2016屆高三一輪復(fù)習(xí)步步高光盤-理科-全書課件第九章

數(shù)學(xué)

A（理）§9.3

圓的方程基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.圓的定義在平面內(nèi)，到定點的距離等于

定長的點的

集合叫圓.2.確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑.3.圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑.4.圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是

D2＋E2－4F>0，5.確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；其中圓心為

DE

，半徑r＝

.－

2

，－2D2＋E2－4F

2

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組；(3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程.6.點與圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系有三種.圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)(1)點在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

；(2)點在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2

；(3)點在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2

.思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(

)(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(

)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)√√√方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圓.(

×

)圓x2＋2x＋y2＋y＝0的圓心是.(

×

)題號答案解析1D2A3D4(x－2)2＋y2＝10設(shè)圓心坐標為(a,0)，易知

a－52＋－12＝

a－12＋－32，解得

a＝2，∴圓心為(2,0)，半徑為

10，∴圓C的方

(x－2)2＋y2＝10.題型一

求圓的方程例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；思維點撥解析思維升華設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解.題型一

求圓的方程例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；思維點撥解析思維升華思維點撥

解析 思維升華解

(1)設(shè)圓的方

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將P、Q

兩點的坐標分別代入得例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；題型一

求圓的方程3D－E＋F＝－10.2D－4E－F＝20，

①②思維點撥

解析又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③題型一

求圓的方程例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，

④思維升華思維點撥

解析 思維升華由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；題型一

求圓的方程(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.題型一

求圓的方程例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；思維點撥解析思維升華思維點撥

解析 思維升華(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；題型一

求圓的方程思維點撥

解析

思維升華②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值.例1

根據(jù)下列條件,求圓的方程.(1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；題型一

求圓的方程思維點撥解析思維升華例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).求圓心和半徑，確定圓的標準方程.例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).思維點撥解析思維升華解

方法一如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)，4x0－2依題意得3－x0

＝1，例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).思維點撥解析思維升華∴x0＝1，即圓心坐標為(1，－4)，半徑

r＝2

2，故圓的方

(x－1)2＋(y＋4)2＝8.例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).思維點撥解析思維升華方法二

設(shè)所求方(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根據(jù)已知條件得y0＝－4x0，3－x02＋－2－y02＝r2，2|x0＋y0－1|＝r，例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).思維點撥解析思維升華x0＝1，解得y0＝－4，r＝2

2.例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).因此所求圓的方(x－1)2＋(y＋4)2＝8.思維點撥

解析思維升華(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程.例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).思維點撥解析思維升華(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).思維點撥

解析 思維升華②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值.例1(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).思維點撥

解析 思維升華訓(xùn)練1

(2014·陜西)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y＝x對稱，則圓C的標準方x2＋(y－1)2＝1.解析

由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，所以圓C的標準方

x2＋(y－1)2＝1.思維升華思維點撥解析題型二

與圓有關(guān)的最值問題例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；x而y

則可看成是圓上的點x與原點連線的斜率，思維點撥

解析 思維升華顯然實數(shù)x，y所確定的點在圓x2＋y2－4x＋1＝0上運動，例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；題型二

與圓有關(guān)的最值問題x思維點撥

解析 思維升華解

(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2,0)為圓心，以

3

為半徑的圓.題型二

與圓有關(guān)的最值問題例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；x設(shè)y＝k，即y＝kx，x則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.思維升華思維點撥

解析2題型二

與圓有關(guān)的最值問題例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；x由|2k－0|

＝3，k2＋1解得k2＝3，∴kmax＝

3，kmin＝－

3.思維升華思維點撥

解析題型二

與圓有關(guān)的最值問題例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；x(也可由平面幾何知識，得OC＝2，CP＝

3

，∠POC＝60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°)思維升華思維點撥解析題型二

與圓有關(guān)的最值問題例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；x(1)與圓相關(guān)的最值，若幾何意義明顯時，可充分利用幾何性質(zhì)，借助幾何直觀求解.否則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.思維升華思維點撥解析題型二

與圓有關(guān)的最值問題例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；xy－b(2)①形如

u＝x－a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；思維升華思維點撥解析題型二

與圓有關(guān)的最值問題例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；x思維點撥

解析 思維升華③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.例2

已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)

y

的最大值和最小值；題型二

與圓有關(guān)的最值問題x例2

(2)y－x的最小值；思維升華思維點撥解析例2

(2)y－x的最小值；顯然實數(shù)x，y所確定的點在圓x2＋y2－4x＋1＝0上運動，思維點撥

解析 思維升華y－x可以轉(zhuǎn)化為截距，例2

(2)y－x的最小值；解

設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，僅當(dāng)直線y＝x＋b與圓切于第四象限時，截距b取最小值，由點到直線的距離公式，思維點撥

解析 思維升華例2

(2)y－x的最小值；得|2－0＋b|2＝

3，即

b＝－2±

6，故(y－x)min＝－2－

6.思維升華思維點撥

解析(1)與圓相關(guān)的最值，若幾何意義明顯時，可充分利用幾何性質(zhì)，借助幾何直觀求解.否則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.思維升華思維點撥解析例2

