南京市、鹽城市2022屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷及答案

2022屆高三年級第一次模擬考試(一)

數(shù)學(xué)(滿分150分，考試時間120分鐘)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．.已知集合M={yly=sinx,x￡R},N={yly=2x,x￡R},則MAN等于()A.[—1,+8)B.[-1,0)C.[0,1]D.(0,1]2.在等比數(shù)列{an}中，公比為q.已知丐=1,則0<q<1是數(shù)列{an}單調(diào)遞減的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件.某中學(xué)高三(1)班有50名學(xué)生,在一次高三模擬考試中,經(jīng)統(tǒng)計,得數(shù)學(xué)成績X?N(110,100),則該班數(shù)學(xué)得分大于120分的學(xué)生人數(shù)約為()(參考數(shù)據(jù)：P(|X一川<6'0.68,P(|X一川<2。)心0.95)A.16B.10C.8D.2.若f(a)=cosa+isina(i為虛數(shù)單位)，則[f(a)]2等于( )A.f(a)B.f(2a)C.2f(a) D.f(a2)5.已知直線、/2x+y+a=0與圓C：x2+(y—1)2=4相交于A,B兩點，且^ABC為等邊三角形，則實數(shù)a的值為()A.—4或2 B.—2或4C.—1±\'3 D.—1±\'66.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點A(1,0),B(3,4),向量OC=xOA+yOB,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x+y=6,則|AC|的最小值為( )A.1 B.2C.-..；5 D.2-.；5n7.已知a+p=4(a>0,p>0),則tana+tanp的最小值為( )A.k B.1C.一2—2\；2 D.—2+2

xW4,ex-4,8.已知f(x)=j 則當(dāng)xN0時，f(2x)xW4,ex-4,〔(x-16)2-143, x>4,小關(guān)系是()A.f(2x)Wf(x2) B.f(2x)三f(x2)C.f(2x)=f(x2) D.不確定二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。.若函數(shù)f(x)=cos2x+sinx,則下列關(guān)于f(x)的性質(zhì)的說法中正確的有()A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù) B.函數(shù)f(x)的最小正周期為nC.函數(shù)f(x)既有最大值也有最小值 D.函數(shù)f(x)有無數(shù)個零點.若橢圓C：12+味=1(a0)的左、右焦點分別為F1,F2，則能使以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點的b的值有()A.b=、/2 B.b=\" C.b=2 D.b=%,：511.若數(shù)列｛an｝的通項公式為an=(-1)n-i,記在數(shù)列｛an｝的前n+2(n￡N*)項中任取兩項都是正數(shù)的概率為Pn，則下列結(jié)論中正確的有()1A.f B.P2n<P2n+2C.P2n-1Vp2n D.P2n」+P2n<P2n+1+P2n+2如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PAL底面ABCD,底面ABCD為等腰梯形，AD〃BC,AB=AD=CD=1,BC=PA=2.記四棱錐P-ABCD的外接球為球0,平面PAD與平面PBC的交線為l,BC的中點為E,則下列結(jié)論中正確的有()A.l〃BC B.AB±PCC.平面PDE，平面PADD.l被球O截得的弦長為1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。若函數(shù)f(x)=(x+3)5+(x+m)5是奇函數(shù)，則m=.在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=3b,則cosB的最小值為.

