圓錐曲線第十三章圓錐曲線

第十三 圓錐曲圓（1）數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化知識梳方 與曲線C滿足方 的解為坐標(biāo)的點都在曲線C則稱方曲線C的方程，曲線C為方 的曲點(x0,y0)在曲 上，則F(x0,y0)0，反之亦P(xy典型例【1（1）ykx1x2y2kxy40y（2）設(shè)兩條直線a1xb1y10a2xb2y10交于點(23)，則過點P(a1b1)Q(a2b2的直線（1）k1，交點(2,1和（2）由題意得2a13b110且2a23b210P(a1b1和Q(a2b2在直線2x3y10上，故所求直線方2x3y10【2（1）MA(2,0)B(8,0M的軌跡方12x221212x2212x82（1）

MB, x2x2y

x2y2（2）PxyPA當(dāng)y0時,x28

y2,

y說明：求解動點軌跡方程的基本方法之一是直接法，即建立動點x,y的等量關(guān)系（00B(6,0),運動，求

解：設(shè)ABC重心坐標(biāo)為x,y,頂點Cxc,yc06xc33

xc3x6yx2 00

3y(3x6)23y3(x2)2【4P1,1作直線lxy軸分別交于A、BAB的中點M的軌跡方程解：由題意斜率必存在，設(shè)直線l:y1k(x1)x0,yk1;y0,x11k11 令M ,k1 1x 設(shè)Mx,y,則 消去k，得3x2y2xy0yk x,y的方程，就是所求軌跡方程?！緜溆妙}1】試從平面曲線方程的概念出發(fā)，類比推廣出空間曲面方程的概念，并以此求足下述條件的平面方程：已知點M(121的一個法向量為n1,13，求平面解：方 與曲面C滿足 方 則稱方曲面C的方程，曲面C為方程 設(shè)平面上任意一點P(x,y,z)，則有MPn0即(x1(1y21z13故平面的方xy3z22（1）M(a,bCF(ab0F(xy不是曲線C（2）C1xy2x20與曲線C2xxyya0有且只有兩到3xy2a0述解法正確，學(xué)習(xí)并解決如下問題x22y21與3y2axb3個不同3（1）x22y21兩邊乘以3再與3y2axb

x2y2axb1 鞏固練方程(x24)2(1y2)20表示的圖形為 一個 四個 5Ayx215

A方程ax2by24的曲線過點A(0,2)、 ，則a ，bB(,24A、BxyABMyxbyx2x2有兩個交點，則bCf(xy0關(guān)于點(ab的對稱曲線D y

y

x2y2

xyF(40)x6已知ABCABC在直線l求ABCM

4BC邊上的高為BCxBCy2xyk0x2y22x0k（1）它們有兩（2）My1x21MOP的中點（O為原點2PCyx22x2（1）C關(guān)于點(20)C1的（2）Cxy30C2的方程。知識梳 x2y2r2r0，其中圓心(00，半徑(xa)2yb)2r2，其中圓心(ab，半徑x2y2DxEyF0（D2E24F>0）其中圓心(DE D2D2E22xr

yrsin（02，為參數(shù)xarybrsin（02，為參數(shù)ddrdr直線與圓相切；當(dāng)dr直線與圓相離直線與圓相交時所截得的弦長（弦長的一半、dr構(gòu)成直角三角形典型例（2）與直線l1x2y10，l2x2y90均相切，且圓心在直線3x2y10上，A（41x2y22x6y50B（1，2，求圓（1）(x1)2y2)251設(shè)l1l2的距離為d51

25,r5設(shè)與l1,l2平行且到l1,l2距離相等的直線方x2yc5c1c9得c

xx2y4

即圓心511 483x2y1

y 所求圓 (x5)2(y11)2 已知圓化簡為x12y32x y直線 ,即xy3

直線ABxy20

3x12

y

,即x2y50②，由①②得：所求圓心坐標(biāo)所求圓方：(x3)2(y1)27【2x3y0yyx上截得的弦長為7

(xa)2(yb)2r22ya3b0xr(7)2ab)2r22所以圓方：(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)2【3】已知圓x2y28x2y12

A（3，0xy3xy3【4（1）P(2,1x2y24（2）P(1,3x2y24相切的直線方解：（1）3x4y100x2（2）x3y4【5P、Q的坐標(biāo)分別是(ab、(3b3aPQ的垂直平分線 ；圓(x2)2(y3)21關(guān)于直線l對稱的圓的方解（1）-1（2）x2(y1)21（2）x（3）解：圓方程化簡x2y22x2y2轉(zhuǎn)化為到原點的距離的平方。得(x2y2 yx

