柔體動力學介紹

柔體動力學介紹一、KED(Kineto-Elastodynamics)法KED法，即運動彈性動力學，由美國學者Erdman和Sandor提出。該方法的研究始于上個世紀60年代，早期研究者僅把部件（一般是一個，如四桿機構(gòu)的連桿）看作是柔性的，并且只考慮其一種變形（如桿件的彎曲變形），方程中也引入較多假設(shè)。70年代初期，Erdman和Sandor將結(jié)構(gòu)動力學中的有限元方法移植到機構(gòu)分析中來，克服了模型過于簡單的缺陷。我國自80年代初開始研究機構(gòu)彈性力學，學者張策對KED法做了大量研究。KED法在分析機構(gòu)的真實運動時，均假設(shè)：與采用剛性機構(gòu)的運動分析法的到的機構(gòu)名義運動的位移相比，由構(gòu)件變形引起的彈性位移很??；這種彈性位移不會影響機構(gòu)的名義運動。依據(jù)上述假設(shè)，機構(gòu)真實運動的位移可以看作是名義運動的位移和彈性位移的疊加。名義運動可以用剛體機構(gòu)運動和動力學分析方法求出，彈性位移則用彈性動力學分析方法求出。為了使所建模型較準確反應(yīng)原機構(gòu)系統(tǒng)的特性，現(xiàn)在普遍采用“子結(jié)構(gòu)分析方法”即把系統(tǒng)按結(jié)構(gòu)劃分為子結(jié)構(gòu)單元，然后建立單元和子結(jié)構(gòu)的運動方程，最后將單元和子結(jié)構(gòu)的運動方程組合成系統(tǒng)的運動方程。對于連續(xù)體的離散，有1）集中參數(shù)模型2）有限元模型兩種建模方法。以一個簡單例子為例：一般彈性動力學方程為：一般彈性動力學方程為：Myfr??rMy+M^yf=(q)+(q)M：yf+KffyfW+(qvf-其中，第一個方程描述的是機構(gòu)的剛體動力學方程，第二個方程描述的是機構(gòu)的結(jié)構(gòu)振動方程。yr表示機構(gòu)廣義剛體位移，yf表示機構(gòu)廣義彈性位移，qe表示機構(gòu)所受外力，qv表示機構(gòu)的科氏力和離心力。對于KED方法，變形對剛體運動的影響忽略不計，因此，忽略耦合項，上述方程變?yōu)椋篗yfr??rMy=（q）My+Ky=（q）+（q）-Myff??ffffefvffr??r從上式可以看出，由于KED方法的假設(shè)，使方程得到很大的化簡，提高了計算效率，此方法對于作大范圍剛體運動，機構(gòu)剛度大（即彈性變形小的系統(tǒng)）適用。但隨著輕質(zhì)、高速運動、大尺寸機構(gòu)的發(fā)展，KED方法計算結(jié)果的精確度不再令人滿意。在這些系統(tǒng)中，剛體運動和彈性變形的慣性耦合非常重要，在動力學分析中不能被忽略，因此，KED方法在這些機構(gòu)的動力學分析中不再適用。二、浮動坐標法（FloatingFrameofReference）浮動坐標法是目前進行計算機柔體動力學仿真時最廣泛運用的方法，這種方法已經(jīng)被應(yīng)用在幾種商用動力學分析軟件中。在浮動坐標法中，共使用兩種坐標系來描述變形體的構(gòu)型，一種是用來描述變形體連體坐標系的位置和方向，另一種是用來描述變形體相對于其連體坐標系的變形。如下圖所示：圖一1）運動分析變形體上任意一點P在全局坐標系X]X2X3中的位置為：r=R+A（U0+七）（1.1）其中，A為連體坐標系X1'X2,X3'相對于全局坐標系X1X2X3的方向余弦矩陣。U0為點P在未變形時在連體坐標系中的位置，Uf為變形位移。對于一個具體問題，如何選擇合適的連體坐標系是難點。在多剛體動力學中，選取通過質(zhì)心的主軸坐標系為跟隨坐標系而使動力學方程中平移與轉(zhuǎn)動慣性解耦。柔體中各質(zhì)點的位置時刻都在變換，其質(zhì)心相對于其內(nèi)部的質(zhì)點也一直在不停地變化，因而不存在一個固定的連體坐標系，選取不同的連體坐標意味著選取了不同的柔性體變形。