運籌學課件第二節(jié)圖解法

第二節(jié)圖解法2.1圖解法步驟圖解法就是用幾何作圖的方法分析并求出其最優(yōu)解的過程。求解的思路是：先將約束條件加以圖解，求得滿足約束條件的解的集合（即可行域），然后結合目標函數的要求從可行域中找出最優(yōu)解。第二節(jié)圖解法1圖解法舉例

實施圖解法，以求出最優(yōu)生產計劃（最優(yōu)解）

maxZ=2x1+3x2s.t.圖解法舉例實施圖解法，以求出最優(yōu)生產計劃（最優(yōu)解）2

由于線性規(guī)劃模型中只有兩個決策變量，因此只需建立平面直角系就可以進行圖解了。

第一步：建立平面直角坐標系，標出坐標原點,坐標軸的指向和單位長度。用x1軸表示產品A的產量，用x2軸表示產品B的產量。第二步：對約束條件加以圖解。第三步：畫出目標函數等值線，結合目標函數的要求求出最優(yōu)解-----最優(yōu)生產方案。由于線性規(guī)劃模型中只有兩個決策變量，3約束條件的圖解:

每一個約束不等式在平面直角坐標系中都代表一個半平面，只要先畫出該半平面的邊界，然后確定是哪個半平面。

第一個約束條件1/3x1+1/3x2

1約束條件的圖解:第一個約束條件4令1/3x1+1/3x2＝1，即直線AB。

1/3x1+1/3x2

1所代表的半平面的邊界:令1/3x1+1/3x2＝1，即直線AB。5

兩個約束條件

及非負條件x1,x2

0所代表的公共部分

－－圖中陰影區(qū)，就是滿足所有約束條件和非負條件的點的集合，即可行域。在這個區(qū)域中的每一個點都對應著一個可行的生產方案。

第二個約束條件的邊界－－直線CD:1/3x1+4/3x2=3

5–

4–

l1

3B

2D

（1/3）x1+(4/3)x2=3

l21–

01〡2〡3A4〡5〡6〡7〡8〡9〡C

(1/3)x1+(1/3)x2=1

兩個約束條件

及非負條件x1,x20所代表的公共部分

6

令Z=2x1+3x2=c,其中c為任選的一個常數，在圖中畫出直線2x1+3x2=c,這條直線上的點即對應著一個可行的生產方案，即使兩種產品的總利潤達到c。這樣的直線有無數條，而且相互平行，稱這樣的直線為目標函數等值線。只要畫出兩條目標函數等值線，比如令c＝0和c=6，就能看出

目標函數值遞增的方向，用箭頭標出這個方向。圖中兩條虛線l1和l2就分別代表目標函數等值線2x1+3x2=0和2x1+3x2=6,箭頭表示使兩種產品的總利潤遞增的方向。令Z=2x1+3x2=c,其7

沿著箭頭的方向平移目標函數等值線，使其達到可行域中的最遠點E,E點就是要求的最優(yōu)點，它對應的相應坐標x1=1,x2=2就是最有利的產品組合，即生產A產品等于1，B產品等于2能使兩種產品的總利潤達到最大值maxZ=21+32=8，x1=1,x2=2就是線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解，Zmax=8就是相應的目標函數最優(yōu)值。

沿著箭頭的方向平移目標函數等值線，使8

盡管最優(yōu)點的對應坐標可以直接從圖中給出，但是在大多數情況下，對實際問題精確地看出一個解答是比較困難的。所以，通?？偸怯媒饴摿⒎匠痰姆椒ㄇ蟪鲎顑?yōu)解的精確值。比如E點對應的坐標值我們可以通過求解下面的聯立方程，即求直線AB和CD的交點來求得。直線AB:1/3x1+1/3x2=1直線CD:1/3x1+4/3x2=3盡管最優(yōu)點的對應坐標可以直接從圖中給出，但是90123456789x1

