學(xué)習(xí)-理論力學(xué)011動量定理

動力學(xué)普遍定理概述對質(zhì)點動力學(xué)問題：建立質(zhì)點運動微分方程求解。對質(zhì)點系動力學(xué)問題：理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方程，聯(lián)立求解它們即可。實際上的問題是：1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常。2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì)點的運動,僅需要研究質(zhì)點系整體的運動情況。從本章起,將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法,而首先要的是動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。它們以簡明的數(shù)學(xué)形式，表明兩種量——一種是同運動特征相關(guān)的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關(guān)的量

(沖量、力矩、功等)——之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機(jī)械運動進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷。本章將研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式——質(zhì)心運動定理?！?/p>

內(nèi)力與外力第十章

動量定理§10–1

質(zhì)點系的質(zhì)心§10–2

動量與沖量§10–3

動量定理§10–4

質(zhì)心運動定理§10-1

質(zhì)點系的質(zhì)心

內(nèi)力與外力(M

mi

)Mm

zMMm

x

m

yi

iCi

iCi

iC

x

,

y

,

z

一.質(zhì)點系的質(zhì)心⒈定義質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。⒉質(zhì)心C

點的坐標(biāo)公式r設(shè)rc

xci

yc

j

zck

,則在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合。可采用靜力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心具有更加廣泛的力學(xué)

)0。)0

或(i

)x

i(i

)O

i(i

)im

(F0;

m

(FF心與重心是兩個不同的概念，質(zhì)心意義。二、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力⒈外力所 的質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。⒉內(nèi)力所 的質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的 等于零，內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：§10-2動量與沖量一、動量質(zhì)點的動量質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積mv稱為質(zhì)點的動量。是瞬時矢量，方向與v

相同。單位是kgm/s。動量是度量物體機(jī)械運動強(qiáng)弱程度的一個物理量。例：

：速度大，質(zhì)量?。?/p>

船：速度小，質(zhì)量大。質(zhì)點系的動量質(zhì)點系中所有各質(zhì)點的動量的矢量和。K

mivi

MvC(mi

ri

MrC

求導(dǎo))質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系的動量。則：Kx

MvCx

MxC

,

Ky

MvCy

MyC

,

Kz

MvCz

MzC⒊剛體系統(tǒng)的動量設(shè)第i個剛體mi

vci

則整個系統(tǒng)：K

mivCiKxmivCix

mi

xCi

Ky

mivCiy

mi

yCi

KzmivCiz

mi

zCi[例1]

曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻

轉(zhuǎn)動，設(shè)OA=AB=l,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿,

質(zhì)量各為m,

滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng)

=45o時系統(tǒng)的動量。K

mvC1

mvC

2

mvC

32C1

1

ml解:

曲柄OA：m

v2

2C

2

AB

5

ml連桿AB：

m

v

5

ml2ml滑塊B：m

vC3

102

2

2

2)

2

2ml2

5

3

ml

(

1

Kx

mvC1

sin

mvC

2

cos

mvC

3

m[(

1

l

sin

45

5

l

cos

2l

)2

2AB22（

P為速度瞬心，PC

5

l;

)2102

2

2l

sin

)21

5)

2

ml22

5

1

ml

(

1

m(

l

cos

45

Ky

mvC1

cos

mvC

2

sin

234mlK

K

2

K

2

x

y171174KK,

cos

Ky

cos

Kx

元沖量:沖量：dS

Fdtt2

S

Fdtt1二．沖量力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應(yīng)。⒈

常力F

的沖量

S

F

(t2

t1)⒉變力F

的沖量（包括大小和方向的變化）⒊合力的沖量等于各分力沖量的矢量和．t2

t2

t2S

Rdt

F

dt

Fdt

Sit1

t1

t1沖量的單位：

Ns

kgm/s

2

s

kgm/s與動量單位同．§10-3

動量定理一．質(zhì)點的動量定理dt

dt

d

(mv

)

Fma

m

dv

Ft2

mv2

mv1

Fdt

St1在某一時間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時間內(nèi)的沖量。質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點的力—質(zhì)點的動量定理。⑴微分形式d