(2)y－x的最小值；y－b(2)①形如

u＝x－a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；思維升華思維點撥解析例2

(2)y－x的最小值；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.思維點撥

解析 思維升華例2

(2)y－x的最小值；例2

(3)x2＋y2的最大值和最小值.思維升華思維點撥解析例2

(3)x2＋y2的最大值和最小值.顯然實數(shù)x，y所確定的點在圓x2＋y2－4x＋1＝0上運動，思維點撥

解析 思維升華x2＋y2可以看成是圓上點與原點距離的平方.解x2＋y2是圓上點與原點的距離的平方，故連接OC

，與圓交于B

點，并延長交圓于C′，例2

(3)x2＋y2的最大值和最小值.則(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋

3)2＝7＋4

3，思維點撥

解析 思維升華(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－

3)2＝7－4

3.例2

(3)x2＋y2的最大值和最小值.思維升華思維點撥解析(1)與圓相關(guān)的最值，若幾何意義明顯時，可充分利用幾何性質(zhì)，借助幾何直觀求解.否則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.例2

(3)x2＋y2的最大值和最小值.思維升華思維點撥解析例2

(3)x2＋y2的最大值和最小值.y－b(2)①形如

u＝x－a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；思維升華思維點撥解析例2

(3)x2＋y2的最大值和最小值.③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.思維點撥

解析 思維升華訓(xùn)練2

已知兩點A(－1,0)，B(0,2)，點P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(

)1

1B.2(4＋

5)，2(4－

5)A.2，1

－

5)2(4C.

5，4－

51D.2(5＋2)，1

5－2)2(解析

如圖，圓心(1,0)到直線

AB：52x－y＋2＝0

的距離為d＝

4

，又|AB|＝

5，25故△PAB

面積的最大值和最小值分別是

2＋

5，2－

.2答案

B故圓上的點P

到直線AB

的距離的最5題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.思維升華思維點撥解析結(jié)合圖形尋求點P和點M坐標的關(guān)系，用相關(guān)點法(代入法)解決.思維升華思維點撥解析題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.,解設(shè)P(x，y)，N(x0，y0),則線段OP

的中點坐標為，x

y2

2,線段MN

的中點坐標為，x0－3

y0＋42

2.思維點撥

解析 思維升華題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.思維點撥

解析 思維升華由于平行四邊形的對角線互相平分，題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.x故2＝y(tǒng)x0－3

y0＋42

2，2＝

.從而x0＝x＋3y0＝y(tǒng)－4.N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，思維點撥

解析 思維升華題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.思維升華思維點撥解析題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.但應(yīng)除去兩點–

，9

125

5和–21

285

5，

(點P

在直線OM上的情況).思維點撥

解析 思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采

用以下方法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.思維點撥

解析 思維升華②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.④代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等.題型三

與圓有關(guān)的軌跡問題例3

設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.訓(xùn)練3

(2014·課標

Ⅰ)已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程；解

圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則→＝(x，y－4)，→＝(2－x,2－y).CM

MP訓(xùn)練3

(2014·課標

Ⅰ)已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程；CM

→

＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.訓(xùn)練3

(2014·課標

Ⅰ)已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程；由于點P在圓C的

，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積.解

由(1)可知

M

的軌跡是以點

N(1,3)為圓心,

2為半徑的圓.由于|OP|＝|OM|，故O

段PM的垂直平分線上.又P在圓N上，從而ON⊥PM.3因為ON

的斜率為3，所以l

的斜率為－1，故

l

的方

y＝－1

＋83x

3.(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積.又|OM|＝|OP|＝2

2，O

到l

的距離為4510，|PM|＝4510，所以△POM

的面積為165

.思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法.思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒解

一般解法

(代數(shù)法)曲線

y＝x2－6x＋1

與

y

軸的交點為(0,1)，與

x

軸的交點為(3＋2

2，0)，(3－2

2，0)，

設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F>0)，思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.1＋E＋F＝0，則有3＋222＋D3＋2

2＋F＝0，3－2

22＋D3－2

2＋F＝0，思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.D＝－6，解得E＝－2，F(xiàn)＝1，故圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.巧妙解法(幾何法)曲線y＝x2－6x＋1

與y

軸的交點為(0,1)，與

x

軸的交點為(3＋2

2，0)，(3－2故可設(shè)C

的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(22，0).2)2＋t2，思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒解得

t＝1.則圓

C

的半徑為

32＋t－12＝3，所以圓C的方

(x－3)2＋(y－1)2＝9.思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的三個交點，設(shè)圓的方

一般式，代入點的坐標求解析式.思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方標準式，簡化計算.思想與方法系列16

利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑

典例：在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程.思

維

點

撥 規(guī)