54321x2（3，0）C=6（9，0）（0，9/4）E（1，2）C=0（0，3）01234510

設三種產品的產量分別是x1、x2、x3噸，由于有三個決策變量，用圖解法求解下面的線性規(guī)劃時，必須首先建立空間直角坐標系。變量超過2個情況設三種產品的產量分別是x1、x2、x110x1x25x2=156x1+2x2=24x1+x2=5

x2=-2x1+Z最優(yōu)解的確定:可行域使目標函數達到最優(yōu)的點,目標函數的Z值逐漸增大，一直移動到目標函數的直線與約束條件包圍成的凸多邊形相切時為止，切點就是最優(yōu)解。(x1,x2)=(3.5,1.5),z=8.50x1x25x2=156x1+2x2=24x1+x2=5x121、無窮多個最優(yōu)解：將目標函數maxZ=x1+x22、無界解：可行域可伸展到無窮，導致目標函數增大到無限。產生無界解的原因是由于在建立實際問題的數學模型中遺漏某些必要的資源約束。3、無解：不存在滿足約束條件的可行域。

2.2線性規(guī)劃求解的各種可能的結局1、無窮多個最優(yōu)解：將目標函數maxZ=x113

2.2.1無窮多個最優(yōu)解

2.2.1無窮多個最優(yōu)解

14

該線性規(guī)劃的可行域為上圖中四邊形OAED（即陰影區(qū)），虛線為目標函數等值線，箭頭為目標函數值遞增的方向。沿著箭頭的方向平移目標函數等值線，發(fā)現平移的最終結果是目標函數等值線將與可行域的一條邊界－－線段AE重合，這個結果表明，該線性規(guī)劃有無窮多個最優(yōu)解－－線段AE上的所有點都是最優(yōu)點，它們都使目標函數取得相同的最大值Zmax=3。該線性規(guī)劃的可行域為上圖中四邊形O152.2.2無界解X1X22.2.2無界解X1X216

本例中的可行域是一個無界區(qū)域，如圖中陰影區(qū)所示。虛線為目函數等值線，沿著箭頭所指的方向平移可以使目標函數值無限制地增大，因此找不到最優(yōu)解。

如果實際問題是一個生產計劃問題，其經濟含義就是某些資源是無限的，產品的產量可以無限大，解釋不合理。此時應重新檢查和修改模型，否則就沒有實際意義。

x1x2本例中的可行域是一個無界區(qū)域，x1x2172.2.3無解

x1X22.2.3無解

x1X2182.3圖解法得到的啟示

1、求解線性規(guī)劃問題時，解的情況：唯一最優(yōu)解、無窮多個最優(yōu)解、無界解，無解。2、若線性規(guī)劃的可行域存在，則可行域一定是凸多邊形（凸集）。3、若線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，則最優(yōu)解（或最優(yōu)解之一）一定是可行域凸集的一個頂點。4、解題思路：先找任一個頂點，計算目標函數；比較周圍頂點的目標函數的值是否比此值大，一直找到使目標函數達到最大的頂點。2.3圖解法得到的啟示1、求解線性規(guī)劃問題時，解的情況：唯19圖解法小結

使用條件：僅有兩個至多不超過三個決策變量的線性規(guī)劃?；静襟E：第一步－－建立平面直角坐標系；第二步－－根據約束條件和非負條件畫出可行域。第三步－－作出目標函數等值線（至少兩條），結合目標函數優(yōu)化要求，平移目標函數等值線求出最優(yōu)解。

圖解法的優(yōu)缺點：簡單、直觀但有局限性。圖解法小結使用條件：20第三節(jié)單純形法原理1.3.1線性規(guī)劃問題解概念：可行解：滿足所有約束條件的解。最優(yōu)解：使目標函數達到最大值的可行解。第三節(jié)單純形法原理1.3.1線性規(guī)劃問題解概念：21基:設A為約束方程組的m×n階系數矩陣(n>m),R(A)=m,B是矩陣A中的一個m×m階滿秩子矩陣,稱B是線性規(guī)劃問題的一個基,設列向量Pj(j=1,2,…m)為基向量,Pj所對應的變量xj基變量,其余變量為非基變量.秩:設在矩陣A中存在一個不等于零的r階子式D,且所有的r+1階子式全等于零,那么D為A的最高階非零子式,數r稱為A的秩.P1P2…Pj…Pm基:設A為約束方程組的m×n階系數矩陣秩:設在矩陣A中存在22基解:在約束方程組中,令所有的非基變量,有因為有根據克萊姆法則,有m個約束方程可解出m個變量的唯一解,將此解加上非基變量取0的值有此解為線性規(guī)劃問題的基解.基解的個數不會超過基可行解：基解當中的可行解?？尚谢簩诨尚薪獾幕Q為可行基．基解:在約束方程組中,令所有的非基變量基可行解：基解當中的可23例題找出全部基解，指出其中的基可行解，確定最優(yōu)解．P1P2P3P4P5B1=(P3,P4,P5)B2=(P2,P3,P4)B3=(P1,P4,P5)B4=(P2,P3,P5)B5=(P1,P3,P5)B6=(P1,P2,P5)B7=(P1,P2,P4)B8=(P1,P2,P3)B9=(P3,P4,P1)B10=(P2,P4,P5)例題找出全部基解，指出其中的基可行解，確定P124基x1x2x3x4x5Z是否基可行解P3,P4,P50051045P2,P3,P40452017P1,P4,P55005410P2,P3,P50550-120P1,P3,P5100-50415P1,P2,P552.5001.517.5P1,P2,P4540-3022P1,P2,P32430019基x1x2x3x4x5Z是否基可行解P3,P4,P5025基的概念的理解對于線性規(guī)劃的約束條件