計算機是二十世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，被廣泛地應(yīng)用于人們的工作與生活之中，計算機在進行數(shù)的計算處理時，使用的是二進制，一個十進制數(shù)n(n￡N*)可以表示成二進制數(shù)(a0a1a2…ak)2,k￡N,則n=ad2k+a/2k-1+a或2k-2HHak^20,其中a0=1,當(dāng)iN1時，ai￡{0,1}.若記a0,a1,a2，…，ak中1的個數(shù)為f(n),則滿足k=6,f(n)=3的n的個數(shù)為.已知：若函數(shù)f(x),g(x)4R上可導(dǎo)，f(x)=g(x),則f(x)=g'(x).英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個恒等式e2x=a0+a1x+a2x2H HanxnH—,則a0=,10an10ann=1nan.(第一空2分，第二空3分)四、解答題：本題共6小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(10分)從①sinD=sinA；②S.Rr=3S ；③DB?DC=—4這三個條件中，任選一△ABC △BCD個補充在下面的橫線中，并完成解答.已知點D在4ABC內(nèi)，cosA>cosD,AB=6,AC=BD=4,CD=2,若，求AABC的面積.(12分)已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=2n+4,數(shù)列｛bn｝的首項為b1=2.(1)若｛bn｝是公差為3的等差數(shù)列，求證：｛abn｝也是等差數(shù)列；(2)若｛abn｝是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛bn｝的前n項和.（12分）佩戴頭盔是一項對家庭與社會負責(zé)的表現(xiàn)，某市對此不斷地進行安全教育.下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：y=x+ y=x+ :并估算該路口2022年不戴頭盔的人數(shù);年度2018201920202021年度序號X1234不戴頭盔的人數(shù)y125010501000900（1）請利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔的人數(shù)y與年度序號x之間的回歸直線方程（2）交警統(tǒng)計2018?2021年通過該路口的開電瓶車出事故的50人，分析不戴頭盔行為與事故是否傷亡的關(guān)系，得到下表，能否有95%的把握認為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān)？不戴頭盔戴頭盔傷亡73不傷亡1327參考公式和數(shù)據(jù):1UCV丁1UCV?。ㄒ恍囊籑）（乂—）二…分二———itn(ad—n(ad—be)K2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2三k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879，其中n=a+b+c+d.(12分)在三棱柱ABC-AR1cl中，AA1=13,AB=8,BC=6,AB±BC,AB1=B1C,D為AC的中點，平面AB1c，平面ABC.求證：81口，平面ABC；(2)求直線C1D與平面AB1c所成角的正弦值.(12分)設(shè)雙曲線C：X2—y2=1(a>0,b>0)的右頂點為A,虛軸長為、;2兩準(zhǔn)線間的距離為236.⑴求雙曲線C的方程；(2)設(shè)動直線l與雙曲線C交于P,Q兩點，已知APLAQ,設(shè)點A到動直線l的距離為d，求d的最大值.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=—3lnx+x3+ax2—2ax,a￡R.⑴求曲線f(x)在x=1處的切線方程；(2)若x1,x2為函數(shù)f(x)的兩個不等于1的極值點，設(shè)點P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),記直線PQ的斜率為k，求證：k+2Vxi+x2.2022屆高三年級第一次模擬考試（一）（南京、鹽城）

數(shù)學(xué)參考答案1.D2.C3.C4.B5.A6.D7.D8.BCD10.ABC11.AB12.ABD2--.'2 20—314.亍15.1516.1日若選①.因為cosA>cosD,A￡（0,n）,D￡（0,n）,所以A<D.XsinD=sinA,所以D+A=n,所以cosD=—cosA.（4分）設(shè)BC=x，在^ABC與^BCD中，由余弦定理，得AB2+AC2—BC242+62—X2cosA= 2AB-AC =2X4X6，DB2+DC2—BC242+22—X2cosD=2DB-DC=2X4X2，42+22-X2 42+62-X2所以2X4X2=-2X4X6，（6分）解得X2=28,42+62—281 、所以cosA=oA=9.（8分）2X4X6 2n因為A￡（0,n）,所以A=3,所以SAABC=2AB^ACsinA=2*6X4X平=643.（10分）若選②.因為SaABC=3S△BCD,所以2AB-ACsinA=3X2DB-DCsinD.又AB=6,AC=BD=4,CD=2,所以1*6*4$畝A=3X1X4X2sinD,所以sinD=sinA.（2分）因為cosA>cosD,A￡（0,n）,D￡（0,n）,所以A<D.又sinD=sinA,所以D+A=n,所以cosD=—cosA.（4分）設(shè)BC=x，在^ABC與^BCD中，由余弦定理，得AB2+AC2—BC242+62—X2cosA= 2AB-AC =2X4X6'DB2+DC2—BC242+22—X2cosD=2DB-DC=2X4X2,所以42+22所以42+22—X2 42+62—X22X4X22X4X6,（6分）42+62—281 ,、、解得乂2=28,所以cosA=0x/xa=刀.(8分)2X4X6 2n因為A￡(0,n),所以A=3，所以S^ABC=2AB.ACsinA=2*6X4X坐=6小.(10分)若選③.在4BCD中，由余弦定理，得BC2=DB2+DC2—2DB-DCcosD=DB2+DC2—2DB-DC=42+22—2X(—4)=28.(4分)在4ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2—BC242+62—281 .c0sA= 2AB-AC=2X4X6=2,(8分)T=6\/3.(10分)n因為A￡(0,n),所以T=6\/3.(10分)所以S=zAB-ACsinA=zX6X4所以S△ABC2 2(1)因為｛bn｝是公差為3的等差數(shù)列，所以bn+1—bn=3.(2分)又a=2n+4,n所以abn+1—abn=2(bn+1+4)—2(bn+4)=2(bn+1—bn)=6,所以｛abn｝是等差數(shù)列.(6分)注：寫出bn=3n—1得2分.(2)因為｛abn｝是公比為2的等比數(shù)列，首項為ab1=a2=2X2+4=8,所以abn=8X2n-1=2n+2.(8分)又ab=2b+4=2n+2,nn所以bn=2n+1—2,(10分)則數(shù)列｛bn｝的前n項和為Sn=(22—2)+(23—2)+…+(2n+1—2)=(2z+23+3+2n+1)—2n=2n+2—2n—4.(12分)19.(1)由表中數(shù)據(jù)知，1+2+3+45-125019.(1)由表中數(shù)據(jù)知，1+2+3+45-1250+1050+1000+900050,■Tta所以所以Aa=2,一口工yf=L岸—打(了)2,, 9950—10500i=l = =—11030—25 0,(2分)"— ?工=1050—(—110)X2=1325,故所求的回歸直線方程為--=-110x故所求的回歸直線方程為--=-110x+1325.(4分)A.令x=5,則U 「=—110X5+1325=775(人)，故該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)約為775.（6分）（2）提出假設(shè)H0:不戴頭盔行為與事故傷亡無關(guān).50X（7X27-3X13）2 、由表中數(shù)據(jù)，得K2=-12八乂/八”—=4.6875>3.841.（9分）10X30X40X20又P（K2三3.841）=0.05,所以有95%的把握認為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān).（12分）20.（1）因為AB]=B]C,D為AC的中點，所以B1D±AC.（2分）因為平面AB1c，平面ABC,平面AB]Cn平面ABC=AC,BQu平面AB1C,所以Bp,平面ABC.（5分）（2）方法一：在平面ABC內(nèi)過點D分別作AB,BC的平行線，交AB,BC于點E,F.由(1)知BQ,平面ABC,AB,BC,以｛DE,DF,DBJ為基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.(7分)因為AB=8,BC=6,所以AC=10,BD=5.因為AA]=BB]=13,所以B1D=12,則D(0,0,0),A(3,-4,0),B(3,4,0),C(-3,4,0),B1(0,0,12).設(shè)點C1(x,y,z),由BC=B[C],得(一6,0,0)=(x,y,z-12),即點C1(-6,0,12),則AC=(-6,8,0),B1c=(—3,4,-12),C1D=(6,0,-12).設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,z),n?AC=-6x+8y=0,則日 整理得3x=4y,z=0.-一.一一〔n?B1c=-3x+4y-12z=0,不妨取x=4,則平面AB1C的一個法向量為n=(4,3,0).(10分)設(shè)直線C1D與平面AB1C所成的角為仇則sin0=lcos〈n,C1D)(12分)In:CDl6則sin0=lcos〈n,C1D)(12分)In|.|CD| 5X,J62+02十(—12)2 25方法二：設(shè)B[CnBC]=M,由BM=MC1知點C1到平面AB1c的距離d和點B到平面AB1C的距離相等.過點B作BH,AC,垂足為H,連接C1H.因為BH,AC,平面人8聲,平面人8仁平面AB1Cn平面ABC=AC,BHu平面ABC,所以BH,平面AB1C,

