH⊥AB，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.【解后感悟】本題是菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．192022/11/24【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，【解后感悟】本題是菱形(學(xué)P74)2．(2013·安順)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連結(jié)CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．【答案】(1)略；(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為2

，∴菱形的面積為4×2＝8

.202022/11/24(學(xué)P74)2．(2013·安順)如圖，在△ABC中，D、E類型三正方形的性質(zhì)與判定例3如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連結(jié)DF、AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.【思路分析】根據(jù)DE＝CF，可得出OE＝OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME＝90°，即可得出結(jié)論．212022/11/24類型三正方形的性質(zhì)與判定例3如圖，在正方形ABCD中，對【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.【解后感悟】正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質(zhì)．正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．AO＝DO，∠AOD＝∠DOF，OE＝OF，222022/11/24【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，【解后感悟】正方形是【答案】(1)只要證明△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF；(2)∵BF＝DF∴點(diǎn)F在對角線AC上∵AD∥EF∥BC∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶AE＝

∴BE∶CF＝

.3．(2014·濟(jì)寧)如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連結(jié)BF、DF.(1)求證：BF＝DF；(2)連結(jié)CF，請直接寫出BE∶CF的值(不必寫出計(jì)算過程)．232022/11/24【答案】(1)只要證明3．(2014·濟(jì)寧)如圖，正方形AE類型四特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用例4(2014·威海)猜想與證明：如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連結(jié)AF，若M為AF的中點(diǎn)，連結(jié)DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展與延伸：(1)若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為________．242022/11/24類型四特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用例4(2014·威海)猜想(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明(1)中的結(jié)論仍然成立．252022/11/24(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使2【思路分析】猜想：延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明．(1)延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明；(2)連結(jié)AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明．262022/11/24【思路分析】猜想：延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AM【答案】猜想：DM＝ME證明：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，F(xiàn)M＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME.∠EFM＝∠HAM，F(xiàn)M＝AM，∠FME＝∠AMH，272022/11/24【答案】猜想：DM＝ME∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∠(1)如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，F(xiàn)M＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME，故答案為：DM＝ME.∠EFM＝∠HAM，F(xiàn)M＝AM，∠FME＝∠AMH，282022/11/24(1)如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∠EFM＝∠HAM，28(2)如圖2，連結(jié)AE，∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，∴AE和EC在同一條直線上，在Rt△ADF中，AM＝MF，∴DM＝AM＝MF，在Rt△AEF中，AM＝MF，∴AM＝MF＝ME，∴DM＝ME.【解后感悟】本題是四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)及直角三角形的中線與斜邊的關(guān)系找出相等的線段．292022/11/24(2)如圖2，連結(jié)AE，【解后感悟】本題是四邊形的綜合題，解(1)連結(jié)EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時，求證：△ADE≌△CDF；(2)填空：①當(dāng)t為

s時，四邊形ACFE是菱形；

②當(dāng)t為

s時，以A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．4．(2013·河南)如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s)．6302022/11/24(1)連結(jié)EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時，求證：4．(20【答案】(1)證明：∵AG∥BC∴∠EAD＝∠ACB∵D是AC邊的中點(diǎn)∴AD＝CD又∵∠ADE＝∠CDF∴△ADE≌△CDF(2)①∵當(dāng)四邊形ACFE是菱形時，∴AE＝AC＝CF＝EF由題意可知：AE＝t，CF＝2t－6，∴t＝6②若四邊形ACFE是直角梯形，此時EF⊥AG過C作CM⊥AG于M，AM＝3，可以得到AE－CF＝AM，即t－(2t－6)＝3，∴t＝3，此時，C與F重合，不符合題意，舍去．312022/11/24【答案】(1)證明：∵AG∥BC312022/11/22若四邊形AFCE是直角梯形，此時AF⊥BC，∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴2t＝3，得到t＝

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．322022/11/24若四邊形AFCE是直角梯形，此時AF⊥BC，322022/1(學(xué)P75)【課本改變題】教材母題——浙教版八下第147頁，作業(yè)題第5題【試題】(1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF；332022/11/24(學(xué)P75)【課本改變題】332022/11/22(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長；342022/11/24(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊A(3)已知點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：①如圖3，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長；②如圖4，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，