AX=b

X≥0設B是A矩陣中的一個非奇異的m×m子矩陣，則稱B為線性規(guī)劃的一個基。設B是線性規(guī)劃的一個基，則A可以表示為A=[B,N]X也可相應地分成

基的概念的理解26其中XB為m×1向量，稱為基變量，其分量與基B的列向量對應；XN為(n-m)×1向量，稱為非基變量，其分量與非基矩陣N的列對應。這時約束等式AX=b可表示為或BXB+NXN=b若XN取確定的值，則XB有唯一的值與之對應XB=B-1b-B-1NXN其中XB為m×1向量，稱為基變量，其分量與基B的列向量對應；27特別，取XN=0，這時有XB=B-1b。線性規(guī)劃的解稱為線性規(guī)劃與基B對應的基解。若其中基變量的值XB=B-1b0，則稱以上的基解為一基可行解，相應的基B稱為可行基。特別，取XN=0，這時有XB=B-1b。28

基本概念：

凸集——如果集合C中任意兩個點X1,X2，其連線上的所有點也都是集合C中的點，則稱C為凸集．用數學解析式表示：若任意兩點X１∈C，X2∈C的連線上的一切點：

αX1+（1-α）X2∈

C（0<α<1），則稱C為凸集。

1.3.2凸集及其頂點××基本概念：1.3.2凸集及29

頂點——設C是凸集，對任何的X１C，X2

C有X≠αX１+（1-α）X２（0<α<1）則稱X為C的一個頂點。

說明集合C中不存在任何兩個不同的點X1,X2,使X成為這兩個點連線上的一個點.

301.3.3幾個基本定理

定理1

線性規(guī)劃問題存在可行解，則問題的可行域是凸集。

證明思路：根據凸集定義，采用直接法證明；具體步驟：①從C中任取兩個不同的點，應滿足可行解定義中相應的條件；②證明X=αX(1)+(1-α)X(2)∈D(利用①，證明X滿足凸集定義中相應的條件)1.3.3幾個基本定理定理1線性規(guī)劃問題存在可31X1,x2為C內任意兩點,將兩點代入約束條件:X1,X2連線上的任意一點X將X代入約束條件X為C內任意點,所以C為凸集X1,x2為C內任意兩點,將兩點代入約束條件:X1,X2連32