(mv

)

Fdt

dS質(zhì)點動量的微分等于力的元沖量。⑵積分形式⒈矢量形式⒉投影形式dtd(mvx

)

Xdtyd

(mv

)

Ydtz

d

(mv

)

Z2tx

S

Xdtmv2

x

mv1x2t1

tt1ymv2

y

mv1y

S

Ydt2tt12

z

1z

zmv

mv

S

Zdti(i

) (

e)

d

dt(mivi

)Fi

F0)i

ii(i

)

(e)ii

i(m

v

)

F

Fddt(而

F對整個質(zhì)點系：對質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點i，⒊質(zhì)點的動量守恒若F

0

，則mv

常矢量，質(zhì)點作慣性運動若Fx

0

，則mvx

常量，質(zhì)點沿x

軸的運動是慣性運動二．質(zhì)點系的動量定理⒈矢量形式在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等于作用在質(zhì)點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。質(zhì)點系動量的微分等于作用在質(zhì)點系上所有外力元沖量的矢量和。⑵積分形式質(zhì)點系動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有外力的矢量和。⑴微分形式(e)i(e)idt

dSdK

F2

1(e)iK

K

S(e)id

K

dt

F質(zhì)點系的動量定理⒉投影形式(

e

)

XidtdKx(

e

) y

YidK(

e

)ZidtdtdKzt2t1i(e

)1x2

x(e)

dtXix

K

S

Kt2i1

y2

y(e)

dtYS(e)iy

K

K

t1t2(e)dtSiz

Zi(e)

t1

K1z

K2

z⒊質(zhì)點系的動量守恒則若若則常矢量。常量。(e)

iF

0,(e)iX

i

im

v

K

i

ixx

0,

K

m

v只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的傳遞。下由 開始運動。求向車廂內(nèi)輸送了質(zhì)量為m的砂子時，車廂的速度v和軌道給車廂的平均法向反力N

。車廂的質(zhì)量為M

。[例2]

已知砂子以恒質(zhì)量流率

m

kg s

設(shè)以近似勻速入車廂內(nèi)，與此同時，車廂在水平常力F

的作用u

m s

流解：①取車廂和質(zhì)量為

m的砂子組成的質(zhì)點系為研究對象；②

受力分析如圖；③ 取Oxy直角坐標(biāo)軸；④

根據(jù)動量定理求解：K1x

0

K2

x

(M

m)vK1y

mu

K2

y

022tt1(e)t1(e)2

x

1xK2

y

K1y

X

dtK

K

由動量定理：tt0Y

dt

0

(mu)

(N

Mg

mg)

dt(M

m)v

0

F

dt0tmmmu

N

t

(M

m)g

t

N

m

(M

m)g

m(M

m)v

F

t

F

Fmm

m;

N

(M

m)g

m

u(M

m)m解得：v

[例3]

流體流過彎管時，

在截面A和B處的平均流速分別為v1,v2

(m/s),

求流體對彎管產(chǎn)生的動壓力(附加動壓力)。

設(shè)流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，

密度為

(kg/m3）。解：取截面A與B之間的流體作為研究的質(zhì)點系。受力分析如圖示。運動分析，設(shè)經(jīng)過ｔ時間后，流體AB運動到位置ab，K

Kab

K

AB[(

KaB

)2

K

Bb

][K

Aa

(KaB

)1

](KaB

)2

(KaB

)1K

KBb

KAa

Qtv2

Qtv1由質(zhì)點系動量定理；得dt2

1

1

2dK

lim

K

Q(v

v

)W

P

P

Rt0

t靜反力R'(W

P1

P2

)，附加動反力R

''Q(v2

v1

)計算R''時，常采用投影形式Rx

''

Q(v2

x

v1x

)Ry

''

Q(v2

y

v1

y

)與R''相反的力就是管壁上受到的流體作用的附加動壓力．dt2

1

1

2dK

lim

K

Q(v

v

)W

P

P

Rt0

t即：動反力（總反力）R

(W

P1

P2

)