但研究表明這并不影響最終的位移分析結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)廣義坐標為q=[R0qf卜。其中，R為描述變形體相對位置的笛卡爾坐標，e為描述變形體方向的角度坐標，qf為變形體上任意點變形坐標，與變形位移的關(guān)系為uf=Sqf，其中s為型函數(shù)。之后便可以對系統(tǒng)進行運動學分析，對公式(1.3)求一次導數(shù)，便可得到任一點P的運動速度：r=R+Au+Au=R+Au+ASq?p之后便可以對系統(tǒng)進行運動學分析，對公式(1.3)求一次導數(shù)，便可得到任一點P的運動速度：r=R+Au+Au=R+Au+ASq?pf-ff-f=E+B0+ASq(1.2)-fR.=[lBAS]e=Lq.raa"I其中，B=面(AU)甌0u),i為系統(tǒng)廣義速度陣，L為系L1〃」數(shù)矩陣?！瓕?.4再求一次導數(shù)，可得到點尸的運動加速度：r=Lq+Lq?p.??(1.3)2)質(zhì)量矩陣：系統(tǒng)的動能為:t=L2v系統(tǒng)質(zhì)量陣為fpr^rdV=11pqTLrLqW=IqiMq??2?2?v(1.4)m=￡pLtLJV2'v(1.5)M是一個非線性的對稱矩陣。變系數(shù)，隨位形變化3)系統(tǒng)廣義力利用虛功原理，求解彈性力和外力所產(chǎn)生的關(guān)于廣義坐標q的廣義力(1)系統(tǒng)廣義彈性力0008R8W=-(K0q]00080SI00Ker」8qf(1.6)(2)系統(tǒng)廣義外力8R—[QRQqj]8e其中，Qr和Qj為關(guān)于移動和轉(zhuǎn)動坐標的廣義力。4）運動約束方程圖二系統(tǒng)的約束方程可寫為向量的形式：（1.10）C(q,t)=0（1.10）其中，q=[qiTq2Tq〃T]T為系統(tǒng)的廣義坐標，t為時間，C=[C1C2C」T.為獨立的約束方程。例如，如圖二所示，如果點P「和點Pj相連，則有.rij=Ri+Aiui—（Rj+Ajuj）=f（t）（槌）當f（t）=0時，則表示兩個點始終相連。為了將約束方程（1.10）引入動力學方程中，對于廣義坐標取微小變化Sq，公式（1.10）可寫為：CSqCSq=「Li-j8qiq(1.9)其中，Cq=LLi—L」為系統(tǒng)約束壓雅可比矩陣。5）系統(tǒng)動力學方程將以上求解各式帶入到第一類拉格朗日方程中，即可得到系統(tǒng)動力學方程Mq+Kq+Ct人=Q+Q『（1.10）其中，入為拉格朗日乘子。從以上分析可以看出，在浮動坐標法中，質(zhì)量矩陣為一個非線性的對稱矩陣，剛度矩陣為一個常量矩陣。計算廣義力時，需考慮系統(tǒng)的科氏力和離心力。浮動坐標法適用于作大范圍移動小變形的系統(tǒng)，對于作大范圍移動大變形的系統(tǒng)，此方法的求解不夠精確，不再適用。三、絕對節(jié)點坐標法（AbsoluteNodalCoordinateFormulation）該方法由AhmedA.Shabana于1996年提出，其理論基礎(chǔ)主要是有限元與連續(xù)介質(zhì)力學理論。該方法中單元節(jié)點的坐標定義在全局坐標系下，采用斜率矢量代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限單元中的節(jié)點轉(zhuǎn)角坐標。推導的動力學方程具有常質(zhì)量矩陣、不存在科氏力和離心力等項的特點。這些特點可以提高計算效率。絕對節(jié)點坐標法已被認為是多體系統(tǒng)動力學研究歷史上的一個重要進展之一，它的誕生使柔性多體系統(tǒng)動力學理論與有限元理論進一步整合。絕對節(jié)點坐標法自出現(xiàn)以來，一直是多體系統(tǒng)動力學研究者關(guān)注的熱點問題之一。以一個二維單元梁為例：1）運動分析梁上任意一點在全局坐標系下的位置為其中S為型函數(shù)，e為節(jié)點坐標，且有S=[s1IS21S3IS41]S3=3g2—2g3S=1一3&2+2g3S=lG—2&2+g3S4=lC3—g2),g=X。S3=3g2—2g3e=e=[ei=ri1e2ee34e5e6e7ej8drdrdrdr]Tri1i2rrk1_k2i2dxdxk1k2dxdxrTrdV=1JpeTSTSe^V=￡eTMe