引理

線性規(guī)劃問題的可行解為基可行解的充分必要條件是X的正分量所對應的系數列向量線性獨立。

33證明要點：引理:X為LP的基本可行解<=>X的正分量所對應的系數列向量線性無關必要性→由基本可行解定義直接證得充分性←正分量K個線性無關k=m→X=(x1,x2,…,xm,0,…0)T即為基本可行解k<m→補齊得基→退化的基本可行解證明要點：引理:X為LP的基本可行解<=>X的正分量所對應34定理２線性規(guī)劃問題的基可行解X對應線性規(guī)劃問題可行域的頂點。證明思路：首先可行域非空有界就肯定有最優(yōu)解本定理要證明的是X不是可行域的頂點X不是基可行解運籌學課件第二節(jié)圖解法35(1).X不是基可行解不是可行域的頂點不失一般性,假設X的前m個分量為正,所以有:由引理得到P1,P2,…,Pm,線性相關,存在一組不全為0的數k1,k2,…,km,使(1).X不是基可行解不是可行域的頂點36u可以這樣選取:使所有的i=1,2,…,mX不是可行域的頂點u可以這樣選取:使所有的i=1,2,…,mX不是可行域的頂點37(2).X不是可行域的頂點X不是基可行解X不是基可行解(2).X不是可行域的頂點38定理３若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，一定存在一個基可行解是最優(yōu)解．證明:設是線性規(guī)劃的最優(yōu)解是目標函數的最大值如果X(0)不是基可行解,由定理2得到X(0)不是頂點,可在找到另外2點將以上兩點代入目標函數有:定理３若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，一定存在一個基可行解是最優(yōu)解39啟示：1、LP的可行域一定是凸集，但是凸集不一定成為LP的可行域，而非凸集一定不會是LP的可行域。2、線性規(guī)劃的基本可行解和可行域的頂點是一一對應的（類似于坐標與點的對應關系?。﹩⑹荆?、LP的可行域一定是凸集，但是凸集不一定成為LP的40

3、在可行域中尋找LP的最優(yōu)解可以轉化為只在可行域的頂點中找，從而把一個無限的問題轉化為一個有限的問題。若已知一個LP有兩個或兩個以上最優(yōu)解，就一定有無窮多個最優(yōu)解。3、在可行域中尋找LP的最優(yōu)解可以轉化為只在可行域的頂點中41總結：1、圖解法過程。2、線性規(guī)劃問題解的基本概念。作業(yè)：P431.1(1)(2),1.2總結：42第二節(jié)圖解法2.1圖解法步驟圖解法就是用幾何作圖的方法分析并求出其最優(yōu)解的過程。求解的思路是：先將約束條件加以圖解，求得滿足約束條件的解的集合（即可行域），然后結合目標函數的要求從可行域中找出最優(yōu)解。第二節(jié)圖解法43圖解法舉例

實施圖解法，以求出最優(yōu)生產計劃（最優(yōu)解）

maxZ=2x1+3x2s.t.圖解法舉例實施圖解法，以求出最優(yōu)生產計劃（最優(yōu)解）44

由于線性規(guī)劃模型中只有兩個決策變量，因此只需建立平面直角系就可以進行圖解了。

第一步：建立平面直角坐標系，標出坐標原點,坐標軸的指向和單位長度。用x1軸表示產品A的產量，用x2軸表示產品B的產量。第二步：對約束條件加以圖解。第三步：畫出目標函數等值線，結合目標函數的要求求出最優(yōu)解-----最優(yōu)生產方案。由于線性規(guī)劃模型中只有兩個決策變量，45約束條件的圖解:

每一個約束不等式在平面直角坐標系中都代表一個半平面，只要先畫出該半平面的邊界，然后確定是哪個半平面。

第一個約束條件1/3x1+1/3x2

1約束條件的圖解:第一個約束條件46令1/3x1+1/3x2＝1，即直線AB。

1/3x1+1/3x2

1所代表的半平面的邊界:令1/3x1+1/3x2＝1，即直線AB。47

兩個約束條件

及非負條件x1,x2

0所代表的公共部分

－－圖中陰影區(qū)，就是滿足所有約束條件和非負條件的點的集合，即可行域。在這個區(qū)域中的每一個點都對應著一個可行的生產方案。

第二個約束條件的邊界－－直線CD:1/3x1+4/3x2=3

5–

4–

l1

3B

2D

（1/3）x1+(4/3)x2=3

l21–

01〡2〡3A4〡5〡6〡7〡8〡9〡C

(1/3)x1+(1/3)x2=1

兩個約束條件

及非負條件x1,x20所代表的公共部分

48

令Z=2x1+3x2=c,其中c為任選的一個常數，在圖中畫出直線2x1+3x2=c,這條直線上的點即對應著一個可行的生產方案，即使兩種產品的總利潤達到c。這樣的直線有無數條，而且相互平行，稱這樣的直線為目標函數等值線。只要畫出兩條目標函數等值線，比如令c＝0和c=6，就能看出

目標函數值遞增的方向，用箭頭標出這個方向。圖中兩條虛線l1和l2就分別代表目標函數等值線2x1+3x2=0和2x1+3x2=6,箭頭表示使兩種產品的總利潤遞增的方向。令Z=2x1+3x2=c,其49

