柯西中值定理

§2柯西中值定理和不等式極限一柯西中值定理定理(6.5)設(shè)川)、g“)滿足在區(qū)間［孔刻上連續(xù)，在⑷饑內(nèi)可導(dǎo)廣3),&‘3)不同時為零；"羊如)則至少存在一點M丘S,們使得柯西中值定理的幾何意義曲線也由參數(shù)方程給出，除端點外處處有不垂直于氐軸的切線，則在上存在一點P處的切線平行于割線而.。注意曲線AB在點W)處的切線的斜率為而弦於的斜率為受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下：由于，0)—戒境=g'3)e—時產(chǎn)0,類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù)容易驗證％3)滿足羅爾定理的條件且根據(jù)羅爾定理，至少有一點面使得厭⑥=°，即由此得注2：在柯西中值定理中，取。3)=知則公式(3)可寫成這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令映）=明，則觀q.這恰恰是羅爾定理.注3:設(shè)加）在區(qū)間I上連續(xù)，^fO）在區(qū)間I上為常數(shù)疽@）=°，1^7.三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點：由拉格朗日中值定理知：滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦，必與兩點間某點的切線平行?？梢杂眠@種幾何解釋進(jìn)行思考解題：例1：設(shè)『3）在（a，b）可導(dǎo)，且丁3）在［a，b］上嚴(yán)格遞增，若睥=掄），則對一切件⑷切有川）”⑷*（切。證明：記A（白JS）），，對任意的仲"，記C（"⑴），作弦線AB，BC，應(yīng)用拉格朗日中值定理，（有ME（履），使得廣?*廣分別等于AC，BC弦的斜率，但因廣嚴(yán)格遞增，所以注意到臉=兒們，移項即得/⑴V項⑴二處），好心）2、利用其有限增量公式要點：借助于不同的輔助函數(shù)，可由有限增量公式進(jìn)行思考解題：

例2：設(shè)川）上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，試證存在勇5、】使得證：上式左端作輔助函數(shù)則上式，其中3、作為函數(shù)的變形要點：若在［a，b］上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可微，則在［a，b］上=M介于工與曲之間）此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3設(shè)了3）在［°，心）上可導(dǎo)，m=0,并設(shè)有實數(shù)A>0，使得"⑴I二二5證明：頃胡在［0，京］上連續(xù)，故存在疽°京］使得maxISSm于是M=m』=m+md)*gwAgH5知』W

1z-1z故M=0,「3)在［0,偵］上恒為0。用數(shù)學(xué)歸納法，可證在一切［京'五i］(i=1,2,…)上恒有了⑴=0,了⑴=0,所以了")=0,寸居0,+oa)利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性1.證明中值點的存在性:例1例1設(shè)函數(shù)/在區(qū)間［"］上連續(xù),(彖)證在Cauchy中值定理中取昌3)=恒工例2設(shè)函數(shù)『在區(qū)間［"由上連續(xù),例2設(shè)函數(shù)『在區(qū)間［"由上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo),且有試證明：母3m6而=。2.證明恒等式:7Tardgx+arcctgx=—證明：對寸攔R,有2證明設(shè)函數(shù)了和g可導(dǎo)且加3,又證明設(shè)函數(shù)了和g可導(dǎo)且加3,又)g(x)=cf(x)設(shè)對R,有\(zhòng)f(x+h)-f(x)\<Mh2,其中財是正常數(shù).則函數(shù)/⑴是常值函數(shù).(證明則函數(shù)/⑴是常值函數(shù).(證明廣=°).3.證明不等式:例6證明不等式:0時，1+破.—<ln(1+1)<-例7證明不等式：對據(jù)，有"1株?.證明方程根的存在性：證明方程smx+xcosx=0在皿R內(nèi)有實根.例8證明方程+W+2cx=a+i+c在(。，1)內(nèi)有實根.四、小結(jié)本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1°拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。2°構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微分中值定理的基本方法。實際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段，通過巧妙地數(shù)學(xué)變換，將一般問題化為特殊問題，將復(fù)雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問題，請同學(xué)們結(jié)合第三部分的題目仔細(xì)體會總結(jié)。不定式的極限

0型:定理6.6（^'Hospital法則）若函數(shù)了3）和昌3）滿足:定理lim/(x)=limg(x)=0(ii)在點的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且g’w部(iii)(ii)在點的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且g’w部(iii)lim^^-=A

grW3可為實數(shù)，也可為00）lim^-=Ax*gW（證）注意：若將定理中的X注意：若將定理中的X換成xf.*,I垃,L，只要相應(yīng)地求證條件（ii）中的鄰域，也可以得到同樣的結(jié)論。r1+COSXhm——作代換￡=q或利用等價無窮小代換直接計算.)x2sin—lim玉^’Hospital法則失效的例）I"^’Hospital法則失效的例）二.型不定式極限:定理6.7(^’Hospital法則)若函數(shù)和巨⑴滿足:lim/(x)=limg(x)=oo(ii)在點曲的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且gm；lim^^-=A(H(iii)1忒§(#可為實數(shù)，也可為0°)lim=H則i共⑴lim—?(or>0)例55若.lim烏例"Lm…時的階.x=5:0.1:50;y1=log(x);y2=x.”(1/2);plot(x,y1,，b，,x,y2,，m，)右圖看出L高于旋Xclf,x=1:0.1:5;y1=exp(x);y2=x.”2;plot(x,y1,'b',x,y2,'m,)右圖看出迎高于嚴(yán)注意15寸3)不存在，并不能說明1苛爪對不存在(為什么？)注意2不能對任何比式極限都按洛必達(dá)法則來求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達(dá)法則條件..X+SHIXliiii例求極限X.(^’Hospital法則失效的例)三.其他待定型：。?嚀儼，『3.前四個是幕指型的.limxlnx.