23y3

由1

,kk2即k(3][3（3）x2yc5451 ,得c545由5x2y 45令

x

02y2x2ycos42sin5x2y 45

5sin鞏固練

B0，AC0”是方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓 過點（4，6）的圓(x1)2y2)225直線2xy10和圓x2y22mx4mym210的位置關(guān)系是 (A)相交但不過圓心(B)相交且可能過圓心(C)相交或相切(D)2x2y22x4y30xy102 1 2 3 4

的點共有 圓心在原點，且圓周被直線3x4y1501:22圓心為(21xy10上截得的弦長為2

A(40作直線lx2y24M、NMNPx,yx2y24x10xyx2y1)21P(xyxym0，則實數(shù)m是44

kx1有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k已知直線l(2m1)xm1y7m4C(x1)2y2)2求證：直線lC求出相交弦長的最小值及相應(yīng)的mCx2y24x6y（1）C關(guān)于直線la(x2y2a)(2x3y4)0對稱，求實數(shù)aCC1x2y2Dx2yF0x2yb0對稱，求D、Fb已知x2y26mx2(m1y10m22m240(mR（1）求證：不論m何值，圓心在同一直線l（2）與l平行的直線中，那些與圓相交、相切、相離？（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被圓截得的弦長與m無關(guān)。已知x2y22(m3)x2(14m2y16m490表示一個求實數(shù)m知識梳

2cPPF

2cP點軌跡為橢圓2a=2c點軌跡為線段FF

1

x y

1（ab a

y x

1（a

，其中c2a2b2a 直接能求出a、xyaxaby典型例【例1】根據(jù)下列條件，分別求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程x3y603倍，且過點(22,3)。（1）A60,B022

ABb6c2

40

ABb2c6

40

x2y2

1a1

a6c3,則b2a2c2

acx2y2

x21 1由a3b

9點223代入(1)式得b289；代入（2）式得b29x29y2

x21 1【2（1）若方程(m1)x22y2m22m30m（2）橢圓a2x2ay21的一個焦點是(2,0，則a2（1）由(m1)x22y2m22m3知m10且m22m31m的范圍為1

2y y 則12)22，且a0a1 【3（1）A（2，0，且與圓(x2)2y236M程x2 y

（1）MxyMB6MA,MBMA6x2yx2

PFPF10,PF2PF22PF

100 PF2PF2F

212 112S PFPF 【4F1(40F240F2x

F1BF2B10A、CF2AF2BF2C（1）（2）x2y2（1）

9 99（2）B(4,5

F2B5(x4)211(x4)222(x4)211(x4)222

2 1A、Cy21

9(25x2)，y2

9(25x222x1x2

AC2【5（1）P(xy2

y1(ab0上任一點，F(xiàn)y

350公里（指與地表的距離6370公里，試用（1）的

a2（1）

(xc)

x2cxa

(x

)，x[a,c2aaxaP2c

ac當(dāng)xa，即P在橢圓右端點時， a（2）由（1）ac3506370，ac200a6645，c75，于是b2

1 12【備用題】以橢圓C:2

1(ab 1(ab

a2a2該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓CAFBAB2SOAB

2求橢圓C

a2b2的直線l與橢圓CMN兩點，當(dāng)OMON0直線l交“準(zhǔn)圓”所得的弦長 （1） 3

1xy鞏固練中心在原點，兩焦點坐標(biāo)分別為(20)(20的橢圓過點53 為xy xy橢

1MF12NMF1ON229

4

3長為43

，且F1BF2

3

x a

ya

1表示的曲線為橢圓，則a已知(40)是橢圓kx23ky21的一個焦點，則k

y 1(m0yy

2xMx2為橢圓的右焦點，則m

1

9 4 (A)長軸長相 (B)焦距相(C)短軸長相 (D)長軸長、短軸長、焦距都不相x2y21(ab點F是橢圓

0的一個焦點，PQO角形PQF的面積最大值是 a2(A)1 (B) (C) (D)bc（a22A(30，且與圓(x3)2y264M中心在原點，焦點為(0,52的橢圓被直線3xy20122B24

y

1上的動點，點A(0,2)PAB2:122

yy xPAPFPMABMAPMBM知識梳

2cP PF 1 x2y2 xay

1（x

0

ya

1（a0，b0，其中

a

x y

1

y a a222焦點在y軸上的y yaa xyxax典型例x y【例1（1）雙曲 a

1（a0，b0F1PQ兩點，另一焦點為F2PQm，則PQF2x2x設(shè)P為雙曲 x2

2y91F1、F2y2

9PF1 4

（1）

PF1

8

117

PF 4FF2PF2PF22PFPFcos 1 20

PF2PF2PFPF(PFPF)2PF

123PF2123S

2 y22 1若表示橢圓，則k的取值范圍 2線，則k(x(x1)2

k1(x(x1)2

2（1）

x2

yk

1若表示橢圓，則由2k0k10且2kkk的取值范圍為

(

,2)x2

yk

1若表示雙曲線，則由(2k)(k1（xy軸上（2）y0(x說明：求解關(guān)鍵，就是區(qū)分曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。并注意橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中ab，即注意“圓”【例3】求滿足下列條件的雙曲線方程22