沿著箭頭的方向平移目標函數等值線，使其達到可行域中的最遠點E,E點就是要求的最優(yōu)點，它對應的相應坐標x1=1,x2=2就是最有利的產品組合，即生產A產品等于1，B產品等于2能使兩種產品的總利潤達到最大值maxZ=21+32=8，x1=1,x2=2就是線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解，Zmax=8就是相應的目標函數最優(yōu)值。

沿著箭頭的方向平移目標函數等值線，使50

盡管最優(yōu)點的對應坐標可以直接從圖中給出，但是在大多數情況下，對實際問題精確地看出一個解答是比較困難的。所以，通?？偸怯媒饴摿⒎匠痰姆椒ㄇ蟪鲎顑?yōu)解的精確值。比如E點對應的坐標值我們可以通過求解下面的聯立方程，即求直線AB和CD的交點來求得。直線AB:1/3x1+1/3x2=1直線CD:1/3x1+4/3x2=3盡管最優(yōu)點的對應坐標可以直接從圖中給出，但是510123456789x1

54321x2（3，0）C=6（9，0）（0，9/4）E（1，2）C=0（0，3）01234552

設三種產品的產量分別是x1、x2、x3噸，由于有三個決策變量，用圖解法求解下面的線性規(guī)劃時，必須首先建立空間直角坐標系。變量超過2個情況設三種產品的產量分別是x1、x2、x530x1x25x2=156x1+2x2=24x1+x2=5

x2=-2x1+Z最優(yōu)解的確定:可行域使目標函數達到最優(yōu)的點,目標函數的Z值逐漸增大，一直移動到目標函數的直線與約束條件包圍成的凸多邊形相切時為止，切點就是最優(yōu)解。(x1,x2)=(3.5,1.5),z=8.50x1x25x2=156x1+2x2=24x1+x2=5x541、無窮多個最優(yōu)解：將目標函數maxZ=x1+x22、無界解：可行域可伸展到無窮，導致目標函數增大到無限。產生無界解的原因是由于在建立實際問題的數學模型中遺漏某些必要的資源約束。3、無解：不存在滿足約束條件的可行域。

2.2線性規(guī)劃求解的各種可能的結局1、無窮多個最優(yōu)解：將目標函數maxZ=x155

2.2.1無窮多個最優(yōu)解

2.2.1無窮多個最優(yōu)解

56

該線性規(guī)劃的可行域為上圖中四邊形OAED（即陰影區(qū)），虛線為目標函數等值線，箭頭為目標函數值遞增的方向。沿著箭頭的方向平移目標函數等值線，發(fā)現平移的最終結果是目標函數等值線將與可行域的一條邊界－－線段AE重合，這個結果表明，該線性規(guī)劃有無窮多個最優(yōu)解－－線段AE上的所有點都是最優(yōu)點，它們都使目標函數取得相同的最大值Zmax=3。該線性規(guī)劃的可行域為上圖中四邊形O572.2.2無界解X1X22.2.2無界解X1X258

本例中的可行域是一個無界區(qū)域，如圖中陰影區(qū)所示。虛線為目函數等值線，沿著箭頭所指的方向平移可以使目標函數值無限制地增大，因此找不到最優(yōu)解。

如果實際問題是一個生產計劃問題，其經濟含義就是某些資源是無限的，產品的產量可以無限大，解釋不合理。此時應重新檢查和修改模型，否則就沒有實際意義。

x1x2本例中的可行域是一個無界區(qū)域，x1x2592.2.3無解

x1X22.2.3無解

x1X2602.3圖解法得到的啟示

1、求解線性規(guī)劃問題時，解的情況：唯一最優(yōu)解、無窮多個最優(yōu)解、無界解，無解。2、若線性規(guī)劃的可行域存在，則可行域一定是凸多邊形（凸集）。3、若線性規(guī)劃的最優(yōu)解存在，則最優(yōu)解（或最優(yōu)解之一）一定是可行域凸集的一個頂點。4、解題思路：先找任一個頂點，計算目標函數；比較周圍頂點的目標函數的值是否比此值大，一直找到使目標函數達到最大的頂點。2.3圖解法得到的啟示1、求解線性規(guī)劃問題時，解的情況：唯61圖解法小結