--2--2--V(1.12)(1.13)(1.14)由節(jié)點坐標的選取可得出，絕對節(jié)點坐標法中并未使用轉(zhuǎn)角作為坐標，而是選取斜率作為廣義坐標。型函數(shù)rTrdV=1JpeTSTSe^V=￡eTMe

--2--2--V(1.12)(1.13)(1.14)對公式1.13求一次導，便可得到任意一點速度:r=Se2）質(zhì)量矩陣（1）系統(tǒng)的動能為：丁1|\T=2Jpv（2）系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M=JpStSW由上文可知，型函數(shù)S僅為x的函數(shù)，因此，質(zhì)量矩陣M為一個常量矩陣，在進行動力學分析的時候，可事先計算好質(zhì)量矩陣，節(jié)省了計算時間。3）系統(tǒng)廣義力（1）利用介質(zhì)力學中變形梯度，來求解彈性力。單元變形梯度為:利用拉格朗日應(yīng)變張量描述系統(tǒng)應(yīng)變，此張量為單元變形梯度的函數(shù)，表達式為：1f_T八1FctSe-1ctSe￡=_—I./—_ac(116)\o"CurrentDocument"a利用拉格朗日應(yīng)變張量描述系統(tǒng)應(yīng)變，此張量為單元變形梯度的函數(shù)，表達式為：1f_T八1FctSe-1ctSe￡=_—I./—_ac(116)\o"CurrentDocument"a22eTSectSe-1''Lcb」S=StS+StS'alxlx2x2xS=StS+StSblyly2y2y+StS式中l(wèi)xly2x2y°元形函數(shù)的第i行。￡為一個對稱張量，因此可以寫為:

aS?表示單I8￡卜23利用材料本構(gòu)模型，則系統(tǒng)應(yīng)力張量為:a=Ee(1.19)其中，E為關(guān)于材料樣式模量的矩陣，若用拉梅常數(shù)表達，為:人+2日X0E=X人+2口0002日(1.19)桿件的彈性應(yīng)變能為:￡TE必V2V(1.17)彈性力為:(1.18)其中，K為系統(tǒng)剛度矩陣，可以寫為：K(e)=Q+2pi)K+XK+2piK123(1.19)K1=2』[S(eTS^eT)+S)QrSe—1jdVV=2』[S(eTS^eT)+S)QtSeT^jdVVK3=1j「(S+St)(eTSe^)]dVK34cccV(2)由虛功原理，求解廣義外力(1.19)(1.20)(1.21)8W=Ft8r=FtS8e=qt8e(1.19)(1.20)(1.21)因此廣義外力為：qT=FtS動力學方程將上式帶入牛頓歐拉方程，得系統(tǒng)動力學方程為：Me=qf+q從上述推導過程中可以看出，絕對節(jié)點坐標法的動力學方程中，質(zhì)量矩陣為一個常量矩陣，而剛度矩陣則為一個非線性的非常量矩陣，這一點正好與浮動坐標法相反。由于廣義坐標中不包含轉(zhuǎn)動量，因此計算時不需考慮科氏力與離心力，減小了計算量。絕對節(jié)點坐標法對作大范圍剛體運動大變形的結(jié)構(gòu)體的求解十分精確，在航空航天、高速運動或具有大尺寸柔性結(jié)構(gòu)的機器上取得了很好的應(yīng)用，是目前廣泛應(yīng)用的柔體動力學分析方法。參考文獻：[1]SHABANAA.A,DynamicsofMultibodySystems(ThirdEdition).CambridgeUniversityPress,NewYork,2005.⑵SHABANAA.A.,ComputationalContinuumMechanics.CambridgeUniversityPress,NewYork,2008.SHABANAA.A,FlexibleMultibodyDyn