y

1

y3xP(-

3)225

y3

2漸近線為3x4y02

y1y （1）橢圓焦點坐標(biāo)5,0，頂點坐標(biāo)

y2x1a x1c5a

y2x231 x231

yx x

k

0，把點P

代入上式，解得k

x21 1

y

kk

x2y2x，1 x，1由c216，得

x2 x2 1

y2x2

y2xk xk由題意雙曲線的焦點為

滿足16k9k10或9k16kk2或k5x5x

5y

1

5y9

5x211

y 1yyy線 k(k0)，若k0，即為雙曲線的兩條漸近線；而以直線mxny 為漸近線的雙曲線可設(shè)為(mx)2ny)2k(k0)【4（1）M(xy到點F1（5，0）M到F2（5，0）8，求M的軌跡方程.（2）C:(x3)2y21C:(x3)2y29MCC M解：(1)MF1

c5,2a8,b29雙曲線

（2）設(shè)動圓半徑為r，由題意MMC23r,MC1MC2雙曲線

2y21(xx8x22【5M(20)N(20P

PMPN

P跡為W求WN(2,0作直線l交曲線WAB兩點，使得|AB|

2，求直線l22P向圓Cx2y4)21AB，令|PC|=d,dPAPBPAPB的取值范圍。2（1）

PMPN

P的軌跡是以M(20)N(202實軸長為2

2即設(shè)2a22,2c4a 2,c2,b2所以所求的W的方

x2y2（2）kx=2A(2,2)，B(2,-2),|AB|=22滿足題意；kl:y=k(x-2)x2y2聯(lián)立ykx2(1k2x24k2xx2y21k2由題意知

kRk1k1k

|a8k2即|1k2

1k2

2k=02所以直線l的方x=0或PAPBPAPBcosAPB(d21)(12sin2 12

(d21)(d2(d21)12 d d(d21)(d2PAPBd2x2y4)2y22y4)22y28y(d21)(d2PAPB dd

23----d2d2f(dd223在10

f(d)10

237d

則所求的PAPB的范圍為752【備用題】F2

y yPAPF的最小值.9鞏固練

方程mx2ny2mn0(mn022

yy 以橢圓3x213y239y1x22漸近線 3x4y0，焦點為橢圓2

2y1y 9則F1PF2

yy

t

t

1是雙曲線，則t

x2y2

已知雙曲線的半焦距和實半軸之比為21F1F2P11

123若等軸雙曲線的中心在原點，焦點F1F2在坐標(biāo)軸上，且過點(4,M(3mMF1MF2

求F1MF22P(2,12

y1Fy（2）F的直線lA、BAB不超過4，求直線l的傾斜角的取值范圍知識梳F和一條定直線lF叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（pF到準(zhǔn)線l距離 xy22px（p0xyx22py（p0yx22py（p0典型例【例1（1）拋物線x24y的焦點坐 PA（0，2）y31P頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過(2,4)的拋物線方 x22pyp0)上的點(m,35p（1）x2(yx2(y

y31，化簡得x28PA（0，2）y2P

x28

y22pxx22把點(2,4)代入，得方y(tǒng)28x或x2由題意知(m,3yp5，即3p5p 【例2拋物

y26xF作傾角為45的直線與拋物線相交于（2）（1） yx3，代入y26x，得x29x9 9由定理得AB中點為(,3)，弦長AB為2

(x9)2(y3)236

x 323【3P(xyF（1，0）y21PC；②A（3，2PCPAPF2P（1）2 2 ：y22xx0和y0xx0PFPPAPAPF72x32當(dāng)x0時，PAx32PAPF2

1 12x 2【4】拋物線y2xAB3ABMy軸的距離的最小值，并寫出此時點M的坐標(biāo)解：設(shè)AxyBxyMxyF1,04 4 AFx14,BFx24AB