使用條件：僅有兩個至多不超過三個決策變量的線性規(guī)劃。基本步驟：第一步－－建立平面直角坐標系；第二步－－根據約束條件和非負條件畫出可行域。第三步－－作出目標函數等值線（至少兩條），結合目標函數優(yōu)化要求，平移目標函數等值線求出最優(yōu)解。

圖解法的優(yōu)缺點：簡單、直觀但有局限性。圖解法小結使用條件：62第三節(jié)單純形法原理1.3.1線性規(guī)劃問題解概念：可行解：滿足所有約束條件的解。最優(yōu)解：使目標函數達到最大值的可行解。第三節(jié)單純形法原理1.3.1線性規(guī)劃問題解概念：63基:設A為約束方程組的m×n階系數矩陣(n>m),R(A)=m,B是矩陣A中的一個m×m階滿秩子矩陣,稱B是線性規(guī)劃問題的一個基,設列向量Pj(j=1,2,…m)為基向量,Pj所對應的變量xj基變量,其余變量為非基變量.秩:設在矩陣A中存在一個不等于零的r階子式D,且所有的r+1階子式全等于零,那么D為A的最高階非零子式,數r稱為A的秩.P1P2…Pj…Pm基:設A為約束方程組的m×n階系數矩陣秩:設在矩陣A中存在64基解:在約束方程組中,令所有的非基變量,有因為有根據克萊姆法則,有m個約束方程可解出m個變量的唯一解,將此解加上非基變量取0的值有此解為線性規(guī)劃問題的基解.基解的個數不會超過基可行解：基解當中的可行解?？尚谢簩诨尚薪獾幕Q為可行基．基解:在約束方程組中,令所有的非基變量基可行解：基解當中的可65例題找出全部基解，指出其中的基可行解，確定最優(yōu)解．P1P2P3P4P5B1=(P3,P4,P5)B2=(P2,P3,P4)B3=(P1,P4,P5)B4=(P2,P3,P5)B5=(P1,P3,P5)B6=(P1,P2,P5)B7=(P1,P2,P4)B8=(P1,P2,P3)B9=(P3,P4,P1)B10=(P2,P4,P5)例題找出全部基解，指出其中的基可行解，確定P166基x1x2x3x4x5Z是否基可行解P3,P4,P50051045P2,P3,P40452017P1,P4,P55005410P2,P3,P50550-120P1,P3,P5100-50415P1,P2,P552.5001.517.5P1,P2,P4540-3022P1,P2,P32430019基x1x2x3x4x5Z是否基可行解P3,P4,P5067基的概念的理解對于線性規(guī)劃的約束條件

AX=b

X≥0設B是A矩陣中的一個非奇異的m×m子矩陣，則稱B為線性規(guī)劃的一個基。設B是線性規(guī)劃的一個基，則A可以表示為A=[B,N]X也可相應地分成

基的概念的理解68其中XB為m×1向量，稱為基變量，其分量與基B的列向量對應；XN為(n-m)×1向量，稱為非基變量，其分量與非基矩陣N的列對應。這時約束等式AX=b可表示為或BXB+NXN=b若XN取確定的值，則XB有唯一的值與之對應XB=B-1b-B-1NXN其中XB為m×1向量，稱為基變量，其分量與基B的列向量對應；69特別，取XN=0，這時有XB=B-1b。線性規(guī)劃的解稱為線性規(guī)劃與基B對應的基解。若其中基變量的值XB=B-1b0，則稱以上的基解為一基可行解，相應的基B稱為可行基。特別，取XN=0，這時有XB=B-1b。70

基本概念：

凸集——如果集合C中任意兩個點X1,X2，其連線上的所有點也都是集合C中的點，則稱C為凸集．用數學解析式表示：若任意兩點X１∈C，X2∈C的連線上的一切點：

αX1+（1-α）X2∈

C（0<α<1），則稱C為凸集。

1.3.2凸集及其頂點××基本概念：1.3.2凸集及71

頂點——設C是凸集，對任何的X１C，X2

C有X≠αX１+（1-α）X２（0<α<1）則稱X為C的一個頂點。

說明集合C中不存在任何兩個不同的點X1,X2,使X成為這兩個點連線上的一個點.

721.3.3幾個基本定理

定理1

線性規(guī)劃問題存在可