求GH的長(用n的代數(shù)式表示)．352022/11/24(3)已知點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，【分析與解】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°.∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.362022/11/24【分析與解】(1)證明：如圖1，362022/11/22(2)解：如圖2，過點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，過點(diǎn)B作BN//EF交CD于N，AM與BN交于點(diǎn)O′，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM//GH，EF//BN，∴∠NO′A＝90°，故由(1)得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4.(3)①8

②4n.372022/11/24(2)解：如圖2，過點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，37202【方法與對策】這題是從特殊到一般的規(guī)律探究題．從課本題出發(fā)逐步提出問題，解決問題，然后根據(jù)這些解題體驗(yàn)，領(lǐng)悟解題方法，再來解決一般性問題，這是中考命題熱點(diǎn)之一，平時學(xué)習(xí)要重視一些典型的基本圖形．由于思維定勢，對問題考慮不全．【問題】若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF＝AE，則BM的長為________．【分析】只憑主觀印象作出結(jié)論，漏掉另一種情況．這里由條件“射線BM交正方形的一邊”可知，F(xiàn)有在邊AD上和CD上兩種情況．382022/11/24【方法與對策】這題是從特殊到一般的規(guī)律探究題．從課本題出發(fā)逐【正解】由題中射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F知有如下兩種情形：∴BM＝

或

392022/11/24【正解】由題中射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F知有∴BM＝第1題圖1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿AE對折，使得點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B1處，折痕與邊BC交于點(diǎn)E，則CE的長為()A．6cm

B．4cm

C．2cm

D．1cmC402022/11/24第1題圖1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝6cm，BC＝2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF.添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是()A．BC＝ACB．CF⊥BFC．BD＝DFD．AC＝BFD第2題圖412022/11/242．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線E第3題圖3．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，則以AC為邊長的正方形的周長為()A．14B．15C．16D．17C422022/11/24第3題圖3．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，則【解析】連AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD，設(shè)BO＝3x，AO＝4x，則AB＝5x.菱形ABCD的周長為20cm，∴4×5x＝20,x＝1，得AO＝4，BO＝3，AC＝2AO＝8，BD＝2BO＝6，∴

AC·BD＝24(cm2)．4．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，且tan∠ABD＝，則菱形ABCD的面積為

cm2.24第4題圖432022/11/24【解析】連AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD，設(shè)BO＝3x，4．第四章基本圖形(一)第20講矩形、菱形與正方形(學(xué)P72)第二篇圖形與幾何1．矩形性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)①對稱性：矩形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；矩形是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點(diǎn)；②矩形的四個角都是

角；③矩形的對角線互相平分并且

．直相等442022/11/24第四章基本圖形(一)第20講矩形、菱形與正方形(學(xué)P72(2)判定①有三個角是

的四邊形；②是平行四邊形且有一個角是

；③

的平行四邊形；④

的四邊形．2．菱形性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)①菱形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；菱形是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點(diǎn)；②菱形的四條邊都

；③對角線

，且每一條對角線

．互相垂直平分相等平分一組對角對角線相等且互相平分對角線相等直角直角452022/11/24(2)判定互相垂直平分相等平分一組對角對角線相等且互相平分對(2)判定①四條邊都

的四邊形；②有一組

的平行四邊形；③對角線

的平行四邊形；④對角線

的四邊形．3．正方形(1)性質(zhì)①正方形是一個軸對稱圖形，它有四條對稱軸；又是中心對稱圖形，它的對稱中心就是對角線的交點(diǎn)；②正方形的四個角都是

，四條邊都

；③兩條對角線

，并且

．每一條對角線

．相等鄰邊相等互相垂直互相垂直平分直角相等相等互相垂直平分平分一組對角462022/11/24(2)判定相等鄰邊相等互相垂直互相垂直平分直角相等相等互相垂(2)判定①鄰邊相等的