AF

1

12x

3

13x AB

AFBFABFx0k線，kAB y2y1

y2

1，

y，y x22x222

y2x

y1

2

5 ,2,252 或M 2 2【1（1）y24xFA、B將（1）y22pxp0)，橫坐標(biāo)之和改為t23（123

yk(x1y24x2

2k2kx(2k4)x

0，由x1x2 k

5k

y23(x1)當(dāng)直線斜率k不存在時，直線 xp，則xx 故當(dāng)tpx2當(dāng)直線斜率k

yk(xpy22pxp2k2

2ptp

，故當(dāng)tp【2yk(x2)(k0與拋物線C:y28xA、B兩點，F(xiàn)為FA2FB，求k223鞏固練y24x0yax2x2y40上，則拋物線4x2y21的一個焦點，則此拋物線的焦點到準(zhǔn)線xy2y24xA、B兩點，那么線段AB設(shè)Oy22xA、B，則OAOB過拋物線y24x的焦點作直線交拋物A(x,y)、B(x,y兩點如果xx6 ABy24xA(2,1PP

PAy22pxp0)M的橫坐標(biāo)為910，求拋M點的坐標(biāo)2044米需用一支柱支撐，求其中最y28xM(a,0)且斜率為1的直線lA、B求NAB

（1）（2）Pa,0Qy22xPQ知識梳x（y）利用判別式：檢驗直線斜率k典型例【1（1）P（0，1）y22x2yaxb2

y y 22

y 1(ab0y直線2xy10與圓錐曲線C交于M(x1,y1)、N(x2,y2)兩點，且MN y1y2yx2上距直線2xy42ykx1025

1恒有公共點，則m m（1）當(dāng)斜率kykx1y22xyk2x22k2x10，?。﹌20時，有一解；ⅱ）k01

k2y

x1或y1或x2

60，且漸近線斜率為k22

y

2(x 2b2b直線為xc，代入橢圓得y ，故弦長a

ay

y

(yy

，x ，則(x1x2)

114MN14

y

2 ，得yy2 設(shè)與2xy4平行的直線方2xyc0代入yx22xc0（*，由0得c1，此時方程（*）x1，則所求點為直線過定點(0,1，則該點在橢圓上或橢圓內(nèi)，故m【2】對問題“已知雙曲線2x2y22P（1，1）M、NPMN的中點？這樣的直線若存在，求出它的方程；否則，請

y1kx1與雙曲線2x2y22y2k2x22k22kxk22k3x 2k2 2xP1 2 2 22這樣的直線不存

,k2，但此時8M(x,y)、N(x,y，則2x2y22且2x2y2 相減得

y2y12y12(x1y2x x 解：解法二錯誤，從解法一可以看出，當(dāng)k2方程；利用判別式判斷交點個數(shù)情況；利用定理解決中點、弦長等問題?！?xOy中，直線ly2＝2xA、B求證如果直線l過點T（3，0，那么

OB＝3”是真命題 （1）T(3,0)的直線ly2＝2xA(x,y)、B( l的斜率不存在時,直線l

x3，此時直線l66

)、

6 ∴OAOB6當(dāng)直線l的鈄率存在時,設(shè)直線l

yk(x3，其中k0y22由ykx3

2y6k0y1y2又∵x11y2x1y22 24∴OAOBx1x2y1y21(y1y2)2y1y234綜上所述，命題“如果直線l過點T(3,0)，那么OAOB=3”是真命題(2)逆命題是：設(shè)直線ly2=2xA、B兩點,如果OAOB=3,那么該直線過點(2

,1)，此時OAOB直線AB的 ：y2(x1)，而T(3,0)不在直線AB3 【例4】設(shè)橢圓方程x 1，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)4P滿足OP

1(OAOB點N2

1(,)當(dāng)lM2PNP

ykx解（1）假設(shè)直線l的斜率存在設(shè)為k，則ykx1，由題意得 x4得(4k2x22kx3A(xyB(xyP(xy，由OP1(OAOB得點PAB的中 xx x

4k 得8

4k8

k得

2

yyy y

k（2）x2

11x 121212 1x NP1

x NP1 1【5xOy中，已知雙曲線C12xy1 過C1的左頂點引C1x軸圍成的11l交CP、Qlx2y211設(shè)橢圓C4x2y21M、N分別是C、C 求證：OMN2[解]（1）雙曲線C:xy21，左頂點A(2,0)，漸近線方程：y x22 2222222Ay

x平行的直線方y(tǒng)

(x2

y x1.22y x2222解方程組y22

x

，得

y

4 ……2所以所求三角形的面積1為S1|OA||y|2 ……4 PQyxb故2

1，即b22 ……6yx 由2x2y21

2bx

10x1x2P(x1y1)、Q(x2y2)，則x

b212

1OPOQxxyy2xxb(xx)1 1 1 2(b21)b2bb2b220故 ……10ONx|ON|=1，|OM|2OMN的距離為3. ONxON

ykx（顯然|k|2OM

y1x2ky2k由

x2， 4k2，所以|ON|21k24x2y2

y2

k4k

4k同理|OM