范

解

答 溫

馨

提

醒顯然幾何

代數(shù)法的計算量小，因此平時訓(xùn)練多采用幾何法解題.方法與技巧1.確定一個圓的方程，需要三個獨立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數(shù).2.解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算.失誤與防范1.求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程.2.過圓外一定點，求圓的切線，應(yīng)該有兩個結(jié)果，若只求出一個結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.123456789101.“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圓”的(

)A.充分而不必要條件C.充要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件12345678910解析

方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示一個圓，則(－2)2＋22－4a>0，∴a<2，又a＝1?a<2，反之不成立，∴“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圓”的充分而不必要條件.12345678910答案

A123456789102.點P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25內(nèi)弦AB的中點，則B.2x＋y－3＝0D.2x－y－5＝0解析

由題意可知圓心Q(1,0)，故kPQ＝－1.∴kAB＝1，∴AB的方

y＋1＝1×(x－2).即x－y－3＝0.AB的方

(

C

)A.x＋y－1＝0C.x－y－3＝0A.3－

2

B.3＋

2

C.3－

22解析

圓的標準方

(x－1)2＋y2＝1.直線AB的方

x－y＋2＝0，D.3－

22123456789103.已知點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點，則△ABC面積的最小值是(

)2|1－0＋2|圓心(1,0)到直線

AB

的距離

d＝

＝3

.2123456789102則點

C

到直線

AB

的最短距離為3

2－1.2又|AB|＝2

2.1∴S△ABC

的最小值為2×2

2×3

22－1＝3－

2.答案

A123456789104.點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(

)A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4D.(x＋2)2＋(y－1)2＝10x

＋2

20y

＝4，0

0解析

設(shè)圓上任一點坐標為(x

，y

)，連線中點坐標為(x，y)，12345678910則2x＝x0＋4?x0＝2x－4，2y＝y(tǒng)0－2

y0＝2y＋2，代入x2＋y2＝4

中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.0

0答案

A5.若直－2y－8＝0

的周長，則1＋

的a

bC.4

2

D.3＋2A.1

B.5解析

由題意知圓心C(2,1)在直線ax＋2by－2＝0上，12345678910∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，1

2

1

2

b

2a

b

2a∴a＋b＝(a＋b)(a＋b)＝3＋a＋

b

≥3＋2

a×

b

＝3＋2

2，12345678910當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a，即b＝2－

2，a＝

2－1

時，等號成立.a

b1

2∴a＋b的最小值為

3＋2

2.答案

D123456789106.(2013·江西)若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是.解析 如圖，設(shè)圓心坐標為(202

2解得y

＝－3，r＝5，∴圓C的方2(x－2)

＋y＋

322＝254.2

2

32(x－2)

＋

y＋

＝2547.若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圓,則m的取解析

∵原方程可化為(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，

∴2<m<4.當(dāng)m＝3時，r最大為1，圓的方

(x－1)2＋(y＋3)2＝1.12345678910(x－1)2＋(y值范圍是2<m<4；當(dāng)半徑最大時,圓的方＋3)2＝1.8.已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是(－∞，1).解析

∵圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圓心為(－1,2)，且5－a>0，即a<5.又圓關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.123456789109.一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程.解

設(shè)所求圓的方

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.1234567891012345678910由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.又因為圓過點A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.1＋9－D＋3E＋F＝0.解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12.故所求圓的方

x2＋y2－2x－12＝0.①②③10.已知圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)，且經(jīng)過點(9,6)，求圓C的方程.解

因為圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)，12345678910所以過點(4，－1)的直徑所在直線的斜率為－1

＝－6，16其方

y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.因為圓垂線y－5＝－5

x－13

，2

7(

2

)由y＝－6x＋23，5x＋7y－50＝0解得圓心為(3,5)，12345678910即5x＋7y－50＝0上，12345678910所以半徑為9－32＋6－52＝

37，故所求圓的方(x－3)2＋(y－5)2＝37.14151613121111.過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方(

)A.x＋y－2＝0C.x－y＝0B.y－1＝0D.x＋3y－4＝011

12

13

14

15

16解析

當(dāng)圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件.x＋y－2＝0.圓心O與P點連線的斜率k＝1，∴過點P垂直于OP的直線方答案

A14151613121111121314151612.(2014·山東)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為

2 3，則圓C的標準方(x－2)2＋(y－1)2＝4

.解析

設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a＝2b>0，且a2＝(

3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.

∴所求圓的標準方

(x－2)2＋(y－1)2＝4.13.設(shè)P為直線3x＋4y＋3＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為

.解析

依題意，圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心是點C(1,1)，半徑是1，11

12

13

14

15

16易知|PC|的最小值等于圓心

C(1,1)到直線

3x＋4y＋3＝0

的距離，即10＝2，5而四邊形PACB

的面積等于2S111213141516△PAC＝2×

1(2|PA|·|AC|)22－1＝

3.＝|PA|·|AC|＝|PA|＝

|PC|2－1，因此四邊形PACB

的面積的最小值是答案

314.已知D

是由不等式組x－2y≥0，x＋3y≥0所確定的平面區(qū)域，則圓