；②有一角是直角的

．4．平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系矩形菱形472022/11/24(2)判定矩形菱形42022/11/22正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)．482022/11/24正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：1．(2013·德州)下列命題中，真命題是()A．對角線相等的四邊形是等腰梯形B．對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形C．對角線互相垂直的四邊形是菱形D．四個角相等的四邊形是矩形2．(2013·涼山州)如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為()A．14B．15C．16D．17DC492022/11/241．(2013·德州)下列命題中，真命題是()2．(203．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于O，若AC＝6，BD＝4，則菱形ABCD的周長是()CA．24B．16C．4D．2502022/11/243．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于O，CA．247204．(2013·臺灣)如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點(diǎn)不重合，并連結(jié)BG.根據(jù)圖中標(biāo)示的角判斷下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小關(guān)系為()A．∠1＜∠2B．∠1＞∠2C．∠3＜∠4D．∠3＞∠4D512022/11/244．(2013·臺灣)如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方5．(2013·遵義)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若AB＝6cm，BC＝8cm，則△AEF的周長＝

cm.9522022/11/245．(2013·遵義)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、9(學(xué)P73)【問題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來研究正方形的有關(guān)問題，回答下列問題：(1)將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關(guān)系圖中：532022/11/24(學(xué)P73)【問題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們(2)要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個矩形的________相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個菱形有一角是________．(3)如圖菱形ABCD，某同學(xué)根據(jù)菱形面積計(jì)算公式推導(dǎo)出對角線長為a的正方形面積是S＝a2，對此結(jié)論，你認(rèn)為是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，舉出一個反例來說明．542022/11/24(2)要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四(3)如圖菱形A【解析】(1)根據(jù)在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據(jù)此關(guān)系來畫圖．如圖(2)根據(jù)正方形的判定方法進(jìn)行解答即可．即兩種常見的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個角是直角的菱形是正方形．∴填：一組鄰邊，直角．552022/11/24【解析】(1)根據(jù)在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直(3)本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等，將正方形分成兩個直角三角形的面積和來求證，也可通過對角線求出正方形的邊長來求證．∴結(jié)論正確．證明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×

×

a×

a＝

a2.【歸納】復(fù)習(xí)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，以及性質(zhì)與判定．562022/11/24(3)本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分類型一矩形的性質(zhì)與判定例1(2013·銅山)如圖，已知E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：△ABE≌△FCE；(2)連結(jié)AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形．【思路分析】(1)利用AAS可得出三角形ABE與三角形FCE全等；(2)利用對角線相等的平行四邊形為矩形可得出四邊形ABFC為矩形．572022/11/24類型一矩形的性質(zhì)與判定例1(2013·銅山)如圖，已知E【答案】證明：(1)∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE.∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.在△ABE與△FCE中，∴△ABE≌△FCE(AAS)．(2)∵∠AEC＝∠ABE＋∠BAE，又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE.由(1)△ABE≌△FCE，得AE＝EF.∴CE＝FE，∴AE＝EF＝BE＝CE，則AF＝BC，∠BAE＝∠CFE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE582022/11/24【答案】證明：(1)∵E是BC中點(diǎn)，∠BAE＝∠CFE，15【解后感悟】矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，同時也具有特殊的性質(zhì)；同時，判定矩形的方法也是多樣的，可以先判定這個四邊形是平行四邊形，然后判斷是矩形．故四邊形ABFC為矩形(對角線相等且平分的四邊形是矩形)．592022/11/24【解后感悟】矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性1．(2013·聊城)如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝CE.【答案】略．602022/11/241．(2013·聊城)如圖，四邊形ABCD中，【答案】略．1類型二菱形的性質(zhì)與判定例2(2013·黃岡)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連結(jié)OH，求證：∠DHO＝∠DCO.【思路分析】根據(jù)菱形的對角線互相平分可得OD＝OB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH＝OB，然后根據(jù)等邊對等角求出∠OHB＝∠OBH，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠OBH＝∠ODC，然后根據(jù)等角的余角相等證明即可．612022/11/24類型二菱形的性質(zhì)與判定例2(2013·黃岡)如圖，四邊形【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∵DH⊥AB，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.【解后感悟】本題是菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．622022/11/24【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，【解后感悟】本題是菱形(學(xué)P74)2．(2013·安順)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連結(jié)CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．【答案】(1)略；(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為2