則BH為點B到平面AB1C的距離.（7分）6X824小、在Rt△ABC中，易知d=BH=T0-=了.（9分）由(1)知B1D，平面ABC,又BC平面ABC,所以B1DXBC.因為B1c1〃BC,所以B1DXB1C1,則4BpC］為直角三角形.因為AB=8,BC=6,AB±BC,所以AC=10,BD=5.因為AA1=BB1=13,所以B1D=12.因為B1c1=BC=6,所以C1D=\'62+122=6-;,5.(11分)設(shè)直線BC1與平面AB1C所成的角為仇24w?d5 4v5 、則sin0=C1D=6-.3=25.(12分)2 、.(1)由虛軸長為、12,得b=,(1分)由兩準(zhǔn)線間的距離為平，得a2=牛，(2分)c1則3a4=2c2=2(a2+b2)=2(a2+2),解得a2=1,故雙曲線的方程為x2—2y2=1.（4分）（2）①若動直線l的斜率不存在，則設(shè)l：x=t,代入雙曲線方程，得P（t,)，Q(t代入雙曲線方程，得P（t,)，Q(t,—t2—1由APLAQ，得(t—1)2——2-=0，解得t=3或t=1(舍去)，此時點A到直線l的距離為d=2.(6分)②若動直線l的斜率存在，則可設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2,y2)，直線l：y=kx+t，代入雙曲線的方程，得(1—2k2)x2—4ktx—(2t2+1)=0，4kt 2t2+1-則x1+x21—2k2，x1x2 1—2k2,(8分)由APLAQ，得(x1—1)(x2—1)+y1y2=0.又y=kx+t，所以(x1—1)(x2—1)+(kx1+t)(kx2+1)=0，化簡整理，得(1+k2)x1x2+(kt—1)(x1+x2)+t2+1=0，將x+x=4kt，xx=—}2T代入化簡，得(3k+t)(k+t)=0.(10分)21—2k2 12 1—2k2若k+t=0，則直線經(jīng)過右頂點A，舍去；故3k+t=0，即直線經(jīng)過定點M(3，0)，(11分)則dWAM=2.

綜上所述，d的最大值為2.(12分).(1)由f(x)=-3lnx+x3+