浙江新高考數(shù)學(xué)文科一輪復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案知能檢測103二項(xiàng)式定理(含答案詳析)

第三節(jié)二項(xiàng)式定理[全盤牢固]1．在2x2－15的二項(xiàng)張開式中，x的系數(shù)為()xA．10B．－10C．40D．－40剖析：選Dr25－r－1r＝(－1)r5－rr10－3r，Tr＋1＝C5(2x)x·2·C5·x令10－3r＝1，得r＝3.所以x的系數(shù)為(－1)3·25－3·C35＝－40.2．在(1＋x)2－(1＋3x)4的張開式中，x的系數(shù)等于()A．3B．－3C．4D．－4剖析：選B因?yàn)?1＋x)2的張開式中x的系數(shù)為1，(1＋3x)4的張開式中x的系數(shù)為C43＝4，所以在(1＋x)2－(1＋3x)4的張開式中，x的系數(shù)等于－3.3．(2013全·國高考)(1＋x)8(1＋y)4的張開式中x2y2的系數(shù)是()A．56B．84C．112D．168剖析：選D(1＋x)8張開式中x2的系數(shù)是C82，(1＋y)4的張開式中y2的系數(shù)是C42，依照多項(xiàng)式乘法法規(guī)可得(1＋x)8(1＋y)4張開式中x2y2的系數(shù)為C82C42＝28×6＝168.4.x＋a2x－15的張開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該張開式中常數(shù)項(xiàng)為()xxA．－40B．－20C．20D．40剖析：選D由題意，令x＝1得張開式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1＋a)·(2－1)5＝2，∴a＝1.∵二項(xiàng)式2x－15的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C5rr5－r5－2r，x(－1)·2·x∴x＋12x－15張開式中的常數(shù)項(xiàng)為332－11223xxx·C5(－1)2·x＋·C5·(－1)·2·x＝－40＋80＝x40.5．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋＋anxn中，若2a2＋an－3＝0，則自然數(shù)n的值是()A．7B．8C．9D．10剖析：選B易知a2＝Cn2，an－3＝－－－3Cn3，又2a2＋an－3＝0，所以2Cn2(－1)n3·Cnn3＝(－1)n＋(－1)n－33n＝8滿足上式．Cn＝0，將各選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)可知6．設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，則a＝()A．0B．1C．11D．12剖析：選D512012＋a＝(13×4－1)2012＋a，被13整除余1＋a，結(jié)合選項(xiàng)可得a＝12時，512012＋a能被13整除．7．(2014杭·州模擬)二項(xiàng)式25的張開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為________．1－x剖析：由已知可得第四項(xiàng)的系數(shù)為C53(－2)3＝－80，注意第四項(xiàng)即r＝3.答案：－808．(2013四·川高考)二項(xiàng)式(x＋y)5的張開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．剖析：由二項(xiàng)式定理得(x＋y)5的張開式中x2y3項(xiàng)為C35x5－3y3＝10x2y3，即x2y3的系數(shù)為10.答案：10x－15A，則A＝________.9．(2013浙·江高考)設(shè)二項(xiàng)式3的張開式中常數(shù)項(xiàng)為xx－15r5－r－1rrr5－rrrr剖析：因?yàn)?的通項(xiàng)Tr＋1＝C5(x)·3＝(－1)C5x2x－3＝(－1)C5xxx15－5r.令15－5r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為(－1)3C53x0＝－10.即A＝－10.6答案：－1072710．已知(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋＋a7x，求：(1)a1＋a2＋＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a7|.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋＋a7＝－2.1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.21＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.2(4)∵(1－2x)7張開式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a7|(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)1093－(－1094)＝2187.11．若某一等差數(shù)列的首項(xiàng)為11－2n2n－25－232m的張開式中的常數(shù)項(xiàng)，C5n－A11－3n，公差為2x5x其中m是7777－15除以19的余數(shù)，則此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個最大值．解：設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.11－2n≤5n，又n∈N*，∴n＝2，由已知得2n－2≤11－3n，11－2n2n－2723210×9×8∴C5n－A11－3n＝C10－A5＝C10－A5＝－5×4＝100，∴a1＝100.3×27777－15＝(76＋1)77－157677＋C177·7676＋＋C7677·76＋1－1576(7676＋C177·7675＋＋C7677)－1476M－14(M∈N*)，7777－15除以19的余數(shù)是5，即m＝5.5－23x2m的張開式的通項(xiàng)是T＋＝Cr·55－r－23x2r＝(－1)rCr55－2rx5r－5(r2x5r152x55230,1,2,3,4,5)，5T4＝－4，即d＝－4，從而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是令r－5＝0，得r＝3，代入上式，得3an＝100＋(n－1)×(－4)＝104－4n.設(shè)其前k項(xiàng)之和最大，則104－4k≥0，解得k＝25或k＝26，故此數(shù)列的前25104－4k＋1≤0，項(xiàng)之和與前26項(xiàng)之和相等且最大，S25＝S26＝a1＋a2525＝100＋104－4×25×25＝1300.2×212．從函數(shù)角度看，組合數(shù)rf(r)，其定義域是{r|r∈N，Cn可看作是以r為自變量的函數(shù)r≤n}．(1)證明：f(r)＝n－r＋1rf(r－1)；(2)利用(1)的結(jié)論，證明：當(dāng)n為偶數(shù)時，(a＋b)n的張開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．rn！，f(r－1)r－1n！解：(1)證明：∵f(r)＝Cn＝＝Cn＝，r！n－r！r－1！n－r＋1！∴n－r＋1f(r－1)＝n－r＋1·n?。絥！.rrr－1！n－r＋1！r！n－r！則f(r)＝n－r＋1f(r－1)成立．rn－r＋1fr＝2k－r＋1(2)設(shè)n＝2k，∵f(r)＝rf(r－1)，f(r－1)>0，∴fr－1r.令f(r)≥f(r－1)，則2k－r＋1≥1，則r≤k＋1(等號不成立)．r2∴當(dāng)r＝1,2，，k時，f(r)>f(r－1)成立．反之，當(dāng)r＝k＋1，k＋2，，2k時，f(r)<f(r－1)成立．∴f(k)＝C2kk最大，即(a＋b)n的張開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．[沖擊名校]1．(2013新·課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的張開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1剖析：選D已知(1＋ax)(1＋x)5的張開式中，x2的系數(shù)為C52＋aC51＝5，則a＝－1.2．(2014湖