，∴菱形的面積為4×2＝8

.632022/11/24(學(xué)P74)2．(2013·安順)如圖，在△ABC中，D、E類型三正方形的性質(zhì)與判定例3如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連結(jié)DF、AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.【思路分析】根據(jù)DE＝CF，可得出OE＝OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME＝90°，即可得出結(jié)論．642022/11/24類型三正方形的性質(zhì)與判定例3如圖，在正方形ABCD中，對【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.【解后感悟】正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質(zhì)．正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．AO＝DO，∠AOD＝∠DOF，OE＝OF，652022/11/24【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，【解后感悟】正方形是【答案】(1)只要證明△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF；(2)∵BF＝DF∴點(diǎn)F在對角線AC上∵AD∥EF∥BC∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶AE＝

∴BE∶CF＝

.3．(2014·濟(jì)寧)如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連結(jié)BF、DF.(1)求證：BF＝DF；(2)連結(jié)CF，請直接寫出BE∶CF的值(不必寫出計(jì)算過程)．662022/11/24【答案】(1)只要證明3．(2014·濟(jì)寧)如圖，正方形AE類型四特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用例4(2014·威海)猜想與證明：如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連結(jié)AF，若M為AF的中點(diǎn)，連結(jié)DM、ME，試猜想DM與ME的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展與延伸：(1)若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為________．672022/11/24類型四特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用例4(2014·威海)猜想(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明(1)中的結(jié)論仍然成立．682022/11/24(2)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使2【思路分析】猜想：延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明．(1)延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AMH，得出HM＝EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明；(2)連結(jié)AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明．692022/11/24【思路分析】猜想：延長EM交AD于點(diǎn)H，利用△FME≌△AM【答案】猜想：DM＝ME證明：如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，F(xiàn)M＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME.∠EFM＝∠HAM，F(xiàn)M＝AM，∠FME＝∠AMH，702022/11/24【答案】猜想：DM＝ME∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∠(1)如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，F(xiàn)M＝AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME，故答案為：DM＝ME.∠EFM＝∠HAM，F(xiàn)M＝AM，∠FME＝∠AMH，712022/11/24(1)如圖1，延長EM交AD于點(diǎn)H，∠EFM＝∠HAM，28(2)如圖2，連結(jié)AE，∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，∴AE和EC在同一條直線上，在Rt△ADF中，AM＝MF，∴DM＝AM＝MF，在Rt△AEF中，AM＝MF，∴AM＝MF＝ME，∴DM＝ME.【解后感悟】本題是四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)及直角三角形的中線與斜邊的關(guān)系找出相等的線段．722022/11/24(2)如圖2，連結(jié)AE，【解后感悟】本題是四邊形的綜合題，解(1)連結(jié)EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時，求證：△ADE≌△CDF；(2)填空：①當(dāng)t為

s時，四邊形ACFE是菱形；

②當(dāng)t為

s時，以A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．4．(2013·河南)如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s)．6732022/11/24(1)連結(jié)EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時，求證：4．(20【答案】(1)證明：∵AG∥BC∴∠EAD＝∠ACB∵D是AC邊的中點(diǎn)∴AD＝CD又∵∠ADE＝∠CDF∴△ADE≌△CDF(2)①∵當(dāng)四邊形ACFE是菱形時，∴AE＝AC＝CF＝EF由題意可知：AE＝t，CF＝2t－6，∴t＝6②若四邊形ACFE是直角梯形，此時EF⊥AG過C作CM⊥AG于M，AM＝3，可以得到AE－CF＝AM，即t－(2t－6)＝3，∴t＝3，此時，C與F重合，不符合題意，舍去．742022/11/24【答案】(1)證明：∵AG∥BC312022/11/22若四邊形AFCE是直角梯形，此時AF⊥BC，∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴2t＝3，得到t＝

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．752022/11/24若四邊形AFCE是直角梯形，此時AF⊥BC，322022/1(學(xué)P75)【課本改變題】教材母題——浙教版八下第147頁，作業(yè)題第5題【試題】(1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF；762022/11/24(學(xué)P75)【課本改變題】332022/11/22(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長；772022/11/24(2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊A(3)