Q(v2

v1

)。由水平方向動量守恒及初始

；則M

(v)mvax

0

M

(v)m(vrx

v)0rx

m

(ab)M

m

M

mS

m

Sva

v

vr則 角塊[例4]

質(zhì)量為M的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質(zhì)量為m的 角形柱體,求 角形柱體滑到底時,大三角形柱體的位移。解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。

受力分析，

X

(e)

0,

水平方向 常量i

Kx運動分析，設(shè)大三角塊速度v角塊相對大三角塊速度為vr

，vrx

M

m

Srx

M

mv

m

S

m§10-4

質(zhì)心運動定理將 代入到質(zhì)點系動量定理，得CK

Mv(

e)C

i(Mv

)

F

d

dt若質(zhì)點系質(zhì)量不變，則或(e)Ma

(e)iC

i

CF

Mr

F上式稱為矢量形式的質(zhì)心運動定理（或質(zhì)心運動微分方程）。質(zhì)點系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。一．質(zhì)心運動定理⒈矢量形式,,;0

(e)ib(e)inCnFFFMa

Ma

(e)iC;,,0

(e)ib(e)inF

Fv2M

FdvdtM

C(e)i或⑵自然

坐標(biāo)形式：⑴直角坐標(biāo)形式：,,;(e)iCz(e)iCy(e)iCxZYXMa

Ma

Ma

,,;(e)i(e)iC(e)iCZYXMx

MzC

My或⒉投影形式(e)ii(e)i(e)ZYX

miaCiz

mi

zCi

miaCiy

mi

yCi

miaCix

mi

xCi⒊剛體系統(tǒng)質(zhì)心運動定理投影形式⒋質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點運動微分方程形式相似。對于任意一個質(zhì)點系，無論它作什么形式的運動，質(zhì)點系質(zhì)心的運動可以看成為一個質(zhì)點的運動，并設(shè)想把整個質(zhì)點系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個點上，所有外力也集中作用在質(zhì)心這個點上。只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動,內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。二．質(zhì)心運動守恒定律常矢量，質(zhì)心作勻速直線心位置守恒。⒈若運動；

若開始時系統(tǒng)0

，則(e)iF

C

Ca

o

,

v

，即

vC

0

0

則

rC

常矢量,質(zhì)三．質(zhì)心運動定理可求解兩類動力學(xué)問題⒈已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動,求作用于質(zhì)點系的外力(包括約束反力)。⒉已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。⒉若若存在(e)

Xi

0,則aCx

0,vCx

常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；vCx

0

0則xC

常量，質(zhì)心在x

軸的位置坐標(biāo)保持不變。[例4]

電

的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子重為P1,

轉(zhuǎn)子重為P2

,轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1,但由于制造誤差,轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e

。求轉(zhuǎn)子以角速度

作勻速轉(zhuǎn)動時，基礎(chǔ)作用在底座上的約束反力。解:

⑴

研究整個電 質(zhì)點系；⑵

受力分析如圖示；⑶

取O1x

y直角坐標(biāo)軸；⑷

運動分析：定子

，轉(zhuǎn)子以角速度

作勻速轉(zhuǎn)動。

⑸

根據(jù)質(zhì)心運動定理求解：定子質(zhì)心O1的坐標(biāo)為x1=0，y1=0轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的坐標(biāo)為x2=ecos

t，質(zhì)心C的坐標(biāo)y2=esin

t

，電為yxCCP1

P2

P1

P2P1

P2

P1

P2

P1

y1

P2

y2

P2esin

t

P1x1

P2

x2

P2e

cost質(zhì)心C加速度在x、y軸上的投影為P1

P2P1

P2Pe

2

sin

tPe

2

costxC

2

,

yc

2

可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。(e)iCCy(e)iCCx

Y,

Ma

M

y

X22gggPgyCxC

P1

P2P1

P2

xP1

P2

y

P2

e

2

sin

t

Ne

cost

N由

Ma

M

x有：gPgPxe

sin

te